7 Integral de linha Green

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Integral de Linha
Teorema de Green
Conceito Integrais simples
Calculadas em um intervalo.
Integrais duplas
Calculadas numa região do plano.
Integrais triplas
Calculadas numa região do espaço 
tridimensional.
Conceito
Vamos agora considerar integrais ao longo de curvas em 
espaços bi e tridimensionais. 
INTEGRAIS DE LINHA
න
𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠
C é uma curva suave.
Sejam C uma curva suave entre dois pontos do plano XY e 
f(x,y) uma função contínua e não negativa em C.
Admite parametrização x(t), 
y(t) e z(t) ; 𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃 tal que 
x’(t), y’(t) e z’(t) são 
contínuas e não 
simultaneamente nulas em 
[a,b] 
Conceito
Vamos calcular a área da “cerca” limitada inferiormente 
pela curva C e superiormente pela função f(x,y). 
Conceito
https://www.youtube.com/watch?v=EYvhhZuMYQM
Conceito
Podemos analisar a integral de linha como uma integral simples, 
fazendo algumas modificações como: 
Onde C tem equação paramétrica. 
Exemplo
Exemplo
Observações
1) O valor da integral de linha ao longo de uma curva C não depende da 
parametrização de C;
2) Se C é uma curva paramétrica que começa em A e termina em B quando 
percorrida no sentido do parâmetro crescente e for reparametrizada de 
maneira que percorra o sentido crescente de B para A, indicamos a 
curva –C, temos que ׬𝐶 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠=- ׬−𝐶 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑠
Integral de linha para campos vetoriais
Integral de linha para campos vetoriais
Exemplo:
Trabalho com uma integral de linha
Exemplo:
Independência de Caminhos
Algumas integrais de linha, seu resultado independe do caminho 
tomado. Outras não.
Independência de Caminhos
=
Exemplo: 
Exemplo
Teorema de Green
Exemplos: 
Bibliografia
• Thomas, George B.- Cálculo, Vol. 2 – Pearson
• Gonçalves, Buss Mirian e Flemming, Diva Marília –
Cálculo B – Pearson;
• Freire, Ilka Rebouças – Integrais Múltiplas – Texto 1
• https://youtu.be/r_VwuhiExRw
Lourena Cruz
lourena.cruz@unifacs.br
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