Tensão Normal sob carga axial; - Deformação Normal Média sob carga axial; - Diagrama tensão-deformação; - Lei de Hooke; - Deformação Normal elástica sob carga axial;

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Resistência dos Materiais 2 
1 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
 
 
 
As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, 
foram retiradas dos seguintes livros: 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer 
 - E. Russel Johnston Jr. 
Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 
 
 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler 
Ed. PEARSON - 5ª edição – 2004 
 
 
 
Parte 02: Tensão e deformação  Carregamento Axial 
- Tensão Normal sob carga axial; 
- Deformação Normal Média sob carga axial; 
- Diagrama tensão-deformação; 
- Lei de Hooke; 
- Deformação Normal elástica sob carga axial; 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
5 cm 
4 Áreas 
vazadas 
5 cm 
17 cm 
10 kN 
17 cm 
 
1 - Tensão Normal Média (- letra grega sigma) 
 Para a barra BC, conforme mostra a figura 1, está submetida à ação de uma 
força Normal ou axial P. A relação entre a força Normal ou axial (P) e a área da seção 
transversal da barra (A) é definida como tensão normal média: 
𝝈 =
𝑷
𝑨
 (1) 
 
Força P  Tração  tensão positiva (+); 
 Alonga a barra  tensão normal de tração; 
 
Força P  Compressão tensão negativa (-); 
 Comprime a barra  tensão normal de compressão; 
 
 
 
No Sistema Internacional a unidade de tensão é o Pascal (Pa): 
 1 Pa = 1N/m2 
 1 kPa = 1x103 Pa = 1x103 N/m2 
 1 MPa = 1x106 Pa = 1x106 N/m2 Figura 1: barra sob a ação 
 1GPa = 1x109 Pa = 1x109 N/m2 de força Normal ou axial 
 
 Força Normal ou axial  Força paralela ao eixo longitudinal do elemento 
(barra, eixo, etc) ou perpendicular a seção transversal do elemento; 
 
 
 
 
 Força Normal = F; Força Normal = F . cos ; 
 
 Na engenharia é comum encontrar catálogo e manuais com informações 
indicadas com unidades inglesas; 
OBS: 1 psi (pound per square inch ) = 6,895 x 103 Pa (Pascais) 
 (libra por polegada quadrada) 
 1 ksi = 1000 psi = 6,895 x 106 Pa (Pascais) 
 
Exemplo 1: Determine a tensão normal provocada pela força P sobre a peça vazada 
ilustrada a seguir; 
 
 
 
 
 
R: 
= P/A  P = 10 kN = 10 . 103 N; 
  A = área real = área total – área vazada; 
 A = (17 x 17) – [ 4 x (5 x 5/2) ] = 239 cm2 
 A = 239 . 10-4 m2 
 = 10 . 103 / 239 . 10-4 = 418,41 . 103 N/m2 = 418,41 . 103 Pa = 418,41 kPa 
= - 418,41 kPa (negativo – compressão) 
F 
F 

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3 
 
 
2 - Deformação Normal Média (- letra grega epsilon) 
 Para a barra BC, conforme mostra a figura 2, está submetida à ação de uma 
força Normal ou axial P. A relação entre o deslocamento relativo do ponto C em relação 
ao ponto B () e o comprimento inicial (L) é definida como deformação normal média: 
𝜺 =
𝜹
𝑳
=
𝑳𝒇−𝑳 
𝑳
 (𝟐) 
 
Onde:  = s = Lf – L (deslocamento relativo de C) 
 (deslocamento relativo OU variação no comprimento) 
 Lf  comprimento final; 
 L  comprimento inicial; 
 
Força P  Tração  alonga a barra (   +); 
  Deformação positiva (  +); 
 
Força P  Compressão contrai a barra (   -); 
  Deformação negativa (  -); 
 
A deformação é um parâmetro ADIMENSIONAL, 
OU SEJA, NÃO TEM UNIDADE; 
 Figura 2: barra sob a ação 
 de força Normal ou axial 
 
3 - Diagrama Tensão-Deformação Normal 
 O diagrama é obtido por meio de ensaio de tração ou compressão realizado em 
corpo-de-prova com auxílio de uma máquina de teste e de extensômetros, conforme 
ilustra a figura 3 a seguir. 
 
 Extensômetro  dispositivo para medir o deslocamento relative entre dois 
 pontos do corpo-de-prova (). 
 
