Aula 13 Os Modelos Estruturais Bernanke

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS
AULA 13 – OS MODELOS ESTRUTURAIS 
(BERNANKE)
Prof. Ricardo Chaves Lima
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Modelos Estruturais
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Introdução
O modelo VAR com decomposição triangular (• Choleski) foi 
criticado por ser desprovido de conteúdo econômico;
O papel do economista era somente sugerir as variáveis •
endógenas que entrariam no modelo;
A definição da ordem de entrada das variáveis necessita de •
referência à teoria econômica, mas a partir daí o 
procedimento é quase que mecânico;
Existe uma diferenças entre usar modelos VAR para •
previsão e modelos VAR para análise econômica;
O objetivo do modelo VAR estrutural é usar a teoria •
econômica, ao invés da decomposição triangular, para definir 
a matriz de efeitos contemporâneos;
Modelos Estruturais
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Introdução
• A decomposição de Choleski faz uma suposição forte a 
respeito da estrutura dos erros;
• Seja et = B
-1εt, ou em forma matricial:
• Fazendo b21= 0 (decomposição triangular), temos:
• Forçar b21= 0 é mesma coisa que assumir que εyt não tem 
nenhum efeito contemporâneo em zt; 
ezt = e2t
eyt = e1t +b12e2t
Modelos Estruturais
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Introdução
A menos que haja fundamento teórico para essa suposição, •
os choques serão impropriamente identificados;
Assim, a função de impulso• -resposta e a decomposição da 
variância resultantes do modelo VAR poderão levar a 
conclusões erradas;
• Se a correlação entre e1t e e2t (b12) for baixa, a ordem de 
entrada das variáveis pode não ser importante;
No entanto, em um modelo VAR com muitas variáveis, é •
pouco provável que todas as correlações sejam baixas. 
Assim, a ordem de entrada das variáveis torna-se muito 
importante;
Nesse caso, com a decomposição triangular, pode ser •
complicado achar uma ordem que satisfaça a teoria 
econômica; 
Modelos Estruturais
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Decomposição Estrutural (Bernanke)
• Sims (1986) e Bernanke(1986) propõem modelar as 
inovações usando análise econômica; 
• A ideia básica é estimar as relações entre os choques 
estruturais utilizando um modelo econômico;
• Para entender o procedimento, considere um VAR com n
variáveis:
• ou
Modelos Estruturais
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Decomposição Estrutural (Bernanke)
Seja a Matriz • B,
Em uma decomposição de • Choleski, do tipo triangular 
inferior, temos, 
Modelos Estruturais
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Decomposição Estrutural (Bernanke)
• Ou seja, o número de coeficientes acima (ou abaixo) da 
diagonal principal é igual a (n2 - n)/2. Esse é o número de 
restrições (NR) na matriz B necessárias para que o modelo 
VAR seja exatamente identificado;
• Essas restrições, no entanto, não precisam ser triangular 
(Choleski). Sims (1986) e Bernanke(1986) propõem fazer as 
restrições na matriz B com base na teria econômica;
• Assim, na decomposição de Sims-Bernanke, podemos ter:
▪ NR = (n2 - n)/2 (sistema exatamente identificado),
▪ NR > (n2 - n)/2 (sistema super-identificado).
• No caso de um sistema super-identificado, é necessário 
realizar um teste de super-identificação; 
Modelos Estruturais
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Decomposição Estrutural (Bernanke)
Teste de • super-identificação:
L = |Σ▪ R| - |Σ| é o teste do quociente de máxima verossimilhança;
|Σ▪ R| e |Σ| são os determinantes das matrizes de 
variância/covariância dos modelos restrito e não-restrito (VAR 
reduzido);
O teste tem distribuição ▪ qui-quadrado com graus de liberdade 
igual ao número de restrições superior a (n2 - n)/2;
✓ H0: não rejeita a restrição (não super-identificado),
✓ H1: rejeita a restrição (super-identificado) 
Exemplo do decomposição de • Sims-Bernanke. Considere o 
modelo VAR com as seguintes variáveis:
yt = PNB real,
it = taxa e investimento real,
pt = deflator do PNB,
mt = oferta de moeda (M1),
ut = desemprego,
rt = letra do tesouro (taxa)
Modelos Estruturais
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Exemplo de Decomposição Estrutural
• Com seis variáveis, o modelo estrutural de Sims (1986) precisa de 
um mínimo de (62 – 6)/2 = 15 restrições;
• Considerando a ordem de entradas das variáveis rt,mt, yt, pt, ut e it, 
as relações indicadas no trabalho por Sims, para representar a 
economia americana, são:
𝑏12
Modelos Estruturais
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0
As restrições na matriz de efeitos contemporâneos (• B), baseadas 
nas equações estruturais de Sims, são:
𝒓𝒕 𝒎𝒕 𝒚𝒕 𝒑𝒕 𝒖𝒕 𝒊𝒕
𝒓𝒕 1 𝑏12 0 0 0 0
𝒎𝒕 𝑏21 1 𝑏23 𝑏24 0 0
𝒚𝒕 𝑏31 0 1 0 0 𝑏36
𝒑𝒕 𝑏41 0 𝑏43 1 0 𝑏46
𝒖𝒕 𝑏51 0 𝑏53 𝑏54 1 𝑏56
𝒊𝒕 0 0 0 0 0 1
1
1
Decomposição de Bernanke – R software
• Assuma um modelo VAR com 4 variáveis: M1, R, P e GDP;
• Para um modelo exatamente identificado é necessários um 
número de restrições, NR = (n2 – n)/2 ou seja, 6 restrições;
• Na decomposição triangular tem-se que NR = (n2 – n)/2;
