L2 ModSistDisc 2 2012

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Lista de Exercícios 1 
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1) O balcão de uma sorveteria é servido por um atendente. Os fregueses chegam de acordo com um processo 
de Poisson, a uma taxa média de 30 por hora. Eles são atendidos em uma base FIFO e, por causa da 
qualidade do sorvete, esperam se necessário. O tempo de atendimento de cada freguês é distribuído segundo 
uma exponencial , com média 1 ½ minutos. 
 
a) número médio de fregueses esperando para serem atendidos. 
b) tempo que um freguês deve esperar para ser atendido 
c) probabilidade de um freguês gastar mais de 15 minutos 
d) probabilidade de o atendente estar desocupado 
 
2) Os modelos de chegadas de carros, por uma via estreita e única, a um banco 24 horas segue um processo 
de Poisson, com média de um por minuto. Os tempos de utilização são exponencialmente distribuídos , com 
média de 45 segundos. Considerando que um carro esperará o que for necessário, determine: 
 
a) número esperado de carros esperando por serviço. 
b) tempo médio que um carro espera na fila. 
c) tempo médio que um carro gasta no sistema. 
d) probabilidade que existam carros esperando na rua, se o estacionamento pode comportar um máximo de 5 
carros. 
 
3) Uma copiadora para uso de escritório é usada e operada por pessoas deste mesmo escritório que precisam 
fazer cópias, principalmente secretárias. Como o trabalho a ser copiado varia de tamanho (nº de páginas do 
original) e quanto ao nº de cópias, a taxa de atendimento é distribuída aleatoriamente, mas se aproxima de um 
processo de Poisson tendo uma taxa de atendimento médio de 10 trabalhos por hora. Geralmente as 
necessidades de uso são aleatórias durante as 8 horas de trabalho diário, mas chegam a um taxa de 5 por hora. 
Várias pessoas notaram que surge uma fila de espera, ás vezes, e têm questionado a política de se manter 
apenas uma máquina. Se o tempo de uma secretária é estimado em R$ 4,50 por hora , faça uma análise para 
determinar: 
a) a utilização do equipamento 
b) o tempo médio de espera de uma tarefa no sistema 
c) o custo médio de espera e operação da máquina 
 
4) Um operário especializado em reparações de escavadoras verificou que o tempo gasto por reparação 
seguia uma distribuição exponencial negativa com média de 30 minutos. A reparação é feita pela ordem de 
chegada e os pedidos chegam de acordo com uma distribuição de Poisson a uma taxa média de 10 por dia 
(8/h de trabalho). Quanto tempo livre por dia tem em média o operário? Quantas tarefas em média ficam à 
espera de serem executadas? Qual o tempo médio de espera? 
 
5) Qual a taxa média de serviço a verificar pelo frentista numa bomba de gasolina para assegurar, com uma 
probabilidade de 0.90, que o cliente não tenha de esperar mais do que 2 minutos? Admita que existe apenas 
um empregado, que os automóveis chegam de acordo com uma distribuição de Poisson a uma taxa média de 
30 por hora e que o tempo de serviço segue uma distribuição exponencial negativa. 
 
6) Um serviço de lavagem instantânea de carros utiliza uma máquina de escovas rotativas que lava um carro a 
cada 5 minutos em média. Num determinado dia, a demanda pelo serviço é de 10 carros/hora. Além da 
lavagem há uma única bomba de gasolina no posto. A área de espera pela lavagem é suficiente para 3 carros; 
se há 4 ou mais carros à espera , o congestionamento que resulta faz cair em 20% a taxa de atendimento da 
bomba, que é originalmente de 20 carros/hora. A cada hora 15 carros procuram o posto para abastecimento. 
 
a) Qual a probabilidade de o serviço de lavagem prejudicar o abastecimento? 
b) Qual o número médio de carros à espera de abastecimento, com e sem congestionamento na lavagem? 
 
7) Uma estação suburbana de trem tem cinco telefones públicos. Durante as horas de congestionamento da 
tarde os indivíduos que querem telefonar chegam às cabines telefônicas a uma taxa média de 100 por hora. O 
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Lista de Exercícios 1 
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tempo médio de uma chamada é de 2 minutos. Determine o número de pessoas usando ou esperando por um 
telefone. 
 
8) Em um CPD existe uma central de atendimento aos usuários, com 3 funcionários. Em média uma consulta 
leva cerca de 6 minutos. A média de chegadas de consultas é de 12 consultas a cada 30 minutos. Faça um 
estudo do problema. 
 
9) Um sistema de informações via telefone consome 10 segundos para atender cada cliente. Supondo que 500 
clientes chamarão por hora e que existam dois números telefônicos disponíveis, com busca automática, e 
enfileiramento de chamadas, qual a probabilidade de que todos os números estejam ocupados e que os 
clientes tenham que aguardar atendimento? 
 
10) Num certo aeroporto, o pouso dos aviões demora cerca de 5 minutos (valor que pode considerar-se 
constante) depois do pedido de autorização ter sido feito. Supondo que os aviões chegam de acordo com uma 
distribuição de Poisson a uma taxa de 6/h, quanto tempo deverá o piloto (em termos médios) circular o 
aeroporto aguardando a aterragem? Em média, quantos aviões aguardam autorização para pousar? Suponha 
agora que o tempo de pouso é variável, com uma distribuição exponencial de média também 5 minutos. 
Responda às mesmas questões, compare resultados e comente. 
 
11) Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a 
um ritmo de 3 falhas por hora em média. Para tal possui duas opções: um reparador lento que é capaz de 
consertar a um ritmo de 4 falhas por hora em média ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um 
ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário hora do reparador lento é de $3,00 e o do outro de $5,00. Que 
contratação deve ser efetuada para que o custo total seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica 
um custo/hora de $5,00. 
 
12) Veículos chegam a um posto de pedágio à razão de 10 por minuto. Um único atendente pode atender 6 
veículos por minuto. Calcule a quantidade adequada de atendentes de modo que o tempo médio na fila 
(única) seja menor que 0,2 minuto. Certamente a proposição de fila única para um posto de pedágio não seria 
conveniente; imagine, então, que os veículos se distribuam por diversos servidores. Determine agora a 
quantidade ótima de servidores tal que o tempo médio na fila também seja de 0,2 minuto. Compare as duas 
situações. 
 
13) Navios chegam a um porto para serem carregados de minério a um ritmo médio de 3 por semana. O porto 
possui 3 cais de atracação e o tempo médio que o navio de carga de cada navio é de 0,5 semana. Sabendo-se 
que um navio parado esperando para ser carregado, implica uma multa de $70.000 por semana para a 
administração do porto, pede-se o custo semanal das multas. 
 
14) Uma agência bancária possui 5 atendentes e funciona diariamente de 10:00 às 16:00. O ritmo de 
chegadas é de 110 clientes por hora e a duração média de cada atendimento é de 3 minutos. Pergunta-se: 
a) o tamanho médio da fila 
b) tempo médio de espera na fila. 
 
15) Uma padaria é atendida por dois balconistas, cada um deles capaz de atender em média 30 fregueses por 
hora, sendo os tempos de atendimento exponencialmente distribuídos. Os fregueses chegam à padaria de 
acordo com um processo de Poisson, a uma taxa média de 40 por hora. 
a) a probabilidade de um dado balconista estar desocupado. 
b) a probabilidade de que existam mais de dois fregueses esperando pelo atendimento a qualquer tempo. 
 
16) No bar de um aeroporto, uma pessoa pode escolher entre tomar um café servido no balcão, ou então usar 
uma máquina automática. No balcão, só podem ser atendidas , em média, 180 pessoas por hora, enquanto a 
máquina pode atender exatamente 4 pessoas por minuto. A cada hora, 270 pessoas , emmédia, procuram o 
bar para tomar café; a probabilidade de uma pessoa preferir o balcão é de 0.6. Qual a demora média de uma 
pessoa que procura o bar, desde que entra até ser servida de café. 
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17) Um sistema de uma fila e um canal, obedecendo à distribuição de Poisson, apresenta uma média de 20 
chegadas de clientes por hora. Sabe-se que cada cliente custa $60 por hora e que a hora de atendimento custa 
$ 60,00 ($2,50 por atendimento). Um levantamento estatístico constatou que o número médio de clientes no 
sistema é de 5 por hora. Pede-se: 
a) o custo total do sistema montado por mês (22 dias úteis de 8 horas cada) 
b) o menor custo total mensal que se consegue por meio de um aumento da taxa de atendimento. 
c) considerando-se que este aumento da taxa de atendimento custa $ 30.000 por mês, é vantajoso promovê-
lo? 
 
