Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples

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Capítulo Quarto: Tensões nas vigasUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV0411 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
3.2 – Tensão de Cisalhamento na Flexão Simples
3.2.1 - Introdução
Flexão simples � presença de M.F. e E.C.
M.F. � Mz �
E.C. � Qy � Tensões de cisalhamento que atuam na mesma 
direção de Qy , representadas por τxy
y
zI
zM
x =σ
2
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
P
x
y
σxσx
τyx
τxy
y
Para melhor compreensão de como atuam as tensões nos pontos de uma 
peça (ou trecho de peça) em flexão simples, considere um ponto a uma 
distância y a partir da superfície neutra:
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Analisando-se o elemento de tensão em torno do referido ponto:
σxσx
τyx
τyx
τxyτxy
• Observa-se a atuação de uma componente de tensão normal σx (
que permanece idêntica à relativa à flexão pura), sendo σy = σz = 0
• Nota-se existência de componentes de tensão de cisalhamento τxy
(tensão paralela a y numa seção cuja normal é a direção x)
• Existe também, na direção horizontal, uma tensão τyx (tensão 
paralela a x numa seção cuja normal é a direção y), sendo τyx = τxy (a 
partir do equilíbrio do elemento)
3
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
P
Ilustração:
P
Seções longitudinais
Seções
longitudinais
P
P
A tensão τyx surge pelo truncamento da tendência de escorregamento que 
as seções longitudinais horizontais apresentam em virtude do 
encurvamento da peça provocado pela flexão
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
3.2.2 – Cálculo da tensão de cisalhamento ττττxy
OBSERVAÇÃO: 
Para a flexão simples ora considerada, a hipótese das seções planas 
permanece válida.
Considere-se a viga abaixo, submetida à flexão simples:
P
x
y l
4
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Destacando-se um elemento de viga de comprimento dx:
dx
P
x
y l
1y
12
yh −
S NL
N
L
N
M + dMM
τ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
dx
b
A*
Superfície Neutra
σ x σ x*dx
τ xy
t
A*
h
A*
t=b
L.Nh
P
1y
12/ yh −
2/h
τyx
5
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
σx σx*dx
τxy
t
A*
y
zI
zM
x =σ
( )
y
zI
zdMzM
x
+
=
*σ
(ampliação do elemento destacado)
onde:
e
τyx
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
dx
t
A*
A tensão de cisalhamento τxy é calculada através do equilíbrio das forças 
horizontais (ilustradas na figura abaixo) que submetem este elemento (e 
não a partir da componente de deformação, como no cálculo da 
componente de tensão normal).
∫
2
h
y
dAσ x
A*
dxtyxτ ⋅⋅
∫ ∗
2
h
y
dAσ
x
6
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Como e resulta:
Assim, fazendo-se o equilíbrio das forças que atuam nesse elemento, 
obtém-se:
( )
( )
*
22
222
222
*
2
11
00
00
11
111
1111
S
Itdx
dMydA
Itdx
dMydA
I
dMdxt
ydA
I
dMdxtydA
I
dMMydA
I
Mdxt
ydA
I
dMMydA
I
MdxtdAdxtdAF
z
z
yx
h
yz
z
yx
h
yz
z
yx
h
yz
z
yx
h
yz
zz
h
yz
z
yx
h
y z
zz
h
y z
z
yx
h
y
xyx
h
y
xx
⋅
⋅
⋅==
⋅
⋅=⇒=⋅⋅⇒
⇒=−⋅⋅⇒=
+
−+⋅⋅⇒
=
+
−+⋅⋅⇒−⋅⋅+⇒=
∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∑
τττ
ττ
τστσ
+
y
z Q
dx
dM
= xyyx ττ =
*
2
1
S
It
Q
ydA
It
Q
z
y
xy
h
yz
y
xy ⋅
⋅
==
⋅
= ∫ ττ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Tensão de cisalhamento que atua num ponto da seção distante
y1 da L.N
da LN;
→yQ Esforço cortante na seção
→t
→zI
∫ →=
2
h
y
*
z ydAS
Largura da seção à altura do ponto no qual se calculou a tensão 
de cisalhamento
Momento de inércia da seção em relação a LN;
Momento estático, em relação a LN, da área situada entre 
o ponto onde se quer obter a tensão de cisalhamento e a 
extremidade referente ao valor máximo de y. 
→xyτ
Onde:
7
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
OBSERVAÇÕES:
1) O fator (variação do Momento Fletor ao longo do 
comprimento da viga, que só existe na flexão simples) é 
rigorosamente o responsável pelo aparecimento da tensão cisalhante 
horizontal τyx nos pontos de uma peça em flexão simples.
2) Uma simplificação considerada nesta teoria é que não ocorre a 
deformabilidade por cortante, ou seja .
3) Para ser utilizada, a expressão geral da tensão de cisalhamento τxy
precisa ser moldada de acordo com a forma da seção reta da peça em 
flexão simples.
dx
dMz
0≈xyγ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
3.2.3 – Tensão de Cisalhamento nas Vigas com Seção Reta
Retangular
3.2.3.1 –Expressão Geral de ττττxy para vigas de Seção Reta Retangular
Considere a viga seguinte, submetida ao carregamento indicado, na
qual se deseja avaliar as tensões de cisalhamento nos pontos de uma
seção S qualquer:
y
x
P
z
Seção S
z
y
y
h/2-y
b
h
12/ yh −
1y
y
8
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Da expressão geral da tensão de cisalhamento tem-se:
⇒


















