Aula05_Método de Newton

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Método de Newton
Cálculo Numérico Computacional
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Método
Também conhecido como método das tangentes, usa a tangente à curva num determinado ponto inicial para obter uma melhor aproximação da raiz.
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Interpretação Geométrica
O valor de xn+1 é obtido a partir do valor de xn pela intersecção da reta tangente no ponto (xn, f(xn)) com o eixo dos x. O ponto no qual esta reta cruza o eixo dos x é o ponto xn+1. 
O método convergirá se e somente se f´(xraiz) for diferente de zero. Ou seja, se a raiz da função não for tangente ao eixo dos x. Isto será demostrado adiante.
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Dedução
Para deduzir a fórmula consideramos que a equação da reta tangente ao ponto 
(xi,,f(xi)) é da forma:
Neste caso:
Portanto:
é a equação da reta. Para determinarmos b, 
usamos o fato de que quando x = xi , y=f(x) = f(xi). Subsituindo esses fatos na 
equação temos:
Logo:
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Dedução
Note que se manipularmos esta equação (fatorando f´(x)) e passando f(xi) 
para a esquerda, chegamos a : 
Que é obtida a partir da fórmula y-y0= m(x-x0).
Utilizando a primeira destas equações (que é análoga à segunda) e fazendo y=0,
f(x)=0, obtemos a raiz, que é xi+1. 
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Esta é a formula para o método de Newton.
Como dissemos anteriormente, f´(xraiz) tem que ser diferente de zero para que o método convirja, caso contrário o denominador da fração se tornará cada vez mais próximo de zero e o método divirgirá.
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Exemplo
Substituindo x0=1,5, obtemos uma sequência convergente x1, x2, x3 , para 
Determinar o valor de 
com 4 casas de precisão, isto é ɛ=10-4 usando o 
Solução:
método de Newton.
A função que deve ter feita igual a zero para que a raiz seja 
é
Como raiz de 2 está entre 1 e 2, consideramos x0=1,5, portanto:
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Algoritmo
Seja a equação f(x)=0. Supor que sejam satisfeitas as hipóteses do teorema 3.
Dados 
Se |f(x0)| < ɛ1 então xraiz = x0 FIM
x0: Aproximação inicial
ɛ1 e ɛ2 precisões.
k=1
x1=x0-f(x0)/f´(x0)
Se |f(x1)| < ɛ1 ou se |x1-x0| < ɛ2 então xraiz= x1 FIM
x0=x1
k=k+1, volte ao passo 4.
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Outro exemplo
Use o método de Newton para achar a raiz da função f(x) = x3-9x+3, dados x0= 0,5 e ɛ1= ɛ2 = 10-4
Temos que :
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A seguinte tabela ilustra a aplicação do método: