Amostragem Estatística em Controle de Qualidade

Prévia do material em texto

5 - AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA: PLANOS DE AMOSTRAGEM POR 
 ATRIBUTOS E POR VARIÁVEIS
2017 © José Benício Paes Chaves - DTA/UFV
5.1 - Inspeção de Produtos e Processos - Conceitos em Inspeção
por Amostragem
A inspeção 100%, o que poderia ser desejável, é raramente possível na área de ali-
mentos, principalmente por duas razões: primeiro porque a maioria dos testes de qualidade
é destrutiva (destrói a amostra analisada) e segundo por que o seu custo seria proibitivo. As-
sim, a inspeção por amostragem, em muitos casos, torna-se uma necessidade. Uma das
funções do departamento de controle de qualidade é estabelecer procedimentos eficientes
para o manuseio de amostras e, para determinação do número de unidades e a freqüência
de amostragem, de modo que a qualidade possa ser avaliada com um máximo de confiabili-
dade a um custo mínimo. 
A amostragem permite, mediante a análise de uma pequena parte do conjunto ou
lote, extrair conclusões sobre o restante não inspecionado. Assim, uma generalização é efe-
tuada e como tal, está sujeita a um erro. Consequentemente, por amostragem, uma conclu-
são absoluta sobre a qualidade do lote jamais será alcançada, existindo sempre uma taxa de
risco inerente ao plano de amostragem e dependente de seu poder discriminatório.
A inspeção de produtos e processos, por amostragem, é parte conhecida da opera-
ção de controle de qualidade em muitas indústrias de alimentos. Um cronograma de amos-
tragem bem definido pode assegurar a coleta de amostras adequadamente representativas,
para inspeção. 
Todavia, alguns erros são cometidos na interpretação dos dados da inspeção por
amostragem; por exemplo, quando se assume que o valor obtido de uma amostra seja idên-
tico à verdadeira média do lote testado. Mais errôneo ainda é assumir que a unidade testada
seja idêntica a cada unidade de todo o lote.
Essas pressuposições não são admitidas por aqueles que conhecem a variabilidade
inerente de material biológico; eles sabem que os resultados de uma inspeção por amostra-
gem, tornam-se mais representativos do lote, com o aumento do tamanho e freqüência de
amostragem. Isso leva alguns praticantes a aumentar o trabalho de inspeção ao máximo per-
mitido, o que pode se constituir em perda de tempo e de recursos, já que um procedimento
ótimo de inspeção deveria fornecer uma estimativa da qualidade do lote, a um nível mínimo
aceitável de exatidão, a um custo mínimo. Este procedimento ótimo pode ser obtido pela uti-
lização de certos princípios estatísticos.
Terminologia/Conceitos em Inspeção por Amostragem 
Inspeção - Processo de medir, ensaiar, analisar ou examinar unidades de um produto ou
parte de um processo ou de um instrumento, no sentido de verificar se suas características
de qualidade ou de desempenho estão de acordo com as especificações técnicas ou contra-
tuais. Os objetivos da inspeção podem ser resumidos como:
a) separar as unidades de produto aceitáveis das não aceitáveis;
b) avaliar o grau de conformidade ou não-conformidade com os requisitos estabelecidos;
c) fazer chegar, o mais breve possível, aos responsáveis (chefias de produção, gerências,
diretoria ...) os relatórios apontando as deficiências observadas;
d) assegurar que os requisitos de qualidade desejados foram atendidos.
Os critérios de inspeção usados na determinação de atendimento dos requisitos de
qualidade, normalmente estão descritos em documentos apropriados, tais como: descrições
de compras, de projetos, instruções de inspeção, boletins técnicos ou outros documentos si-
milares.
Nota: os lotes de unidades de produto submetidos a uma inspeção específica devem
ser de natureza homogênea, ou seja, as unidades de produto de que são compostos devem
ser do mesmo tipo, grau, classe, tamanho e composição e, devem ter sido fabricados, es-
sencialmente, sob as mesmas condições e dentro de um mesmo período de tempo.
Não-conformidade - Não atendimento a requisitos especificados para qualquer característi-
ca de qualidade estabelecida. A não-conformidade do produto com as características de qua-
lidade requeridas tem sido expressa em termos de "porcentagem defeituosa" (pd), de "defei-
tos por cem unidades" (dcu), de "fração defeituosa na amostra" (p’), de "número de unidades
defeituosas na amostra de tamanho n" (np) e de "número de defeitos por unidade" (c). 
 100 X No. de unidades defeituosas (nud ou d)
Percentagem defeituosa (pd) = ---------------------------------------------------------------
 No. de unidades inspecionadas (nui ou n)
 100 X número de defeitos (nd)
Defeitos por cem unidades (dcu) = ----------------------------------------
 n
Fração defeituosa (p) = d/n
Defeito e Defeituosas - defeito da unidade de produto é a falta de conformidade com qual-
quer dos requisitos especificados, ou seja, é o não atendimento do critério específico de
2
classificação. Defeituosa é a unidade de produto que contém um ou mais defeitos. Uma uni-
dade defeituosa pode conter apenas um ou mais de um defeito. O inspetor é treinado especi-
ficamente para desempenhar sua função em cada situação.
Lote - Formação de Lotes - Tamanhos de Lote - lote é uma quantidade definida de unida-
des de produto em produção ou produzidas sob condições uniformes. Cada lote deve ser
constituído de unidades de produto de um único tipo, grau, classe, forma e composição, fa-
bricados essencialmente, sob as mesmas condições e no mesmo período de tempo. Por ex-
emplo, o lote pode ser formado por turno ou outra forma de definição do período de produ-
ção, a partir de determinada porção “uniforme” de matéria-prima, insumos de produção e
equipe de trabalhadores. Isto é, os produtos são elaborados essencialmente sob as mesmas
condições e no mesmo período de tempo; são codificados de forma apropriada para garantia
de sua identificação e recuperação de sua história, no sentido de possibilitar rastreabilidade,
quando necessária. Este é o conceito do chamado lote de produção. Na formação do lote o
produto deve ser agrupado de forma identificável e pré-estabelecida.
Lote de Inspeção - lote a ser amostrado para verificação de conformidade (ou não-
conformidade) com as exigências de aceitação especificadas. Pode ser definido por regula-
mentos próprios da inspeção oficial e não coincidir necessariamente com o “lote de produ-
ção” ou “lote de despacho”.
Tamanhos de Lote - o lote de inspeção é uma coleção de unidades de produtos da
qual a amostra é retirada e inspecionada para determinar se há conformidade com os critéri-
os de aceitação. O lote de inspeção pode diferir de uma coleção designada como lote ou
partida para outros propósitos, tais como, produção, embarque ou compra. O tamanho do
lote ou partida é um dos fatores determinantes da dimensão da amostragem para fins de ins-
peção.
Lotes grandes: em geral, a relação entre o tamanho da amostra e o tamanho do lote
diminui à medida que o tamanho do lote aumenta. Assim, a formação de lotes de tamanhos
maiores tende a reduzir os custos de inspeção. Lotes pequenos podem ser combinados,
quando as condições de homogeneidade são satisfeitas, para formar um lote maior chamado
“um grande lote”, sendo este então inspecionado por amostragem como se fosse um lote
único;
Lotes pequenos - a formação de lotes muito grandes pode ser indesejável uma vez
que pode criar problemas de custo de armazenagem ou perturbar o fluxo do produto ao con-
sumidor baseado em entregas regulares pré-fixadas, nos casos de haver rejeição. Em lotes
grandes, as dificuldades de acesso a todas as unidades dolote pode dificultar a obtenção de
amostra aleatória. Em certas condições, este problema pode ser minimizado, subdividindo o
lote em sub-lotes para a inspeção por amostragem. 
3
Por exemplo, se o lote representa a produção de uma semana de seis dias, o sub-
lote pode ser constituído da quantidade produzida em um dia e ser amostrado aplicando um
plano simples individualmente, ou fazendo uma única amostragem, baseada no lote total, to-
mando proporcionalmente 1/6 da amostra em cada sub-lote. Os critérios de aceitação/rejei-
ção serão aplicados então, tomando-se como base os resultados de inspeção acumulados
durante a semana.
Amostra - Uma ou mais unidades de produto retiradas do lote com o objetivo de fornecer in-
formações, mediante análise ou inspeção, sobre a conformidade deste lote com as exigênci-
as especificadas. 
Amostra aleatória - é aquela em que os "indivíduos" ou unidades do lote são retiradas ao
acaso e, todas têm a mesma chance de serem selecionadas como amostra. Sob o ponto de
vista de inspeção é a mais importante, uma vez que é a mais representativa do lote.
Amostra tendenciosa - ocorre quando uma parte ou porção do lote tem maior ou menor
probabilidade de ser selecionada como amostra. Na coleta de unidades para inspeção de-
vem ser observados todos os cuidados para se evitar este tipo de amostra. 
Amostra legal - é aquela que tem caráter de prova jurídica para sustentação do litígio cor-
respondente. Destina-se à verificação da qualidade dos alimentos colocados no mercado.
Contra-amostra - é a que se deixa em poder do proprietário da mercadoria, que é tomada
sob as mesmas condições e tamanho da amostra. Assim, a contra-amostra deve apresentar
as mesmas possibilidades de análise da amostra, permitindo uma comparação dos resulta-
dos.
Plano de Amostragem - é o procedimento que determina o número de unidades de produto
a ser inspecionado (tamanho da amostra) e o critério para aceitação do lote. Pelo plano de
amostragem, uma ou mais unidades do lote de inspeção é retirada com o propósito de deci-
dir pela sua aceitação ou rejeição.
Tamanho de Amostra (n) Unidade Amostral ou de Inspeção e Números de Aceitação (c) e
de Rejeição (r) 
O tamanho da amostra (n) em um plano de amostragem se refere ao número de unidades
amostrais que devem ser coletadas aleatoriamente no lote, para serem analisadas ou inspe-
cionadas ou o número de alíquotas (amostras) que devem ser analisadas ou inspecionadas,
4
no caso de “lotes contínuos”;
“Lotes contínuos” - ocorrem quando as unidades de produto apresentadas para inspeção
estão em fluxo contínuo, como numa esteira móvel na linha de produção, por exemplo. 
Unidade Amostral ou Unidade de Produto - são as unidades do produto que compõem o
lote ou a alíquota amostral em lotes contínuos. É o elemento de referência na inspeção - ele
é inspecionado no sentido de ser classificado como conforme ou não-conforme. Em um lote
de produto pré-envasado, cada embalagem representa uma unidade amostral. Assim, a uni-
dade de produto pode ser um artigo simples, um par, uma dúzia, ou qualquer quantidade
preestabelecida. Pode ser uma medida em termos de comprimento, área, volume, massa.
Pode ser matéria-prima ou produto em processo de elaboração. Também podem ser opera-
ções tais como: produção, obtenção, manutenção, limpeza.
Número de Aceitação (c) - é o número máximo de defeitos ou de unidades defeituosas na
amostra de tamanho n que permitirão a aceitação do lote ou partida em inspeção. 
Número de Rejeição (r) - é o menor número de defeitos ou de unidades defeituosas na
amostra de tamanho n que leva à rejeição do lote representado pela amostra.
Exemplo: Se o nível de qualidade de rejeição para fração defeituosa (p’) for fixado em 3%,
então um plano de amostragem de n=12, c=2 e r=3, significa o seguinte:
Coletar aleatoriamente, no lote, 12 unidades e inspecionar, se forem encontradas até duas
unidades defeituosas aceita-se o lote, se forem encontradas 3 ou mais unidades defeituosas,
rejeita-se o lote - como sendo proveniente de uma população de lotes, cuja fração defeituosa
média verdadeira seja de no máximo 3%.
Média de Processo - é a percentagem de defeituosos que normalmente são produzidas
quando o processo pode ser considerado sob controle. Isto é, a média do processo é o limite
de qualidade cuja produção é economicamente viável. É o valor médio do indicador de qua-
lidade (atributo ou variável) quando o processo é considerado estável, do ponto de vista da
qualidade. Para propósitos de inspeção por amostragem, a média do processo pode ser con-
siderada como a percentagem defeituosa média (ou o número médio de defeitos por cem
unidades) estimada a partir dos resultados da inspeção de amostras de pelo menos 10 (dez)
lotes consecutivos, apresentados para "inspeção original".
Nível de Qualidade Aceitável (NQA) - NQA é a percentagem defeituosa máxima (ou o nú-
mero máximo de defeitos por cem unidades - dcu) que, para propósitos de inspeção por
amostragem (por atributos), pode ser considerado satisfatório como média do processo. É o
limite do indicador de qualidade ou de não-conformidade que o comprador está disposto a
aceitar (tolerar). 
5
Isto quer dizer que quando o comprador estabelece um NQA, o fabricante não está
autorizado a deliberadamente fornecer produtos com fração defeituosa. Na verdade se isto
for tentado, o fornecedor correrá sérios riscos de ter uma alta proporção de seus lotes rejei-
tados pelos planos de amostragem. 
Nos planos de amostragem por variáveis, o NQA pode ser definido como um valor li-
mite médio (no lote) da característica de qualidade considerada, expressa em algum tipo
adequado de escala; por exemplo, acidez de no máximo 18 oDornic, teor de sólidos solúveis
ou ºBrix de no mínimo 10, ou contagem total de microrganismos mesófilos aeróbios de no
máximo 104 UFC/g do alimento. 
Quando o comprador determina algum valor específico de NQA para um certo defeito
ou grupo de defeitos, ele/ela está indicando ao fornecedor (fabricante) que seu plano de
amostragem aceitará a grande maioria dos lotes apresentados para inspeção, desde que a
percentagem média de unidades defeituosas do processo, nestes lotes, não seja maior do
que o valor do NQA determinado. O risco do fornecedor em ter lotes de "boa qualidade" rejei-
tados é pequeno. 
Os planos de amostragem são calculados de tal forma que a probabilidade de aceita-
ção (Pa), dado um determinado NQA, depende do tamanho da amostra. Em geral, a Pa é
maior para amostras grandes do que para amostras pequenas. 
O NQA por si só, não garante proteção ao consumidor, para lotes isolados, mas indi-
ca o que poderá ser esperado de uma série contínua de lotes, desde que seja seguido o pro-
cedimento indicado na norma. Há necessidade de consultar a Curva Característica de Ope-
ração (CCO) do plano para se determinar a proteção ao comprador que ele oferece. Há Ta-
belas (ou sistemas) de planos de amostragem (como as da NBR 5426) que são baseadas no
princípio do NQA. A probabilidade de aceitação de lotes de qualidade próxima ao NQA espe-
cificado é sempre muito alta. Esses planos de amostragem são indicados para inspeção de
lotes sucessivos (inspeção contínua por amostragem, para permitir o emprego do princípio
da comutação. Não se aplicam para lotes isolados.
O NQA a ser usado deve ser definido (determinado) no contrato de fornecimento ou
pelo responsável. Pode ocorrer de serem designados diferentes valores de NQA para grupos
de defeitos considerados em conjunto ou para defeitos considerados individualmente. Pode
ser determinado um NQA para um grupo de defeitos, além dos NQA’s para defeitos conside-
rados individualmente.
Se o plano de amostragem é para Pa = 0,95 por exemplo (probabilidade de aceitaçãode 95%), então os lotes provenientes de uma linha de produção cuja média de processo é
menor ou igual ao NQA especificado, serão aceitos pelo menos 95% das vezes. Ou ainda,
95% dos lotes apresentados para inspeção nestas condições, serão aceitos. (Mostrar exem-
plo de interpretação de NQA em uma CCO).
6
Fração Defeituosa Tolerável (FDT) ou Nível de Qualidade Limite (NQL) ou ainda Quali-
dade Limite (QL) - na inspeção por amostragem a FDT (atributos) ou o NQL (variáveis) é o
limite da não-conformidade ou do indicador da qualidade, além do qual o comprador não
aceita. Ou seja, na inspeção por atributos, a FDT é a máxima percentagem defeituosa, além
da qual a qualidade é considerada insatisfatória, para fins de inspeção por amostragem. A
FDT ou o NQL pode ser entendido como o ponto na CCO que fornece o valor da maior fra-
ção defeituosa ou o menor valor do indicador de qualidade que o comprador aceita excepci-
onalmente. Desta forma, os planos de amostragem baseados neste princípio (como os da
NBR 5427) associam uma probabilidade de aceitação muito reduzida para os lotes proveni-
entes de linhas de produção cuja média de processo ultrapassam “negativamente” estes li-
mites.
Os planos de amostragem baseados na FDT ou no NQL são indicados para inspeção
de lotes isolados (produção única ou intermitente com grandes intervalos de tempo) que, em
razão desta circunstância, foram submetidos a pouco ou nenhum controle durante o proces-
so de elaboração ou de fabricação. Eles visam portanto oferecer proteção ao comprador, de
forma mais direta. Não são usados para inspeção contínua de lotes. (Mostrar exemplo de in-
terpretação de FDT ou de NQL em uma CCO).
Risco do Vendedor ou do Fornecedor (Pa) e Risco do Comprador (Pc) - como pode ser
depreendido a partir da interpretação dos conceitos de NQA e de FDT em uma CCO, na ins-
peção por amostragem há sempre dois riscos envolvidos; ou seja, o resultado da inspeção
ou da análise da amostra pode levar à rejeição de um lote bom (que atende às especifica-
ções) - este é o chamado risco do fornecedor (do fabricante ou do vendedor). O risco do
fornecedor de que um lote aceitável seja rejeitado é igual a 1 - Pa. Mas também, há sempre
o risco de aceitação de um lote inadequado (que não atende às especificações) - este é o
chamado risco do comprador ou do consumidor. 
Desta forma, o risco do vendedor ou do fornecedor, quantitativamente, se confunde
com a probabilidade de aceitação (Pa) e pode ser definido como a probabilidade ou freqüên-
cia de aceitação de lotes com determinada fração média tolerável de unidades defeituosas,
em um processo sucessivo de inspeção por amostragem. 
Por exemplo, um plano de amostragem com Pa = 0,95 para lotes com p' = 0,01; sig-
nifica que lotes provenientes de um linha de produção com média de processo de 1% de fra-
ção defeituosa serão aceitos pelo menos 95% das vezes. Ou ainda, pelo menos 95 % dos lo-
tes, nessas condições, seriam aceitos na inspeção por este plano de amostragem. Assim, o
risco do fornecedor (vendedor) pode também ser entendido como a frequência ou probabili-
dade de aceitação de lotes cuja qualidade média corresponde à do NQA.
7
O risco do comprador (consumidor) ou probabilidade de rejeição (Pc) pode ser defini-
do como a probabilidade ou a frequência de rejeição de lotes com determinada fração média
de unidades defeituosas, em um processo sucessivo de inspeção. 
Um plano de amostragem com Pc=0,10 (risco do comprador de 10%) para lotes com
p'=0,03; significa que lotes provenientes de uma linha de produção cuja média de processo
seja de 3% de fração defeituosa, não passarão na inspeção mais do que 10% das vezes, ou
seja serão rejeitados pelo menos 90% das vezes. Assim, o risco do consumidor (comprador)
pode também ser entendido como a frequência ou probabilidade de aceitação de lotes cuja
qualidade média corresponde à do NQL ou da FDT.
Curva Característica de Operação (CCO) - são gráficos que indicam a percentagem de lo-
tes que se espera aceitar, dada a qualidade média do processo, para um dado plano de
amostragem. Para cada plano de amostragem pode-se construir uma CCO, onde a percen-
tagem (probabilidade) de aceitação é plotada no eixo das ordenadas e a qualidade média
verdadeira do lote (fração defeituosa, percentagem de unidades defeituosas ou limite médio
(variável) de determinada característica de qualidade) é plotada no eixo das abscissas. O po-
der de discriminação (de detectar lotes bons ou lotes ruins) do plano de amostragem é evi-
denciado pela CCO.
Desta forma a CCO é útil para demonstrar como um determinado plano de amostra-
gem se comporta para lotes com diferentes valores de qualidade média. Is é feito pela CCO.
Na Figura 1 é apresentado um exemplo de CCO para um plano de amostragem de 2-classes
e a Figura 2 representa a CCO de um plano de amostragem hipotético ideal. 
Figura 1 - Forma geral da CCO para um plano de amostragem n e c, mostrando os 
riscos do fornecedor (α) e do comprador (β).
8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5

P
a
 NQA FDT 
 % p

1
0 1
A análise da Figura 1 é a seguinte: Os lotes provenientes de linhas de produção cuja
média de processo, em termos de %p, sejam iguais ou menores do que o valor do NQA têm
pelo menos (1-α)% de chance de aceitação. Ou ainda, lotes desse tipo têm no máximo α%
de chance de rejeição. Daí o α ser chamado de risco do fornecedor, isto é, a chance de lotes
“bons” serem rejeitados pelo ou com base no plano de amostragem. 
Se α for fixado em 5% e o NQA em p=0,02; ou seja 2% de unidades não-conformes (defeitu-
osas), então os lotes provenientes de linhas de produção cuja média do processo seja igual
ou menor de que 2% de unidades não conformes têm pelo menos 95% de chance de aceita-
ção. Isto pode ser afirmado de outra forma: Pelo menos 95% dos lotes provenientes de li-
nhas de produção cuja média de processo seja igual ou menor do que 2% de unidades não
conformes serão aceitos pelo ou com base no plano de amostragem. Ou ainda, lotes deste
tipo têm no máximo 5% de chance de rejeição.
Ainda, analisando a CCO da Figura 1 observa-se que no máximo β% dos lotes provenientes
de linhas de produção cuja média de processo é maior ou igual ao valor da FDT serão acei-
tos. Se o β for fixado em 10% e a FDT em p=0,03; ou seja FDT igual a 3% de unidades não-
conformes, então os lotes provenientes de linhas de produção cuja média do processo seja
igual ou maior do que 3% de unidades não conformes têm no máximo 10% de chance de
aceitação. Afirmando de outra forma, a expectativa de aceitação de lotes de qualidade igual
ou pior do que a FDT é de no máximo 10%. A Figura 2 é um esquema de CCO de um plano
de amostragem ideal, ou seja, aceitaria 100% dos lotes bons e rejeitaria 100% dos lotes ina-
dequados. É evidente que tal plano exigiria a análise de todos os elementos que compõem o
lote.
Figura 2 - Curva característica de operação para um plano de amostragem 
 ideal para p = 3%. 
 