 Quando a carga aplica P = 0, o extensômetro marca  = 0. 
 Aumentando o valor de P aumenta o valor de  = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3: Ensaio de tração de um corpo-de-prova 
Seção transversal 
conhecida: A 
Neste caso a seção é 
circular; 
Entretanto, a seção 
transversal pode ser 
quadrada, retangular ou 
de outra geometria 
qualquer. 
P 
P 
L 
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4 
 


Fase 
Elástica 
Fase 
Plástica 
LP 
LE 
E 
r 
rup 
Limite 
resistência 
tensão 
ruptura 
Legenda: 
r  tensão limite de resistência; 
rup  tensão de ruptura; 
e  tensão de escoamento; 
LE  Limite de elasticidade; 
LP  Limite de proporcionalidade; 
 
 Portanto, durante um ensaio de tração ou de compressão de um corpo-de-prova 
para cada valor da carga aplicada P é obtido um par de valores (, ): 
 
𝜺 =
𝜹
𝑳
 
 
𝝈 =
𝑷
𝑨
 
 
 Ao final do ensaio são obtidos n pares de valores (, ), o que permite construír 
o diagrama Tensão-deformação Normal do material do corpo-de-prova. 
 
 A seguir é apresentado na figura 4 um diagrama tensão-deformação normal 
típico de um ensaio de tração ou compressão de um corpo-de-prova (ex: barra 
metálica, ou de outro material qualquer). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4: Diagrama Tensão-Deformação Normal típico; 
 
Fase elástica   < e (tensão de escoamento) 
O material apresenta um comportamento elástico, 
caracterizido por deformação reversível, ou seja, 
removida a carga o corpo volta a forma original; 
 
 
Fase plástica   ≥ e (tensão de escoamento) 
O material apresenta um comportamento plástico, 
caracterizado por deformação irreversível, ou seja, 
removida a carga o corpo não volta a forma original. 
O corpo encorpora a parcela plástica da deformação. 
 
 
 
 Quando, P = 0; 
  = 0; 
  = 0; 
 
P 
P 
Removido a carga 
o corpo retoma a 
sua forma original 
Removido a carga o corpo 
continua com parcela 
plástica da deformaçãoCurso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
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

E 
COM PATAMAR – BEM DEFINIDO 
SEM PATAMAR – BEM DEFINIDO 
 
E 
 
LP  tensão Limite de Proporcionalidade 
 Quando  < LP: 
 O material apresenta um comportamento linear elástico; 
 
 OBS: LP < < e 
 Nos casos com tensão maior que LP, porém menor 
 que e (tensão de escoamento); 
 
 O material ainda apresenta um comportamento elástico, porém 
 não é mais linear; 
 
LE  tensão Limite de Elasticidade 
 Quando  < LE: 
 O material apresenta um comportamento elástico; 
 
 OBS: ≥ LE: 
 O material apresenta um comportamento plástico; 
 
 
e  tensão de escoamento 
 Quando  ≥ e: 
 O material sofreu escoamento, ou seja, adquiriu deformações plásticas; 
 Neste estágio, um pequeno aumento da tensão provoca grandes deformações; 
 
Alguns materiais apresentam um patamar de escoamento bem definido, já em 
outros, isto não ocorre, conforme ilustra a figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5: Diagrama com e sem patamar de escoamento bem definido 
 
r  tensão Limite de Resistência 
 É a maior tensão que o material pode suportar antes de atingir a ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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

Fase 
Elástica 
Fase 
Plástica 
LP 
LE 
E 
r 
rup 
Limite 
resistência 
tensão 
ruptura 
Trecho Linear elástico 



E = tg  = / 
 
4 - Lei de Hooke 
 Analisando os diagramas Tensão-Deformação de diversos materiais Robert 
Hooke (1676) observou que a maioria apresentava uma relação linear entre tensão e 
deformação na fase elástica, conforme ilustra a figura 6. Com base neste 
comportamento comum dos diversos materiais formulou uma lei conhecida com Lei de 
Hooke, expressa por: 
𝝈 = 𝑬 . 𝜺 (𝟑) 
 
Em que:   Tensão normal; 
    Deformação normal; 
 E  Módulo de elasticidade; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6: Trecho linear elástico  válido a Lei de Hooke 
 
A Lei de Hooke  é válida apenas para a parte inicial do diagrama Tensão-
Deformação Normal, ou seja, no trecho linear elástico do diagrama (trecho reto); 
 
Para muitos materiais o Limite de Proporcionalidade LP, não pode ser definido tão 
facilmente; 
 
Entretanto, para estes materiais o Limite de Proporcionalidade LP, é ligeiramente 
abaixo do Limite de escoamento e, ou seja, MUITO PRÓXIMO do Limite de 
escoamento. 
 
