MATRIZES HERMITIANAS E UNITÁRIAS

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Matrizes hermitianas e unita´rias
Amit Bhaya,
Programa de Engenharia Ele´trica
COPPE/UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
amit@nacad.ufrj.br
http://www.nacad.ufrj.br/˜ amit
COE745, c©Amit Bhaya Aula 7: Roteiro para estudo
Matrizes complexas
O produto interno entre x,y ∈ Cn e´ definido como
xHy, onde xH = xT , onde x e´ o conjugado complexo
do vetor x.
O vetor x e´ ortogonal a y se xHy = 0, e o comprimento
de x e´ ‖x‖ = (xHx)1/2.
A conjugada transposta de uma matriz A e´ escrita
AH. Note que (AB)H = BHAH.
Treˆs propriedades fundamentais de matrizes
hermitianas:
1. Se A = AH, enta˜o, ∀x ∈ Cn, o nu´mero
xHAx ∈ R.
2. Todo autovalor de uma matriz hermitiana e´ real.
3. Os autovetores de uma matriz hermitiana
correspondentes a autovalores distintos sa˜o ortogonais.
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Matrizes sime´tricas e teorema espectral
Conclusa˜o (da 3a prop. na pa´gina anterior): Uma
matriz real sime´trica A = AT pode ser fatorada como
A = QΛQT – os
−→
AV o.n. de A sa˜o as colunas de Q,
e os AV de A formam a diagonal de Λ.
O fato acima A = QΛQT e´ conhecida como teorema
espectral, pois Λ conte´m o conjunto de AV (:=
espectro de A), ou ainda como teorema de eixos
principais.
Escrevendo
A = λ1q1q
T
1 + · · ·+ λnqnq
T
n (1)
vemos que A pode ser escrita como uma combinac¸a˜o
linear (coefs. sa˜o os AV) de n matrizes projetoras
(de posto um), que projetam nas n autodirec¸o˜es o.n.
Refere-se a (1) como decomposic¸a˜o espectral de A.
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Matrizes unita´rias
Uma matriz U e´ denominada unita´ria se UHU =
UUH = I. Em outras palavras, U possui colunas
o.n. e linhas o.n. e UH = U−1.
Propriedades de matrizes unita´rias:
1. Matrizes unita´rias preservam aˆngulo e comprimento
(i.e., preservam o produto interno). (Ux)HUy = xHy
⇒ ‖Ux‖ = ‖x‖.
2. Todo autovalor de A tem valor absoluto 1.
(|λi(A)| = 1,∀i)
3. Autovetores correspondendo a autovalores
diferentes sa˜o ortogonais.
K e´ chamada anti-hermitiana se K = −KH. Sendo
real, isto significa, K = KT , e, neste caso, A e´
chamada anti-sime´trica.
Os autovalores de matrizes anti-hermitianas sa˜o
puramente imagina´rias e podemos diagonalizar via uma
similaridade unita´ria: K = UΛUH, com U unita´ria e
Λ diagonal com os autovalores imagina´rios de K na
diagonal principal.
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Real versus complexo
R
n
C
n
xT y xHy
‖x‖ = (xT x)1/2 ‖x‖ = (xHx)1/2
AT = (aji) A
H = (aji)
(AB)T = BT AT (AB)H = BHAH
(Ax)T y = xT (AT y) (Ax)Hy = xH(AHy)
x ⊥ y se xT y = 0 x ⊥ y se xHy = 0
AT = A (A sime´trica) AH = A (A hermitiana)
A = QΛQT (= AT ) (Λ real, diag.) A = UΛUH(= AH) (Λ real, diag.)
KT = −K (anti-sime´trica) KH = −K (anti-hermitiana)
QT Q = QQT = I (ortogonal) UHU = UUH = I (unita´ria)
(Qx)T Qy = xT y (Ux)HUy = xHy
Colunas, linhas,
−→
AV o.n., |AV | = 1 Colunas, linhas, −→AV o.n., |AV | = 1
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Transformac¸o˜es lineares
Quando a matriz A multiplica um vetor x, podemos
pensar que ela transforma x em Ax.
Exemplos: A = αI estica todo vetor por um fator α.
Arot =
[
0 −1
1 0
]
roda todo vetor por 90 graus. Etc.
Um mapeamento T : (V, F) → (W, F) e´ chamado
transformac¸a˜o linear se
∀α ∈ F,∀v1,v2 ∈ V,T(αv1+v2) = αT(v1)+T(v2).
E´ fa´cil verificar que toda matriz define uma
transformac¸a˜o linear. Na realidade, a inversa tambe´m
vale.
