Centro de massa e teorema de Pappus

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MAT A 03 – CÁLCULO B - SEMESTRE 2017.2 
PROF. GRAÇA LUZIA DOMINGUEZ SANTOS 
 
 
 
 
 
 
CENTRO DE MASSA 
 
Para conseguirmos apoiar uma placa plana em uma haste fina, de forma que a mesma fique em 
equilíbrio, o ponto de apoio da haste deve estar localizado no centro de massa ou centroide da placa, 
considerando-se o campo gravitacional uniforme (Figura 1). 
 
 
F igura 1 
 
Vale ressaltar nesse momento a diferença entre centro de massa e centro de gravidade. O centro de 
massa independe de fatores externos, como por exemplo, da aceleração da gravidade local. Já o 
centro de gravidade depende do campo gravitacional. Assim, o centro de massa e o centro de 
gravidade só coincidem quando o campo gravitacional for uniforme (essa é a situação que 
estudaremos). 
Inicialmente vamos imaginar uma situação mais simples (Figura 2) simples, como por exemplo, 
uma gangorra apoiada em um suporte, onde duas massas m1 e m2 estão presas a um bastão, de massa 
desprezível, em lados opostos a um ponto de apoio e a distâncias d1 e d2 do apoio. 
 
 
 O bastão ficara em equilíbrio se, e somente se m1d1 = m2d2 (Lei da Alavanca de Arquimedes). 
Agora vamos analisar a situação do ponto de vista unidimensional (referencial será a reta 
orientada), considere agora que o bastão está sobre o eixo Ox. Denotaremos por xc o centro de massa da 
gangorra (sistema), ou seja, o ponto de apoio de forma que a gangorra fique em equilíbrio, 
considerando as condições anteriores. 
 
Figura 2 
m1 m2 
 
 
 
Figura 3 
 
 m1(xc – x1) = m2 (x2 – xc)  m1xc + m2xc = m1x1 + m2x2  
21
2211
mm
xmxm
xc



 
Obs: 
 M1 = m1x1 = momento de massa m1 em relação à origem (a origem é o referencial); 
 x1 = distância do objeto de massa m1 em relação a origem; 
 M2 = m2x2 = momento de massa m2 em relação à origem (a origem é o referencial); 
 x2 = distância do objeto de massa m2 em relação a origem. 
Generalizando, considere um sistema S de n partículas com massas m1, m2, . . . , mn localizadas nos 
pontos x1, x2, . . . , xn respectivamente sobre o eixo Ox. Nesse caso, o centro de massa do sistema é dado 
pela razão entre o somatório dos momentos e a massa total, como mostra a equação a seguir. 
m
M
m
xm
x
n
i
i
n
i
ii
c 





1
1 
Assim, o momento do sistema é M = mxc. 
Observe que o centro de massa é um ponto em que podemos concentrar todas as massas do 
sistema de forma que o somatório dos momentos em relação ao referencial considerado continua o 
mesmo. 
No caso bidimensional, vamos considerar que as partículas estão posicionadas no plano 
cartesiano (sistema xOy), como na Figura 4 a seguir: 
 
 
Figura 4 
 
Definimos, de forma análoga ao sistema unidimensional: 
 O momento do sistema em relação ao eixo Ox, que indicaremos por Mx, por 


n
i
iix ymM
1
 (yi é a 
“distância orientada” de mi até o eixo Ox, i = 1,2, ...,n.) 
O 
xc 
x1 x2 
m1 m2 
 
 
 O momento do sistema em relação ao eixo Oy, que indicaremos por My, por 


n
i
iiy xmM
1
 (xi é a 
“distância orientada” de mi até o eixo Oy, i = 1,2, ...,n.) 
 Assim, o centro de massa do sistema é: 































n
i
i
n
i
ii
n
i
i
i
n
i
i
xy
cc
m
ym
m
xm
m
M
m
M
yx
1
1
1
1 ,,),( 
 My = m xc (momento do sistema em relação ao eixo Oy) (I) 
 Mx = m yc (momento do sistema em relação ao eixo Ox) (II) 
 
Nosso objetivo é calcular o centro de massa de placas planas finas de material homogêneo 
(denominas de lâminas) com densidade (de área) uniforme ρ (massa por unidade de área) que ocupa 
uma região R do plano com área superficial A. 
OBS: 
Se a placa tem massa m então ρ= m/A, os seja, m = ρA. Assim, podemos escrever (I) e (II) anteriores, 
respectivamente, como: My = ρAxc e Mx = ρA yc. 
 
 Para tal propósito, vamos assumir os seguintes princípios físicos: 
1) Princípio de simetria: 
a) Se a região R é simétrica em relação a uma reta l então o centro de massa de R está em l. 
b) Se R possui dois eixos de simetria então o centro de massa de R está na interseção dos eixos. 
 
 
Obs: Para um triângulo qualquer, o centro de massa coincide com o baricentro do triângulo, portanto se um 
triângulo têm vértices com coordenadas (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) então 





 

3
,
3
),( 321221
yyyxxx
yx cc
. 
2) O momento da união de duas regiões sem interseção ou cuja interseção é apenas uma linha é a soma 
dos momentos das regiões individuais. 
 
