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Produto Escalar Professor: Raphael Borges da Nóbrega Produto Escalar Exemplo 1: Prove as seguintes desigualdades Desigualdade de Schwarz: 𝑢 ∙ 𝑣 ≤ 𝑢 ∙ 𝑣 Desigualdade Triangular: 𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor Definição Ângulos diretores: Ângulos 𝛼, 𝛽 e 𝛾 que 𝑣 forma com os vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘, respectivamente. Cossenos diretores: Cosseno dos ângulos diretores. cos 𝛼, cos 𝛽 e cos 𝛾 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor cos 𝛼 = 𝑣 ∙ 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑥 𝑣 cos 𝛽 = 𝑣 ∙ 𝑗 𝑣 𝑗 = 𝑦 𝑣 cos 𝛾 = 𝑣 ∙ 𝑘 𝑣 𝑘 = 𝑧 𝑣 Os cossenos diretores de 𝑣 são as componentes do seu versor (𝑢). 𝑢 = 𝑣 𝑣 = (cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾) Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor cos 𝛼 = 𝑣 ∙ 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑥 𝑣 cos 𝛽 = 𝑣 ∙ 𝑗 𝑣 𝑗 = 𝑦 𝑣 cos 𝛾 = 𝑣 ∙ 𝑘 𝑣 𝑘 = 𝑧 𝑣 Observação: cos² 𝛼 + cos² 𝛽 + cos² 𝛾 = 1 Produto Escalar Exemplo 2: Obter o vetor 𝑣 , sabendo que 𝑣 = 4 , 𝑣 é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60º com o vetor 𝑖 e ângulo obtuso com 𝑗 . Projeção de um Vetor sobre Outro 𝑣1 é a projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣2 𝑣1 𝑣1 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 Projeção de um Vetor sobre Outro Sabe-se que: i. 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 ii. 𝑣1 // 𝑢 iii. 𝑣2 ⏊ 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣2 𝑣1 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 𝑢 ∙ 𝑢 𝑢 Projeção de um Vetor sobre Outro Se o vetor 𝑢 é unitário, tem-se: 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 𝑢 ∴ 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 2 = 1 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 𝑢 Produto Escalar Exemplo 3: Sejam os pontos 𝐴 −1,−1,2 , B 2,1,1 e 𝐶 𝑚,−5,3 a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
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