Outro ponto a ser considerado é que, ao contrário de uma crença geral, o tamanho
da amostra (n) e o número de aceitação (c), independente do tamanho lote, é que são os pa-
9
Pa
1
0
 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
 p
râmetros decisivos para aceitação ou rejeição de lotes contendo qualquer valor médio de
percentagem defeituosa. As CCO’s mostradas na Figura 3 ilustram bem este fato. Como se
observa são CCO’s para um plano de amostragem de n=10 e c=1, para diferentes tama-
nhos de lote N. As sete curvas se encontram muito próximas umas das outras, independente
do tamanho do lote. Por exemplo, uma amostra de 10 unidades de um lote contendo um nú-
mero muito grande (5000)de unidades oferece praticamente a mesma proteção de uma
amostra de 10 unidades proveniente de um lote de 50 unidades. Portanto, do ponto de vista
estatístico, o tamanho do lote N, não é necessário para se dimensionar o tamanho da amos-
tra. 
Figura 3 – CCO’s para o plano de amostragem de 2-classes, n = 10 e c =1 e diferentes tama-
nhos de lotes, PAIVA (2000).
Entretanto, deve-se considerar que há fatores econômicos tais como tempo e custo
da amostragem e inspeção (análise) que precisam ser levados em conta em relação ao ta-
manho do lote. Se o teste é destrutivo o fator custo se torna ainda mais importante e geral-
mente leva a uma análise do equilíbrio entre riscos, tamanho da amostra e Nível de Qualida-
de aceitável (NQA). Este é um problema presente em grande parte da inspeção de alimentos
e produtos relacionados. Ou seja, nestes produtos a porção analisada (inspecionada) é con-
sumida (destruída) pelos procedimentos do teste ou se tornam impróprias para uso como ali-
mento. Assim, o tamanho da amostra tem que ser limitado, independente de conseqüências
estatísticas. 
10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a
N=50 N=100 N=200 N=500
N=1000 N=2000 N=5000
A Figura 4 é um esquema de curvas características de operação (CCO’s) de um pla-
no de amostragem representando 10% do tamanho do lote e o número de aceitação c = 1.
Observa-se que o rigor da inspeção é diferente, dependendo do tamanho do lote. Ao utilizar
este procedimento, os lotes com tamanhos diferentes e mesma fração defeituosa (p) terão
níveis de inspeção variados. Na Figura 4, observa-se que lotes com 5% de unidades não-
conformes (p=0,05) seriam aceitos 92% das vezes se N=100; 74% das vezes se N=200;
26% das vezes se N=500 e 3% das vezes se N=1000. Além de ser um plano de amostragem
com um desempenho diferente para cada tamanho de lote, ele seria inexequível para lotes
de tamanhos maiores, pois exigiria a análise de amostras muito grandes. Isto mostra que é
incorreto utilizar uma fração ou percentagem do lote para definir o tamanho da amostra.
Figura 4 – CCO’s para o plano de amostragem de 2-classes com n = 10% de N e c = 1 (PAIVA, 2000).
O efeito de n (tamanho da amostra) no desempenho de planos de amostragem de
2-classes, utilizando-se a distribuição binomial, é mostrado na Figura 5. Para cada gráfico
têm-se as CCO’s, com a Pa em função da fração defeituosa (p), para um dado número de
aceitação (c) e os tamanhos de amostras n = 5, 10 ou 20. O mesmo esquema foi adotado
para mostrar o efeito de c na Pa, como se verifica na Figura 6, em que, para cada gráfico, as
CCO’s foram determinadas para c = 0, 1, 2 e 3, mantendo-se constantes os demais fatores
da distribuição (p e n). 
Ao analisar s Figuras 5 e 6, observa-se que quanto à forma da CCO, os planos de
amostragem com número de aceitação c = 0 determinam uma hipérbole, e para valores dife-
rentes de zero (c = 1, 2 e 3), a CCO determina uma curva com dois pontos de inflexão.
Quanto ao efeito destes fatores, observa-se que quanto maior o valor de n, mais ri-
goroso será o plano de amostragem, ou seja, melhor é o desempenho do plano para discri-
11
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
p
P
a
N=100 e n=10 N=200 e n=20
N=500 e n=50 N=1000 e n=100
minar entre lotes bons e ruins, considerando-se o valor de c adotado (Figura 5). Portanto,
menor é a Pa do lote a um dado p. Por outro lado, o c exerce efeito contrário. Quanto maior
o valor de c, para um dado n, mais flexível será o plano de amostragem, ou seja, maior será
a Pa do lote a um dado valor de p (Figura 6).
Figura 5 – CCO’s para planos de amostragem de 2-classes, mostrando o efeito do tamanho 
da amostra (n) sobre a probabilidade de aceitação (Pa), em função da fração 
defeituosa (p) no lote, para um determinado número de aceitação (c), PAIVA, 
2000. 
12
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(c
 =
 0
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(c
 =
 1
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(c
 =
 2
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
Pa
 (c
 =
 3
) 
n = 5 n = 10 n = 20
Figura 6 – CCO’s para planos de amostragem de 2-classes, mostrando o efeito do número 
de aceitação (c) sobre a probabilidade de aceitação (Pa), em função da fração 
defeituosa (p) no lote, para um determinado tamanho de amostra (n), PAIVA, 
2000.
13
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(n
 =
 5
)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(n
 =
 1
0)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
p
P
a 
(n
 =
 2
0)
c=3 c=2 c=1 c=0
Níveis de Inspeção - o nível de inspeção fixa a relação entre o tamanho do lote e o tama-
nho da amostra. O nível de inspeção a ser usado para um requisito particular será prescrito
pelo responsável pela inspeção. Nos planos de amostragem pré-estabelecidos, como os da
NBR 5426 (amostragem por atributos), são fornecidas Tabelas para sete níveis de inspeção.
Três níveis de inspeção: I, II e III são dados para uso geral. 
Salvo indicação em contrário, será sempre adotada a inspeção nível II. O nível I po-
derá ser adotado quando for necessária menor discriminação. Caso contrário, se maior dis-
criminação for necessária, o nível III será utilizado. Também são fornecidas Tabelas para
quatro níveis especiais de inspeção: S-1, S-2, S-3 e S-4, que poderão ser adotados quando
forem necessários tamanhos de amostras relativamente pequenos e onde possam ou devem
ser tolerados grandes riscos de amostragem. A disponibilidade destes sete níveis de inspe-
ção da NB 5426 permite ao usuário equilibrar o custo de inspeção e a proteção da qualidade
requerida.
Os níveis gerais de inspeção de I a III são em geral usados em inspeção do tipo não
destrutiva. Os níveis especiais de inspeção de S-1 a S-4 são comumente usados em inspe-
ções tipicamente destrutivas ou de custo elevado, em que são adequados pequenos tama-
nhos de amostra. Os níveis S-1 a S-4 podem, também, ser considerados adequados quan-
do os produtos provêm de processos repetitivos.
Antes de se especificar o nível de inspeção deve-se fazer uma análise detalhada de
alguns fatores, no sentido de melhorar a relação custo-risco. Esta análise deve incluir mas
não se limitar a fatores tais como:
a) as curvas características de operação (CCO) para avaliar o desempenho dos vários pla-
nos;
b) o risco do fornecedor e a discriminação oferecida pelos vários níveis de inspeção;
c) conhecimento do processo de produção, sua capacidade e desempenho histórico da
qualidade dos produtos;
d) complexidade do item;
e) o custo e a importância do exame ou análise, principalmente quando a análise for cara,
demorada e de caráter destrutivo;
f) a importância das diversas características de qualidade que estão sendo examinadas - a
gravidade das falhas geradas em casos de não conformidade;
g) análise do risco do consumidor.
O poder discriminatório (rigor) dos planos de amostragem aumenta do nível S-1 para
S-4 e de do nível I para o III. As Figura 5 e 6 representam este fato para vários planos de
amostragem. Para um valor de n constante, o aumento do número de aceitação resulta em
14
aumento da probabilidade de aceitação de um lote de produto com a mesma qualidade mé-
dia (isto eqüivale a situação de se mudar de inspeção severa para normal ou para atenuada,
no mesmo nível de inspeção). Por outro lado, para um valor constante do número de aceita-
ção, o aumento do tamanho da amostra n, torna a declividade da CCO mais acentuada, au-mentando o rigor (poder discriminatório) da inspeção, ou seja, diminuindo a probabilidade de
aceitação de um lote de mesma qualidade média.
Regime de Inspeção - este aspecto refere-se ao grau de risco que o comprador está dis-
posto a assumir na inspeção por amostragem. A maioria dos planos de amostragem estabe-
lece três graus de severidade de inspeção: severa, normal e atenuada. Estes graus de seve-
ridade são aplicáveis aos planos de amostragem tanto por atributos quanto por variáveis. 
Inspeção normal - é utilizada quando não há evidência de que a qualidade do produto em
questão seja melhor ou pior do que o nível de qualidade especificado. É geralmente posta
em prática no início do processo de inspeção por amostragem, sendo continuada enquanto
perdurar a evidência de que a qualidade do produto está de acordo com as exigências espe-
cificadas. A inspeção severa é instituída de acordo com normas específicas, quando se tor-
na evidente que a qualidade do produto, durante o processo sucessivo de inspeção, está se
deteriorando. A inspeção atenuada pode ser instituída de acordo com procedimentos estabe-
lecidos em normas específicas, quando se torna evidente que a qualidade do produto, du-
rante o processo sucessivo de inspeção, foi melhorada. 
Ao se iniciar um procedimento de inspeção deve ser empregada a inspeção normal,
salvo determinação em contrário.
Inspeção severa - a inspeção severa utiliza o mesmo nível de qualidade que a inspeção
normal, mas requer maior severidade no critério de aceitação. Isto é geralmente conseguido,
determinado-se um número de aceitação (c) menor para o mesmo tamanho de amostra. No
caso de evidente melhoria na qualidade do produto, é permitido o retorno à inspeção normal,
de acordo com procedimentos estabelecidos em normas específicas. 
Inspeção atenuada - a inspeção atenuada utiliza um nível de qualidade similar ao da inspe-
ção normal, porém requer amostra menor para inspeção. As exigências, ao se efetuar a co-
mutação de inspeção normal para atenuada, são mais rigorosas do que ao se mudar de ins-
peção normal para severa. Um resumo histórico da qualidade do produto é essencial para
decisão de uma possível comutação de inspeção normal para atenuada. A comutação de
inspeção normal para severa é geralmente, obrigatória, sendo que a transferência de normal
para atenuada é permissível, sob certas condições. Quando a qualidade do produto, durante
15
um processo sucessivo de inspeção, evidencia sinais de deterioração, a transferência de ins-
peção atenuada para normal torna-se obrigatória. 
 Sistema de Comutação 
a) Normal para Severa: quando a inspeção normal estiver sendo aplicada, será necessário
passar para inspeção severa, se dentre 5 (cinco) lotes consecutivos, 2 (dois) tiverem
sido rejeitados na inspeção original (Não serão computados para este item os lotes rea-
presentados para inspeção);
a) Severa para normal: quando estiver sendo utilizada a inspeção severa, a normal só de-
verá substituí-la, se 5 (cinco) lotes consecutivos tiverem sido aprovados em inspeção ori-
ginal;
a) Normal para atenuada: quando estiver sendo utilizada a inspeção normal, pode-se pas-
sar para inspeção atenuada se todas as condições a seguir forem satisfeitas:
.os 10 (dez) lotes precedentes tenham sido submetidos à inspeção normal e nenhum tenha
sido rejeitado;
.a percentagem defeituosa estimada para cada um dos 10 (dez) lotes precedentes, submeti-
dos à inspeção normal e não rejeitados for igual ou menor que o limite dado em Tabelas
apropriadas de "limites da percentagem defeituosa estimada do lote" Tabela 17 da NBR
5426 - se amostragem dupla ou múltipla estiver sendo aplicada será computado o número
total de unidades defeituosas encontrado em todas as amostras, para efeito de comparação
com os números previstos na Tabela 17 da NBR 5426;
.a produção se desenvolve com regularidade;
.a inspeção atenuada é considerada apropriada pelo responsável.
d) Atenuada para normal: estando em aplicação a inspeção atenuada, deve-se passar para
a normal, se qualquer uma das situações mencionadas a seguir for observada:
.o lote for rejeitado;
.o lote foi aprovado mas excedeu o limite dado em Tabelas apropriadas de "limites da per-
centagem defeituosa estimada do lote", Tabela 17 da NBR 5426 ou ocorreu d (número de
defeituosas) acima do número de aceitação, mas abaixo do número de rejeição;
.a produção tornou-se irregular;
.há ocorrência de condições adversas que justificam a mudança para inspeção normal.
Interrupção da Inspeção - todos os procedimentos de amostragem devem prever situações
em que a inspeção por amostragem deve ser interrompida. Se eventualmente 10 (dez) lotes
(ou outro número de lotes, a critério do responsável) permanecerem em regime de inspeção
severa, recomenda-se interromper a inspeção efetuada sob as diretrizes da norma, até que
16
sejam adotadas providências para aprimoramento da qualidade do produto.
Seleção do Nível de Qualidade - as situações que requerem inspeção por amostragem são
variadas. Por esta razão há uma grande variedade de planos de amostragem; alguns prote-
gem mais o fornecedor no sentido de ser evitada a rejeição de produtos cuja qualidade é sa-
tisfatória (NQA); outros privilegiam a proteção do comprador (consumidor), evitando que lo-
tes de “baixa qualidade” sejam facilmente aceitos (FDT ou NQL ou ainda LQMR). Há ainda
os planos de amostragem baseados no Nível de Qualidade Indiferente (NQI), oferecendo ris-
cos iguais para o fornecedor e para o comprador. Os três níveis de qualidade podem, facil-
mente serem combinados, dois a dois, associados aos respectivos riscos do comprador e do
vendedor (fornecedor). 
Assim, um plano de amostragem pode ser desenvolvido de modo a assegurar ao for-
necedor que os produtos com um dado nível satisfatório de qualidade (NQA) terão uma pro-
babilidade muito pequena de ser rejeitado (baixo risco para o fornecedor) e, ao mesmo tem-
po, assegurar ao comprador uma baixa probabilidade de aceitação, estando a qualidade mé-
dia do produto recebido abaixo de um determinado nível (FDT ou NQL), conseqüentemente
um baixo risco para o comprador. Para que tais planos sejam práticos deve haver uma dife-
rença razoável entre os valores de NQA e de FDT envolvidos – para efeito de exemplo, ní-
veis de 1% para NQA e de 6,5% para FDT são típicos.
Se os dois níveis (NQA e FDT) forem muito próximos entre eles o tamanho da amos-
tra aumenta muito, podendo até chegar à necessidade de inspeção 100%. Este seria o preço
a se pagar ao se buscar o rigor descrito no parágrafo anterior.
A seleção de um valor para o nível de qualidade depende da análise de diversos fato-
res, entre os quais se destacam: exigências do projeto, proteção necessária da qualidade,
custo do produto, custo da inspeção, capacidade do processo, tipos de defeitos, dados dis-
poníveis (histórico) da qualidade do produto...
Limitações da Inspeção por Amostragem - a primeira consideração a ser feita ao se deci-
dir pela inspeção por amostragem para uma característica de qualidade particular é - “qual
deverá ser o resultado da passagem de um defeito?” Se o defeito é de tal natureza que pos-
sa causar uma falha de segurança, resultar em grandes perdas, resultar numa eficiência
operacional muito baixa ou acarretar reparações onerosas - a conclusão lógica é de NÃO
usar a inspeção por amostragem para aceitação/rejeição e concentrar o esforço em sistema
dinâmico (preventivo) para a garantia da qualidade. 
17
5.2 - Tipos de Planos Amostragem 
Os sistemas de amostragem podem ser agrupados em quatro tipos básicos: simples,
dupla, múltipla e seqüencial. A utilização de qualquer um destes sistemas, normalmente re-
quer o agrupamento da produção em lotes ou partidas, os quais serãoaceitos ou rejeitados,
dependendo dos resultados da inspeção por amostragem. Quanto ao tipo de inspeção a ser
realizada ela pode ser por atributos ou por variáveis.
5.2.1 - Atributos e Variáveis 
A inspeção por atributos consiste em classificar as unidades de um produto simples-
mente como aceitáveis ou inaceitáveis, com base na presença ou ausência de uma determi-
nada característica qualitativa, em cada unidade inspecionada de produto do lote ou amos-
tra. Os resultados da inspeção por atributos são expressos em termos de: passa/não-passa,
defeituosa/perfeita, dentro ou fora de tolerância ou completo/incompleto. Na linguagem do
controle estatístico os resultados da inspeção por atributos seguem distribuições de variáveis
aleatórias discretas, como as de Poisson e Binomial. 
A inspeção por atributos é mais frequentemente utilizada para exames visuais de uni-
dades de produto, em verificação de desempenho de operações, defeitos de mão-de-obra,
dimensões erradas, deformações em materiais e embalagens, como manchas, trincas, dife-
renças na tonalidade de cor. É normalmente mais simples e mais rápida que a inspeção por
variáveis, sendo portanto de menor custo. Mas também pode ser a avaliação da qualidade
microbiológica, como por exemplo, unidades de produto contaminadas com Salmonella entre
certo número de unidades analisadas. Entretanto, os planos de amostragem por atributos re-
querem sempre maior tamanho de amostra (n) do que os planos por variáveis.
Os planos de atributos são estabelecidos com o objetivo de detectar a proporção de
unidades amostradas que deixam de atender a um padrão ou critério pré-fixado. Portanto,
nesse tipo de plano aplica-se o conceito de “passa ou não passa”. 
A inspeção por variável é aquela em que as características (indicadores) de qualida-
de, mensuráveis, da unidade do produto são analisadas e os seus resultados são expressos
por meio de alguma escala numérica contínua. Isto é, enquanto os atributos assumem valo-
res do conjunto dos números inteiros, as variáveis assumem valores do conjunto dos núme-
ros reais. Esta inspeção registra o grau de conformidade (ou não conformidade) da unidade
de produto com os requisitos especificados, para a característica de qualidade considerada
e, servem para a determinação de níveis de qualidade. Medidas como as de pH, acidez titu-
lável, teor de sólidos solúveis (º Brix), teor de gordura, de resíduos de defensivos agrícola,
medidas objetivas de dimensões de cor e de textura, entre outras, são do tipo de variável. 
Há situações no monitoramento da qualidade em que características que são variá-
veis podem ser controladas como atributos, embora o inverso não seja possível. Assim,
18
quando se fixa um limite de tolerância para um determinado tipo de contagem microbiana no
produto alimentício (UFC/g ou ml) ou o teor de sólidos solúveis de determinada matéria-pri-
ma, como critério para aceitação/rejeição, está-se efetuando esta conversão. Desta forma,
todos os itens examinados serão avaliados em termos de “passa/não-passa”, em compara-
ção com aquele critério de decisão.
Na comparação entre os dois tipos de planos de amostragem pode-se chegar a algu-
mas conclusões:
a) Pela inspeção do mesmo número de amostras (mesmo esforço analítico), os planos por
variáveis geralmente fornecem maiores níveis probabilísticos do os por atributos. Isto é,
permitem uma definição num determinado nível probabilístico ainda que com a inspeção
de menor tamanho de amostras.
b) A aplicação dos planos por variáveis exige o conhecimento da distribuição dos valores da
característica de qualidade em estudo. No caso de microrganismos em alimentos, esta
distribuição nem sempre é conhecida.
c) A inspeção por atributos é mais simples, um vez que requer um registro menos detalhado
que no caso das variáveis. O custo da inspeção por unidade de produto é baixo e ela é
menos complicada.
d) O controle por variável fornece maior número de informações sobre a amostra do que o
controle por atributos.
5.2.2 - Amostragem simples: é quando os resultados da inspeção de uma única amostra
(amostra simples) de um lote de inspeção são suficientes (conclusivos) na determinação da
aceitação ou rejeição do lote. O número de unidades inspecionadas deve ser igual ao tama-
nho da amostra indicado no plano de amostragem, sendo normalmente designado por n. Se
o número de unidades defeituosas (d) encontrados na amostra for igual ou menor que o nú-
mero de aceitação "c", o lote ou partida é considerado aceito e, se o número de defeituosas
(d) for igual ou maior do que o número de rejeição "r", o lote será considerado rejeitado. 
Exemplo: Para NQA = 0,03 (fração defeituosa); n=20; c=4. Coletar 20 unidades em cada
lote e analisar, se forem encontradas até 4 unidades defeituosas (d=4), aceita-se o lote; caso
contrário, isto é, se forem encontradas mais de quatro das 20 unidades defeituosas, rejeita-
se o lote, como sendo proveniente de uma população de lotes cuja fração defeituosa seja de
no máximo 3%. 
5.2.3 - Amostragem dupla: a amostra é dividida em duas subamostras. Coleta-se aleato-
riamente a primeira subamostra de n1 unidades e faz-se a sua inspeção (análise), anotando-
se o número de unidades defeituosas (d1). Se d1 for igual ou menor do que a1, aceita-se o
lote; se d1 for igual ou maior do que r1, rejeita-se o lote; se d1 for maior do que a1, mas menor
19
do que r1, então coleta-se aleatoriamente a segunda subamostra de n2 unidades e faz-se a
sua inspeção, anotando o número de defeituosas d2. Se d=d1 + d2 for menor ou igual a a2,
aceita-se o lote; se d for maior ou igual a r2, rejeita-se o lote. 
A grande vantagem da amostragem dupla, em relação a amostragem simples, é a
possibilidade de tomada de decisão, com menor trabalho de inspeção, isto é, apenas com a
primeira subamostra. 
Exemplo de um plano de amostragem dupla (descrever a interpretação):
ni n ai rj
20 20 3 6
20 40 6 7
5.2.4 - Amostragem múltipla - é uma extensão da amostragem dupla, com a possibilida-
de de mais de duas subamostragens. Sua grande vantagem é também a possibilidade de to-
mada de decisão (aceitar ou rejeitar o lote) com menor trabalho de amostragem e inspeção,
já que menor número de unidades amostrais seriam trabalhadas, quando a decisão for toma-
da nas primeiras subamostras, reduzindo assim o custo da inspeção. Entretanto, tanto na
amostragem dupla quanto na múltipla, esta vantagem desaparece, se o processo de inspe-
ção se estender até a última subamostra, para tomada de decisão; já que o tamanho da
amostra inspecionada nestes casos seria maior do que aquela requerida pela amostragem
simples, para o caso. 
5.3 - Planos de Amostragem de 2-classes e de 3-classes
Outro conjunto de planos de amostragem que tem sido recomendado, principalmente
na avaliação da qualidade microbiológica, em algumas situações especiais como quando
não há risco direto (contagem de mesófilos aeróbios) são os chamados planos de 3-classes.
Nos planos de 2-classes o produto é classificado como aceitável ou inaceitável, em
função de um valor ou índice microbiológico estabelecido como critério de aceitação ou de
rejeição (valor normalmente representado por m). Nos planos de 3-classes o produto alimen-
tício pode ser enquadrado em três classes (situações) em função das contagens microbioló-
gicas que ele venha a apresentar: inteiramente aceitável (contagens m); de qualidade mar-
ginal (contagens entre m e M) e inaceitável (contagens > M).
Planos de 2-classes Planos de 3-classes
Aceitável m Inaceitável Aceitável m Marginal M Inaceitável
c = nº. de unidades amostraisc = nº. de unidades amostrais toleradas
toleradas com contagens > m . com contagens na faixa marginal.
20
Nos planos de 2-classes os lotes são considerados como tendo duas frações ou pro-
porções de itens: a proporção de itens de produto conforme, que atendem a especificação e
a proporção de itens não conformes, que não atendem à especificação, denominada de fra-
ção defeituosa (p). Nos planos de 3-classes os lotes são considerados como tendo três fra-
ções ou proporções de itens: a proporção de itens de produto completamente conforme, de
boa qualidade (p0) que atendem perfeitamente a especificação; uma proporção (pm) de itens
de qualidade marginal (contagens microbiológicas entre m e M) e o restante de itens de qua-
lidade defeituosa ou inaceitável (pd).
Os planos de 3-classes têm sido recomendados apenas nos casos de microrganis-
mos que não oferecem riscos diretos e extensos ao consumidor. Para os patógenos de maior
importância para a saúde pública, sua presença não deve ser tolerada no alimento; nestas
condições c = 0 e, consequentemente, apenas os planos de 2-classes são empregados.
A Figura 7 ilustra o efeito, dentro de um lote, de várias distribuições de frequência do nível de
contagem microbiana sobre a localização de m e M para os planos de 3-classes. A curva I
representa um lote com qualidade totalmente satisfatória, com uma população microbiana
reduzida e pequena variabilidade, sem exceder o limite m. A curva II mostra um lote com ní-
vel de contagem média similar à I, entretanto, apresenta maior variação, e pequena propor-
ção das unidades de amostra excedeu o limite m. A curva III mostra um lote com alto nível de
contaminação e grande variação, em que grande proporção do lote encontrava-se na faixa
marginalmente aceitável e pequena proporção está acima do limite inaceitável M. Assim,
este lote seria provavelmente rejeitado. O lote representado pela curva IV seria sempre rejei-
tado, uma vez que todas as unidades de amostras superaram o limite inaceitável M (ICMSF,
1982).
21
 m M
Freqüência relativa de 
unidades de amostras no lote
Contagem (UFC/g ou mL)
I
I
I
III
IV
Figura 7 - Distribuição de microrganismos dentro do lote e limites microbiológicos (M e m) 
para planos de 3-classes. Fonte: ICMSF (1982).
 