Considere uma placa homogênea com densidade de área uniforme ρ que ocupa uma região R do plano, 
sendo R limitada pelo gráfico da função y = f(x), contínua em [a,b], com f(x) ≥ 0 em [a,b], pelo eixo Ox e 
pelas retas x = a e x= b. Vamos dividir o intervalo [a, b], em subintervalos de mesmo tamanho, tomando-
 
 
se uma partição: a = xo < x1 < ...< xi-1< xi < ...xn = b. Seja ∆𝑥𝑖 = xi – xi-1, e tomemos 
],[ 1 iici xxx 
 o 
ponto médio do intervalo, ou seja, 
2
1 ii
ci
xx
x

 
, i = 1,2,...,n. Nessas condições, podemos dizer que a 
região R é aproximadamente igual a união dos retângulos Ri de base ∆𝑥𝑖 e altura f(xci), i = 1,2,...,n. 
Logo, cada retângulo Ri tem centro de massa o ponto 






2
)(
, cicii
xf
xC
 e área 𝐴𝑖 = 𝑓(𝑥𝑐𝑖). ∆𝑥𝑖. Assim, 
os momentos de cada retângulo são: 
 Em relação ao eixo Ox:  
i
cici
ici
i
x x
xfxf
xxfM 
2
)(
2
)(
)( 
2
 . 
 Em relação ao eixo Oy: 
 ciici
i
y xxxfM )(  icici xxfx )( 
. 
 
 
 
Para encontrar os momentos da região R fazemos o máximo dos ∆𝑥𝑖 tender a zero. Consequentemente 
temos, 
  
dx
xf
x
xf
MM
b
a
i
ci
n
ix
n
i
i
x
x
x
ii

 2
))((
2
)(
limlim
22
10max10max
 
 
 
dxxxfxxfxMM
b
a
icici
n
ix
n
i
i
y
x
y
ii


)()(limlim
10max10max
. 
 
Daí, as coordenadas do centro de massa da placa são: 



b
a
b
ayy
c dxxxf
AA
dxxxf
A
M
m
M
x )(
1
)(



, em que 

b
a
dxxfA .)(
 
 
 xci 
a = xo xn = b xi-1 xi x1 
f(xci) 
 
 



b
a
b
axx
c dxxf
AA
dx
xf
A
M
m
M
y 2
2
))((
2
12
))((



 
Analogamente, podemos obter: 
1) Se R limitada pelos gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), contínuas em [a,b], com f(x) ≥ g(x) em [a,b], 
e pelas retas x = a e x= b, então: 
  
b
a
c dxxgxfx
A
x )()(
1 e   
b
a
c dxxgxf
A
y 22 ))())((
2
1 , sendo   
b
a
dxxgxfA .)()(
 
2) Se R limitada pelo pela curva x = f(y), contínua em [c,d], com f(y) ≥ 0 em [c,d], pelo eixo Oy e pelas retas 
y = c e y = d. 

d
c
c dyyf
A
x 2))((
2
1 e 

d
c
c dyyyf
A
y )(
1 , sendo 

d
c
dyyfA .)(
 
3) Se R limitada pelas curvas x = f(y) e x = g(y), contínuas em [c,d], com f(y) ≥ g(y) em [c,d], e pelas retas y 
= c e y = d, então: 
  
d
c
c dyygyf
A
x 22 ))(())((
2
1 e   
d
c
c dyygyfy
A
y )()(
1 , sendo   
d
c
dyygyfA .)()(
 
 
TEOREMA DE PAPPUS 
Se uma região plana (R) gira em torno de uma reta de seu plano que não a intercepta, o volume do sólido (S) 
gerado é igual ao produto da área da região planapelo comprimento da circunferência percorrida pelo centro 
de massa da região R. 
 
Demonstração] 
Seja R a região limitada pelos gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), contínuas em [a,b], com f(x) ≥ g(x) 
em [a,b], e pelas retas x = a e x = b, com 0 ≤ a < b. Considere S o sólido obtido pela rotação de R em torno 
do eixo Oy. 
 
 
Pelo método dos invólucros cilíndricos, 
 
b
a
dxxgxfxSV ))()((2)( 
 (I) 
 


x
y
(x,y) = (2/5,1/2)
C (2/5,1/2)
 
 
 
Além disso, temos que: 
  
b
a
c dxxgxfx
A
x )()(
1
 (II) 
De (I) e (II) podemos concluir que: 
AxSV c 2)( 
, observe que 
cx 2
é distância percorrida pelo 
centro de massa, quando a região R gira em torno do eixo Oy, isto é, comprimento da circunferência de 
centro (0, yc) e raio xc. 
Se a região R gira em torno do eixo Ox, pelo método das seções transversais: 
  
b
a
dxxgxfSV 22 ))())(()( 
 (III) e também temos que 
  
b
a
c dxxgxf
A
y 22 ))())((
2
1
(IV). 
De (III) e (IV) temos 
AySV c 2)( 
, observe que nesse caso, 
cy 2
é a distância percorrida pelo 
centro de massa, quando a região R gira em torno do eixo Ox, isto é, comprimento da circunferência de 
centro (xc, 0) e raio yc. 
 
REFERÊNCIA: 
STEWART, James, Cálculo, Volume I, Editora Thomson.