18) Uma fábrica possui um depósito de distribuição de ferramentas, aonde os operários vão apanhá-las para a 
realização de uma determinada tarefa, que lhes foi determinada. Um estudo mostrou que os tempos entre as 
chegadas e os tempos de atendimento, correspondem respectivamente às distribuições de Poisson e 
Exponencial. A taxa média de chegada é de um operário por minuto e a taxa média de atendimento é de um 
operário a cada 50 segundos. Determine: 
 a) o estudo do problema acima; 
 b) Caso se pague R$ 900,00 por hora ao atendente e R$ 1.800,00 ao operário, qual a política o 
serviço que deve ser estabelecido, se a jornada de trabalho é de 8 horas ? 
 
Respostas: 
 
1) M/M/1,  = 30/H,  = 40/H 
a. 2,25 clientes 
b. 4,5 min 
c. 8% 
d. 25% 
 
2) M/M/1,  = 1/min,  = 1,33/min 
a. 2,25 
b. 2,25 min 
c. 3 min 
d. 24 % 
 
3) M/M/1  = 5/h,  = 10/h 
a. 50% 
b. 12 min 
c. R$ 36,00/dia 
 
4) M/M/1  = 1,25/h,  = 2/h 
a. 3 h 
b. 1 
c. 50 min 
 
 5)  = 99 c/h 
 
6) Dois sistemas M/M/1 
Bomba:  = 15/h ,  = 20/ h (sem cong.) e  = 16/h (com cong) 
Lavagem:  = 10/h,  = 12/h 
a. P( n > 4) = 
 
 7) M/M/5,  = 100/h,  = 30/h 
 L =4 
 
8) M/M/3 
 = 24/h,  = 10/h 
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O sistema passa 5,6% do tempo sem clientes. A fila média é de 2,59 pessoas, enquanto a quantidade média de pessoas no 
sistema é de 4,99 pessoas (incluindo atendimento). O tempo de espera médio é de 6,5 minutos, enquanto o tempo total 
gasto no sistema médio é de 12,5 minutos. 
 
9) M/M/2,  = 500/h,  = 360/h 
 
57% 
 
10) Dois sistemas: M/D/1 e M/M/1 
para o 1º; 2,5 min; 0,25 
para o 2º: 0,08 h; 0,5 
 
11) Analisar dois sistemas M/M/1 
Devemos contratar o rápido, pois o custo total da política seria de 10/h 
 
12) Fila única:3 
 Filas Paralelas: 4 
 
13) R$ 21.000,00 (Lq = 0,3; o valor exato é 0,2366, que resultaria em Lq = R$ 16576) 
 
14)  > 1 ... 
15) a) p0 + (0,5)*p1 = 33,3% 
b) 1 – (p0 + p1 + p2 + p3 + p4) = 15,8%. ... 
16) Dois sistemas: máquina: M/D/1 e balcão: M/M/1 
2,1 min 
17) a) $ 63360,00 
b)  = 41,9 ; $ 28079,80 
c) Sim, economia de $ 35280,20 
18) Sistema atual; M/M/1,  = 1min,  = 1,2/min 
a) Cada operário gasta em média 5 minutos no sistema, sendo destes 4,17 minutos na fila. No sistema há, em média, 5 
operários, sendo que 4,17 destes estão na fila. 
 
b) Com um servidor, o custo por hora será de R$9900. Com dois servidores, R$3602. Com três, R$4230. Acima disto, o 
preço sobe mais. Por isso, deve-se contratar 2 atendentes.