Por conta desta proximidade pode ser adotada a seguinte consideração: 
 
 Para tensão () < (e) tensão de escoamento  válida a Lei de Hooke; 
 Para tensão () ≥ (e) tensão de escoamento  não é válida a Lei de Hooke; 
 
 Esta consideração pode ser adotada visto que a utilização da Lei de Hooke para 
valores de tensão ligeiramente maiores que o limite de proporcionalidade não resultará 
em um erro significativo. 
 
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5 - Deformação Normal elástica 
Se a carga axial P aplicada sobre a barra BC (figura 7) gera uma tensão em 
que: 
 < e (tensão de escoamento)  A Lei de Hooke pode ser aplicada, visto que o 
material da barra BC apresenta um comportamento elástico. 
 
Portanto, se o material apresenta um comportamento linear elástico é possível 
escrever as seguintes equações para determinar o valor da deformação  e do 
deslocamento relativo entre dois pontos  (alongamento ou contração): 
 
𝜎 = 𝐸 . 𝜀 → 𝜀 =
𝜎
𝐸
= 
𝑃
𝐴
𝐸
 → 𝜺 =
𝑷
𝑬 . 𝑨
 (𝟒) 
 
 
𝜀 = 
𝛿
𝐿
 → 𝛿 = 𝜀 . 𝐿 → 𝛿 =
𝑷
𝑬 . 𝑨
 . 𝑳 = 
𝑷. 𝑳
𝑬 . 𝑨
 (𝟓) 
 
 
 
 A equação (5) é válida para elementos (barras, eixos): 
 A  área da seção transversal constante; 
 E  módulo de elasticidade constante; 
 P  carga aplicada na extremidade do elemento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7: deslocamento de um elemento com carga axial 
 
 
Para elementos (barras, eixos) compostos de trechos com diferentes seções 
transversais, diferentes materiais e sob a ação de cargas axiais aplicadas em vários 
pontos ao longo do eixo do elemento é necessário dividir o elemento (barras, eixos) por 
trecho em que essas quantidades (A, E, P) sejam constantes. O deslocamento relativo 
final é obtido somando-se o resultado de cada trecho, sendo este somatório expresso 
por: 
 
𝜹 = ∑
𝑷𝒊𝑳𝒊 
𝑨𝒊𝑬𝒊
 (𝟔)𝒊 
 
OBS: Nas equações (10) e (11): P  COMPRESSÃO: - (NEGATIVO) 
 P  TRAÇÃO: + (POSITIVO) 
 
 
 
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VA 
HA 
FBC 
 
 
Exemplo 2: A barra rígida AB está acoplada em B à haste BC com 3,0 de comprimento. 
Se a tensão de tração admissível para a haste BC for t_adm = 115 MPa. Considerando 
o comportamento elástico, determine: 
a) o diâmetro da haste BC necessário para suportar a carga; 
b) a variação de comprimento da haste ( = ? - alongamento ou contração) e a 
deformação axial elástica da haste ( =?); 
c) o diâmetro da haste BC necessário para que a variação do seu comprimento inicial 
seja de no máximo 1 mm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Diagrama de corpo livre da barra rígida AB: 
cos  = 4/5 = 0,8 
sen  = 3/5 = 0,6 
 
 
 
- Utilizando as equações de equilíbrio no plano: 
 ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑MO = 0; neste caso em relação ao ponto A; 
OBS: DICA  TODA VEZ QUE HOUVER DUAS FORÇAS A SEREM 
DETERMINADAS EM CADA DIREÇÃO x e y  UTILIZE PRIMEIRO A 3 EQUAÇÃO: 
 Em x: HA = ? e FBC cos  = ? 
 Em y: VA = ? e FBC sen  = ? 
 
 MA= 0 + FBC . sen  . 3 - 6 . 2 = 0 
 FBC = 6,67 kN 
 
+  Fx = 0 HA + FBC . cos  = 0 
 HA + 6,67 . 0,8 = 0 HA = -5,34 kN HA = 5,34 kN 
 
+  Fy = 0 VA + FBC . sen  - 6 = 0 
 VA = - 6,67 . 0,6 + 6 VA = 1,998 = 2,0 kN 
 
OBS: Lembrando do conceito de ação e reação: 
 FBC = força da haste BC sobre a barra AB 
 FBC’ = força da barra AB sobre a haste BC 
 
 FBC = FBC’ 
 
 
 FBC’ = 6,67 kN 
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Força na haste BC: FBC’ = 6,67 kN 
 
a) dBC = ? 
  = F/A= t_adm = 115 MPa 
 A = F/t_adm  A = 6,67 . 103 / 115 . 106 = 5,8 . 10-5 m2 
 
 A = d2/4 = 5,8 . 10-5 m2  d = 8,60 . 10-3 m = 8,60 mm 
 
b)  = ? e  = ? 
 