Exemplos de planos de amostragem de 3-classes para alguns produtos, exigidos pela RDC 
12/2001 da ANVISA_MS_Brasil.
 Categoria Método de 
Produto Microrganismo Critério Aceitação ICMSF Análise
Queijos de baixa Coliformes/g FIL 73 A:
Umidade (45ºC) n=5 c=2 m=200 M=1000 5 1985
 Estafilococos
 Coag. Pos/g n=5 c=2 m=100 M=1000 5
 Salmonella sp/25g n=5 c= 0 Aus -
Queijo ralado Estafilococos FIL 145:
 coag. pos/g n=5 c=2 m=100 M=1000 5 1990
 Fungos e FIL 94B:
 Leveduras/g n=5 c=2 m=500 M=5000 2 1990
A Figura 8 é um esquema explicativo para escolha do tipo de plano de amostragem.
O MICRORGANISMO DE INTERESSE É MEDIDO POR:
MÉTODOS DE MÉTODOS DE CONTAGEM
PRESENÇA OU
AUSÊNCIA (+/-)
 PREFERENCIALMENTE
PLANOS DE PLANOS DE 3-CLASSES
2-CLASSES
PARA DETERMINAR PARA DETERMINAR Pa
Pa USAR AS TABELAS USAR TABELA ESPECÍFICA
NORMAIS BASEADAS BASEADA EM n, c, Pd, Pm
EM n, c, Pd
Figura 8 – Escolha entre os planos de 2-classes e de 3-classes.
22
5.4 - Desenvolvimento de Planos de Amostragem Simples por Atributos
5.4.1 - Considerações Gerais
As Tabelas dos sistemas se amostragem como as das normas NBR 5426 ou NBR
5429, sem prejuízo de outras disponíveis na literatura especializada, são muito úteis e, fre-
quentemente fornecem um plano de amostragem pronto ao operador de controle de qualida-
de, que atende às suas necessidades. Entretanto, na prática do dia a dia podem ocorrer situ-
ações em que nenhum plano preestabelecido atende a uma determinada condição, sendo,
portanto, necessário o desenvolvimento de um plano de amostragem, para atender a um
caso particular. 
A estatística dispõe de várias distribuições teóricas de variável aleatória discreta. Os
planos de amostragem por atributos são normalmente baseados em uma das três seguintes
distribuições teóricas de frequência: Hipergeométrica, Binomial ou de Poisson. A exceção
dos casos de lotes muito pequenos ou de proporção defeituosa muito grande (acima de
10%), a aproximação Binomial da distribuição de Poisson é inteiramente satisfatória, como
base para o desenvolvimento de planos de amostragem por atributos. Por esta razão este tó-
pico será discutido por meio da utilização de alguns exemplos, aplicando a distribuição de
Poisson. 
A seguir apresenta-se um resumo das três distribuições de variável aleatória discreta
acima citadas.
A distribuição hipergeométrica é aplicável em planos de amostragem por atributos para
lotes de tamanho finito, sem recolocar a amostra analisada no lote. As equações para a fun-
ção de probabilidade P(x) e função de distribuição acumulada F(x) são:
 N = tamanho do lote;
 n = tamanho da amostra, n = 0, 1, ..., N;
 p = fração de unidades defeituosas no lote, 0 < p < 1;
 q = fração de unidades não-defeituosas no lote, q = 1 - p; e
 x = número de ocorrências ou unidade de amostras defeituosas, xi =0, 1, 2, ..., n.
Uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica é, portanto, descrita pelos
parâmetros N, p e n. Para a distribuição hipergeométrica, a média e o desvio-padrão são de-
terminados pelas equações:
23
n
xn-
NqNp
N
x
C
CC
P(x)x)P(X 

xix
i
)f(xx)P(XF(x)
A distribuição binomial é uma das mais usadas em amostragem de aceitação/re-
jeição, pois complementa a distribuição hipergeométrica e é empregada para lotes ou pro-
cesso de tamanho infinito ou para lotes de tamanho finito, em que a amostra analisada é re-
colocada no lote. As equações para a função de probabilidade P(x) e função de distribuição
acumulada, pela binomial, F(x) são:
 n = tamanho da amostra, n > 0;
 p = fração de unidades defeituosas no lote, 0 < p < 1;
 q = fração de unidades não-defeituosas no lote, q = 1 - p; e
 x = número de ocorrências, xi = 0, 1, ..., n.
Os dados de uma amostra podem ser descritos através de uma distribuição binomial quando
satisfeitas as seguintes condições:
 há dois possíveis resultados por julgamento. Ex.: conforme vs não-conforme, acima
ou abaixo do padrão, entre outros.
 a proporção de defeituosos (p) no lote é constante, para um determinado tipo de re-
sultado, por exemplo, parte não-conforme; 
 independência dos julgamentos: cada julgamento é independente do resultado ante-
rior; e
 a partir da amostra n, deseja-se obter o número de observações que produzem o
tipo de ocorrência em questão.Nestas condições, uma variável aleatória tem distribuição binomial com parâmetros
n e p, isto é, X~B(n,p).
Para a distribuição binomial, a média e o desvio-padrão são determinados pelas
equações:
A distribuição de Poisson é muito usada em controle estatístico da qualidade para desen-
volvimento de planos de amostragem e para análise da contagem de defeitos nas unidades
de amostras. São condições para aplicação da distribuição de Poisson aos dados:
24

xx ii
)P(xx)P(XF(x)
xnxqpCP(x)x)P(X xn


npq
np




1N
nN
npqσ
np




 o número c de defeitos, adequadamente definido, a ser determinado no lote, em que
a distribuição permita igual oportunidade de ocorrência;
 os defeitos ocorrem independentemente; e
 o número máximo possível de defeitos na amostra é muito maior do que a média. 
As equações para a função de probabilidade P(x) e função de distribuição acumula-
da, por Poisson, F(x) são:

 λ é o número médio de defeitos, sendo λ = np;
 n = tamanho da amostra , n > 0;
 p = fração de unidades defeituosas no lote, 0 < p < 1; e
 x = número de ocorrências, xi = 0, 1, ..., n.
O parâmetro λ define uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Portanto, co-
nhecendo λ, pode-se encontrar a probabilidade para a ocorrência de qualquer número de de-
feitos. Sendo a média e o desvio-padrão para distribuição de Poisson assim representados:
 
5.4.2 - Desenvolvimento de Planos de Amostragem Simples por 
 Atributos Utilizando a Distribuição de Poisson 
Para o preparo dos planos de amostragem e das CCO que os descrevem, utiliza-se a
Tabela 27 (soma dos termos do limite binomial da distribuição de Poisson). Qualquer plano
de amostragem deve ter o tamanho do lote (N), do qual a amostra deve ser retirada, o tama-
nho da amostra (n), o número máximo aceitável de defeitos em uma amostra (c ou número
de aceitação) e o número de rejeição r. 
Também necessitam ser especificados "a priori" o risco do vendedor (Pa) e o risco do
comprador (Pc). Neste processo de desenvolvimento do plano de amostragem, o tamanho N
do lote não é levado em consideração. Sua influência está na decisão de se utilizar ou não a
distribuição de Poisson e no estabelecimento dos riscos do vendedor (Pa) e do comprador
(Pc). Por exemplo, se o tamanho do lote é 100, com um valor de CR$ 100.000,00 um risco
do comprador de 3% pode ser adequado, mas se o tamanho do lote é de N=1.000.000, com
um valor de Cr$ 10.000.000,00 o comprador pode desejar reduzir este risco para 1%, au-
mentando substancialmente o tamanho da amostra.
Exemplo 1. Lotes de N=1.000 garrafas de suco de maracujá têm fração defeituosa p’=0,04.
Calcular as probabilidades de aceitação (Pa) e de rejeição (Pc) de lotes, com amostras de
25

xx ii
)P(xx)P(XF(x)
x!
e
P(x)x)P(X
x


λσ
λμ


n=50 garrafas e c (número de aceitação) sucessivamente igual a 2, 3 ou 5. Utilize a função
de distribuição de Poisson, f(x) = e-m mX/X!, em que m = np’ = 50(0,04) = 2.
Solução. Para c=2, a Pa será dada por f(X 2), ou seja, a probabilidade de ocorrer até duas
unidades defeituosas numa amostra de 50 unidades. A Pc será dada por Pc = 1 - Pa.
Para c=2, f(X 2) = f(X=0) + f(X=1) + f(X=2)
 f(X 2) = e-2 20/0! + e-2 21/1! + e-2 22/2! 
 f(X 2) = e-2 + 2 . e-2 + 2 . e-2 = 5 . e-2 = 0,6767
 f(X 2) = 0,6767 ou 67,67%
Este valor de Pa pode ser obtido diretamente da Tabela 27, entrando na linha de np'= 2 e na
coluna de c = 2. 
Pc = 1 - Pa = 1 - 0,6767 = 0,3233 ou 32,33%
Assim, para c = 2 e n = 50 garrafas, a probabilidade de aceitação dos lotes é de 67,67% e a
probabilidade de rejeição de lotes é de 32,33%.
Para c = 3, f(X 3) = f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3)
 f(X 3) = f(X≤2) + f(X=3) = 0,6767 + e-2 23/3!
 f(X 3) = 0,6767 + 8/6 e-2 = 0,6767 + 0,1804 
 f(X 3) = 0,8571 ou 85,71%
Este valor de Pa pode ser obtido diretamente da Tabela 27, entrando na linha de np'= 2 e na
coluna de c = 3.
Pc = 1 - Pa = 1 - 0,8571 ou Pc = 0,1429 ou 14,29%
Assim, para c = 3 e n = 50 garrafas, a probabilidade de aceitação dos lotes é de 85,71% e a
probabilidade de rejeição de lotes é de 14,29%.
Para c = 5, f(X 5) = f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5)
 f(X 5) = f(X≤3) + f(x=4) + f(X=5)
 f(X 5) = 0,8571 + e-2 24/4! + e-2 25/5!
 f(X 5) = 0,8571 + 16/24 e-2 + 32/120 e-2 
 f(X 5) = 0,8571 + 0,0902 + 0,0361
 f(X 5) = 0,9834 ou Pa = 98,34%
26
Este valor de Pa pode ser obtido diretamente da Tabela 27, entrando na linha de np'= 2 e na
coluna de a = 5.
Pc = 1 - Pa = 1 - 0,9834 ou Pc = 0,0166 ou 1,66%.
Assim para c = 5 e n = 50 garrafas, a probabilidade de aceitação dos lotes é de 98,34% e a
probabilidade de rejeição de lotes é de 1,66%.
Exemplo 2. Um comprador aceita lotes de um determinado produto, no mínimo 95% das ve-
zes, se o nível verdadeiro de unidades defeituosas não exceder a 1%; isto é, Pa = 0,95 e p'=
0,01. Isto equivale a uma exigência de que o plano de amostragem deverá rejeitar lotes com
nível verdadeiro de unidades defeituosas de 1%, não mais do que 5% das vezes. Ele tam-
bém quer alguma segurança de que lotes contendo até 3% de unidades defeituosas não
passem na inspeção mais do que 10% das vezes; isto é, Pc = 0,10 e p'= 0,03. Isto equivale a
uma exigência de que lotes contendo até 3% de fração defeituosa serão rejeitados pelo me-
nos 90% das vezes. Desenvolva um plano de amostragem simples por atributos para satisfa-
zer a estas exigências. Explique a utilização do plano desenvolvido. Faça a Curva Caracte-
rística de Operação (CCO) para este plano. 
Solução. Para desenvolver o plano de amostragem será utilizada a Tabela 27, da soma de
probabilidades da distribuição de Poisson. Observa-se que a primeira coluna da Tabela 27 é
de np', isto é, o tamanho da amostra n, multiplicado pela fração defeituosa p'. 
Assim, para o risco do vendedor em que p'=0,01 tem-se np'= 0,01n. Da mesma for-
ma, para o risco do comprador em que p'=0,03 tem-se np'= 0,03n. O problema portanto, será
encontrar um tamanho de amostra n, que satisfaça simultaneamente as duas situações, ou
seja, que 0,01n seja aceitável a uma probabilidade de 0,95 e que 0,03n seja aceitável a uma
probabilidade de 0,10. 
Para seguir o processo completamente, constrói-se o Quadro 1 a seguir. Na primeira
coluna lista-se o número de aceitação, começando com c = 0. Na segunda coluna tem-se o
valor de np' tomado da Tabela 27 (soma das probabilidades da distribuição de Poisson) que
seja o mais próximo superior de 0,95 (de cima para baixo) para o valor particular do número
de aceitação c. Este valor de np' é dividido por p' (0,01 neste caso) para fornecer o tamanho
da amostra n correspondente à situação do risco do vendedor (Pa), mostrado na coluna 3.
 Na coluna 4 lista-se os valores de np' para o risco do comprador, também tomado da
27
Tabela 27, que seja o mais próximo inferior de Pc = 0,10 (de baixo para cima) para o valor
particular do número de aceitação c. Este valor de np' é dividido por p' (0,03 neste caso, a
fração defeituosa para o risco do comprador), para obter o tamanho da amostra n correspon-
dente à situação do risco do comprador (Pc), mostrado na coluna 5, do Quadro 1 a seguir.
Este procedimento para os riscos do vendedor e do comprador é repetido para cada número
de aceitação c, até que o tamanho da amostra n seja aceitável para as situações de risco do
vendedor e do comprador, isto é, quando elas forem iguais para os dois casos.
Quadro 1. Desenvolvimento do plano de amostragem para o problema
 em discussão, utilizando a Tabela de PoissonNúmero de Risco do Vendedor Risco do Comprador 
Aceitação Pa = 0,95 para p'= 0,01 Pc = 0,10 para p'= 0,03 
 c np' n = np'/p' np' n = np'/p'
 0 0,04 4 2,40 80
 1 0,35 35 4,00 133
 2 0,80 80 5,40 180
 3 1,30 130 6,80 227
 4 1,90 190 8,00 267
 5 2,60 260 9,50 317
 6 3,20 320 11,00 367
 7* 3,80 380 12,00 400
 8* 4,60 460 13,00 433
 9 5,40 540 14,50 483
Ao observar as colunas 3 e 5 do Quadro 1, tamanho de amostras para o risco do ven-
dedor e para o comprador, respectivamente, verifica-se que com o aumento do número de
aceitação c e tamanho da amostra n para os valores de Pa e Pc, os tamanhos das amostras
se aproximam até que se cruzam em algum ponto entre n=400 e n=460 com número de
aceitação entre c=7 e c=8. 
Assim, tem-se que um dos quatro planos a seguir irá satisfazer as condições de risco
do comprador e do vendedor:
28
Plano______n___ _c____ O melhor entre os quatro planos pode ser 
1) 380 7 determinado por um processo interativo,
2) 400 7 sendo escolhido aquele que mais se
3) 433 8 aproximar das condições pré-fixadas de
4) 460 8 risco e p' para o vendedor e de risco
--------------------------------- e p' para o comprador.
Para a escolha do melhor entre os quatro planos:
1) Fixa Pa=0,95; p'=0.01; (risco do vendedor e fração defeituosa, pré-estabelecidos anteri-
ormente); c = 7; n = 380 e resolve o sistema para Pc. Isto equivale a determinar o risco
do comprador ao utilizar este plano de amostragem, ou seja de n=380 c=7; se o valor
encontrado para Pc neste plano, se aproximar satisfatoriamente de Pc=0,10 (valor prees-
tabelecido), este será o melhor plano.
 