−+⋅





−⋅
⋅
=⋅
⋅
= 111 22
1
2
* yhyyhb
Ib
Q
S
It
Q
zz
xy
yy
zτ
Observe que essa equação corresponde a uma parábola do 2º grau em 
y1, isto é, a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com a 
distância y1, definida entre ponto no qual se deseja calcular a tensão de 
cisalhamento e a Linha Neutra da seção. Além disso, a expressão é uma 
função par (mesmo valor para valores positivos e negativos de y1 de 
mesmo módulo).






−⋅=
28
22
1yh
I
Q
z
xy
yτ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Considerando , obtém-se: máx
yy
z
y
xy bh
Qh
hb
Qh
I
Q
ττ ==⋅
⋅
=⋅=
2
3
8
12
8
2
3
2
Considerando ,obtém-se: 
mín
z
y
xy
hh
I
Q
ττ ==














⋅−⋅= 0
22
1
8
22
y
LN
x
bh
Qy
máx 2
3
=τ
Assim, a distribuição de tensões de cisalhamento na seção apresenta o 
seguinte aspecto:
01 =y
21
hy =
3.2.3.2 – Tensões Máximas e Mínimas
( )
2
2
11 2
0
22





≤≤⇒≤≤− hyhyhPara a seção retangular, tem-se:
9
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
A determinação do momento estático de área pode ainda ser feita através 
da integração:
L N
y
h
b
y
dy
dA = b.dy
z






−=





=⋅⋅== ∫∫ 282
2
1
222
*
1
2
1
2
1
yhbbydybyydAS
h
yyy
z
hh
OBSERVAÇÃO:
1y
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
3.2.4 – Tensão de Cisalhamento nas Vigas com Seção em I
Duplamente Simétrica
h1b1h
bVigas de seção I:
• São formadas por dois elementos principais
• Constituem uma composição de retângulos � Comportamento análogo ao 
de seções retangulares











⋅
⋅
2
h-hb retângulo :MESA
hb retângulo :ALMA 
1
11
3.2.4.1 - Introdução
10
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Seção 
retangular �
Seção em I �
As principais diferenças entre os casos de seção retangular e seção I
simétrica podem ser resumidas no seguinte:
uma única espessura
 ao longo de sua altura
uma única expressão
 para a tensão de 
cisalham ento τ
dois valores de espessura 
ao longo da altura
duas expressões 
para a tensão de 
cisalhamento τ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
3.2.4.2 - Expressão da tensão de cisalhamento ττττxy para pontos
situados sobre a mesa
Ponto situado na mesa �
22 1
1 hyh ≤≤
z
y
y
h/2-y
A*
( )212*
111
***
4
8
22
1
2
yhbS
yhyyhbyASz
z
−=
⇒











−+⋅





−⋅=⋅=
( )



