HIPERBOLE

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Do ponto de vista algébrico surgem o estudo da geometria analítica, assim diversas figuras geométricas são estudadas. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra assim  proporcionando um modo simples de expressar um processo repetitivo. As cônicas, que são figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas. 
O estudo da hipérbole foi iniciado pelo matemático Apolônio, que desenvolveu um trabalho muito respeitado sobre as seções cônicas. Ele analisou, além da hipérbole, a parábola e a elipse, que podem ser obtidas a partir de cortes efetuados em um cone. 
Conceito e definição.
pelas suas propriedades métricas: hipérbole é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a outros dois pontos (chamados focos) é constante.
Semelhante ao que ocorre na elipse a hipérbole também possui 2 focos (F1 e F2),
Então sejam dois pontos distintos (F1 e F2),do plano cartesiano e 2A uma distancia qualquer. Os lugares geométricos dos possíveis valores Do ponto P tais que formam uma hipérbole.
EX:
Então pra qualquer posição que P assumir na curva a direita resultara em uma constante obtida no resultado da operação .
Quando se tem o na curva a direita o resultado sempre será positivo, pois ,porem se passar o ponto P para o lado esquerdo da curva,sempre obteremos valores negativos pois .
Também pode ser definida como o lócus( conjunto de pontos de um plano que gozam de uma determinada propriedade) ,para os quais a razão das distâncias a um foco e a uma reta (chamada de diretriz) é uma constante maior ou igual a 1. Esta constante é considerada a excentricidade de hipérbole. Estes focos se encontram no eixo transversal e seu ponto médio é chamado de centro.
Uma hipérbole possui a propriedade de que um raio, originando-se em um de seus focos, é refletido de tal forma que ele aparenta ter sido originado no outro foco.
EX:
Podemos tomar mais um exemplo.
Assim:
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole: 
2c → é a distância focal. 
c2 = a2 + b2 → relação fundamental. 
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole. 
2a → é a medida do eixo real. 
2b → é a medida do eixo imaginário. 
c/a → é a excentricidade 
Exemplo de representação completa.
Para melhor entendimento:
Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 8, 0) e F2(8, 0) e eixo real medindo12unidades. 
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. 
Foi dado que o eixo real tem 12 unidades de comprimento. Logo, temos que: 
2a = 12 → a = 6 
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: 
c2 = a2 + b2 
102 = 62 + b2 
b2 = 100 – 36
b2 = 64
b = 8
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
 =1 =1
Exercício.
1) Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .
Dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2 Ö 34.
Podemos obter alguns tipos diferentes de hipérbole.
Cartesiana
Hipérbole de abertura Leste-Oeste:
Hipérbole de abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo (metade da distância entre os dois ramos), e b é o semi-eixo menor. Note que b pode ser maior que a.
A excentricidade é dada por
 ou 
Para hipérboles retangulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotas temos:
Polar
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:
Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.
Paramétrica
Hipérbole com abertura leste-oeste:
Hipérbole com abertura norte-sul:
Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.
Podemos concluir que é imprescindível o bom entendimento da geometria analítica nos variados campos da engenharia, pois esta presente em praticamente tudo desde simples projetos a obras gigantesca sendo assim temos que ter o domínio dos mais variados tipos de formas e áreas, e entender seções cônicas como no caso a hipérbole é uma base fundamental para os estudos e projeções de elementos mecânicos
REFERÊNCIAS
Khanacademy-Álgebra.Disponivél em: <https://pt.khanacademy.org/math/algebra> Acesso em 22 de novembro 2016
Equação da hipérbole. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-hiperbole.htm>
Acesso em21 de novembro 2016
Aula e definições da hipérbole: canal nerckie. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=xXYKaCA7q7U 
Acesso em 20 de novembro 2016
Alunos online-Hipérbole, como obter?. Disponível em:
http://www.alunosonline.com.br/matematica/hiperbole.html
Acesso em 20 de novembro de 2016