Assim, np'=(380)(0,03) = 11,4; Na Tabela 27 não se tem np'= 11,4; mas sim 11,0 ou 11,5. O
valor da probabilidade Pc, correspondente a np'= 11,4 e c = 7, pode ser determinada por
interpolação linear, com erro muito pequeno. 
Para np'= 11,0 tem-se Pc = 0,143 (coluna de c = 7 na Tabela 27) e para np'= 11,5 tem-se Pc
= 0,114. Fazendo-se a interpolação linear encontra-se que para np'= 11,4 o valor de Pc =
0,120. Portanto, o plano de n = 380 e c = 7, fornece um risco de 0,12 ou 12% para o com-
prador. Este valor é comparado a Pc = 0,10 ou 10% preestabelecido, o que resulta numa di-
ferença de 2% para mais. O comprador pode não estar disposto a assumir este acréscimo
de risco, necessitando portanto, verificar se existe um plano melhor.
2) Fixa Pa = 0,95; p'= 0,01; c = 8; n = 460 e resolve o sistema para PC. 
 Isto equivale a determinar o risco do comprador ao utilizar este plano de amostragem, ou
seja, n = 460 e c = 8. Se o valor encontrado para Pc neste plano, se aproximar satisfatoria-
mente de Pc = 0,10 (valor preestabelecido), este será o melhor plano.
 
Assim, np'= (460)(0,03) = 13,8; Na Tabela 27 não se tem np'= 13,8; mas sim 13,5 ou 14,0. O
valor da probabilidade Pc, correspondente a np'= 13,8 e c = 8, pode ser determinado por in-
terpolação linear, com erro praticamente desprezível. Para np'= 13,5 tem-se Pc = 0,079 (co-
luna de c = 8 na Tabela 27 e para np'= 14,0 tem-se Pc = 0,062. Fazendo-se a interpolação li -
near encontra-se que para np'= 13,8 o valor de Pc = 0,069 ou 6,9%. 
Portanto, o plano de n = 460 e c = 8 fornece um risco de 6,9% para o comprador. Este valor
é comparado a Pc = 0,10 ou 10%, preestabelecido, o que resulta numa diferença de 3,1%.
Este seria um plano bom, pois atende ao risco do vendedor e apresenta até um risco menor
que o pré-fixado, para o comprador. Entretanto, ele requer um maior tamanho de amostra, o
que resulta em maior custo da inspeção. Assim, há necessidade de se testar outro plano, en-
29
tre os disponíveis. 
3) Fixa Pc = 0,10; p'= 0,03 (valores pré-estabelecidos de risco e fração defeituosa para o
comprador); c = 7; n = 400 e resolve o sistema para Pa. Isto equivale a determinar o risco do
vendedor (Pa), ao utilizar este plano de amostragem, ou seja n = 400 e c = 7. Se o valor en-
contrado para Pa neste plano, se aproximar satisfatoriamente de Pa = 0,95 (valor pré-
fixado), este será o melhor plano. 
Assim, np'= (400)(0,01) = 4. Levando este valor de np'=4 na Tabela 27, coluna de c = 7, en-
contra-se o valor de Pa = 0,949 ou 94,9%. Comparando este valor com Pa = 95% (valor pré-
fixado) verifica-se que são muito próximos, com uma diferença de apenas 0,1%. Possivel-
mente este será o melhor entre os quatro planos. Entretanto, a título de exemplo, testa-se o
último dos quatro planos.
4) Fixa Pc = 0,10; p'= 0,03; c = 8; n = 433 e resolve o sistema para Pa.
 np'= (433)(0,01) = 4,33; Na Tabela 27 não se tem np'= 4,33; portanto há necessidade de
realizar uma interpolação. Para np'=4,2 na coluna de c = 8 tem-se Pa = 0,972 e para np'=
4,4 na mesma coluna, tem-se Pa = 0,964. Fazendo-se a interpolação encontra-se que Pa =
0,967 ou 96,7% para o plano de c = 8 e n = 433. 
 
Daí conclui-se que o melhor plano de amostragem é aquele de tamanho de amostra
n = 400 unidades e número de aceitação c = 7, testado no item 3 acima. 
Na sua utilização, coleta-se ao acaso 400 unidades em cada lote e analisa-se a amos-
tra; se forem encontradas até 7 unidades consideradas defeituosas, aceita-se o lote;
se forem encontradas 8 ou mais defeituosas na amostra de 400 unidades, rejeita-se o
lote.
 Definido o plano de amostragem deve-se montar a sua Curva Característica de Opera-
ção (CCO). Esta curva deverá fornecer as probabilidades de aceitação de lotes com diferen-
tes frações defeituosas médias ("fração defeituosa verdadeira do lote"). Assim, estabelece-se
"arbitrariamente" alguns valores de p’ (fração defeituosa média de lotes - percentagem de
unidades defeituosas) e as respectivas probabilidades de aceitação (Pa), com o auxílio da
Tabela 27 (soma de probabilidades da distribuição de Poisson) e plota-se em um gráfico de
Pa versus p’.
30
Para o desenvolvimento da CCO do plano de n = 400 e c =7, monta-se o Quadro 2 a
seguir, com auxílio da Tabela 27. Escolhe-se alguns valores de np', com suas respectivas
probabilidades obtidas na coluna de c = 7. A partir de p'= np'/n, obtém-se as respectivas fra-
ções defeituosas p’.
Para se obter a respectiva CCO, plota-se os valores de p(%) no eixo das abcissas
contra os valores de Pa(%) no eixo das ordenadas, dados do Quadro 2. As colunas 4 e 5 do
Quadro 2 podem ser consideradas uma Tabela Característica de Operação do plano de
amostragem de n = 400 e c = 7. A CCO pode ser obtida plotando esses dados, colunas 4 e
5. Observe nesta Tabela as probabilidades de aceitação de lotes com diferentes médias de
frações defeituosas.
Quadro 2. Valores de Pa (%) e de p (fração defeituosa) para montagem da CCO do plano de 
 amostragem c = 7 e n = 400.
Média de Probabilidade Fração c = 7 e n = 400
defeit. de aceitação defeituosa p’ 
 np' Pa (p'=np'/n) p(%) Pa(%)
 3,0 0,988 0,0075 0,75 98,8
 3,8 0,960 0,0095 0,95 96,0
 4,0 0,949 0,0100 1,00 94,9
 4,60,905 0,0115 1,15 90,5
 5,2 0,845 0,0130 1,30 84,5
 6,0 0,744 0,0150 1,50 74,4
 6,6 0,658 0,0165 1,65 65,8
 7,4 0,539 0,0185 1,85 53,9
 8,0 0,453 0,0200 2,00 45,3
 9,0 0,324 0,0225 2,25 32,4
10,0 0,220 0,0250 2,50 22,0
11,0 0,143 0,0275 2,75 14,3
12,0 0,090 0,0300 3,00 9,0
13,0 0,054 0,0325 3,25 5,4
14,0 0,032 0,0350 3,50 3,2
15,0 0,018 0.0375 3,75 1,8
17,0 0,005 0,0425 4,25 0,5
Exemplo 3. Descreva um plano de amostragem simples por atributos a ser utilizado na ins-
peção de lotes de 38.000 latas, para presença de defeitos na costura lateral. O risco do ven-
dedor é Pa = 0,90 com um nível de defeituosas p'= 0,02. O risco do comprador é Pc = 0,12
com um nível de defeituosas p'= 0,04.
a) Quais são os valores de n e de c ?
b) Desenhe a CCO do plano.
31
c) Qual é a probabilidade de aceitação de lotes cuja fração defeituosa média seja p’ =
0,01480 ?
Solução. a) Utiliza-se a Tabela 27 (Soma das probabilidades da distribuição de Poisson) para
montagem do Quadro 3 a seguir. A primeira coluna do Quadro 3 são números de aceitação,
começando a partir de zero. As colunas 2 e 3 são, respectivamente, np' e n correspondentes
ao risco e fração defeituosa do vendedor, Pa = 0,90 e p'= 0,02. As colunas 4 e 5 são, res-
pectivamente, np' e n correspondentes ao risco e fração defeituosa do comprador, Pc = 0,12
e p'= 0,04. Vale lembrar que ao retirar os valores de np' da Tabela 27, considera-se as proba-
bilidades mais próximas superiores de 0,90 (risco do vendedor) de cima para baixo, enquan-
to que para o risco do comprador considera-se os valores de probabilidade mais próximos in-
feriores de 0,12 (de baixo para cima). 
Pelos resultados do Quadro 3 observa-se que o plano de amostragem que satisfaz as
condições do vendedor e do comprador é aquele de n = 500 unidades com número de acei-
tação c = 14. Neste caso não há necessidade do exercício de interpolação para escolher o
melhor plano, uma vez que os planos de amostragem que satisfazem as condições do com-
prador e do vendedor foram coincidentes, para n = 500 e c = 14.
Assim, o uso do plano de amostragem será coletar ao acaso 500 latas em cada
lote e analisar para defeitos na costura lateral. Se forem encontradas até 14 delas com
defeito, aceita-se o lote; se forem encontradas 15 ou mais, rejeita-se o lote.
b) Para o desenvolvimento da CCO deste plano, monta-se o Quadro 4 a seguir. A primeira
coluna do Quadro 4 refere-se a alguns valores de np', "arbitrariamente" selecionados da Ta-
bela 27, de modo a fornecer probabilidades de aceitação (Pa), dado p’, no intervalo de 0 a
100%, com incrementos suficientemente pequenos, visando a um bom desenho da CCO. 
32
Quadro 3. Desenvolvimento do plano de amostragem para o exemplo 3, utilizando a 
 distribuição de Poisson.
Número de Risco do vendedor Risco do comprador
aceitação Pa = 0,90 para p'= 0,02 Pc = 0,12 para p'= 0,04
 c np' n = np'/p' np' n = np'/p'
 0 0,10 5 2,2 55
 1 0,50 25 3,8 95
 2 1,10 55 5,2 130
 3 1,70 85 6,4 160
 4 2,40 120 7,8 195
 5 3,00 150 9,0 225
 6 3,80 190 10,5 263
 7 4,60 230 11,5 288
 8 5,40 270 13,0 325
 9 6,20 310 14,0 350
 10 7,00 350 15,0 375
 11 7,80 390 17,0 425
 12 8,50 425 18,0 450
 13 9,00 450 19,0 475
 14 10,00 500 20,0 500
A segunda coluna do Quadro 4 são valores de Pa, também obtidos da Tabela 27, coluna de c
= 14, correspondentes aos valores de np' previamente selecionados. A terceira coluna do
Quadro 4 são valores de p' (fração defeituosa) obtidos a partir de p'= np'/n. A quarta e quinta
colunas do Quadro 4 são respectivamente, p' e Pa expressos em percentagem, para o dese-
nho da CCO. Para obtenção da CCO plota-se os dados do Quadro 4, em que p(%) é coloca-
do no eixo das abcissas e Pa(%) no eixo das ordenadas. Observe nas colunas 4 e 5 do
Quadro 4 as probabilidades de aceitação de lotes com diferentes frações defeituosas médi-
as.
Quadro 4. Valores de Pa(%) e de p (fração defeituosa) para montagem da CCO para o 
 plano de amostragem c = 14 e n = 500, do exemplo 3
Média de Probabilidade Fração c = 14 e n = 500
defeitos de aceitação defeituosa p
 np' Pa (p'= np'/n) p(%) Pa(%)
 6,2 0,998 0,0124 1,24 99,8 
 7,8 0,986 0,0156 1,56 98,6
 8,5 0,973 0,0170 1,70 97,3
 9,5 0,940 0,0190 1,90 94,0
 10,5 0,888 0,0210 2,10 88,8
 11,0 0,854 0,0220 2,20 85,4
 12,0 0,772 0,0240 2,40 77,2
 13,0 0,675 0,0260 2,60 67,5
 14,0 0,570 0,0280 2,80 57,0
 15,0 0,466 0,0300 3,00 46,6
 17,0 0,281 0,0340 3,40 28,1
 19,0 0,150 0,0380 3,80 15,0
 20,0 0,105 0,0400 4,00 10,5
 7,4 0,991 0,0148 1,48 99,1
33
5.5 - Sistema de Amostragem da Norma NBR 5426
Um dos sistemas de amostragem por atributos mais comumente utilizados é o descri-
to na norma NBR 5426, que é uma adaptação do "Military Standard-105D, americano. 
Conhecidos o tamanho do lote (N), o nível de qualidade aceitável (NQA) e um históri-
co sobre a qualidade do produto do referido fabricante ou fornecedor (seu sistema de garan-
tia de qualidade), podem ser determinados (por meio das Tabelas da NBR 5426) o tamanho
da amostra (n) e os limites de aceitação (c) ou de rejeição (r) do lote, para amostragem sim-
ples, dupla ou múltipla. 
Esses planos de amostragem são calculados com base no NQA, portanto privilegiam
o risco do vendedor. Assim, eles são recomendados para inspeções de lotes sucessivos, não
sendo aplicáveis para situações de lotes isolados. O risco do comprador é protegido pelo sis-
tema de comutação estabelecido pela norma.
Os riscos do comprador e do vendedor, para cada plano de amostragem, podem ser
determinados por meio da utilização das curvas características de operação (CCO) que
acompanham as Tabelas da norma. 
A utilização dessas Tabelas para o estabelecimento de planos de amostragemsim-
ples, dupla e múltipla, por atributos, em indústrias de alimentos, será discutida por meio de
alguns exemplos dados a seguir. 
Exemplo 4. Lotes de 40.000 latas No. 10 de pasta de tomate necessitam inspeção para la-
tas com abaulamento ou vazamento. Um NQA de 1,00% de latas defeituosas foi especifica-
do no contrato.
Quais seriam o tamanho da amostra n e os números de aceitação c e de rejeição r para ins-
peção por atributos, se:
a) Usar um plano de amostragem simples da NBR 5426, para um fornecedor que normal-
mente atende as especificações de qualidade, isto é, um fornecedor considerado
normal? 
b) Usar um plano de amostragem simples da NBR 5426, para um fornecedor cujos produtos
têm apresentado problemas de qualidade neste tipo de inspeção ;
c) Usar um plano de amostragem dupla da NBR 5426, para um fornecedor considerado
normal? 
34
Solução:
a) Para um fornecedor considerado normal, deverá ser utilizado o nível II de inspeção geral,
da Tabela 1. Assim, para N=40.000 (tamanho do lote), encontra-se o código literal letra N
(Tabela 1). Na Tabela 2 (planos de amostragem simples, inspeção normal), para código
literal letra N, tem-se um tamanho de amostra n=500 unidades. Na coluna de NQA=1,0%
da Tabela 2, tem-se c=10 e r=11 unidades defeituosas. 
Assim, o plano de amostragem para esta situação sugere: Coletar aleatoriamente, em cada
lote, 500 latas de pasta de tomate e analisá-las para abaulamento ou vazamento; se forem
encontradas até 10 latas defeituosas, decide-se aceitar o lote; se forem encontradas 11 ou
mais latas defeituosas, rejeita-se o lote. 
b) Para lotes que têm apresentado problema neste tipo de inspeção, deverá ser utilizado o
nível III de inspeção geral, da Tabela 1. Assim, para N=40.000 unidades (tamanho do
lote), encontra-se o código literal letra P (Tabela 1). Na Tabela 3 (planos de amostragem
simples, inspeção severa), para código literal letra P, tem-se um tamanho de amostra
n=800 unidades. Na coluna de NQA=1,0%, da Tabela 3, tem-se c=12 e r=13 unidades
defeituosas. 
Assim, o plano de amostragem para esta situação sugere: Coletar aleatoriamente em cada
lote 800 latas de pasta de tomate e analisá-las para abaulamento ou vazamento; se forem
encontradas até 12 latas defeituosas, decide-se aceitar o lote; se forem encontradas 13 ou
mais latas defeituosas, rejeita-se o lote.
 
c) Para um fornecedor considerado normal, deverá ser utilizado o nível II de inspeção geral,
Tabela 1. Assim, para N=40.000 unidades (tamanho do lote), encontra-se o código literal
letra N (Tabela 1). Da Tabela 5 (planos de amostragem dupla, inspeção normal), para có-
digo literal letra N e NQA=1,0%, pode-se construir o seguinte Quadro:
ni_________n______ci______ri_
 315 315 5 9
 315 630 12 13
 