−⋅
⋅
=
2
1
2 4
8
yhb
Ib
Q
z
y
xyτ
( ) 3
1
3
33
1212
122
2
12
1
11
hbbhbI
hbbhbI
LN
LN
⋅
−
−
⋅
=
⇒





⋅




 −
⋅−
⋅
=
1y
12
yh −
11
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
3.2.4.3 - Expressão da tensão de cisalhamento ττττxy para pontos
situados sobre a alma
Ponto situado na alma �
z
y
A*
A*
1
2
y
h1/2-y
h/2-h1/2
*
2
*
2
*
1
*
1
*
*
2
*
1 yAyAAzS
A
zSzS ⋅+⋅=+=
( ) ( )



−+−⋅
⋅
=
2
1
22
1
2
1
1
1 8
4
8
hhbyhb
Ib
Q
z
y
yxτ
( ) ( )2222 111* 848 hh
byhbS z −+−=
⇒











−+⋅





−⋅
+










 −
−⋅




 −
⋅=
1
1
11
1
1
11*
22
1
2
22
1
2
yhyyhb
hhhhhbS z
22
1
1
1 hyh ≤≤−
11 2/ yh −
1y
( ) 3
1
3
1212
1 hbbhbI LN ⋅
−
−
⋅
=
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Em resumo, para uma seção em I duplamente simétrica, tem-se as
seguintes leis de distribuição para as tensões de cisalhamento:
( ) ( )



−+−⋅
⋅
=
2
1
22
1
21
1 8
4
8 1
hhbyhb
Ib
Q
z
y
yxτ
� Pontos situados sobre a Alma
22 1
1 hyh <<
22
11
1
hyh <<−
� Pontos situados sobre a Mesa
( )



−⋅
⋅
=
2
1
2 4
8
yhb
Ib
Q
z
y
yxτ
onde:
onde:
12
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
OBSERVAÇÕES:
1) Para os dois casos, τxy apresenta variação quadrática parabólica do 2º 
grau.
2) Novamente, o momento estático também pode ser obtido por 
integração:
z
y
y
dy
bdydA =






−=
⇒





=⋅⋅== ∫∫
28
2
2
1
2
*
22
*
1
2
1
2
1
yhbS
bydybyydAS
z
h
yyy
z
hh
Na mesa:
1y
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
dybdA 12 =
bdydA =1
∫∫ +=
2
2
1
2
1
1
12
*
h
h
h
ydAydAS
y
z
⇒⋅⋅+⋅⋅= ∫∫
2
2
1
2
1
1
1
*
h
h
h
dybydybyS
y
z
z
y
y
dy
Na alma:








−+





−=⇒





+





=
882822
2
1
22
1
2
1
1
*
2
2
2
1
22
11*
1
1
1
hhbyhbSbyybS z
h
h
h
y
z
1y
13
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
Para pontos situados na alma:
3.2.4.4 – Valores de máximos e mínimos
( ) ( )[ ]212211
1
1 8
0 hhbhb
Ib
Q
y
z
y
xy
alma
máxmáx −+
⋅
=⇒== τττ
( ) ( ) ⇒





−+⋅−
⋅
=⇒





====
2
1
2
2
1
1
2
11
1
1
111 4
4
82
hhbhbhb
Ib
Qhyyy
z
y
xymáxxy
alma
mínmín ττττ
Para pontos situados na mesa:
( ) ⇒











−⋅
⋅
=⇒





====
4
4
82
2
121
111
hhb
Ib
Qhyyy
z
ymesa
máxxymínxymáx
ττττ
( ) 0
4
4
82
2
2
111 =











−
⋅
=⇒





====
hhb
Ib
Qhyyy
z
ymesa
mínxymáxxymín
ττττ
( )2128 hhI
Q
z
ymesa
máx −⋅=τ
( )[ ]212
18
hhb
Ib
Q
z
yalma
mín −
⋅
=τ
Capítulo Quarto: Tensões nas vigas
V
τ( mín) mesa
τ( máx) alma
τ( mín) alma
τ( máx) mesa
Assim, a distribuição das tensões de cisalhamento na seção tem a
seguinte representação:
alma
máxτ
mesa
mínτ
mesa
máxτ
alma
mínτ
z
y
Exemplo 6: (Folha anexa)