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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro EP11 � Gabarito � Métodos Determinísticos I � 2017-2 Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 12, páginas 146 a 149 e páginas 155 a 157, do Caderno Didático. Exercício 1 . a) Determine, caso exista, a solução do sistema de equações do primeiro grau ( 2 3 − x ) + ( 3y − 2 3 ) = 0 x + 2y = −5 b) Represente, no plano cartesiano, o gráfico de cada uma das equações do sistema do item a) e localize, também, a solução encontrada para o sistema, se houver. c) Qual o significado geométrico para a solução do sistema? Solução: a) Temos que ( 2 3 − x ) + ( 3y − 2 3 ) = 0 x + 2y = −5 ⇐⇒ 2 3 − x + 3y − 2 3 = 0 x + 2y = −5 ⇐⇒ { −x + 3y = 0 (i) x + 2y = −5 (ii) Da Equação (i), temos x = 3y que substituida na Equação (ii) nos dá 3y + 2y = −5⇐⇒ 5y = −5⇐⇒ y = −1. Consequentemente, de x = 3y segue que x = 3(−1). Ou seja, x = −3. Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (x, y) = (−3,−1) . -5 -3 -1 1 3 x - 5 2 -1 y Figura 1: Exercício 1 Métodos Determinísticos I EP11 2 b) Cada uma das equações do sistema dado é representado no plano cartesiano por uma reta. Na Figura 1 plotamos em linha contínua rosa o gráfico da reta −x+3y = 0⇔ x = 3y, traçada pelos pontos (0, 0) e (−3,−1), e em linha tracejada azul o gráfico da reta x+2y = −5⇔ x = −5−2y, traçada pelos pontos (−5, 0) e (0,−5/2). O ponto (−3,−1) está marcado em vermelho na Figura 1. c) O ponto (−3,−1) representa a interseção das duas retas cujas equações são as equações do sistema. Exercício 2 Considere o sistema S de equações: S : { x2 − 4x + 2y = 6 (i) 2x + 2y = −1. (ii) a) Determine a solução do sistema. b) Faça o esboço do gráfico da Equação (i) de S. c) Faça o esboço do gráfico da Equação (ii) de S. d) Qual o significado geométrico da solução do sistema encontrado no item a) Solução: a) Da equação 2x+2y = −1, temos 2y = −1−2x. Substituindo essa equação em x2−4x+2y = 6, obtemos x2 − 4x + 2y = 6 ⇐⇒ x2 − 4x− 1− 2x = 6 ⇐⇒ x2 − 6x− 7 = 0 ⇐⇒ x = −(−6)± √ (−6)2 − 4(1)(−7) 2 ⇐⇒ x = 6± √ 36 + 28 2 ⇐⇒ x = 6± √ 64 2 ⇐⇒ x = 6± 8 2 ⇐⇒ x1 = 6 + 8 2 , x2 = 6− 8 2 , ⇐⇒ x1 = 7, x2 = −1. Substituindo x1, x2 na equação 2y = −1− 2x, segue que • Para x1 = 7, 2y = −1− 2x⇐⇒ 2y = −1− 2(7)⇐⇒ 2y = −15⇐⇒ y = −15 2 . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 3 • Para x1 = −1, 2y = −1− 2x⇐⇒ 2y = −1− 2(−1)⇐⇒ 2y = 1⇐⇒ y = 1 2 . Portanto, as soluções de S são: ( 7,−15 2 ) e ( −1, 1 2 ) . b) Note que a equação x2 − 4x + 2y = 6 pode ser reescrita como x2−4x+2y = 6⇐⇒ 2y = 6−x2+4x⇐⇒ y = −x 2 + 4x + 6 2 ⇐⇒ y = − x 2 2 + 2x + 3 . (1) Logo, o gráfico de y = − x 2 2 + 2x + 3 é representado por uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo, já que o coeficiente de x2 é negativo. Para esboçá-la, vamos determinar onde seu gráfico intercepta o eixo x e o eixo y, bem como as coordenadas de seu vértice. • Vamos determinar onde o gráfico da parábola intercepta o eixo x, isto é, vamos determinar a abscissa x correspondente a ordenada y = 0, a partir da Equação (1). Ou seja, vamos determinar as raízes de − x 2 2 + 2x + 3 = 0. Usando Báskara, temos ∆ = (2)2 − 4(−1 2 )(3) = 4 + 6 = 10 e, x = −2±√10 2 ( −1 2 ) = −2±√10−1 = 2∓√10⇐⇒ x1 = 2−√10, x2 = 2 +√10. Assim, a parábola intercepta o eixo x nos pontos x1 = 2− √ 10 e x2 = 2 + √ 10. Ou seja, a parábola contém os pontos (2−√10, 0), (2 +√10, 0). • Para determinar o ponto em que a parábola intercepta o eixo y, tomando x = 0 na Equa- ção (1), obtemos que y = − 0 2 2 + 2(0) + 3 = 3. Logo, a parábola intercepta o eixo y no ponto y = 3. Ou seja, a parábola contém o ponto (0, 3). • O vértice V da parábola é determinado por V = (xv, yv) = ( −b 2a , −∆ 4a ) . Logo, V = ( −2 2(−1/2) , −10 