𝛿 = 
𝑃. 𝐿
𝐸 . 𝐴
=
 6,67 . 103 . 3,0 
5,8 . 10−5 . 200 . 109 
= 1,725 . 10−3 m = 1,725 mm 
 
𝜀 = 
𝛿
𝐿
= 
1,725 . 10−3
3,0
= 5,75 . 10−4 
 
 
c) dBC = ?   = 1,0 mm = 0,001 m 
 
𝛿 = 
𝑃. 𝐿
𝐸 . 𝐴
 
 
 0,001 = 
 6,67 . 103 . 3,0 
A . 200 . 109 
 
 
A = 
 6,67 . 103 . 3,0 
 0,001 . 200 . 109 
= 10,0 . 10−5 m2 
 
A = 
 π . d2 
 4 
= 10,0 . 10−5 m2 
 
d = 0,0113 m = 11,3 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3: A viga rígida AB apóia-se sobre dois postes 
curtos como mostrado na figura ao lado. O poste AC é 
feito de aço (Eaço = 200 GPa) e tem diâmetro de 20 mm, 
já o poste BD é feito de alumínio (Eal= 70,0 GPa) e tem 
diâmetro de 40 mm. Considerando o comportamento 
elástico, determine: 
a) o deslocamento vertical do ponto F em AB. 
b) o ângulo de inclinação com a horizontal da viga rígida 
após o deslocamento dos postes 
c) o menor diâmetro de cada poste de modo que a 
viga permaneça na posição horizontal, considerando 
que os postes sejam de aço e que a tensão não deve ultrapassar adm_aço = 160 MPa. 
Solução: 
a) A viga AB é rígida, portanto o deslocamento vertical do ponto F depende do 
deslocamento dos postes AC e BD, portanto, é necessário determinar a força interna 
em cada poste PAC = ? e PBD = ? Poste AC = comprimido ou esticado ? 
 Poste BD = comprimido ou esticado ? 
 
 +  Fy = 0 VAC + VBD = 90 
  MA= 0 + VBD . 600 - 90 . 200 = 0 
 VBD = 90 . 200 / 600  VBD = 30 kN 
 VAC = 60 kN 
 
 
 
 
 
 Poste AC = comprimido 
 Poste BD = comprimido 
- Deslocamento no topo de cada poste: 
Poste AC: AC  como C é ponto fixo A 
𝛿𝐴 = 
𝑃𝐴𝐶𝐿𝐴𝐶
𝐸𝐴𝐴𝐶
= 
(−60 . 103) . ( 0,30)
(200 . 109) . (𝜋 . 0,0102)
= −0,286 . 10−3 𝑚 = −0,286 𝑚𝑚 
 
Poste BD: BD  como D é ponto fixo  B 
𝛿𝐵 = 
𝑃𝐵𝐷𝐿𝐵𝐷
𝐸𝐴𝐵𝐷
= 
(−30 . 103) . ( 0,30)
(70 . 109) . (𝜋 . 0,0202)
= −0,102 . 10−3 𝑚 = −0,102 𝑚𝑚 
 
- Traçando o diagrama que indica os deslocamentos da linha de centro que passa 
pelos pontos A, B e F , e utilizando a proporção de triângulo, o deslocamento do ponto 
F é determinado. 
𝛿𝐹 = 0,102 + 𝑋 
 
600
0,184
=
400
X
→ 𝑋 =
0,184 .400
600
 
 
 𝑋 = 0,123 𝑚𝑚 
 
𝛿𝐹 = 0,102 + 𝑋 = 0,225 𝑚𝑚 
 
 
VAC = 60 kN VBD= 30 kN 
60 kN 30 kN 60 kN 30 kN 
PAC= 60 kN PBD= 30 kN 
B 
B’ 
Posição incial da Viga 
Posição final da Viga 
F 
F’ 
A 
A’ 
600 mm 
400 mm 
0,102 mm 
0,102 mm 
0,184 mm 
0,286 mm 
F = ? 
X 
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b) a inclinação com a horizontal da viga rígida vale: 
 
tg  = 0,184mm / 600 mm  tg  = 3,067 . 10-4   = 0,01750 
 
 
c) Para que a viga rígida AFC permaneça na posição horizontal: 
 o deslocamento (encurtamento) no topo dos postes devem ser iguais: 
 