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Determinando a matriz representando
uma transformac¸a˜o linear
Sejam os vetores {v1, . . . ,vn} uma base para o espac¸o
V, e {w1, . . . ,wm} uma base para o espac¸o W.
Qualquer transformac¸a˜o linear T mapeando V a W
e´ representada por uma matriz. A j-e´sima coluna e´
encontrada pela aplicac¸a˜o de T ao j-e´simo vetor da
base para V; o resultado Tvj e´ uma combinac¸a˜o linear
dos vetores da base para W (os wi) e os coeficientes
da combinac¸a˜o linear formam a j-e´sima coluna da
representac¸a˜o matricial desejada. I.e.,
Tvj = a1jw1 + a2jw2 + · · ·+ amjwm
e a matriz da transformac¸a˜o linear T e´ (aij).
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Similaridade
Dada uma matriz A e uma matriz na˜o-singular M,
dizemos que a transformac¸a˜o que leva A a B :=
M−1AM e´ uma transformac¸a˜o de similaridade, e
que as matrizes A e B sa˜o similares.
Perguntas chaves: Quais sa˜o as similaridades entre A
e B? Varrendo todas as matrizes na˜o-singulares M
poss´ıveis, e´ poss´ıvel encontrar uma estrutura especial
para B?
Matrizes similares possuem o mesmo polinoˆmio
caracter´ıstico. Portanto, mesmos trac¸os,
determinantes, autovalores.
x
−→
AV de A (AV λ) corresponde a M−1x
−→
AV de B
(com mesmo AV λ).
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Simlaridade = Mudanc¸a de base
Matrizes similares representam a mesma transformac¸a˜o
linear em bases diferentes.
Diagrama comutativo:
base B1V
base B1V
base B2V
base B2V
TB1
TB2
IB2→B1 IB1→B2
Comutatividade do diagrama acima significa: caminho (de
base B2V
a
base B2V ) ↑−→↓ equivale ao caminho −→.
As matrizes que representam a mesma transformac¸a˜o
linear T em duas bases diferentes B1 e B2 sa˜o
similares:
TB2 = IB1→B2 TB1 IB2→B1 transf. lin.
B = M−1 A M matrizes
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Formas triangulares (de Schur) com M
unita´ria
(Lema de Schur) Para qualquer matriz quadrada A,
existe uma matriz unita´ria M = U tal que U−1AU =
S onde S e´ triangular superior. Os autovalores de A
que sa˜o os mesmos de S (pela similaridade) aparecem,
portanto, na diagonal principal da matriz triangular S.
Lema acima e´ va´lido para qualquer matriz:
frequentemente permite escapar da hipo´tese de
diagonalizabilidade.
Aplicac¸a˜o importante: Diagonalizac¸a˜o de matrizes
sime´tricas e hermitianas com autovalores repetidos.
1. A hermitiana ⇒ U−1AU hermitiana.
2. A sime´trica ou hermtiana e triangular
simultaneamente ⇒ A diagonal.
Teorema espectral (versa˜o final): Toda matriz
sime´trica (resp. hermitiana) pode ser diagonalizada por
uma matriz ortogonal (resp. unita´ria) e as colunas desta
matriz conte´m um conjunto completo de autovetores
o.n.
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Matrizes normais
Para qual classe de matrizes a forma triangular do lema
de Schur e´ diagonal?
A matriz N e´ chamada normal se comuta com NH
: NNH = NHN. Para tais matrizes (e somente
para elas), a matriz triangular (do lema de Schur)
T = U−1NU coincide com a matriz diagonal dos
autovalores Λ. Em outras palavras, matrizes normais
sa˜o exatamente aquelas que possuem um conjunto
completo de autovetores o.n.
Matrizes hermitianas, sime´tricas e unita´rias certamente
sa˜o normais.
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Forma de Jordan
Agora vamos permitir M arbitra´ria e tentar diagonalizar A ate´
onde poss´ıvel.
Se A possui s autovetores independentes, ela e´ similar a uma
matriz com s blocos:
J = M
−1
AM =