• Na decomposição estrutural (Bernanke) pode-se ter:
o NR = (n2 – n)/2 ou
o NR > (n2 – n)/2 
• Se NR > (n2 – n)/2, é possível que o modelo seja 
superidentificado. Nesse caso realiza-se um teste de 
superidentificação e, ocorrendo, é preciso mudar o modelo 
para que seja exatamente identificado;
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Decomposição de Bernanke – R software
• Caso 1: VAR estrutural exatamente identificado
- Os coeficientes da matriz de efeitos contemporâneos (B) 
serão restritos seguindo a teoria econômica;
- Suponha que desejamos restringir os coeficientes b21, b23, 
b24, b31, b34 e b41. No programa R, essa restrição ocorre da 
seguinte forma:
amat <- diag(4)
diag(amat) <- NA
amat[1, 2] <- NA
amat[1 ,3] <- NA
amat[1, 4] <- NA
amat[3, 2] <- NA
amat[4, 2] <- NA
amat[4, 3] <- NA
amat
▪ A matriz é de dimensão 4x4 e, portanto, a 
diagonal tem 4 elementos (amat<-diag(4))
▪ Se usarmos diag(amat) <- NA não haverá 
restrição na diagonal principal. Se não usarmos, 
todos os elementos serão restritos a 1 ;
▪ Os parâmetros não restritos são marcados em 
amat. Assim, amat[1,2]<-NA significa que o 
elemento da linha 1 e coluna 2 não é restrito a 0. 
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Decomposição de Bernanke – R software
• Caso 1: VAR estrutural exatamente identificado
- A matriz restrita é (parâmetros não restritos em azul):
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] NA NA NA NA
[2,] 0 NA 0 0
[3,] 0 NA NA 0
[4,] 0 NA NA NA
• Caso 2: VAR estrutural com NR > (n2 – n)/2
amat <- diag(4)
diag(amat) <- NA
amat[1, 2] <- NA
amat[1 ,3] <- NA
amat[1, 4] <- NA
amat[3, 2] <- NA
amat[4, 2] <- NA
amat
Agora o modelo esta com ▪ 7 restrições;
Como temos ▪ 7 restrições o R fará 
automaticamente o teste de superidentificação;
Note que o NA é para marcar onde não há ▪
restrição. Ou seja, temos 5 elementos de B não 
restritos e, portanto, 7 restritos. É possível que 
haja superidentificação. 
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Decomposição de Bernanke – R software
Caso • 2: VAR estrutural com NR > (n2 – n)/2
- A matriz restrita é (parâmetros não restritos em azul):
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] NA NA NA NA
[2,] 0 NA 0 0
[3,] 0 NA NA 0
[4,] 0 NA 0 NA
LR overidentification test:
LR overidentification
Chi^2 = 40, df = 1, p-value = 3e-10
Conclusão: rejeita-se a hipótese H0 de não superidentificação
(p-value < 0,05) – o modelo é superidentificado. Restringir a 
matriz B de outra forma até conseguir identificação exata.
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APÊNDICE
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6
SVAR – O modelos A, B e AB
O Modelo VAR(p), em sua forma primitiva, pode ser apresentado •
como:
Onde • 𝐵 é a matriz dos efeitos contemporâneos, 𝑥𝑡 é um vetor (nx1) de 
variáveis endógenas, Γ0 é um vetor (nx1) de parâmetro lineares, Γ𝑖 é 
uma matriz (nxn) de coeficientes de 𝑥𝑡−𝑖, e 𝜀𝑡 é um vetor (nx1) de erros 
aleatórios. Na notação de Pfaff (2008), utilizada como base para a 
estimação do SVAR no programa R, o modelo primitivo é apresentado 
da seguinte forma: 
Onde • 𝐴 é a matriz dos efeitos contemporâneos, 𝑦𝑡 é um vetor (nx1) devariáveis endógenas, 𝐴𝑖
∗ é uma matriz (nxn) de coeficientes de 𝑦𝑡−𝑖, e 𝜀𝑡
é um vetor (nx1) de erros aleatórios. A matriz 𝐵, de dimensão (nxn) 
pode ser usada para impor restrições de identificação ao modelo. 
Observe que se 𝐴 = 𝐼, todos os efeitos contemporâneos serão iguais a 
zero, e o modelo primitivo será igual ao modelo reduzido. Se, no 
entanto, 𝐴 ≠ 𝐼 o modelo primitivo será diferente do modelo reduzido, 
podendo ser escrito da seguinte forma:
𝐵𝑥𝑡 = Γ0 + Γ1𝑥𝑡−1 + ⋯ + Γ𝑝𝑥𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡
𝐴𝑦𝑡 = 𝐴1
∗𝑦𝑡−1 +⋯+ 𝐴𝑝
∗ 𝑦𝑡−𝑝 + 𝐵𝜀𝑡 
1
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𝑦𝑡 = 𝐴
−1𝐴1
∗𝑦𝑡−1 + ⋯+ 𝐴
−1𝐴𝑝
∗ 𝑦𝑡−𝑝 + 𝐴
−1𝐵𝜀𝑡 , ou 
𝑦𝑡 = 𝐴1𝑦𝑡−1 + ⋯+ 𝐴𝑝𝑦𝑡−𝑝 + 𝑢𝑡 
Onde 𝐴−1𝐴𝑖
∗ = 𝐴𝑖 e 
 𝑢𝑡 = 𝐴
−1𝐵𝜀𝑡 
Dependendo do tipo de restrição imposta, pode-se ter três tipos de modelos: 
1) Modelo A: ajusta 𝐵 = 𝐼𝑛 e faz-se um mínimo de n(n-1)/2 na matriz A; 
2) Modelo B: ajusta 𝐴 = 𝐼𝑛 e faz-se um mínimo de n(n-1)/2 na matriz 𝐵; 
3) Modelo AB: n2+n(n-1)/2 restrições nas duas matrizes. 
A superidentificação do modelo pode ser testada pela estatística do 
cociente de máxima verossimilhança (LR), da seguinte forma:
𝐿𝑅 = 𝑇(ln Σ 𝑢 − ln Σ 𝑢 ) 
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Onde Σ 𝑢 é o determinante da matriz de variância-covariância 
do modelo SVAR e Σ 𝑢 do modelo na forma reduzida. O teste 
tem distribuição 𝜒2 com graus de liberdade igual ao número 
de superidentificações (número de restrições maiores n(n-
1)/2. 
library(vars)
data(Canada)
varcan <- VAR(Canada, p = 2, type = "const")
amat <- diag(4)
amat[1, 4] <- NA
amat[3, 1] <- NA
amat[4, 2] <- NA
amat[4, 3] <- NA
svara <- SVAR(x = varcan, estmethod = "scoring", Amat = amat, Bmat = NULL,
max.iter = 500, maxls = 1000, conv.crit = 1.0e-8) 
summary(svara)
Acoef(varcan)
Exemplo de restrição na matriz A
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SVAR Estimation Results: 
======================== 
 