𝛿𝐴 = 𝛿𝐵 → 
𝑃𝐴𝐶𝐿𝐴𝐶
𝐸𝑎ç𝑜 𝐴𝐴𝐶
=
𝑃𝐵𝐷𝐿𝐵𝐷
𝐸𝑎ç𝑜 𝐴𝐵𝐷
 
 
PAC = 60.103 N; LAC = 0,30 m; E = 200.109 N/m2; AAC = ?; 
PBD = 30.103 N; LBD = 0,30 m; E = 200.109 N/m2; ABD = ?; 
 
 
(−60 . 103) . ( 0,30)
(200 . 109) 𝐴𝐴𝐶
=
(−30 . 103) . ( 0,30)
(200 . 109) 𝐴𝐵𝐷
 
 
 𝐴𝐵𝐷 = 0,50 𝐴𝐴𝐶

O menor diâmetro possível é definido considerando que a força interna em cada 
poste provoque uma tensão igual à tensão admissível do material: 
 
Poste AC: 
adm_aço = 160 MPa  adm_aço = F/A 
   adm_aço = PAC/AAC  AAC = PAC/adm_aço 
 AAC = 60.103/160 . 106 
 AAC = 0,375.10-3 m2 
Poste BD: 
adm_aço = 160 MPa  adm_aço = F/A 
   adm_aço = PBD/ABD  ABD = PBD/adm_aço 
 ABD = 30.103/160 . 106 
 ABD = 0,1875.10-3 m2 
 
 
De fato a área AAC = 2 ABD, visto que PAC = 2PBD 
 
AAC = (D2)/4 = 0,375.10-3 m2  DAC = 0,02185 m = 2,19 cm 
 
ABD = (D2)/4 = 0,1875.10-3 m2  DBD = 0,01545 m = 1,55 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4: O tubo rígido ABC está preso por pinos à duas barras 
curtas como ilustrado na figura ao lado. A barra AD é 
feita de aço (Eaço = 200 GPa) e tem diâmetro de 20 mm, 
já a barra BE é feito de alumínio (Eal= 70,0 GPa) e tem 
diâmetro de 40 mm. Considerando o comportamento 
elástico, determine: 
a) o deslocamento horizontal do ponto C; 
b) o ângulo de inclinação do tubo rígido ABC com a 
vertical após o deslocamento das barras; 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) O tubo ABC é rígido, portanto o deslocamento vertical do ponto C depende do 
deslocamento das barras AD e BE, portanto, é necessário determinar a força interna 
em cada barra PAD = ? e PBE = ? barra AD = comprimida ou esticada ? 
 barra BE = comprimida ou esticada ? 
 
 +  Fx = 0 HAD + HBE = 90 
 
  MA= 0 + HBE . 0,4 - 90 . 0,6 = 0 
 HBE = 90 . 0,6 /0,4 
  HBE = 135 kN 
 
 HAD + HBE = 90 
 HAD = 90 – 135 = - 45 
  HAD = 45 kN 
 
 
 
 
 
 barra AD = esticada 
 barra BE = comprimida 
 
- Deslocamento na extremidade direita de cada barra: 
 
AD: 𝛿𝐴 = 
𝑃𝐴𝐷𝐿𝐴𝐷
𝐸𝐴𝐴𝐷
= 
(+45 . 103) .( 0,28)
(200 . 109) . (𝜋 . 0,0102)
= +0,201 . 10−3 𝑚 = +0,201 𝑚𝑚 
 
 
BE: 𝛿𝐵 = 
𝑃𝐵𝐸𝐿𝐵𝐸
𝐸𝐴𝐵𝐸
= 
(−135 . 103) .( 0,30)
(70 . 109) . (𝜋 . 0,0202)
= −0,460 . 10−3 𝑚= −0,460 𝑚𝑚 
 
 
 
 
C 
D 
E 
280 mm 
300 mm 
90 kN 
200 mm 
A 
B 
400 mm 
C 
D 
E 
280 mm 
300 mm 
90 kN 
200 mm 
A 
B 
400 mm 
HAD = ? 
HBE = ? 
45 kN 
135 kN 
A 
B 
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- Traçando o diagrama que indica os deslocamentos da linha de centro que passa 
pelos pontos A, B e C , e utilizando a proporção de triângulo, o deslocamento do ponto 
C é determinado. 
 