 J1 . . .
Js

 .
Cada bloco de Jordan e´ uma matriz triangular com apenas um
autovalor λi e um autovetor:
Ji =


λi 1
· ·
· 1
λi

 .
Quando o bloco possui ordem m > 1, o autovalor λi e´ repetido
m vezes e ha´ (m − 1) 1’s acima da diagonal principal. O
mesmo autovalor pode aparecer em va´rios blocos, se corresponder
a va´rios autovetores independentes. Duas matrizes sa˜o similares
se compartilham a mesma forma de Jordan. Por isso, e´ referido
tambe´m como forma canoˆnica de Jordan.
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Forma de Jordan: exemplos
T =
[
1 2
0 1
]
, A =
[
2 −1
1 0
]
, B =
[
1 0
1 1
]
todas
possuem amesma forma de Jordan J =
[
1 1
0 1
]
.
Para T transformar o 2 superdiagonal em 1: M =
diag (1, 1/2). Para A, U =
[
1/
√
2 1/
√
2
1/
√
2 −1/√2
]
leva a
T, seguido por M . . .. Para B uma permutac¸a˜o.
A =

 0 1 20 0 1
0 0 0

 and B =

 0 0 10 0 0
0 0 0

 . Zero e´ AV
triplo para ambas as matrizes, portanto aparecera´ em todos os
blocos de Jordan. Possibilidades: um bloco 3× 3; ou um 2× 2
e um 1× 1; ou treˆs 1× 1, i.e.:
J1 =

 0 1 00 0 1
0 0 0

 , J2 =

 0 1 00 0 0
0 0 0

 , J3 =

 0 0 00 0 0
0 0 0

 .
A possui apenas um
−→
AV (1, 0, 0), portanto apenas um bloco ⇒
similar a J1; B possui o
−→
AV adicional (0, 1, 0) e e´ similar a J2.
Atenc¸a˜o!: A te´cnica de contar autovetores na˜o funciona sempre. E.g., A 4× 4 com um AV
repetido 4 vezes (J3 e J1) ou (J2 e J2): dois
−→
AV indep., forma de Jordan distintos.
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Aplicac¸a˜o da forma de Jordan a EDOs
Ak = (MJM−1)(MJM−1) · · · (MJM−1) = MJkM−1.
J e´ bloco-diagonal! Portanto, por exemplo, se tiver um
AV repetido 3 vezes e um u´nico
−→
AV correspondente:
Jni =

 λ 1 00 λ 1
0 0 λ


n
=

 λ
n nλn−1 n(n− 1)λn−2
0 λn nλn−1
0 0 λn

 .
Para a equac¸a˜o diferencial correspondente:
eJit =

 e
λt teλt 12t
2eλt
0 eλt teλt
0 0 eλt

 .
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Transformac¸o˜es de similaridade
1. A diagonaliza´vel: Colunas de X
−→
AV, X−1AX =
Λ diagonal
2. A arbitra´ria: forma de Jordan J = M−1AM
bloco-diagonal.
3. A arbitra´ria, ∃U unita´ria, U−1AU = T
triangular.
4. A normal (AAH = AHA): ∃U unita´ria,
U−1AU = Λ diagonal. Casos especiais, com
autovetores ortonormais:
(a) A hermitiana ⇒ Λ real.
(b) A real sime´trica ⇒ Λ real, U = Q ortogonal.
(c) A anti-hermitiana ⇒ Λ imagina´ria.
(d) A ortogonal ou unita´ria, enta˜o todos os |λi| = 1.
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