 Assim, o plano de amostragem dupla sugere: Coletar aleatoriamente uma amostra de
315 latas em cada lote e analisá-las; se forem encontradas até 5 latas defeituosas, aceita-se
o lote; se forem encontradas 9 ou mais latas defeituosas, rejeita-se o lote; se forem encon-
tradas 6, 7 ou 8 latas defeituosas, coleta-se aleatoriamente outras 315 latas do lote e inspe-
ciona-as; se a soma das defeituosas (d) nas duas subamostras for até 12 latas, aceita-se o
35
lote; se d for 13 ou mais latas defeituosas, rejeita-se o lote. 
Observação: Os planos de amostragem do sistema da NBR 5426 não são para utilização em
lotes isolados, sem o emprego das regras de comutação descritas anteriormente, já que tal
aplicação pode levar a uma perda da proteção fornecida ao consumidor (comprador), quan-
do o sistema é apropriadamente aplicado. Os níveis de qualidade são especificados em ter-
mos de Níveis de Qualidade Aceitável (NQA) para o fornecedor, enquanto a proteção do
comprador é garantida pelas regras de comutação entre os tipos de inspeção (normal, seve-
ra ou atenuada), que exigem planos de inspeção mais rígida quando a qualidade do lote é in-
ferior. O sistema foi idealizado para utilização em inspeção sucessiva de lotes. Quando a ins-
peção de um lote isolado for necessária, deve-se utilizar as Tabelas especiais de Qualidade
Limite, isto é planos de amostragem que se baseiam na Fração Defeituosa Tolerável, como
as da norma NBR 5427.
Exemplo 5. Qual será um procedimento de amostragem simples pela NBR 5426, se os lotes
da questão anterior estiverem dispostos em 20 sub-lotes (Pallets) de 2.000 latas No. 10 por
Pallet e a inspeção normal e nível II, forem utilizados, mantendo-se o NQA em 1,0% ? 
Solução: Neste caso tem-se dois tipos de tamanhos de lote, um para latas NL=40.000 latas
e NS= 20 Pallets. Na Tabela 1, para lotes de tamanho 40.000 unidades e nível II de inspeção
geral, tem-se código literal N, implicando em tamanho de amostra nL=500 unidades (latas),
Tabela 2. Ainda na Tabela 1, para lotes de tamanho 20 unidades e nível II de inspeção geral,
tem-se código literal C, implicando em tamanho de amostra nS=5 unidades (Pallets). 
Dai, tem-se m=nL/nS = 500/5 = 100 latas por Pallet. Para NQA = 1,0%, tem-se c=10 e
r=11 (Tabela 2), conforme determinado anteriormente. Assim, o procedimento seria separar,
ao acaso, 5 dos 20 Pallets. Em cada um dos 5 Pallets devem ser coletadas 100 latas, aleato-
riamente. Após a análise das 500 latas, se o número de defeituosas (d) for inferior ou igual a
10, aceita-se o lote; se o número de defeituosas (d) for superior ou igual a 11, rejeita-se o
lote. 
OBS. Este foi um exemplo em que se tem sub-lotes dentro do lote.
Exemplo 6. Por meio da NBR 5426, determinar o plano de amostragem simples por atribu-
tos, para inspeção de lotes de milho doce recém colhidos, para espigas danificadas por inse-
tos. Os lotes de tamanho N=16.000 espigas são provenientes de um fornecedor que apre-
senta um histórico de fornecimento do produto com alto nível de infestação. Um NQA de
36
2,5% foi acordado no contrato. 
a) Qual deve ser o valor de n (tamanho da amostra)?
b) Quais são os números de aceitação c e de rejeição r ?
c) Utilizando um plano de amostragem múltipla para o mesmo tipo de lotes, com o mesmo
valor de NQA, qual deve ser a decisão de aceitar/rejeitar lotes, se após a análise de 625
espigas, o total de defeituosas encontradas foi 27 ?
Solução: Dadas as Informações sobre o histórico de qualidade em questão, sugere-se utili-
zar o nível III de inspeção geral e as Tabelas de inspeção severa. 
a) Assim, na Tabela 1, para N=16.000 unidades e nível III de inspeção geral, tem-se código
literal N. Na Tabela 3 (amostragem simples e inspeção severa) tem-se para código literal
N, um tamanho de amostra n=500 unidades (espigas, no caso).
b) Ainda pela Tabela 3 e para NQA=2,5% tem-se número de aceitação c=18 e número de
rejeição r=19. Assim o plano de amostragem sugerido seria coletar aleatoriamente 500
espigas em cada lote e analisá-las para presença de espigas danificadas por insetos. Se
forem encontradas até 18 espigas danificadas, aceita-se o lote; se forem encontradas 19
ou mais espigas danificadas, rejeita-se o lote.
c) Um plano de amostragem múltipla para o mesmo problema pode ser derivado utilizando a
Tabela 1 (código literal) e a Tabela 9 (amostragem múltipla - inspeção severa). Pela Tabela 1
já foi verificado que para N=16.000 unidades o código literal é N. A partir da Tabela 9 com
NQA de 2,5% pode-se construir o seguinte Quadro:
___ni____n_____ci______ri_ Como se observa pelo Quadro 
 125 125 1 8 ao lado, após a análise de 
 125 250 6 12 625 unidades, o número de 
 125 375 11 17 aceitação a5 é 22 e o 
 125 500 16 22 rejeição r5 é 25. Portanto,
 125 625* 2225 se o total de danificadas
 125 750 27 29 encontrado foi 27, a decisão
 125 875 32 33 deve ser de rejeição do lote.
37
Exemplo 7. Se os lotes de milho doce da questão anterior chegarem em 16 caixas de apro-
ximadamente 1.000 espigas por caixa; quantas caixas deveriam ser amostradas e quantas
espigas de milho deveriam ser retiradas de cada caixa ?
Solução: Para este caso tem-se NL=16.000 unidades e NS=16. Na Tabela 1, para nível III de
inspeção geral, têm-se os códigos literais N e D, respectivamente. Na Tabela 3, inspeção se-
vera, tem-se nL=500 espigas e nS=8 caixas. Assim, o número de espigas por caixa
m=nL/nS=500/8 ou 62,5 espigas por caixa, em média. Daí o plano sugere selecionar 8 cai-
xas ao acaso e retirar, aleatoriamente, 63 espigas por caixa para inspeção. Os números de
aceitação c=18 e de rejeição r=19, conforme encontrado no item b acima.
Exemplo 8. Utilizando a norma NBR 5426 para planos de amostragem simples por atributos:
a) Qual o tamanho da amostra n para inspecionar lotes de 30.000 frascos de vidro, com ins-
peção normal e nível II de inspeção geral ?
b) Se o NQA for fixado em 1,5% para esta inspeção, qual seria o valor do número de aceita-
ção c ?
Solução: a) Na Tabela 1, para N=30.000 e nível II de inspeção geral, tem-se o código literal
M. Na Tabela 2 (amostragem simples - inspeção normal), para código literal M, tem-se n=315
unidades (tamanho da amostra).
b) Para um NQA de 1,5%; na Tabela 2 (amostragem simples - inspeção normal), tem-se nú-
mero de aceitação c=10 e de rejeição r=11 unidades defeituosas. 
Observação. Comentário sobre o risco do comprador utilizando as Curvas Características de
Operação - CCO (Tabelas 11 a 19). Para o plano de amostragem definido em a e b acima,
em que o código literal M foi utilizado, as CCO’s das Tabelas 14, 15 e 16 são apropriadas. O
NQA foi estabelecido em 1,5%. Pela Tabela 15, verifica-se que utilizando este plano de
amostragem, o comprador iria aceitar lotes de frascos de vidro com, por exemplo até 1,51%
defeituosos, pelo menos 99% das vezes. A probabilidade de aceitação (Pa) cai para 50% se
a percentagem de defeituosos aumentar para até 3,39%. Lotes que apresentarem 4,89% de
defeituosos terão uma Pa de apenas 10% (Tabela 15). O risco do comprador em aceitar lotes
com fração defeituosa acima do NQA especificado é reduzido com o aumento do tamanho
da amostra inspecionada. Por exemplo, se no caso em discussão, for utilizado o nível III de
inspeção geral, tem-se o código literal N (Tabela 1, para N=30.000 unidades). Na Tabela 2
(amostragem simples - inspeção normal), tem-se tamanho de amostra n=500 unidades, em
lugar das 315 inicialmente estabelecidas. 
38
Pela Tabela 18, verifica-se que utilizando este último plano de amostragem, o com-
prador iria aceitar lotes de frascos de vidro com, por exemplo 1,5% (valor estabelecido de
NQA), pelo menos 99% das vezes. Entretanto, se a fração defeituosa do lote for de 2,06% a
sua probabilidade de aceitação cairá para 90%. Lotes com fração defeituosa de 3,48% terão
uma Pa de apenas 25%.
5.6 - Tabelas de Amostragem do USDA para Inspeção de
 Produtos Processados
5.6.1 - Introdução 
O Serviço de Mercado Agrícola (Agricultural Marketing Service - AMS) do Departa-
mento (Ministério) da Agricultura Americano tem um sistema de classificação dos produtos
por grau de qualidade (USDA grade A, Standard, Extra Quality, USDA grade B). Esta classifi-
cação é feita por amostragem, após o produto estar pronto. Para isto aquele Serviço desen-
volveu um sistema de amostragem, relativamente mais simples, para inspeção de frutas,
hortaliças, pescados e outros produtos processados, visando classificação da qualidade por
meio da inspeção por amostragem, utilizando inspetores treinados. 
Esta é uma aplicação dos chamados padrões voluntários de qualidade. O fabricante,
após ter o seu produto processado, organizado em lotes e estocado, convida os inspetores
do AMS_USDA para classificação da qualidade de seus produtos. Para esta inspeção foram
desenvolvidos planos especiais de amostragem, em que o NQA foi fixado em 6%. Isto é, lo-
tes contendo até 6% de unidades defeituosas (fora da especificação para aquele grau de
qualidade) são considerados de qualidade aceitável pelo plano de amostragem, para propó-
sitos de classificação do grau de qualidade. 
Também foi fixada a probabilidade de aceitação Pa em 95%. Por estes planos, lotes
contendo até 6% de unidades defeituosas (fora da especificação) serão aceitos em pelo me-
nos 95% das vezes, exceto o plano de amostra de 3 unidades, com número de aceitação
c=0. 
Para efeito de classificação do grau de qualidade o lote recebe as designações de
USDA grau A, B, ou C, ou “substandard”, ou ainda “Grade not Certified”. O grau é atribuído à
unidade amostral com base em sua pontuação em uma escala, por exemplo, 90-100 para
grau A, 80-89 para grau B; mas pode receber um grau menor do que o indicado pelo seu es-
core, sob certas “circunstâncias limitantes”, (“limiting rules”) que são prescritas para um pro-
duto específico. Desta forma, uma unidade amostral é considerada especialmente “defeituo-
sa” quando ela (seu escore) cai no próximo grau abaixo do indicado, mas a diferença de es-
core não excede a 4, abaixo do limite inferior para o grau indicado ou quando não atende à
estas circunstâncias limitantes.
39
Por exemplo, se o grau indicado é A e o escore para A é de 90-100, uma unidade
amostral com escore 91 pode, ainda assim, receber grau B em razão de alguma regra limi-
tante. Da mesma forma, uma unidade amostral com escore de 86 a 89 será considerada de-
feituosa, para o grau A.
Estes planos de amostragem foram calculados de modo que os lotes com percenta-
gem defeituosa média de até 6% (NQAp’=0,06) tenham uma probabilidade de aceitação de
pelo menos 0,95 (pa=0,95), exceto o plano de n=3 e c=0. Deve-se observar, na Figura 8, que
a CCO se torna mais inclinada a medida que aumenta o tamanho da amostra, o que de-
monstra que os lotes contendo mais de 6% de unidade defeituosas têm maior probabilidade
de rejeição, com o aumento do tamanho da amostra. Esta é considerada uma característica
desejável desses planos de amostragem, pois com o aumento do valor do lote aumenta tam-
bém o tamanho da amostra. A melhor curva da Figura 8 é a de n=72 e c=8; plano com maior
poder discriminatório. O pessoal do AMS_USDA considera que se não fosse pelo tamanho
“grande” da amostra e portanto o custo da inspeção (na maioria das vezes teste destrutivo),
apenas este plano de amostragem seria suficiente.
Assim, em razão dos aspectos de custo da inspeção foram desenvolvidos planos de
amostragem com menores tamanhos de amostra. Por esta razão o tamanho do lote teve que
ser levado em consideração, principalmente pelos seguintes motivos:
a) Os tamanhos de lote, da amostra e da embalagem unitária do produto determinam a
quantidade de material restante no lote para comercialização;
b) O número e o tamanho da embalagem unitária no lote determinam parcialmente o seu
valor monetário. O custo foi um dos fatores considerados no agrupamento dos produtos;
c) O tamanho do lote está diretamente relacionado com o seu número de unidades defeitu-
osas - por exemplo, um lote com 10% de defeituosas pode significar apenas 40 unidades
deste tipo, mas pode também ser 4 000 unidades defeituosas, dependendo do tamanho
do lote. Obviamente que o comprador não gostaria de aceitar 4 000 unidades defeituosas
com frequência semelhante à aceitação de 40 unidades.
As Tabelas 26A a 26E foram calculadas com base nestas considerações. A Tabela 26A
contém 5 grupos de tamanhos de embalagens (unidade amostral) com diferentes taxas de
amostragempara cada grupo. Dentro do mesmo grupo a taxa de amostragem também varia
com o tamanho do lote. A taxa de amostragem também varia entre as Tabelas, sendo menor
na Tabela 26C e maior na Tabelas 26D e 26E. Segundo os autores, o resultado geral da for-
mação dos grupos e de variação nas taxas de amostragem é a obtenção de amostras meno-
res para lotes e embalagens menores de produtos que tendem a ser mais homogêneos, com
menor chance de danos que poderiam reduzir sua qualidade.
40
Por exemplo, um item de produto a ser congelado e um item de produto a ser enlata-
do são submetidos às mesmas operações de preparo, antes do congelamento ou do enlata-
mento, mas após serem processados, congelados ou enlatados, o produto congelado é mais
vulnerável à deterioração por abuso no seu manuseio ou estocagem. Consequentemente, a
expectativa é de maior variação de qualidade no produto congelado do que no enlatado, com
maior taxa de amostragem para o congelado.
5.6.2 - Amostragem Múltipla pelo AMS_USDA 
A amostragem múltipla pode-se tornar um recurso adequado na redução de custo da
inspeção, mantendo os riscos do vendedor e do comprador sob controle. A Tabela 26F con-
tém planos de amostragem múltipla desenvolvidos pelo AMS_USDA que podem ser usados
em lugar dos planos de amostragem simples correspondentes.
Assim, na Tabela 26F em lugar de selecionar uma amostra simples de 48 unidades,
n=48 e c=6, poderia se utilizar o plano de amostragem múltipla correspondente. A vanta-
gem é a possibilidade de tomada de decisão com a inspeção de apenas 16 unidades, se o
número de unidades fora de especificação d=0 ou 4 ou mais. Isto é verdade para todos os
planos de amostragem múltipla, que resultam em menor amostragem do que na amostragem
simples, para situações comparáveis. Ou seja, os riscos são em, média semelhantes, em
qualquer dos planos.
Tabela 26A. Planos de Amostragem do AMS_USDA para frutas, hortaliças e pescados en-
latados ou processados de forma similar em recipientes de tamanho tal que sejam pronta-
mente individualizados (produtos envasados).
 Grupo/Tamanho da unidade amostral
 1 2 3 4 5 
 < 500g 0,5 - 1,9 kg 2,0-4,9 kg 5,0-20kg >20kg n c
 < 3600 < 2400 <1200 < 200 < 25 3 0
 3601 2401 1201 201 26
 a a a a a 6 1 
 14400 12000 7200 800 80
 
 14401 12001 7201 801 81
 a a a a a 13 2
 48000 24000 15000 1600 200
 48001 24001 15001 1601 201 
 a a a a a 21 3
 96000 48000 24000 2400 400 
41
Tabela 26A. Continuação
 Grupo/Tamanho da unidade amostral
 1 2 3 4 5 
 < 500g 0,5 - 1,9 kg 2,0-4,9 kg 5,0-20kg >20kg n c
 96001 48001 24001 2401 401
 a a a a a 29 4
 156000 72000 36000 3600 800
 
 156001 72001 36001 3601 801
 a a a a a 38 5
 228000 108000 60000 8000 1200
 228001 108001 60001 8001 1201 
 a a a a a 48 6
 300000 168000 84000 16000 2000
 300001 168001 84001 16001 2001
 a a a a a 60 7
 420000 240000 120000 28000 3200
 >420000 >240000 >120000 >28000 >3200 72 8
Fonte: BARTLETT Jr. & WEGENER (1957).
* - Para planos de amostragem múltipla comparáveis aos de amostragem simples utilize
 a tabela 26F. 
** - A unidade amostral para os diferentes casos é a seguinte: Para os grupos 1-3, o conteú-
do de um container; Para os grupos 4 e 5, aproximadamente 1,5 kg de produto. No caso de
o inspetor considerar esta quantidade insuficiente, uma unidade amostral maior do que 1,5kg
ou um container a mais pode ser considerado. 
Tabela 26B. Planos de Amostragem* do AMS_USDA para frutas, hortaliças e pescados
congelados ou processados de forma similar, em recipientes de tamanho tal que sejam
prontamente individualizados (produtos pré-envasados) 
 Grupo/Tamanho da unidade amostral**
 1 2 3 4 5 
 < 500g 0,5 - 1,9 kg 2,0-4,9 kg 5,0-45kg >45kg n c
 
 >2400 >1800 >900 >200 >25 3 0
 2401 1801 901 201 26
 a a a a a 6 1
 12000 8400 3600 800 80
 12001 8401 3601 801 81
 a a a a a 13 2
 24000 18000 10800 1600 200
42
Tabela 26B. Continuação.
 Grupo/Tamanho da unidade amostral**
 1 2 3 4 5 
 < 500g 0,5 - 1,9 kg 2,0-4,9 kg 5,0-45kg >45kg n c
 24001 18001 10801 1601 201
 a a a a a 21 3
 48000 36000 18000 2400 400
 48001 36001 18001 2401 401
 a a a a a 29 4
 72000 60000 36000 3600 800
 72001 60001 36001 3601 801
 a a a a a 38 5
 108000 96000 60000 8000 1200
 108001 96001 60001 8001 1201
 aa a a a 48 6
 168000 132000 84000 16000 2000
 168001 132001 84001 16001 2001
 a a a a a 60 7
 240000 168000 120000 28000 3200
>240000 >168000 >120000 >28000 >3200 72 8
Fonte: BARTLETT Jr. & WEGENER (1957).
* - Para planos de amostragem múltipla comparáveis aos de amostragem simples utilize
 a tabela 26F. 
** - A unidade amostral para os diferentes casos é a seguinte: Para os grupos 1-3, o conteú-
do de um container; Para os grupos 4 e 5, aproximadamente 1,5 kg de produto. No caso de
o inspetor considerar esta quantidade insuficiente, uma unidade amostral maior do que 1,5kg
ou um container a mais pode ser considerado. 
43
Tabela 26C. Planos de Amostragem* do AMS_USDA para frutas, hortaliças e produtos rela-
cionados enlatados, congelados ou processados de forma similar, em pasta, líquidos ou
em estado homogêneo. 
 Grupo/Tamanho da unidade amostral**
 6
 1 2 3 4 5 Mel 
< 340g 340g - 1,7 kg 1,71-4,5 kg 4,51-45 kg >45kg >20 kg n c
 
 < 5400 < 3600 < 1800 < 200 < 25 .... 3 0
 5401 3601 1801 201 26 
 a a a a a < 20 6 1
 21600 14400 8400 800 80 
 21601 14401 8401 801 81 21
 a a a a a a 13 2
 62400 48000 18000 1600 200 150
 62401 48001 18001 1601 201 151
 a a a a a a 21 3
 112000 96000 36000 3200 400 400
 112001 96001 36001 3201 401 401
 a a a a a a 29 4
 174000 156000 60000 8000 800 800 
 174001 156001 60001 8001 801 801
 a a a a a a 38 5
 240000 228000 96000 16000 1200 1200
 240001 228001 96001 16001 1201 1201
 a a a a a a 48 6
 360000 300000 132000 24000 2000 2000
 360001 300001 132001 24001 2001 2001
 a a a a a a 60 7
480000 420000 168000 32000 3200 3200
>480000 >420000 >168000 >32000 >3200 >3200 72 8
Fonte: BARTLETT Jr. & WEGENER (1957).
* Para planos de amostragem múltipla comparáveis aos de amostragem simples utilize a ta-
bela 26F. 
** - A unidade amostral para os diferentes casos é a seguinte: Para os grupos 1-3, o conteú-
do de um container; Uma unidade amostral menor pode ser utilizada para o grupo 3, a crité-
rio do inspetor. Para os grupos 4, 5 e 6, aproximadamente 1,7 kg de produto. No caso de o
inspetor considerar esta quantidade insuficiente, uma unidade amostral maior do que 1,7 kg
pode ser considerada. 
44
Tabela 26D. Planos de Amostragem* do AMS_USDA para frutas e hortaliças desidratadas,
com baixo teor de umidade (umidade intermediária) 
 Grupo/Tamanho da unidade amostral**
 1 2 3 4 5 
 < 500g 0,5 - 2,7 kg 2,71 - 9,0 kg 9,1 - 45 kg > 45 kg n c
 
 < 1800 < 900 < 200 < 48 < 16 3 0
 1801 901 201 49 17
 a a a a a 6 1
 8400 3600 800 400 80
 8401 3601 801 401 81
 a a a a a 13 2
 18000 10800 1600 1200 200
 18001 10801 1601 1201 201 
 a a a a a 21 3 
 36000 18000 3200 2000 400
 36001 18001 3201 2001 401
 a a a a a 29 4
 60000 36000 8000 2800 800
 60001 36001 8001 2801 801
 a a a a a 38 5
 96000 60000 16000 6000 1200
 96001 60001 16001 6001 1201
 a a a a a 48 6
 132000 84000 24000 9600 2000
 132001 84001 24001 9601 2001
 a a a a a 60 7
 168000 120000 32000 15000 3200
 > 168000 > 120000 > 32000 > 15000 > 3200 72 8
Fonte: BARTLETT Jr. & WEGENER (1957).
* - Para planos de amostragem múltipla comparáveis aos de amostragem simples utilize a ta-
bela 26F. 
** - A unidade amostral para os diferentes casos é a seguinte: Para o grupo 1, o conteúdo de
um container. Para os grupos 2, 3, 4 e 5, também um container ou uma unidade amostral
menor, a critério do inspetor. 
45
Tabela 26E. Planos de Amostragem* do AMS_USDA para frutas secas (baixo 
 teor de umidade)
 Grupo/Tamanho da unidade amostral**
 1 2 3 4 5< 500g 0,5 - 2,5 kg 2,51 - 9,0 kg 9,1 - 45 kg > 45 kg n c
 