 𝛿𝐴 = 0,201 𝑚𝑚 
𝛿𝐵 = −0,460 𝑚𝑚 
 
 
𝛿𝐴
𝑋
=
𝛿𝐵
(400 – X)
 
 
0,201
𝑋
=
−0,460
(400 – X)
 
 
0,201 . 400 − 0,201 𝑋 = 0,460 𝑋 
 
 
0,661 𝑋 = 80,4 → 𝑋 = 121,6 𝑚𝑚 
 
 
 
𝛿𝐶
600 − 121,6
=
𝛿𝐵
(400 – 121,6)
 
 
𝛿𝐶
478,4
=
0,460
278,4
 → 𝛿𝐶 = 0,790 𝑚𝑚 
 
 
 b) a inclinação com a horizontal da viga rígida vale: 
 
tg  = 0,201 / 121,6 mm  tg  = 1,653 . 10-3   = 0,09470 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A A 
B 
C = ? 
400 mm 
X = ? 
400 - X 
200 mm 
A’ 
B’ B 
C’ C 
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Exemplo 5: A barra composta de aço A-36 (E= 210.103 MPa), é composta por dois 
segmentos AB e BD, com áreas da seção transversal AAB= 600 mm2 e ABD= 1200 
mm2. Considerando um comportamento elástico, determine: 
a) determine o deslocamento vertical da extremidade A; 
b) o deslocamento de C em relação a D; 
c) a tensão normal média máxima; 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
É necessário determinar a força interna de cada trecho, 
a qual , é determinada por meio MÉTODO DAS SEÇÕES: 
 
OBS: Iniciando a análise pelo topo  para não ter que calcular a reação de apoio D; 
NAi = + 75 kN, 
NBs = + 75 kN; 
NBi = + 75 - 20 -20 = 35 kN, 
NCs = + 35 kN; 
NCi = + 35 - 40 - 40= - 45 kN; 
NDs = - 45 kN; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento do ponto A: quando não for mencionado em relação a que ponto fica 
subentendido que o deslocamento será em relação ao ponto fixo, no caso ponto D: 
𝜹𝑨 = ∑
𝑷𝒊𝑳𝒊
𝑨𝒊𝑬𝒊
𝒊
= 𝛿𝐴𝐵 + 𝛿𝐵𝐶 + 𝛿𝐶𝐷 =
𝑷𝑨𝑩𝑳𝑨𝑩
𝑨𝑨𝑩𝑬𝑨𝑩
+
𝑷𝑩𝑪𝑳𝑩𝑪
𝑨𝑩𝑪𝑬𝑩𝑪
+
𝑷𝑪𝑫𝑳𝑪𝑫
𝑨𝑪𝑫𝑬𝑪𝑫
 
 
PAB = + 75 kN = 75.103 N (tração) 
PBC = + 35 kN = 35.103 N (tração) 
PAB = - 45 kN = 45.103 N (compressão) 
 
PAB = + 75 kN 
PBC = + 35 kN 
PCD = - 45 kN 
ou 
D. Normal 
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15 
 
 
AAB = 600 mm2 = 600 . 10-6 m2; 
ABD = 1200 mm2 = 1200.10-6 m2 
 
E = 210.103 MPa = 210 . 109 N/m2 
 
𝛿𝐴𝐵 =
(75 . 103) . ( 1,0)
(600 . 10−6) . (210 . 109)
= +0,595 . 10−3𝑚 
 
𝛿𝐵𝐶 =
(35 . 103) . ( 0,75)
(1200 . 10−6) . (210 . 109)
= +0,104 . 10−3𝑚 
 
 
𝛿𝐶𝐷 =
(−45 . 103) . ( 0,50)
(1200 . 10−6) . (210 . 109)
= −0,09 . 10−3𝑚 
 
a) 
𝜹𝑨 = + 0,61 . 10
−3𝑚 = +0,61 𝑚𝑚 
 
O deslocamento total é positivo, a barra alonga-se, assim o ponto A se afasta do ponto 
D. 
 
b) 
O deslocamento do ponto C em relação D é negativo, o trecho CD contrai-se, assim os 
pontos B e C se aproximam: 
 
𝛿𝐶𝐷 = −0,090 . 10
−3𝑚 = −0,090 𝑚𝑚 
 
c)A tensão normal média máxima da barra vale: 
Trecho AB: PAB= 75 kN  AB= PAB/AAB  AB = 75 . 103 / 600 . 10-6 
traçãoAB= 125,0 . 106 N/m2AB = 125,0 MPa 
 