Call: 
SVAR(x = varcan, estmethod = "scoring", Amat = amat, Bmat = NULL, 
 max.iter = 500, conv.crit = 1e-08, maxls = 1000) 
 
Type: A-model 
Sample size: 82 
Log Likelihood: -246.078 
Method: scoring 
Number of iterations: 37 
 
LR overidentification test: 
 
 LR overidentification 
 
data: Canada 
Chi^2 = 100, df = 6, p-value <2e-16 
 
 
Estimated A matrix: 
 e prod rw U 
e 1.000 0.0000 0.00 3.92 
prod 0.000 1.0000 0.00 0.00 
rw 2.824 0.0000 1.00 0.00 
U 0.000 -0.2179 1.22 1.00 
 
Estimated standard errors for A matrix: 
 e prod rw U 
e 0.0000 0.0000 0.0000 0.3128 
prod 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
rw 0.2023 0.0000 0.0000 0.0000 
U 0.0000 0.1117 0.1006 0.0000 
 
Estimated B matrix: 
 e prod rw U 
e 1 0 0 0 
prod 0 1 0 0 
rw 0 0 1 0 
U 0 0 0 1 
 
Covariance matrix of reduced form residuals (*100): 
 e prod rw U 
e 18.990 -5.887 -20.6649 -3.0860 
prod -5.887 100.000 16.6273 1.5018 
rw -20.665 16.627 65.2550 0.3061 
U -3.086 1.502 0.3061 6.8459 
> Acoef(varcan) 
[[1]] 
 e.l1 prod.l1 rw.l1 U.l1 
e 1.6378206 0.16727167 -0.06311863 0.26558478 
prod -0.1727658 1.15042820 0.05130390 -0.47850131 
rw -0.2688329 -0.08106500 0.89547833 0.01213003 
U -0.5807638 -0.07811707 0.01866214 0.61893150 
 
[[2]] 
 e.l2 prod.l2 rw.l2 U.l2 
e -0.4971338 -0.101650067 0.003844492 0.13268931 
prod 0.3852589 -0.172411873 -0.118851043 1.01591801 
rw 0.3678489 -0.005180947 0.052676565 -0.12770826 
U 0.4098182 0.052116684 0.041801152 -0.07116885