Trabalho de GA e AL

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Universidade Estadual do Oeste do Parana´ - Campus Toledo
GA & AL - Prof. Marcos Freitas de Moraes
Trabalho de GA & AL
Qua´dricas e Autovetores e Autovalores
Observar que as questo˜es podem ser para todos os grupos ou indicado para um determinado grupo.
Todos os componentes da equipe devem conhecer e entender de cada questa˜o, pois irei sortear na hora
quem ira´ apresentar determinado assunto.
Para todos os Grupos - Questa˜o 1. Demonstrar que uma forma de classificar o tipo de coˆnica
ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 e´ escrevendo essa equac¸a˜o na forma matricial.
Soluc¸a˜o final: XtAX +BX + CI1 = 0, o produto XtAX e´ chamado forma quadra´tica.
Questa˜o 2.
Grupo 1: Escrever a equac¸a˜o da para´bola y = x2 − x− 1 em termos de formas quadra´ticas.
Grupo 2: Escrever a equac¸a˜o da elipse
x2
9
+
y2
4
= 1 em termos de formas quadra´ticas.
Grupo 3: Escrever a equac¸a˜o da elipse
(x+ 2)2
1/4
+
(y + 1)2
4
= 1 em termos de formas quadra´ticas.
Grupo 4: Escrever a equac¸a˜o da hipe´rbole
x2
1
− y
2
4
= 1 em termos de formas quadra´ticas.
Grupo 5: Escrever a equac¸a˜o da hipe´rbole − (x+ 3)
2
9
+
(y − 4)2
4
= 1 em termos de formas quadra´ticas.
Grupo 6: Escrever a equac¸a˜o da circunfereˆncia x2 + y2 = 1 em termos de formas quadra´ticas.
Grupo 7: Escrever a equac¸a˜o da circunfereˆncia (x−1)2+(y−2)2 = 1 em termos de formas quadra´ticas.
Questa˜o 3. Diagonalize a matriz dos coeficientes da forma quadra´tica da coˆnica dada pelas equac¸o˜es
abaixo e determine atrave´s dos autovalores qual o tipo de coˆnica.
Grupo 1: 5x2 + 4xy + 2y2 − 5x+ 2y = 4.
Grupo 2: x2 + 6xy + y2 = 1.
Grupo 3: 3x2 − 2xy + 3y2 − 2x+ 4y + 5 = 0.
Grupo 4: −3x2 + 8xy + 3y2 − x+ 8y − 3 = 0.
Grupo 5: x2 − 2xy + y2 + 2x− y = 0.
Grupo 6: 2xy − 4x+ 8y − 4 = 0.
Grupo 7: 6x2 − 4xy + 9y2 − 20x− 10y − 5 = 0.
Para todos os Grupos - Questa˜o 4. Uma empresa produz relo´gios de mesa e de parede dado pelas suas
equac¸o˜es de demanda Qd1 = 2000−10p1 a quantidade demandada dos relo´gios de mesa e Qd2 = 1500−5p2
a quantidade demandada de relo´gios de parede. A varia´veis p1 e p2 sa˜o os prec¸os de venda dos relo´gios de
mesa e parede respectivamente. Logo a receita da empresa por ser escrita por:
R = Qd1p1 +Qd2p2.
Determinar a forma quadra´tica da receita da empresa e em seguida transformar a equac¸a˜o encontrada
numa equac¸a˜o da elipse. Com o Geogebra tabular os valores de R, a e b encontrados e desenhar/plotar a
qua´drica resultante.
Questa˜o 5. Desenhar no trabalho e no Geogebra as qua´dricas abaixo, explicitando que tipo de qua´drica
e´, seu centro, os valores de z e os pontos utilizados.
Grupo 1: (z − 4)2 = 4(x− 1)2 + (y − 2)2.
Grupo 2: z =
x2
4
− y2.
Grupo 3: z2 = x2 + y2.
Grupo 4: (x− 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 1.
Grupo 5:
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 1.
Grupo 6:
x2
4
+ y2 − z
2
9
= 1.
Grupo 7: −x
2
4
− y2 + z
2
9
= 1.
Questa˜o 6. Cada grupo devera´ selecionar/resolver um exerc´ıcio de Ca´lculo que envolva determinac¸a˜o do
volume de regio˜es determinadas por qua´dricas (integrais triplas sobre regio˜es), em coordenadas cil´ındricas.
Esboc¸ar o gra´fico e plotar usando o Geogebra.
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