Trecho BC: PBC= 35 kN  BC= PBC/ABC  BC= 35 . 103 / 1200 . 10-6 
traçãoBC= 29,17 . 106 N/m2BC = 29,17 MPa 
 
Trecho CD: PCD = -45 kN  CD= PCD/ACD  CD = -45 . 103 / 1200 . 10-6 
 compressãoCD= -37,5 . 106 N/m2CD = -37,50 MPa 
 
A tensão normal média máxima ocorre no trecho AB, sendo de 125 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 Lista de exercícios 
1) O tubo rígido é sustentado por um pino em C e por 
um cabo de ancoragem AB de aço A-36 (E = 200 GPa) 
com 5 mm de diâmetro. Considerando uma carga P de 
1,5 kN e um comportamento elástico, determine o 
quanto o cabo AB é esticado. 
R: AB = + 2,12 . 10-3 m 
 
 
 
 
2) A viga rígida é sustentada por um pino em C e por 
um cabo de ancoragem AB de aço A-36 (E = 200 GPa) 
com 5 mm de diâmetro. Considerando um carregamento 
distribuído w de 1,5 kN/m e um comportamento elástico, 
determine o quanto o cabo AB é esticado. 
R:AB = + 3,97 . 10-3 m 
 
 
 
3) O eixo de cobre (E = 126 GPa) está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Os 
segmentos AB, BC e CD possuem os seguintes diâmetros, dAB = 20 mm, dBC = 25 mm 
e dCD = 12. Considerando um comportamento elástico, determine: 
a) o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D; 
b) a máxima tensão normal média no eixo; 
 
R: a) AD = + 0,385 . 10-2 m 
 b) CD = 265,25 MPa 
 
 
 
 
4) A coluna de aço A-36 (E = 200 GPa) é usada para 
suportar cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. 
Considerando um comportamento elástico, determine o 
deslocamento vertical de sua extremidade A, quando 
 P1 = 200 N, P2 = 310 N e a coluna tiver área da 
seção transversal de 14,625 mm2 
R: AC = - 1,747 . 10-3 m 
 
 
5) A coluna de aço A-36 (E = 200 GPa) é usada para 
suportar cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. 
Considerando um comportamento elástico, determine o 
valor determine das cargas P1 e P2 se A desloca 3 mm 
para baixo e B desloca 2,25 mm para baixo quando as Exercícios: 4 e 5 
cargas são aplicadas. A coluna tem área da 
seção transversal de 14,625 mm2. 
R: P1 = 304,63 N; P2 = 609,26 N 
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6) A haste de aço A-36 (E = 200 GPA) está sujeita ao 
carregamento mostrado. Se a área da seção transversal da 
haste for de 60 mm2. Considerando um comportamento elástico, 
determine: 
a) o deslocamento do ponto A e do ponto B; 
b) a máxima tensão normal média na haste; 
R: a) A = 2,64 . 10-3 m; B = 2,31 . 10-3 m 
 b) CD = 268,67 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
7) A viga rígida AB está acoplada em B à haste metálica BC com 1,0 m de 
comprimento e diâmetro de 50 mm. A tensão de tração admissível para a haste BC é 
t_adm = 110 MPa e o módulo de elasticidade é E = 69 GPa. Considerando o 
comportamento elástico determine: 
a) o valor máximo de P que a haste metálica BC suporta; 
b) a variação de comprimento da haste BC ( = ? - alongamento ou contração) e a 
deformação axial elástica da haste ( =?); 
c) o diâmetro da haste BC necessário para que a variação do seu comprimento inicial 
seja de no máximo 1,5 mm; 
R: a) P = 19,62 kNb) BC = +1,59 . 10-3 m 
 c) d = 52 mm 
 
 
 
 
8) O conjunto de pendural (barra rígida e haste AB) metálico é usado para suportar um 
carregamento distribuído W = 18 kN. O material do conjunto possui módulo de 
elasticidade de 70 GPa e uma tensão de escoamento de 266 MPa. Considerando um 
fator de segurança contra o escoamento F.S. = 2,0 de modo a garantir um 
comportamento elástico, determine: 
a) o diâmetro da haste AB para suportar a carga W; 
b) a variação de comprimento da haste AB 
( = ? - alongamento ou contração) 
c) o diâmetro da haste AB necessário para 
que a variação do seu comprimento inicial 
seja de no máximo 1,0 mm; 
R: a) d = 19,7 mm 
 b) AB = + 2,85 . 10-3 m 
 c) d = 33,2 mm 
 
 
 
 
 