 < 2400 < 1800 < 400 < 100 < 25 3 0
 2401 1801 401 101 26
 a a a a a 6 1
 12000 8400 1600 600 80
 12001 8401 1601 601 81
 a a a a a 13 2
 24000 18000 4800 1200 200
 24001 18001 4801 1201 201
 a a a a a 21 3
 48000 36000 9600 2000 400
 48001 36001 9601 2001 401
 a a a a a 29 4
 72000 60000 18000 2800 800
 72001 60001 18001 2801 801
 a a a a a 38 5
 108000 96000 36000 6000 1200
 108001 96001 36001 6001 1201
 a a a a a 48 6
 168000 132000 54000 9600 2000
 168001 132001 54001 9601 2001
 a a a a a 60 7
 240000 168000 84000 15000 3200
> 240000 > 168000 > 84000 > 15000 > 3200 72 8
Fonte: BARTLETT Jr. & WEGENER (1957).
* - Para planos de amostragem múltipla comparáveis aos de amostragem simples utilize a ta-
bela 26F. 
** - A unidade amostral para os diferentes casos é a seguinte: Para o grupo 1, o conteúdo de
um container. Para o grupo 2, também o conteúdo de um container ou uma unidade amos-
tral menor de 450 g de produto, a critério do inspetor. Para os grupos 3, 4 ou 5, aproximada-
mente 450 g de produto, ou uma quantidade maior a critério do inspetor.
46
Tabela 26F. Planos de amostragem múltipla comparáveis (equivalentes) aos 
 apresentados nas tabelas 26A a 26F.
Amostragem Amostragem Múltipla Amostragem Amostragem Múltipla
 Simples Equivalente Simples Equivalente
 n c ni n ci ri n c ni n ci ri 
 6 1 4 4 0 2 13 2 8 8 0 3 
 2 6 0 2 2 10 0 3 
 2 8 1 2 2 12 1 3
 2 14 2 3
 21 3 10 10 0 3 29 4 12 12 0 4
 4 14 1 4 4 16 0 4
 4 18 1 4 4 20 1 5
 4 22 2 5 4 24 2 5
 4 26 4 5 4 28 3 6 
 4 32 3 6
 4 36 5 6
 38 5 14 14 0 4 48 6 16 16 0 4
 6 20 0 5 8 24 1 5
 6 26 1 6 8 32 2 6
 6 32 2 6 8 40 3 8
 6 38 3 7 8 48 4 8
 6 44 6 7 8 56 7 8
 60 7 18 18 0 5 72 8 22 22 0 5
 10 28 1 6 10 32 1 7
 10 38 2 7 10 42 2 8
 10 48 3 8 10 52 3 9
 10 58 4 8 10 62 5 10
 10 68 8 9 10 72 6 10 
 10 82 9 10
ni - tamanho da subamostra
ci - número de aceitação da subamostra
ri - número de rejeição da subamostra.
5.6.3 - Uso das Tabelas do AMS_USDA 
A utilização dessas Tabelas será demonstrada por meio da discussão de alguns
exemplos.
Exemplo 9. Um inspetor é chamado a certificar lotes de atum enlatado, constando de 400
caixas, contendo 48 latas de 115 g cada uma, ou seja, um lote de 19.200 latas. Determinar o
número de latas a serem inspecionadas (tamanho n da amostra) e o número de aceitação c.
Solução: Na Tabela 26A (Planos de Amostragem do AMS_USDA para frutas, hortaliças e
pescados enlatados ou processados de forma similar em recipientes de tamanho tal que se-
jam prontamente individualizados (produtos envasados) encontra-se que este tipo de lote cai
no Grupo 1, uma vez que as latas são menores que as de 500 g. 
47
No tamanho de lote compreendido entre 14.401 e 48.000 (N=19 200 latas no caso) a
Tabela 26A indica que devem ser selecionadas 13 latas ao acaso por lote e analisá-las ou
inspecioná-las. Se forem encontradas não mais do que 2 latas fora da especificação para o
grau, aceita-se o lote como sendo daquele grau; se forem encontradas mais de 2 latas fora
do grau, rejeita-se o lote como sendo do grau considerado.
Exemplo 10. Utilizando as Tabelas dos planos de amostragem simples por atributos do
AMS_USDA, quais são os valores de n (tamanho de amostra e de c (número de aceitação)
para inspecionar lotes de tamanho N=25.002 latas Nº. 10 de milho doce (2,0 a 5,0 kg) ?. 
Solução. Na Tabela26A (Planos de Amostragem do AMS_USDA para frutas, hortaliças e
pescados enlatados ou processados de forma similar em recipientes de tamanho tal que se-
jam prontamente individualizados (produto envasados)) encontra-se que este tipo de lote cai
no Grupo 3, uma vez que as latas são de tamanho entre as de No. 3 e as de No. 12 (com
peso médio na faixa de 2,0 a 4,9 kg). 
O lote está entre 24001 e 36000 unidades. Assim, a Tabela 26A indica que devem ser
selecionadas 29 latas ao acaso por lote e analisá-las ou inspecioná-las. Se forem encontra-
das até 4 latas fora da especificação para o grau, aceita-se o lote como sendo daquele grau;
se forem encontradas 5 ou mais latas fora do grau, rejeita-se o lote como sendo do grau con-
siderado.
Exemplo 11. (Proposto) - Descreva o plano de amostragem múltipla para a mesma situação
do exemplo 11, utilizando as Tabelas do USDA.
Exemplo 12. Um inspetor é chamado a certificar lotes de pêssego em calda constando de
25.400 latas de 800 g. São consideradas defeituosas as latas cuja calda apresente menos
de 45 oBrix. Estabelecer o plano de amostragem simples por atributos utilizando as Tabelas
do AMS_USDA.
Solução. Na Tabela 26A (Planos de Amostragem do AMS_USDA para frutas, hortaliças e
pescados enlatados ou processados de forma similar em recipientes de tamanho tal que se-
jam prontamente individualizados (produto envasados)) encontra-se que este tipo de lote cai
no Grupo 2, uma vez que as latas são de 800 g (entre as de No. 300 e as de No. 3, faixa de
0,5 a 1,9 kg. 
O lote está compreendido entre 24.001 e 48.000 unidades. Assim, a Tabela 26A indi-
48
ca que devem ser selecionadas 21 latas, ao acaso por lote, para amostra e determinar o Brix
da calda. Se forem encontradas até 3 latas com Brix inferior a 45º, aceita-se o lote; se forem
encontradas 4 ou mais latas, das 21 analisadas, cuja calda apresente Brix inferior a 45º, re-
jeita-se o lote.
Exemplo 13. (Proposto) - Descreva o plano de amostragem múltipla para a mesma situação
do exemplo 13, utilizando as Tabelas do USDA.
Exemplo 14. Qual deve ser o tamanho da amostra e o critério de aceitação na avaliação do
ºBrix da polpa congelada de acerola, se o produto está disposto em lotes de 2000 pacotes
de 350 g (peso líquido). 
O Brix médio (mínimo) da polpa integral de acerola é 10,5 º. 
Solução. Na Tabela 26C (Planos de Amostragem do AMS_USDA para frutas, hortaliças e
produtos relacionados enlatados, congelados ou processados de forma similar, em pasta, lí-
quido ou em estado homogêneo) encontra-se que este tipo de lote pertence ao grupo 2 (fai-
xa de 340 g a 1,7 kg), uma vez que os pacotes são de 350 g. 
Para lotes deste tipo, cujo tamanho é < 3600 unidades, a Tabela 26C indica que de-
vem ser selecionados 3 pacotes, ao acaso por lote, para amostra, homogeneizar o conteúdo
de cada pacote e determinar o Brix da polpa. 
Não sendo encontrado nenhum pacote com Brix inferior a 10,5º (c=0), aceita-se o
lote; se for encontrado 1 ou mais pacote, dos 3 analisadas, cujo Brix da polpa seja inferior a
10,5º, rejeita-se o lote.
5.7 - Planos de Amostragem por Atributos baseados no Nível de Qualidade 
 Limite - Sistema de Amostragem da Norma NBR 5427
Os planos de amostragem baseados no Nível de Qualidade Aceitável (NQA), como
os da NBR 5426, apresentam baixa probabilidade de aceitação (Pa) ou uma alta probabilida-
de de rejeição, para lotes com elevada percentagem defeituosa ou de defeitos por cem uni-
dades (em relação ao NQA). Esta situação não oferece problemas no caso de inspeções su-
cessivas de lotes, em que a comutação pode ser implementada. Entretanto, para o caso de
inspeção de lotes isolados, mesmo uma baixa probabilidade de aceitação de lotes com baixa
qualidade (grande percentagem de não conformes), pode se tornar importante.
Normalmente este ponto é especificado em termos da pior qualidade, Qualidade Limi-
te ou Fração Defeituosa Tolerável (QL ou FDT) que o comprador concorda em aceitar. É evi-
dente que uma baixa probabilidade de aceitação estará ligada a esta situação, sendo esta
probabilidade o risco do comprador. As Tabelas 13 a 16 da NBR 5426 fornecem os valores
49
de QL ou FDT para riscos do comprador de 10% e de 5%.
Nos planos de amostragem da NBR 5426 os produtos devem ser considerados como
contínuos (em série), agrupados em lotes consecutivos. Na inspeção por amostragem há
que se considerar os lotes sob os seguintes aspectos:
a) lotes isolados de uma unidade de produto são em pequeno número ao passo que lotes
contínuos (seriados) resultam de uma longa e consecutiva série de produção;
b) a inspeção por amostragem de lotes isolados envolve a exigência do QL e o ponto princi-
pal está no risco do comprador. A amostragem de lotes seriados envolve o NQA e o pon-
to principal é o risco do vendedor (fornecedor).
Para a inspeção de lotes isolados a NBR 5426 oferece os métodos e procedimentos
de amostragem simples, para assegurar ao comprador que lotes de produto de qualidade
igual ou inferior à da Qualidade Limite (QL) terão pequena chance de aceitação. Para isso é
necessário que se definam três valores:
a) A percentagem máxima de não conformidade que se poderá aceitar (o valor de QL ou
FDT);
b) O valor da probabilidade de aceitação associada a esta baixa qualidade (seja risco do
comprador de 5% ou de 10%);
c) O tamanho do lote - o plano de amostragem é encontrado na NBR 5426 como descrito a
seguir:
 o código literal do tamanho da amostra é obtido na Tabela 1, dado o tamanho do lote e o
nível de inspeção, geralmente o nível II;
 o QL apropriado é selecionado das Tabelas 13, 14, 15 ou 16, em função do risco do com-
prador de 10% ou 5% e da maneira de expressão da não conformidade p’(%) ou defeitos
por cem unidades (dcu);
 entra-se na Tabela escolhida, na linha de valores para o tamanho da amostra, conforme
o código literal determinado - leia-se da esquerda para a direita a série de valores até en-
contrar o número imediatamente inferior ou igual ao valor especificado da QL. Encontra-
do este número, localiza-se no topo da coluna o valor correspondente do NQA;
 com o NQA e o código literal do tamanho da amostra obtido determina-se o tamanho da
amostra e os números de aceitação e de rejeição na Tabela 2 da NBR 5426.
Exemplo 15. Um cliente recebe lotes de 3600 pacotes de 255 g (peso bruto) de um produto
alimentício. O pacote vazio tem peso médio de 5 g. O peso líquido de produto é de 250 g.
Este cliente está de acordo em aceitar o lote com risco de 10% (Pc=0,10) para um QL = 5%.
A não conformidade é estabelecida como a fração (proporção) de pacotes no lote com peso
bruto menor do que 250 g. 
50
Solução: o plano de amostragem simples com inspeção normal obtém-se da NBR 5426
como segue:
a) para lotes de 3600 unidades (Inspeção nível II) o tamanho da amostra com código literal
“L” é obtido da Tabela 1;
b) a Tabela 13 (da NBR 5426) é escolhida, pois o risco do comprador é de 10% e a expres-
são da não conformidade é baseada na percentagem defeituosa;
c) na Tabela 13, na linha correspondente ao código literal de tamanho de amostra “L”, en-
contra-se o valor de 4,6 como o sendo o mais próximo inferior do QL de 5% especificado.
No topo da coluna correspondente a este QL tem-se um NQA de 1,0%.
Desta forma, com este NQA de 1,0%, obtém-se na Tabela 2 que o tamanho da amos-
tra lido é de n=200 unidades, com número de aceitação c=5 e de rejeição r=6.
Para facilitar a determinação de planos de amostragem baseados exclusivamente em
valores de QL ou FDT foram elaboradas Tabelas complementares baseadas no risco do
comprador de 10% e de 5%, para amostragem simples, dupla e múltipla e não conformidade
em “percentagem defeituosa” ou defeitos por cem unidades. As Tabelas de 1 a 10da NBR
5427 constituem este conjunto. A utilização destas Tabelas é feita a partir da Tabela 1 da
NBR 5426 para determinação do “código literal do tamanho da amostra”, em função do ta-
manho do lote e do nível de inspeção.
Exemplo 16. Determinar o plano de amostragem para inspeção por atributos de lotes isola-
dos de N=9000 unidades, por amostragem simples, nível II de inspeção geral. Um QL de 4%
foi especificado para risco do comprador de 10%.
Solução: Pela Tabela 1 da NBR 5426 encontra-se que para lotes de 9000 unidades no nível
II de inspeção são adequados os planos de código literal “L”. Pela Tabela 1 da NBR 5427, na
linha correspondente a amostras “L”, encontra-se um tamanho de amostra de n = 200 unida-
des. Na coluna correspondente ao QL de 4,0% encontra-se o número de aceitação c=5 e de
rejeição r=6, ficando portanto determinado o plano de amostragem.
Exemplo 17. Lotes isolados de N=2500 pacotes de 500 g de ervilha estão para ser inspecio-
nados para defeitos no fechamento das embalagens. O comprador estabeleceu que serão
aceitos um máximo de 5% de lotes (risco do comprador de 5%) com percentagem defeituosa
de 4,0% (QL=4,0%). Estabelecer o plano de amostragem simples, utilizando o nível II de ins-
peção geral, para atender a esta situação. A partir do tamanho da amostra determinar o valor
51
do NQA para o caso. 
Solução: Pela Tabela 1 da NBR 5426 encontra-se que para lotes de 2500 unidades no nível
II de inspeção são adequados os planos de código literal “K”. Pela Tabela 6 da NBR 5427, na
linha correspondente a amostras “K”, encontra-se um tamanho de amostra de n = 125 uni-
dades. Na mesma Tabela 6, na coluna correspondente ao QL de 4,0% e na linha de amos-
tras K, encontra-se o número de aceitação c=1 e de rejeição r=2, ficando portanto determina-
do o plano de amostragem. Ou seja, em cada lote de 2500 pacotes de ervilha deverão ser
selecionados 125 ao acaso e inspecionados para defeito no fechamento. Se for encontrado
até um pacote com defeito aceita-se o lote (c=1); no caso de 2 ou mais pacotes com defeitos
de fechamento, o lote será rejeitado.
Para se conhecer o valor de NQA utiliza-se a Tabela 15 da NBR 5426, uma vez que o
risco do comprador é de 5% e a não conformidade é expressa em percentagem defeituosa
no lote. Na Tabela 15, na linha correspondente ao código literal de tamanho de amostra “K”,
encontra-se o valor de 3,8 como o sendo o mais próximo inferior do QL de 4% especificado.
No topo da coluna correspondente a este QL tem-se um NQA de 0,40%.
Exemplo 18. Lotes isolados de N=1000 frascos de 350 ml de um refrigerante estão para ser
inspecionados para ºBrix. O comprador estabeleceu que serão aceitos um máximo de 10%
de lotes (risco do comprador de 10%) com percentagem defeituosa de 6,5% (QL=6,5%). Es-
tabelecer o plano de amostragem dupla, utilizando o nível II de inspeção geral, para atender
a esta situação. A partir do tamanho da amostra determinar o valor do NQA para o caso. O
Brix mínimo é de 7º. 
Solução: Pela Tabela 1 da NBR 5426 encontra-se que para lotes de 1000 unidades no nível
II de inspeção são adequados os planos de código literal “J”. Pela Tabela 2 da NBR 5427, na
linha correspondente a amostras “J” e na coluna correspondente ao QL=6,5% encontra-se o
plano de amostragem múltipla procurado:
ni n ci ri
50 50 0 3
50 100 3 4
Este plano consiste no seguinte: coletar 50 unidades ao caso por lote e determinar o
Brix; se não for encontrada nenhuma delas com Brix < 7,0º aceita-se o lote, se forem encon-
tradas 3 ou mais frascos com Brix < 7,0º, rejeita-se o lote. No caso de se encontrar 1 ou 2
dos 50 analisados com Brix < 7,0 º, deve-se coletar a outra subamostra de 50 frascos e de-
terminar o seu Brix. Se a soma do número de frascos com Brix abaixo de 7,0O for até 3,
52
aceita-se o lote, se esta soma for de 4 ou mais, rejeita-se o lote. 
Para se conhecer o valor de NQA utiliza-se a Tabela 13 da NBR 5426, uma vez que o
risco do comprador é de 10% e a não conformidade é expressa em percentagem defeituosa
no lote. Na Tabela 13, na linha correspondente ao código literal de tamanho de amostra “J”,
encontra-se o valor de 6,5 como o sendo o QL especificado. No topo da coluna correspon-
dente a este QL de 6,5 tem-se um NQA de 1,0%.
Uma prática relativamente comum, na inspeção por amostragem, é a atribuição de di-
ferentes valores de NQA para defeitos graves, para defeitos toleráveis ou para total de de-
feitos. Em razão desta diferença de valores de NQA é possível que a NBR 5426 ofereça um
tamanho de amostra para atender aos defeitos graves e outro tamanho para atender à exi-
gência de defeitos toleráveis ou total de defeitos. Os diferentes tamanhos de amostra podem
ser indicados quando as Tabelas de amostragem apresentam as flechas duplas, apontando
para cima e para baixo, na coluna do NQA.
Sempre que dois tamanhos de amostra são indicados pelas Tabelas (para um deter-
minado código literal de tamanho de amostra, porém com valores diferentes de NQA), o pro-
cedimento correto é escolher primeiramente a maior amostra indicada, a seguir determinar o
menor tamanho de amostra que será retirada da amostra de maior tamanho.
Exemplo 19. Um produto é apresentado em lotes de 75 unidades, em média. Na inspeção
por amostragem são analisadas duas categorias de defeitos, denominados de graves e tole-
ráveis. São designados dois valores de NQA. Um de 1,5% (percentagem defeituosa), para
defeitos graves e 2,5% para o total de defeitos (somando-se defeitos graves e toleráveis).
Admitindo o nível II de inspeção geral para o caso, descrever o plano de amostragem.
Solução: o plano de amostragem simples com inspeção normal é obtido das Tabelas da NBR
5426, com segue:
a) o código literal de tamanho de amostra é “E”, baseado em lotes de 75 unidades e nível II
de inspeção geral;
b) para defeitos graves, a Tabela 2 (da NBR 5426) é usada, encontrando-se o tamanho n da
amostra de 8 unidades, com número de aceitação zero (n=8 e c=0), pois a seta obrigou
a transferência do código literal “E” para “D”, considerando o mesmo valor de NQA de
1,5%;
c) para o total de defeitos a Tabela 2 indica o tamanho de amostra de 20 unidades e o nú-
mero de aceitação igual a 1 (um), com base no código literal “F”, pois a seta obrigou a
transferência do código literal de “E” para “F”;
d) retira-se então a amostra inicial de 20 unidades do mesmo lote. Uma amostra de 8 unida-
53
des é retirada, também aleatoriamente, da amostra de 20 unidades, sendo todas as 8
unidades inspecionadas quando aos defeitos graves e toleráveis. Se nenhum defeito gra-
ve for encontrado nas 8 unidades, o lote é aceito quanto aos defeitos graves, entretanto,
se um ou mais defeitos toleráveis for encontrado rejeita-se o lote;
e) se 2 ou mais defeitos toleráveis são encontrados nas 8 primeiras unidades, o lote será
rejeitado pelo total de defeitos; por outro lado se zero ou 1 (um) defeito tolerável for en-
contrado, as 12 unidades restantes da amostra maior podem ser inspecionadas pelo total
de defeitos (graves e toleráveis). Se o total de defeitos nas 20 unidades for zero ou 1
(um) aceita-se o lote; entretanto, se o número total de defeitos for 2 ou mais, rejeita-se o
lote. 
5.8 - Desenvolvimento de Planos de Amostragem Simples por Variáveis 
 
5.8.1 - Introdução
Em controle de produtos ou processos em que a característica de qualidade é medi-
da e seus valores são expressos em algum tipo de escala e, não simplesmente classificando
a unidade como aceitável ou não (defeituosa ou perfeita), a amostragem por variáveis é pre-
ferida, sendo provavelmente mais econômica. Os planos de amostragem por variáveis re-
querem amostras substancialmentemenores do que os planos por atributos, para um mes-
mo nível de precisão ou segurança. O Quadro 6 representa um exemplo de comparação en-
tre tamanhos de amostras por atributos e por variáveis.
Quadro 6. Comparação de Tamanhos de Amostras para Planos de Amostragem por 
 Atributos e por Variáveis
 Tamanho da Amostra por Variáveis
 ----------------------------------------------------------------------
Tamanho da Sigma (σ) desconhecido Sigma (σ) conhecido
Amostra por ----------------------------------------------------------------------
Atributos Tamanho da % do plano Tamanho da % do plano
 Amostra (n) de atributos Amostra (n) de atributos 
 10 7 70 5 50
 15 10 67 6 40
 20 13 65 7 35
 30 16 53 9 30
 40 20 50 11 28
 55 25 45 13 24
 75 35 47 16 21
 115 50 43 20 17
 150 60 40 24 16
 225 70 41 28 12
 300 85 28 32 18
 450 100 22 36 8 
 750 125 17 40 5
1500 200 13 45 3
Fonte: (Kramer & Twigg, 1970)
54
Planos de amostragem por variáveis podem ser construídos e utilizados de forma se-
melhante aos planos por atributos, determinando a aceitação ou rejeição de lotes. Além dis-
so os planos por variáveis são utilizados em inspeção por amostragem para a determinação
do nível de qualidade de lotes. 
Há situações em que somente um plano por variável é aplicável, por exemplo, quan-
do o comprador irá aceitar o produto, mas ele/ela irá pagar preços diferenciados, dependen-
do do nível da qualidade. Assim, o problema não é encontrar um plano de amostragem míni-
mo que irá dar alguma garantia ao vendedor de que seu lote será aceito se de fato atender a
certas especificações; nem é o problema de fornecer alguma garantia ao comprador de que
o lote será rejeitado se de fato ele não atende a certas especificações. 
Na compra com base na qualidade, comprador e vendedor estão interessados em
encontrar um plano de amostragem mínima que forneça uma avaliação tão exata quanto
possível, da qualidade verdadeira do lote, de modo que o pagamento possa ser realizado
com base nesta qualidade. 
Algumas situações típicas de aplicação de planos de amostragem por variáveis são:
inspeção de matérias-primas para aceitação ou para determinação do grau de qualidade,
inspeção de produtos em etapas intermediárias de processamento, inspeção de produtos
prontos para aceitação ou para determinação do grau de qualidade, principalmente para me-
didas quantitativas com composição química, determinações de peso ou de volume, e medi-
das físicas como propriedades reológicas. 
As Tabelas de planos de amostragem por variáveis (pré-estabelecidos) como as da
norma NBR 5429 e outras disponíveis na literatura e em outras normas técnicas são de
grande utilidade. Entretanto, há casos em que um plano específico deve ser desenvolvido. 
Para o desenvolvimento de um plano específico de amostragem por variáveis as-
sume-se que a distribuição normal de probabilidade (Tabela 31) se ajusta bem à distribuição
dos valores da característica de qualidade considerada. 
Dados a média µ, o desvio-padrão σ e - < x < , a função densidade de probabili-
dade para a população, utilizando-se a distribuição normal , é assim representada:
Figura 9 - Curva de distribuição normal.
55
2)
σ
μx
(
2
1
e
2πσ
1
f(x)



x
f(x)
 log UFC/g ou mL
A distribuição normal de probabilidades apresenta algumas propriedades específicas:
 simetria em relação à média; 
 valor máximo de frequência para valor da variável igual à média; 
 2/3 das observações ocorrem no intervalo da média mais ou menos um desvio-padrão; 
 aproximadamente 95% das observações ocorrem no intervalo entre a média mais ou me-
nos dois desvios padrões.
O termo desvio-padrão utilizado nesta discussão refere-se à uma medida da variabili-
dade dos resultados das determinações de diferentes amostras. O desvio-padrão é uma me-
dida da dispersão (variação) dos dados em torno de sua média. Quando se tem o desvio-
padrão da população, isto é, quando se analisa 100% dos lotes, utiliza-se a letra grega 
(sigma) para representá-lo. 
Quando se tem o desvio-padrão amostral (valor obtido a partir de uma amostra) re-
presenta-se por s. Assim, para uma amostra X1, X2, X3 ... Xn o desvio-padrão é dado por:
s = (V(X))1/2, em que V(X) é a variância da variável X dada por
 
