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Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas Departamento de Matema´tica MTM3101 - Ca´lculo 1 1a lista de exerc´ıcios (31/07/2017 a 04/08/2017) 1. Estime o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da func¸a˜o nos nu´meros dados. lim x→2 x2 − 2x x2 − x− 2 x = 2, 5; 2, 1; 2, 01; 2, 005; 2, 001; 1, 9; 1, 95; 1, 999.(a) lim x→0 ex − 1− x x2 x = 1; ±0, 5; ±0, 1; ±0, 05; ±0, 01; ±0, 005; ±0, 001.(b) 2. Se f(1) = 5, lim x→1 f(x) deve existir? Se existe, enta˜o f(x) deve ser igual a 5? Podemos concluir alguma coisa sobre lim x→1 f(x)? Explique. 3. Determine um nu´mero δ para o ε dado tal que se 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < ε. lim x→−1 (3x− 4) = −7; ε = 0, 2.(a) lim x→−2 (2 + 5x) = −8; ε = 0, 01.(b) 4. Um torneiro mecaˆnico precisa fabricar um disco de metal circular com a´rea de 1.000 cm2. Qual o raio do disco produzido?(a) Se for permitido ao torneiro uma toleraˆncia de erro de ±5 cm2 na a´rea do disco, qua˜o pro´ximo do raio ideal da parte a) o torneiro precisa controlar o raio? (b) Em termos da definic¸a˜o de ε, δ de lim x→x0 f(x) = L, o que e´ x? O que e´ f(x)? O que e´ x0? O que e´ L? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ? (c) 5. Prove cada proposic¸a˜o usando a definic¸a˜o ε, δ de limite. lim x→3 (1− 4x) = −11(a) lim x→2 x = 2(b) lim x→3 1 = 1(c) 6. Se lim x→x0 f(x) = 2 e lim x→x0 [f(x)− g(x)] = −1, calcule lim x→x0 [f(x) · g(x)]. 7. Suponha que lim x→c f(x) = 5 e lim x→c g(x) = −2. Determine: lim x→c f(x) · g(x)(a) lim x→c [f(x) + 3g(x)](b) lim x→c f(x) f(x)− g(x)(c) 8. Se lim x→−2 f(x) x2 = 1, calcule: lim x→−2 f(x)(a) lim x→−2 f(x) x (b) 1 9. Calcule os limites justificando cada passagem pelas Propriedades dos limites que forem usadas. lim x→−2 ( x3 + 2x− 1)(a) lim u→2 √ u2 + 3u+ 4 u3 + 1 (b) 10. Calcule os seguintes limites. lim x→2 x2 − 4 x− 2(a) limx→3 x3 − 8 x− 2(b) lim x→3 √ x−√3 x− 3(c) limx→0 3x x2 + 1 (d) lim x→2 x2 − 4x+ 4 x2 − 3x+ 4(e) limx→0 1−√1− x2 x2 (f) lim t→0 ( 1 t − 1 t2 + t ) (g) lim t→1 t2 + t− 2 t2 − 4t+ 3(h) lim h→0 (3 + h)−1 − 3−1 h (i) lim x→−4 (x+ 3)2.017(j) 11. Calcule o valor, ou os valores, de a ∈ R tal que os limites abaixo sejam verdadeiros. lim x→a x2 − 1 x− 1 = 2(a) limx→1 x2 − 2ax+ 1 x− 1 = 0(b) limx→0 (3ax+ 19) = 19(c) 12. Sejam f, g : I → R func¸o˜es definidas em um intervalo aberto (x0 − r, x0 + r). Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Se verdadeiras, prove. Se falsas, deˆ um contra-exemplo. Se existirem lim x→x0 f(x) e lim x→x0 [f(x) + g(x)] enta˜o existira´ lim x→x0 g(x).(a) Se existir lim x→x0 f(x) e na˜o existir lim x→x0 g(x) enta˜o na˜o existe lim x→x0 [f(x) + g(x)].(b) Se existirem lim x→x0 f(x) e lim x→x0 g(x) enta˜o existira´ lim x→x0 f(x) g(x) .(c) 13. Considere a func¸a˜o racional f(x) = x3 + ax2 + bx+ c mx2 + nx+ p . Assuma que a, b, c, m, n e p sa˜o inteiros e que: f(2) = 0.(a) para x = −1 tem-se uma indeterminac¸a˜o do tipo 0 0 .(b) lim x→−1 f(x) = −6.(c) x = 1 e´ raiz do polinoˆmio mx2 + nx+ p.(d) f(3) = 1 f(4) .(e) Determine os coeficientes a, b, c,m, n, p. 14. Se f e g forem func¸o˜es cont´ınuas, com f(3) = 5 e lim x→3 [ 2f(x)− g(x)]= 4, encontre g(3). 15. Fac¸a o gra´fico e analise a continuidade das seguintes func¸o˜es: f(x) = { 0, se x ≤ 0 x, se x > 0. (a) f(x) = x 2 − 4 x+ 2 , se x 6= −2 1, se x = −2. (b) 2 16. Dado o gra´fico da func¸a˜o f abaixo, estabelec¸a os nu´meros nos quais f e´ descont´ınua e explique por queˆ. -6 -4 -2 2 4 6 -4 -2 2 4 x y 3
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