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9) Se a viga rígida AC for suportada por uma barra AB e apoiada em C sobre um bloco 
rígido. A barra AB é de resina de poliéster (E= 3,22 GPa) e possui diâmetro de 40 mm. 
Devido a uma carga P = 80 kN. Considerando um comportamento elástico, determine: 
a) a variação do comprimento inicial da barra (alongamento ou encurtamento:  =?); 
b) o ângulo de inclinação da viga quando a carga P for aplicada; 
c) o diâmetro da haste AB necessário para que a variação do seu comprimento inicial 
seja de no máximo 1,0 mm; 
R: a) AB = + 19,78 . 10-3 m 
 b)  = 0,760 
 c) d = 17,8 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) O poste é sustentado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB de aço 
A-36 (E = 200 GPa). Se o diâmetro do arame for 5 mm. Considerando um 
comportamento elástico, determine: 
a) a variação de comprimento do arame AB 
( = ? - alongamento ou contração) e a 
deformação axial elástica do arame ( =?); 
b) o diâmetro necessário para que o arame 
 deforme no máximo 0,5 mm; 
R: a) AB = 1,06 . 10-2 m 
 b) d = 23 mm 
 
 
 
 
 
11) O conjunto é composto por três hastes de titânio (E = 350 GPa) e uma barra rígida 
AC. A área da seção transversal de cada haste é dada na figura. Considerando um 
comportamento elástico, determine o deslocamento vertical do ponto F. 
R: F = 2,235 . 10-3 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12) O conjunto é composto por três hastes de titânio (E = 350 GPa) e uma barra rígida 
AC. A área da seção transversal de cada haste é dada na figura. Considerando um 
comportamento elástico, determine o deslocamento horizontal do ponto F; 
R: F = + 0,1166 . 10-3 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Se a viga rígida AC for suportada por uma barra AB e apoiada sobre o poste CD. A 
barra AB possui diâmetro de 12 mm e o poste CD possui diâmetro de 40 mm, ambos 
feitos de resina de poliéster (E= 3,22 GPa). Considerando uma carga P de 8,0 kN e um 
comportamento elástico, determine: 
a) variação do comprimento da barra e do poste (alongamento ou encurtamento:  =?); 
b) o ângulo de inclinação da viga quando a carga P for aplicada; 
R: a)AB = + 2,20 . 10-2 m 
CD = - 0,4943 . 10-3 m 
 b)  = 0,820 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) A viga rígida AEC é suportada em suas extremidades por dois tirantes de aço A-36. 
Considerando um comportamento elástico, determine: 
 a) o deslocamento vertical do ponto E; 
 b) o ângulo de inclinação da viga AEC com a horizontal. 
 c) o menor diâmetro dos tirantes de modo que a viga rígida permaneça na 
horizontal, considerando adm_aço = 160 MPa. 
 
Tirantes de aço, com os seguintes diâmetros: 
dAB = 12 mm e dCD = 22 mm. 
Eaço = 200 GPa; 
w = 7 kN/m; 
x = 1,60 m 
 
R: a) E = 0,257 mm 
 b)  = 0,01210 
 c) dAB = 7,73 mm; dCD = 5,45 mm 
 
W 
E 
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15) O conjunto é composto por duas hastes de titânio (E = 350 GPa) e uma barra rígida 
BDE. A área da seção transversal de cada haste é dada na figura. Considerando um 
comportamento elástico, determine o ângulo de inclinação da barra rígida BDE; 
 LAB = 1,20 m; AAB = 600 mm2; 
 LCD = 1,80 m; ACD = 900 mm2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de alumínio 
(Ealu = 70 GPa) e uma seção transversal com área de 500 mm2, a barra CD é de aço 
(Eaço = 200 GPa) e uma seção transversal com área de 600 mm2. Considerando um 
comportamento elástico, determine: 
a) os deslocamentos dos pontos B e D; 
b) o ângulo de inclinação da barra rígida BDE; 
R: a) AB = - 0,514 . 10-3 m 
 CD = + 0,30 . 10-3 m 
 b)  = 0,230 
 
 
 
 
 
 
 
17) A barra rígida BCE é suspensa por duas hastes AB e CD, ambas de seção 
transversal retangular e uniforme (6,35 x 25,4 mm) e de aço (Eaço = 200 GPa). 
Considerando um comportamento elástico, determine a maior carga vertical P que 
pode ser aplicada no ponto E se o deslocamento vertical para baixo do ponto E não 
pode exceder 0,254 mm. 
 
R: P = 3,151 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
D 
B 
C 
A 
0,60 m 
0,30 m 
30 kN 
P 
R:  = 0,0330