V(X) = ( Xi2 - ( X)2/n)/(n - 1). Por exemplo, se 5 amostras de leite foram analisa-
das para acidez Dornic; tem-se:
Amostra oDornic 
------------------------ ( X2) = 152 + 172 + 162 + 182 + 172 = 1383
 1 15
 2 17 ( X) = 15 + 17 + 16 + 18 + 17 = 83
 3 16
 4 18 V(X) = (1383 - 832/5)/(5 - 1) = 1,30
 5 17
-------------------------- s = (V(X))1/2 = (1,30)1/2 = 1,14
 s = 1,14
Nas estimativas de parâmetros (qualidade média) de um lote (população) utilizando
resultados de uma amostra há sempre um erro envolvido, denominado de erro de amostra-
gem. Isto é, uma variação que ocorre devida à amostragem, ou seja, a variação que aconte-
ce entre os resultados obtidos de amostras aleatórias. Por exemplo, ao se coletar diferentes
amostras aleatórias de um mesmo lote, obtém-se diferentes valores para uma determinada
característica de qualidade. Essa variação é causada pelo erro de amostragem. Este erro (e)
pode ser estimado por:
e = zs/n1/2 (derivado do conceito de intervalo de confiança), em que:
e = erro ao se estimar a média do lote com base nos resultados de uma amostra 
 de tamanho n;
z = valor da abcissa da distribuição normal, dada a frequência ou probabilidade 
 desejada;
s = estimativa da variabilidade em termos de desvio-padrão. 
56
A partir da fórmula de e (erro de amostragem) pode-se estimar o tamanho n da amos-
tra necessária para fornecer uma estimativa da média do lote, dada a freqüência ou probabi-
lidade desejada, admitindo o erro e.
n = (zs/e)2.
5.8.2 - Alguns exemplos serão úteis na discussão destes conceitos
Exemplo 20. Uma empacotadeira de leite apresenta desvio-padrão de 30 mL com média de
1.000 mL. Ao nível de 95% de confiança, qual é o erro (e) em se estimar a média de volume
da embalagem de um lote, baseado na determinação de volume de uma embalagem ape-
nas.
 
Solução. A fórmula de erro e = zs/ √n . Para um grau de 95% de confiança (bilateral) o va-
lor de z =1,96 (Tabela 31). Portanto,
z = 1,96
s = 30
n = 1 Daí e = (1,96)(30)/11/2 = 58,8 mL.
Isto quer dizer que 95% das vezes em que se medir o volume de uma embalagem,
retirada ao acaso, o volume médio do lote será o volume da embalagem amostra mais ou
menos 58,8 mL.
 O Quadro a seguir apresenta os valores de e para a mesma situação, mas variando o
tamanho (n) da amostra. 
___n_______e___ Para 95% de confiança, e = (1,96)(30)/ √n
 1 58,80 
 2 41,58 Como se observa pelos resultados do Quadro ao
 4 29,40 lado, o erro de amostragem decresce com o 
 8 20,79 aumento do tamanho da amostra. O erro e de 
 12 16,97 amostragem também aumenta com o aumento 
 16 14,70 do grau de confiança, mantendo fixo o 
 100 5,88 tamanho n da amostra. O Quadro a seguir ilustra
 500 2,63 este aspecto.
 1600 0,15
------------------------
57
Variação do erro e de amostragem com o aumento
do grau de confiança, para um determinado tamanho 
de amostra, n = 9; e = (z)(30)/ √n
Probabilidade (%) z (Tabela 31) e = 10 z
 50,0 0,68 6,8
 60,0 0,84 8,4
 70,0 1,04 10,4
 80,0 1,28 12,8
 90,0 1,65 16,5
 95,0 1,96 19,6
 97,5 2,24 22,4
 98,0 2,33 23,3
 99,5 2,81 28,1
Exemplo 21. Determinar o tamanho n da amostra e o critério de aceitação/rejeição para lo-
tes de limão, a granel. As especificações estabelecem que lotes apresentando teor médio
acidez (expressa em de ácido cítrico) maior do que 110 mg/100 g da fruta fresca deverão ser
rejeitados com 90% de confiança (ou seja 90% das vezes). O desvio-padrão do teor de ácido
cítrico neste tipo de limão é conhecido pelo histórico dos dados de análises, como sendo 21
mg/100 g. Um erro e de 4 mg é admitido na estimativa do verdadeiro teor médio de ácido cí-
trico do lote. 
a) Qual é o tamanho n da amostra a ser analisada?
b) Qual é o ponto de aceitação/rejeição em termos de média amostral ?
Solução.
a) O tamanho da amostra será dado por n = (zs/e)2. Como visto no exemplo anterior, o va-
lor de z é obtido da Tabela 31 (distribuição normal). Neste caso a especificação da quali-
dade é unilateral, isto é, os lotes serão aceitos se houver alguma segurança de que seu
teor médio de ácido cítrico não ultrapasse a 110 mg/100 g. 
Assim, o valor de z da Tabela 31 deve ser tomado considerando os 90% de confiança
(probabilidade) em apenas um dos lados da curva normal, o que fornece um z = 1,28. Os
valores de s e e são dados:
s = 21 mg/100 g; e = 4 mg/100 g.
Desta forma, n = ((1,28)(21)/4)2 = 45,16 ou 45 unidades (limões). 
Observe que o tamanho da amostra n, deveria ser de 45,16 o que foi arredondado
para 45. Qual é a consequência deste arredondamento para o valor do erro e? Isto 
pode ser calculado:
58
e = zs/ √n = (1,28)(21)/ √45 = 4,007; portanto uma diferença praticamente desprezível 
do valor exigido de e = 4. 
Outra observação interessante é em relação ao tamanho da amostra n. Este valor de
45 pode ser reduzido, se, por exemplo, puder ser admitido um aumento do erro na estimativa
da verdadeira média do lote. Se ao invés de e = 4, for admitido e = 6, por exemplo, tem-se:
n = ((1,28)(21)/6)2 = 20; portanto uma amostra muito menor, para os mesmos 90% de confi-
ança.
b) Critério para aceitação/rejeição em termos de média amostral. O plano de amostragem
prevê a coleta de amostra de 45 unidades ao acaso, em cada lote, para estimativa da
verdadeira média do teor de ácido cítrico do lote, com erro de 4 mg/100 g, em 90% das
vezes. 
O limite de qualidade foi definido como sendo no máximo 110 mg de ácido cítrico/100 g.
Logo, serão aceitos lotes cuja média amostral de ácido cítrico for menor ou igual a 106
mg/100g. Isto é, 110 - 4 = 106. 
Assim, o plano prevê a coleta de 45 unidades por lote, determinação do teor de ácido
cítrico de cada unidade e cálculo da média amostral. Se esta média for menor ou igual a 106
mg/100g; aceita-se o lote, caso contrário rejeita-se o lote.
Exemplo 22. Lotes de hambúrgueres são recebidos pela central de estocagem/
distribuição de uma cadeia de lanchonetes. A especificação estabelece que o teor de gordura
dos hambúrgueres, em cada lote, deve estar ente 21% e 28% m/m). Qual deve ser o tama-
nho n da amostra e o critério de aceitação de lotes, se a média amostral deve estar entre
mais ou menos 0,5% de gordura da verdadeira média do lote (e = 0,5), com 95% de confian-
ça; o desvio-padrão do teor de gordura do hambúrguer foi obtido por meio de dados de análi-
se de uma série histórica do produto, como sendo 1,4%. 
Solução. A média da amostra de tamanho n deve estimar o teor de gordura do lote com erro
e = 0,5; em 95% das vezes. O limite de qualidade é bilateral, isto é, entre 21 e 28% de gor-
dura. Assim, o valor de z é obtido da Tabela 31, observando este aspecto, portanto para uma
probabilidade de 0,475; o que fornece z = 1,96. O valor de s = 1,4 e do erro e = 0,5.
Daí n = (zs/e)2 = ((1,96)(1,4)/0,5)2 = 30,12 ou 30 unidades.
Assim o plano de amostragem será coletar 30 hambúrgueres ao acaso, por lote, de-
terminar o teor de gordura em cada um deles e calcular a média amostral. Serão aceitos os
lotes cuja média de teor de gordura estiver entre 21,5 e 27,5%. O valor 21,5 é o limite inferior
de 21% mais 0,5% do erro. Da mesma forma, o valor 27,5 é o limite superior de 28% menos
59
o erro de amostragem de 0,5%. 
 Alguém do sistema pode arguir que este tamanho de amostra é muito grande, tornan-
do o processo de inspeção muito caro. Quais seriam algumas alternativas para redução do
tamanho da amostra mas, mantendo o nível de confiança em 95% ?
Apresenta-se duas alternativas a seguir:
a) Reduzindo a variação do teor de gordura dos hambúrgueres, isto é, reduzindo o desvio-
padrão. Se o processo de produção for melhorado no sentido de promover melhor mistura
dos ingredientes e melhor seleção da carne que entra na fabricação do produto, talvez esta
variação possa ser reduzida. Isto implica em refinamento da técnica de produção. 
Admitindo que isto seja possível e tenha sido realizado, suponha que o desvio- padrão agora
tenha caído para s = 1,15% de gordura. Neste caso o tamanho n da amostra será:
n = ((1,96)(1,15)/0,5)2 = 20,32 ou 20 unidades; um valor bem menor, portanto. 
Analise as consequências do arredondamento de 20,32 para 20 no tamanho de n acima, so-
bre o erro.
 e = zs/ √n = (1,96)(1,15)/ √20 = 0,504; portanto diferença praticamente desprezível
para o valor exigido de 0,50. 
b) A segunda alternativa dada aqui para redução do tamanho da amostra é mais arriscada.
Seria o caso de admitir maior erro de amostragem, isto é, reduzir a precisão desejada na es-
timativa da média do lote, aumentando o valor de e de 0,50 para, 0,70, por exemplo. Assim,
n = ((1,96)(1,4)/0,70)2 = 15,366 ou 16 unidades. Neste caso a regra de decisão também é
afetada. Lotes serão aceitos se a média do teor de gordura de 16 hambúrgueres, retirados
ao acaso, estiver entre 21,7 e 27.3%.
 
Exemplo 23. Lotes de laranja são recebidos para inspeção. O comprador quer alguma ga-
rantia de que o teste estimará o verdadeiro oBrix do lote com e = 0,5 oBrix, 95% das vezes.
Dez laranjas foram coletadas ao acaso de 10 lotes e o oBrix determinado. O desvio-padrão
desta amostragem foi de 1,0 oBrix. Pede-se:
a) Qual deve ser o tamanhon da amostra para estimar o oBrix do lote nestas condições ?
b) Se a especificação for para aceitar lotes em que haja 95% de confiança de que o oBrix
seja no mínimo 11, determinar o valor de n e descrever resumidamente o plano de amos-
tragem e a regra de decisão;
c) Para a questão do item b, qual seria o valor de n e a regra de decisão se o erro e = 0,20?
60
d) Qual seria o valor de e se n = 44 ? E se n = 121, para estimar a média do lote com 95%
de confiança?
e) Desenvolver as curvas características de operação (CCO) para os planos: 
 n = 11, a = 11,5 e s = 1,0; e para o plano n = 68, a = 11,2 e s = 1,0.
( a é o limite de especificação amostral)
Solução. 
a) Para estimar o tamanho da amostra utiliza-se a fórmula n = (zs/e)2. Para 95% de confi-
ança o valor de z (bilateral) na Tabela 31 é de 1,96. s = 1,0 e e = 0,5 oBrix.
n = ((1,96)(1,0)/0,5)2 = 15,37 ou n = 15. Portanto, uma amostra de 15 laranjas;
b) Se a especificação é para aceitar lotes com no mínimo 11oBrix, então o valor de z para
95% de confiança é unilateral. Na Tabela 31 tem-se z = 1,65. 
Daí n = (zs/e)2 = ((1,65)(1,0)/0,5)2 = 10,89 ou 11 laranjas. Assim, o plano de amostragem
será coletar 11 laranjas ao acaso em cada lote e determinar o Brix. Se a média de Brix
for igual ou superior a 11,5 aceita-se o lote (11,0 oBrix mínimo mais 0,5 oBrix do erro de
amostragem); se o Brix médio da amostra for inferior a 11,5 o rejeita-se o lote;
c) Se e = 0,20; então n = (zs/e)2 = ((1,65)(1,0)/0,20)2 = 68,06 ou 68 laranjas. Neste caso
seriam coletadas 68 laranjas ao acaso em cada lote e determinado o oBrix de cada uma.
Se a média de Brix for igual ou superior a 11,2 aceita-se o lote; se o Brix médio for inferi-
or a 11,2 rejeita-se o lote.
d) Para n = 44 o valor de e = zs/ √n = (1,65)(1,0)/ √44 = 0,25
 Para n = 121 o valor de e = zs/ √n =(1,65)(1,0)/ √121 = 0,15
Observação. Admite-se que estas amostras são para estimar a média de lotes para aceita-
ção com no mínimo 11 oBrix, portanto o z foi tomado com 95% de confiança unilateral.
e) Para desenvolver a CCO, alguns valores de e são selecionados "arbitrariamente" para
representar lotes com diferentes valores de Brix. Os valores de z são calculados a partir
desses valores de e e as probabilidades de aceitação dos lotes são obtidas da Tabela 31
(distribuição normal). Para isto monta-se o Quadro 7.
61
Quadro 7. Dados e cálculos necessários para construção da CCO dos planos de 
 amostragem por variáveis.
 Plano de n = 11 a = 11,5 s = 1,0 
Valores Valores Área sob Valores da Probabilidades
 de de a curva abcissa de aceitação (%)
 e z = e √n /s Tab. 31 da CCO (0,5 ASC)x100
 ASC 11,5 e Pa (%)
 0,90 2,98 0,4986 12,40 99,9
 0,80 2,65 0,4960 12,30 99,6
 0,70 2,32 0,4898 12,20 99,0
 0,60 1,99 0,4767 12,10 97,7
 0,50 1,66 0,4515 12,00 95,2
 0,40 1,33 0,4082 11,90 90,8
 0,30 0,995 0,3401 11,80 84,0
 0,20 0,66 0,2454 11,70 74,5
 0,15 0,497 0,1910 11,65 69,1
 0,10 0,33 0,1294 11,60 62,9 
 0,05 0,166 0,0670 11,55 56,7
 0,05 0,166 0,0670 11,45 43,3
 0,10 0,33 0,1294 11,40 37,1
 0,15 0,497 0,1910 11,35 30,9
 0,20 0,66 0,2454 11,30 25,5
 0,30 0,995 0,3401 11,20 16,0
 0,40 1,33 0,4082 11,10 9,2
 0,50 1,66 0,4515 11,00 4,9
 0,60 1,99 0,4767 10,90 2,3
 0,70 2,32 0,4898 10,80 1,0
 0,80 2,65 0,4960 10,70 0,4
 Plano de n = 68 a = 11,2 e s = 1,0
 e z = e √n /s ASC 11,2 e Pa=(0,5 ASC)x100
 0,35 2,89 0,4981 11,55 99,8
 0,30 2,47 0,4932 11,50 99,3
 0,25 2,06 0,4803 11,45 98,0
 0,20 1,65 0,4505 11,40 95,1
 0,15 1,24 0,3925 11,35 89,3
 0,10 0,82 0,2939 11,30 79,4
 0.08 0,66 0,2454 11,28 74,5
 0,06 0,49 0,1879 11,26 68,8
 0,04 0,33 0,1294 11,24 62,9
 0,02 0,16 0,0636 11,22 56,4
 0,01 0,08 0,0319 11,21 53,2
 0,01 0,08 0,0319 11,19 46,8
 0,02 0,16 0,0636 11,18 43,6
 0,04 0,33 0,1294 11,16 37,1
 0,06 0,49 0,1879 11,14 31,2
 0,08 0,66 0,2454 11,12 25,5
 0,10 0,82 0,2939 11,10 20,6
 0,15 1,24 0,3925 11,05 10,8
 0,20 1,65 0,4505 11,00 5,0
 0,25 2,06 0,4803 10,95 2,0
 0,30 2,49 0,4932 10,90 0,7
62
 A CCO para os dois planos de amostragem do exemplo 23 pode ser desenhada plotan-
do os dados da abscissa Brix vs. respectivas percentagens de aceitação. 
5.9 - Planos de Amostragem por Variáveis - Planos Pré-estabelecidos
 (Tabelas de Amostragem por Variáveis)
5.9.1 - Tabelas de Amostragem por Variáveis de Bowker & Goode
 A Tabela 28 fornece códigos literais de tamanho de amostra para três níveis gerais (I,
II e III) de inspeção, correspondentes a diferentes tamanhos de lotes. De forma semelhante à
da Tabela 1 da NBR 5426, o nível II será sempre o indicado, para inspeção normal. A inspe-
ção no nível I poderá ser adotada quando menor discriminação for aceitável. Os planos do
nível III oferecerão sempre maior discriminação (menor Pa) da amostragem. 
Se o desvio-padrão da característica de qualidade sob consideração no lote é desco-
nhecido (sigma desconhecido), caso mais comum no início da aplicação de sistema objetivo
de controle de alimentos, então o código literal da Tabela 28 determina o tamanho da amos-
tra encontradona Tabela 29. Um fator k para multiplicar pelo desvio-
padrão amostral (s) da característica de qualidade é encontrado na Tabela 29, para uma de-
terminada classe de Nível de Qualidade Aceitável. 
Se a variabilidade dos valores da característica de qualidade considerada no lote, em
termos de desvio-padrão, é conhecida (sigma conhecido), então a Tabela 30 é utilizada em
lugar da Tabela 29, com grande economia de trabalho, em virtude do menor tamanho de
amostra necessário.
Exemplo 24. Uma rede de confeitaria compra lotes de clara ovos congelada de 800 a 1250
pacotes por lote. Este comprador exige uma garantia de que o teor de gordura dos lotes
aceitos não ultrapasse 1,0% mais do que 5% das vezes. Isto é, lotes cujo teor médio verda-
deiro de gordura seja de até 1,0% serão aceitos pelo menos 95% das vezes.
a) Estabelecer um plano de amostragem por variáveis utilizando o nível II de inspeção e as
Tabelas 28, 29 ou 30, para o caso em que o desvio-padrão do teor de gordura da clara
de ovo congelada é desconhecido. Qual deverá ser a decisão se a média do teor de gor-
dura da amostra analisada for de 0,719% e o desvio-padrão de 0,144 % ?
b) Estabelecer um plano de amostragem por variáveis, nas mesmas condições do item an-
terior, para o caso em que o desvio-padrão do teor de gordura dos lotes é de 0,15%.
Qual deverá ser a decisão se a média do teor de gordura da amostra analisada for de
0,710% ?
63
Solução.
a) A Tabela 28 (código literal para tamanho de amostras por variáveis) em sua linha de ta-
manho de lotes de 800 a 1300 unidades (o lote do problema em questão é N = 800 a
1250 unidades) fornece o código literal letra I, para o nível II de inspeção. Quando se
está iniciando a utilização destes planos de amostragem, ainda não se tem uma série
histórica de dados que permita conhecer a variabilidade do processo. Isto quer dizer que
o desvio-padrão é desconhecido, portanto deve-se utilizar a Tabela 29, onde o se traba-
lha com o desvio padrão amostral. A Tabela 29, para código literal letra I, sugere uma
amostra de 50 unidades. Ainda a Tabela 29, na coluna de NQA na faixa de 0,651 a 1,20
(O NQA do problema em questão é 1,0%) fornece um valor de k = 1,875. 
 Assim, o plano de amostragem requer a coleta, ao acaso, em cada lote, de 50 unida-
des (pacotes) e determinação do teor de gordura em cada um deles. A partir dos valores ob-
servados determina-se a média aritmética (m) e o desvio-padrão (s) do teor de gordura da
clara de ovo, para as 50 determinações. A regra de decisão, como indicada no topo da Tabe-
la 29, pode ser resumida como:
se, m + kσ 1,0 (Máximo de 1% de gordura); aceita-se o lote
se m + kσ > 1,0; rejeita-se o lote. 
 No exemplo acima tem-se: n = 50
 k = 1,875
 m = 0,719%
 s = 0,144%
Assim, m + ks = 0,719 + 1,875(0,144) = 0,989. Portanto, a decisão neste caso seria de acei-
tar o lote, já que o limite requerido é de no máximo 1% de gordura.
 
b) Para o caso do desvio-padrão conhecido deve-se utilizar a Tabela 30 para se obter o ta-
manho n da amostra e o valor de k. O código literal de tamanho da amostra continua o
mesmo, letra I. A Tabela 30 requer amostra de n = 20 unidades e para NQA de 1,0%, o
valor de k é 1,889. Assim, o plano de amostragem requer a coleta, ao acaso, em cada
lote, de 20 unidades (pacotes) e determinação de seu teor de gordura. A partir dos valo-
res observados determina-se a média aritmética (m) do teor de gordura da clara de ovo.
A regra de decisão é semelhante à do caso anterior, utilizando-se agora o valor dado (co-
nhecido) de desvio-padrão.
se, m + k 1,0; aceita-se o lote
se, m + k > 1,0; rejeita-se o lote.
64
 Dados m = 0,710% e desvio-padrão 0,15%; tem-se:
m + k = 0,710 + 1,889(0,15) = 0,993; Portanto, a decisão seria de aceitar o lote.
Observação: O tamanho de amostra de 20 unidades ainda é muito grande, para determina-
ção do teor de gordura. Entretanto, se o desvio-padrão é conhecido e se sabe que o fornece-
dor do produto tem um bom sistema de garantia de qualidade, o procedimento indicado pode
ser o seguinte: Coleta-se as 20 unidades ao acaso, em cada lote, prepara-se uma amostra
conjunta, isto é, uma mistura dos 20 pacotes e determina-se o teor de gordura em duas ali-
quotas (duplicata). Calcula-se a média das duplicatas. Se esta média m 0,717 aceita-se o
lote; caso contrário, se m > 0,717 rejeita-se o lote.
O valor 0,717 vem da diferença de 1,0 - 1,889(0,15). 
Exemplo 25. Uma indústria está recebendo lotes de manga. Deseja-se alguma garantia em
relação a acidez titulável, que seja no mínimo 6,3 g de ácido tartárico/100 g de polpa, pelo
menos 95% das vezes. Para lotes de 7 000 mangas à granel:
a) Estabelecer o plano de amostragem por variáveis e o critério de aceitação/rejeição, utili-
zando o nível II de inspeção da Tabela 28;
b) Se na inspeção de um lote, a média amostral de ácido tartárico foi de 7,5 g/100 g de pol-
pa com desvio-padrão, também amostral, de 0,9 g/100 g, qual deverá ser a decisão?
Solução. 
a) Para N = 7 000 unidades e nível II de inspeção, a Tabela 28 requer o código literal K.
Para sigma (desvio-padrão) desconhecido utiliza-se a Tabela 29, que fornece um tama-
nho de amostra n = 70 unidades para código literal letra K e um valor de k = 1,284 na fai-
xa de NQA do problema em questão (6,3 % está na faixa de 5,30 - 6,40). 
Assim, o plano de amostragem sugere a coleta, ao acaso, em cada lote, de 50 man-
gas. Determina-se a acidez titulável expressa em g de ácido tartárico por 100 g de polpa
para cada unidade amostral e a média e desvio-padrão da acidez, na amostra. 
 A regra de decisão, como sugerida pela Tabela 29 será:
Se, m - ks > 6,3 g/100 g (Mínimo 6,3 g/100 g); aceita-se o lote
Se, m - ks < 6,3 g/100 g; rejeita-se o lote. 
 b) Para o caso de m = 7,5 g/100 g e s = 0,9 g/100 g tem-se:
 m - ks = 7,5 - 1,284(0,9) = 6,34. Portanto, aceita-se o lote já que o limite mínimo é de 6,3
g/100 g.
65
5.9.2 - Tabelas de Amostragem por Variáveis da NBR 5429
4.9.2.1 - Condições Gerais
Segundo a norma estes planos de amostragem podem ser utilizados, além de outros,
para inspeção de lotes sucessivos (no caso de base no NQA) de produtos prontos para uso,
componentes e matéria-prima, operações, materiais em processamento, materiais estocados
e operações de manutenção.
A inspeção por amostragem por variáveis pelas Tabelas da NBR 5429 exige alguns
cálculos adicionais para determinação dos chamados índices de qualidade (QS para limite
superior de especificação e QI para limite inferior de especificação). Há necessidade de se
considerar as situações de variabilidade conhecida (desvio-padrão ou amplitude) e a de vari-
abilidade desconhecida. Será abordado apenas as situações de usos do desvio-padrão.
Quando a variabilidade (desvio-padrão) é desconhecida, utiliza-se as Tabelas apropri-
adas (Tabelas 2, 3 ou 4 da NBR 5429) e os índices de qualidade são dados por:
QS = (S - m)/s e QI = (m - I)/s , em que 
S = limite superior de especificação
I = Limite inferior de especificação
s e m são, respectivamente, estimativas do desvio-padrão e da média do valor 
 da característica de qualidade considerada, baseada nos valores da amos- 
 tra de tamanho n.
m = média aritmética amostral
Quando a variabilidade (desvio-padrão ) é conhecida, utiliza-se as Tabelas apropri-
adas (Tabelas 5, 6 ou 7 da NBR 5429) e os índices de qualidade são dados por:
QS = v (S - m)/ e QI = v (m - I)/ , em que 
v = fator tabelado para cada caso - ver Tabelas (5, 6, ou 7 da NBR 5429) 
Para limites de especificação unilateral, se após a inspeção da amostra dadapelo
plano de amostragem, a percentagem defeituosa (pS) estimada do lote, acima do limite supe-
rior (S) de especificação ou a percentagem (pI) defeituosa estimada do lote, abaixo do limite
inferior (I) de especificação, for menor ou igual à percentagem defeituosa máxima (M) admis-
sível (ver Tabelas 2 a 7 da NBR 5429), o lote será aceito; ___ se pS ou pI for maior do que
percentagem defeituosa máxima (M) admissível (ver Tabelas 2 a 7 da NBR 5429), ou se o
índice da qualidade (QS ou QI) for negativo, o lote será rejeitado.
Nota: o valor de pS ou pI, conforme o caso, é obtido das Tabelas 27 a 34 da NBR 5429, base-
ado no índice de qualidade QS ou QI, respectivamente e, no tamanho da amostra.
Para limites de especificação bilateral, há duas situações: apenas um valor de NQA
para os limites superior e inferior de especificação e valores diferentes de NQA para cada li-
66
mite de especificação.
Para limites de especificação bilateral e apenas um valor de NQA para os limites su-
perior e inferior de especificação, se após a inspeção da amostra dada pelo plano de amos-
tragem, a percentagem (p) defeituosa estimada do lote, abaixo e acima dos limites inferior e
superior, respectivamente, for menor ou igual à percentagem defeituosa máxima (M) admis-
sível (ver tabelas 2 a 7 da NBR 5429), o lote será aceito; ___ se p > M ou se um dos valores
QS ou QI do índice de qualidade, ou ambos forem negativos, o lote será rejeitado.
Para limites de especificação bilateral e valores diferentes de NQA para os limites su-
perior e inferior de especificação, se após a inspeção da amostra dada pelo plano de amos-
tragem, as percentagens defeituosas estimadas do lote pS acima do limite superior de espe-
cificação e pI abaixo do limite inferior de especificação, forem, cada uma, iguais ou menores
do que as percentagens defeituosas máximas (MS ou MI) admissíveis (ver tabelas 2 a 7 da
NBR 5429), respectivamente e, ainda se p = pS + pI for igual ou menor do que o maior den-
tre os valores de MS e MI, o lote será aceito; ___ se pS > MS ou pI > MI ou se p= pS + pI
for maior do que o maior dentre os valores de MS e MI, ou ainda, se um dos índices de qua-
lidade QS ou QI ou ambos, forem negativos, o lote será rejeitado.
A seqüência de operações para utilização da NBR 5429 pode ser resumida como se-
gue;
1) Determinar o tamanho da amostra - tamanho do lote estabelecido pelos critérios de for-
mação de lote, contidos nos documentos de aquisição, ou conforme acordado entre for-
necedor e comprador;
2) Escolher o nível de inspeção - no início do contrato ou produção é aconselhável usar o
nível II. Poderão ser usados outros níveis de inspeção se o histórico da qualidade ou se
as dificuldades e custo de controle assim o indicar;
3) Determinar o código literal de tamanho de amostra - é encontrado na Tabela 1 na NBR
5429 e baseado no tamanho do lote e no nível de inspeção;
4) Escolher o plano de amostragem - geralmente usa-se o plano de amostragem para varia-
bilidade desconhecida e método do desvio-padrão. Quando especificado no contrato ou
outro documento pode ser utilizado o método da amplitude;
5) Estabelecer a severidade da inspeção - no início do contrato ou produção utiliza-se a ins-
peção em regime normal;
6) Determinar o tamanho da amostragem e a percentagem defeituosa máxima admissível
(M) - baseados nos requisitos para inspeção normal - variabilidade desconhecida e méto-
do do desvio-padrão, são encontrados nas Tabelas 2 a 7 da NBR 5429, com base no va-
lor do NQA especificado e no código literal de tamanho da amostra, o tamanho da amos-
tra (n) e o valor da percentagem defeituosa máxima admissível (M);
7) Retirada da amostra - a amostra é retirada do lote, ao acaso, na quantidade de unidades
do produto, conforme determinado nas Tabelas 2 a 7 da NBR 5429;
8) Inspeção da amostra - a percentagem defeituosa (p) é obtida a partir do índice de quali-
dade (Q), nas Tabelas 27 a 34 da NBR 5429 e comparada com a percentagem defeituo-
sa máxima admissível (M).
67
Exemplo 26. Lotes de 1500 frascos de 500 ml de mel de abelha são postos para inspeção
para o ºBrix. São considerados não conformes os frascos cujo Brix for inferior a 80º. A varia-
bilidade do Brix em termos de desvio-padrão é desconhecida. Um NQA de 2,5% foi conside-
rado adequado. Descrever o plano de amostragem por variáveis, para esta situação, fazendo
inspeção normal, nível II de inspeção geral.
Solução: A Tabela 1 da NBR 5429 para lotes N=1500 unidades (faixa de 1201 a 3200) e ní-
vel II de inspeção geral, exige amostras letra K. A Tabela 2 da NBR 5429 (plano de amostra-
gem para inspeção normal, variabilidade desconhecida, método de desvio-padrão), para
amostras K exige n = 60 unidades. Na coluna correspondente a NQA de 2,5% encontra-se
M = 5,90 (percentagem máxima de defeituosa admissível M de 5,90%). 
A decisão dependerá dos valores de m e s determinados na amostra de tamanho
60 unidades, uma vez que o valor de pI dado nas tabelas 27 a 34 da NBR 5429 depende do
valor de QI = (m - I)/s. 
Por exemplo, se o Brix médio dos 60 frascos for 81,0º e o s = 3,50; tem-se Q I = (81,0
- 80,0)/3,50 = 0,28. Na Tabela 27 não há o valor 0,28. Tomando o valor 0,30 então o pI seria
38,27; portanto, a decisão seria de rejeitar o lote, uma vez que o valor esperado de p I é su-
perior ao M (percentagem máxima de defeituosa admissível de 5,90%, para o caso). 
Observe o que acontece se a variação da característica de qualidade na amostra for
bem menor, por exemplo s = 0,50. O valor de QI = (81,0 - 80,0)/0,50 = 2,0. Na tabela 30 da
NBR 5429, para QI = 2,0 tem-se um pI de 2,09 na coluna de amostras de 40 a 70 unidades;
portanto, neste caso, a decisão seria de aceitar o lote.
Exemplo 27. - NQA’s Preferenciais os valores de NQA das tabelas da NBR 5429 são deno-
minados de preferenciais. Não se aplicam essas Tabelas se, para qualquer produto, for de-
signado um NQA diferente desses. Para usar essas Tabelas é necessário igualar um dado
NQA ao valor mais próximo inferior do NQA preferencial _Suponha um NQA especificado de
5,0%. O valor do NQA preferencial de 4,0% é o que será designado, se forem utilizados os
planos de amostragem e os procedimentos da NBR 5429. Obviamente que este valor mais
baixo de NQA garantirá uma qualidade de produto igual ou superior à especificada.
5.9.2.2 - Proteção da Qualidade Limite - Risco do Comprador - Lotes Isolados __
Os planos de amostragem das Tabelas 2 a 7 da NBR 5429 são baseadas no NQA, portanto,
privilegiam o risco do fornecedor. Isto significa que lotes provenientes de linhas de produção
cuja média de processo seja igual ou inferior ao NQA têm alta probabilidade de aceitação. 
As Tabelas 17 a 26 da NBR 5429 fornecem as CCO’s dos respectivos planos de
amostragem. Observa-se que os lotes com baixa percentagem de unidades defeituosas têm
alta frequência de aceitação. O risco do fornecedor de que lotes bons (mp NQA) sejam re-
68
jeitados é igual a 1 - Pa.
Por outro lado, pode-se observar nas Tabelas 17 a 26 da NBR 5429 nas caudas infe-
riores das CCO’s, que lotes contendo elevada percentagem defeituosa têm baixa probabili-
dade (freqüência esperada) de aceitação, consequentemente, uma elevada probabilidade de
rejeição. Para lotes isolados, uma baixa probabilidade de aceitação daqueles com alta per-
centagem de defeituosas (baixa qualidade) pode ser vantajoso. Normalmente, este ponto é
especificado como a pior qualidade ou Qualidade Limite (QL) que o comprador, excepcional-
mente, concorda em aceitar.
Uma baixa probabilidade de aceitação (Pa) deverá, obviamente, estar ligada a esta
baixa qualidade, sendo esta Pa denominada de risco do comprador. As tabelas 10 a 13 da
NBR 5429 fornecem os valores de QL associados à riscos do comprador de 10% oude 5%.
Em todos os procedimentos de amostragem da NBR 5429 os lotes podem ser consi-
derados em série, isto é, inspeção sucessiva de lotes consecutivos. Neste caso trabalha-se
com planos baseados no NQA. Também pode-se trabalhar com lotes isolados. Nos trabalhos
envolvendo lotes isolados a NBR 5429 fornece procedimentos para planos de amostragem
simples visando assegurar ao comprador que os lotes contendo percentagem de defeituosas
igual ou maior do que a qualidade limite (QL) terão baixa probabilidade de aceitação. Para o
estabelecimento do plano de amostragem há necessidade de definir:
a) O valor de QL ou FDT;
b) O valor da Pa associada a este nível de qualidade, 5% ou 10%;
c) O tamanho do lote __ o plano de amostragem será encontrado na NBR 5429 da seguinte
forma:
 o código literal de tamanho da amostra é obtido da Tabela 1, baseado no tamanho
do lote (e de modo geral, na inspeção de nível II);
 o QL apropriado é selecionado nas Tabelas 10 a 13, para risco do comprador de
10% ou 5%;
 na Tabela escolhida, na fileira de valores de tamanho de amostra conforme o có-
digo literal; leia da esquerda para a direita até encontrar o valor mais próximo in-
ferior do QL especificado. No topo da coluna correspondente encontra-se o valor
de NQA. O plano de amostragem recomendado é o correspondente a este NQA;
 com este valor de NQA e código de tamanho de amostra determina-se o tamanho
da amostra (n) e a percentagem defeituosa máxima admissível (M) na Tabela 2
da NBR 5429.
 Após extrair aleatoriamente a amostra de tamanho n e inspecioná-la, o lote será
aceito se apresentar qualidade melhor do que a QL especificada e, se a percentagem defei-
tuosa máxima admissível especificada no plano de amostragem não for ultrapassada. Entre-
tanto, a probabilidade disso ocorrer será igual ou menor do que a estabelecida no risco do
comprador (5% ou 10%).
69
Exemplo 28. Um cliente recebe lotes de 7 500 frascos de um patê. O frasco vazio pesa 20 g
e contém 150 g do patê, portanto um peso bruto de 170 g. O limite inferior de especificação
(I) para o peso bruto foi estabelecido em 160 g. Estabelecer o procedimento de amostragem
para inspeção de lotes isolados, para o caso em que o risco do comprador (Pc) é de 10%,
para um QL de 5,0%, para variabilidade desconhecida, nível II de inspeção geral e normal.
Solução: Na Tabela 1 da NBR 5429, para lotes na faixa de 3 201 a 10 000 unidades (N=7
500 frascos para o caso), na coluna do nível II, encontra-se código literal letra “L”. Na tabela
10 da NBR 5429 (Pc=10%) na linha correspondente ao código literal letra “L”, encontra-se o
valor mais próximo inferior de 5,0% para QL é o 4,6. No topo desta coluna lê-se um NQA de
1,0%. Na Tabela 2 da NBR 5429, inspeção normal, para código “L” e NQA de 1,0% encontra-
se o tamanho da amostra n = 95 frascos e um valor de 
M = 2,80%.
Critério de aceitação: coleta-se aleatoriamente 95 frascos por lote e determina-se peso de
cada um deles. Calcula-se a média m e o desvio-padrão s. Determina-se o Q I = (m - I)/s. A
partir deste valor de QI e de n = 95, nas Tabelas 27 a 34 da NBR 5429 encontra-se o valor da
percentagem defeituosa estimada para o lote p. Se p 2,80 aceita-se o lote; caso contrário
rejeita-se o lote. 
Por exemplo, se o peso bruto médio dos 95 frascos aleatórios for m = 165,0 com des-
vio-padrão s=2,5; tem-se QI = (165 - 160)/2,5 = 2,0. Na Tabela 30 da NBR 5429 na linha de
QI = 2,0 e na coluna de tamanho de amostra na faixa de 95 a 120 (n= 95 no caso) lê-se p =
2,20; portanto, aceitar-se-ia o lote, uma vez que o M=2,80.
5.9.2.3 - Tabelas Complementares baseadas no valor de QL - NBR 5430
Para facilitar a determinação de planos de amostragem baseados exclusivamente em
valores de QL (NQL ou FDT) foram elaboradas tabelas complementares (Tabelas 8 e 9 da
NBR 5430) para risco do comprador de aproximadamente 10% ou 5%, abrangendo a varia-
bilidade desconhecida. A utilização das Tabelas 8 e 9 é feita, inicialmente, com auxílio da Ta-
bela 1 da NBR 5429 que fornece o código literal de tamanho de amostra, em função do ta-
manho do lote e do nível de inspeção escolhido.
Exemplo 29. Lotes isolados de N=9 500 pacotes de um produto são apresentados para ins-
peção normal, nível II de inspeção geral. O risco do comprador de 10,0% para um QL=4,0%
é apropriado. Estabelecer o plano de amostragem pela NBR 5430. 
70
Solução: Na Tabela 1 da NBR 5429, para lotes na faixa de 3 201 a 10 000 unidades (N=9
500 pacotes para o caso), na coluna do nível II, encontra-se código literal letra “L”. Na Tabe-
la 8 da NBR 5430, na linha de código literal de tamanho de amostra “L” encontra-se tama-
nho de amostra n = 95 pacotes. Na coluna correspondente a QL=4,0% e na linha “L” tem-se
M=2,80. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
.ABNT_ Associação Brasileira de Normas Técnicas. Coletânea de Normas - Planos de Amos-
tragem. Volumes I e II. Rio de Janeiro, RJ.
.BARTLETT Jr., R.P. & WEGENER, J.B. 1957. Sampling plans developed by United States
Department of Agriculture for inspection of processed fruits and vegetables. Food Technology,
11(10):526-532. 1957. 
.BRASIL, Ministério da Saúde. Portaria nº. 451 de 19 de setembro de 1997. Aprova o “Regu-
lamento Técnico Princípios Gerais para o Estabelecimento de Critérios e Padrões Microbioló-
gicos para Alimentos e seus Anexos I, II e III”. DOU 22/09/97, Seção I, p21005-21012.
.KRAMER, A. & TWIGG, B.A. 1982. Quality control for the food industry. 3a. Edition. Vol. I -
Fundamentals. AVI Publishing. Co., Westport. Connecticut. 556p.
.PAIVA, G. Desempenho de planos de amostragem de 2-classes e de 3-classes em avalia-
ção da qualidade microbiológica de alimentos. Universidade Federal de Viçosa. Tese de M.S.
em Ciência e Tecnologia de Alimentos. 2000. 112p.
.Schilling, E.G. 1982. Acceptance Sampling in Quality Control. Marcel Dekker, Inc., ASQC
Quality Press. New York, NY. 775p.
.USDD, 1963. Sampling procedures and tables for inspection by atributes MIL-STD-105D.
Department of Defense. Government Printing Office, Washington, D.C.
71