4(−1/2) ) = (2, 5) . Na Figura 2 � i), traçamos o esboço da parábola x2 − 4x + 2y = 6. c) Note que a equação 2x + 2y = −1 pode ser reescrita como 2x + 2y = −1⇐⇒ 2y = −1− 2x⇐⇒ y = −1− 2x 2 ⇐⇒ y = −1 2 − x . (2) Logo, o gráfico de 2x + 2y = −1 é uma reta. Para traçá-la, precisamos de dois pontos. Usual- mente, escolhemos os pontos que interceptam os eixos coordenados. Assim: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 4 • Para x = 0, temos que y = −1 2 − 0 = −1 2 . Logo, a reta contém o ponto ( 0,−1 2 ) . • Por outro lado, para encontrar o ponto em que o gráfico da reta cruza o eixo vertical (ou das ordenadas), procuramos x que satisfaça y = 0 na Equação (2). Ou seja, y = 0⇐⇒ −1 2 − x = 0⇐⇒ x = −1 2 . Logo, a reta contém o ponto ( −1 2 , 0 ) . Portanto, temos a reta determinada pelos pontos ( 0,−1 2 ) e ( −1 2 , 0 ) , conforme esboçada na Figura 2 � ii). i) Gráfico de x2 − 4x + 2y = 6 ii) Gráfico de 2x + 2y = −1 2 - 10 2 2 + 10 7 x 3 5 y -12 x -12 y Figura 2: Exercício 2 - Item b) e c) 2 - 10 2 2 + 10 7 x - 15 2 3 5 y Figura 3: Exercício 2 - Item d) Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 5 d) Os pontos ( 7,−15 2 ) e ( −1, 1 2 ) determinados no item a) são os pontos de interseção entre a reta 2x + 2y = −1 e a parábola x2 − 4x + 2y = 6, marcados com um círculo em vermelho na Figura 3. Exercício 3 Resolva os sistemas de equações a seguir em R2: a) { 2x + 4y = 3 x− 2y = 1 b) x 2 − 2y = −2 3x 4 + y = 4 Solução: a) Vamos resolver o sistema dado por substituição. Da segunda equação, obtemos x = 1 + 2y que substituída na primeira equação, dá que: 2x + 4y = 3 ⇐⇒ 2(1 + 2y) + 4y = 3 ⇐⇒ 2 + 4y + 4y = 3 ⇐⇒ 8y = 1 ⇐⇒ y = 1 8 . Agora, encontramos o valor de x substituindo y = 1 8 em x = 1 + 2y. Ou seja, x = 1 + 2y = 1 + 2 · 1 8 = 1 + 1 4 = 4 + 1 4 = 5 4 . Portanto, x = 5 4 e y = 1 8 . Ou seja, o par ordenado solução do sistema é o par ( 5 4 , 1 8 ) . Observação: Notemos que cada uma das equações do sistema é representada geometrica- mente por uma reta. Estas retas estão plotadas na Figura 4. Observe que o par ordenado( 5 4 , 1 8 ) solução do sistema é o ponto de interseção das duas retas. b) Vamos resolver o sistema deste item pelo método da adição. Para isso multiplicamos a segunda equação por 2, ou seja, x 2 − 2y = −2 3x 4 + y = 4 ( · (2)) ⇐⇒ x 2 − 2y = −2 3x 2 + 2y = 8 Em seguida, somamos as duas equações do sistema resultante (cancelando os termos que dependem de y): Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 6 i) Exercício 3-a) ii) Exercício 3-b) 154 3 2 x - 1 2 3 4 y -4 3 163 x 1 7 4 4 y Figura 4: Exercício 3 x 2 − 2y = −2 3x 2 + 2y = 8 4x 2 + 0y = 6 Daí, 4x 2 = 6⇐⇒ 2x = 6⇐⇒ x = 3. Em seguida, substituimos x = 3 na segunda equação 3x 4 + y = 4 para determinar y: 3x 4 + y = 4 ⇐⇒ 3 · 3 4 + y = 4 ⇐⇒ 9 4 + y = 4 ⇐⇒ y = 4− 9 4 ⇐⇒ y = 7 4 . Portanto, x = 3 e y = 7 4 . Ou seja, o par ordenado solução do sistema é o par ( 3, 7 4 ) . Observação: Notemos que cada uma das equações do sistema é representada geometrica- mente por uma reta. Estas retas estão plotadas na Figura 4. Observe que o par ordenado( 3, 7 4 ) solução do sistema é o ponto de interseção das duas retas. Exercício 4 Resolva o sistema: y + x2 − 5x = −4 2x + y = 6. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos DeterminísticosI EP11 7 Solução: Isolando y na segunda equação do sistema, temos y = 6− 2x. Essa equação substituída na primeira equação do sistema nos fornece (6− 2x) + x2 − 5x = −4 que é equivalente a equação x2 − 7x + 10 = 0. Usando Bhaskara, com a = 1, v = −7 e c = 10, temos que ∆ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4(1)(10) = 49− 40 = 9 e x = −b±√∆ 2a = −(−7)±√9 2(1) = 7± 3 2 . Logo, as raízes são: x1 = 7 + 3 2 = 5 e x2 = 7− 3 2 = 2 A cada uma destas razíes corresponderá um valor de y que obteremos substituindo x em y = 6−2x: y1 = 5− 2(5) = 6− 10 = −4, y2 = 6− 2(2) = 6− 4 = 2 Logo, o conjunto solução do sistema tem como elementos os dois pares ordenados (5,−4) e (2, 2) pertencentes a R2. Observação: Notemos que a primeira equação do sistema y + x2 − 5x = −4 é a equação de uma parábola e a segunda 2x+y = 6 é a equação de uma reta. Elas estão plotadas na Figura 5. Observe que os pares ordenados (5,−4) e (2, 2), soluções do sistema, são os pontos de interseção da parábola e da reta. 2 5 x -4 2 y Figura 5: Exercício 4 Exercício 5 Resolva o sistema de equações abaixo x2 + (y − 1)2 = 2 x2 = (y − 1)2 Dica: Talvez seja mais simples, antes de resolver os sistema em x e y (isto é, tentar determinar x e y), obter os valores de termos que se repetem. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 8 Solução: Observe que as duas equações têm os termos x2 e (y−1)2; mais ainda estes são os únicos termos que possuem incógnitas. Se fizermos a = x2 e b = (y − 1)2, o sistema se transforma em a + b = 2 a = b, e, com isso, a + b = 2 a− b = 0. Somando as equações, temos 2a = 2 e, então, a = 1. Substituindo na primeira equação, temos 1 + b = 2, logo b = 1. Lembrando que x2 = a = 1, temos x = ±1. E, como (y − 1)2 = b = 1, temos y− 1 = ±1, logo y = 1 + 1 ou y = −1 + 1, que nos dá y = 2 ou y = 0. Assim, temos quatro soluções (x, y), dadas pelos pares (−1, 0), (−1, 2), (1, 0) e (1, 2). Exercício 6 Dê todas as soluções do sistema de equações abaixo x + 2(y + 3)2 = 28 + 12y 4x− y2 = 4 Solução: Simplificando a primeira equação, temos x+2(y+3)2 = 28+12y ⇔ x+2(y2+6y+9) = 28+12y ⇔ x+2y2+12y+18 = 28+12y ⇔ x+2y2 = 10. Assim, o sistema se torna x + 2y2 = 10 4x− y2 = 4 e, para resolvê-lo, podemos multiplicar a segunda equação por 2, obtendo x + 2y2 = 10 8x− 2y2 = 8, e somar as equação, tendo assim 9x = 18, e então x = 2. Substituindo em uma das equações, na primeira, por exemplo, temos 2 + 2y2 = 10, logo 2y2 = 8, e então y2 = 4. Com isso, temos y = −2 ou y = 2. Assim, a solução do sistema é dada por S = {(2,−2), (2, 2)}. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 9 Exercício 7 Esboce o conjunto solução da equação (x − 1)2(y + 4)4 = 0, isto é, o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem esta equação. Dica: Lembre-se de que o produto de dois números reais é 0 se, e somente se, um deles é igual a 0. Solução: Seguindo a dica, (x− 1)2(y + 4)4 = 0 ⇔ (x− 1)2 = 0 ou (y + 4)4 = 0 ⇔ x− 1 = 0 ou y + 4 = 0 ⇔ x = 1 ou y = −4. Vamos pensar sobre o que acabamos de encontrar. Um ponto (x, y) satisfaz a equação (x− 1)2(y+ 4)4 = 0 se, e somente se, x = 1 ou y = −4, isto é, se o ponto (x, y) pertence à reta vertical x = 1 ou à reta horizontal y = −4. Isto significa que todos os pontos que satisfazem à equação estão na união das retas x = 1 ou y = −4. Assim, o conjunto solução da equação pode ser esboçado como abaixo: Exercício 8 Resolva as inequações a seguir: a) x2 − 6x + 9 ≤ 0 b) x2 − x 2 − 3 > 0 c) −x2 + 5x− 9 < 0 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 10 Solução: Para resolver este exercício você pode usar a técnica utilizada no Exercício 2 do EP 9 ou utilizar seus conhecimentos sobre a parábola, como faremos a seguir. a) Vamos chamar y de x2 − 6x + 9, isto é y = x2 − 6x + 9. E, em seguida vamos estudar o sinal de y, ou seja, vamos estudar o sinal do y da parábola. Inicialmente, determinamos quando y = 0, isto é, quando x2 − 6x + 9 = 0. Por Bhaskara, temos que a solução desta equação, com a = 1, b = −6 e c = 9 é dada por ∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0, assim, x = −b±√∆ 2a = 6±√0 2(1) = 6 2 = 3. Assim, y = 0 quando x = 3. Para determinar os valores de x em (x, y), onde o y da parábola é negativo, plotamos o gráfico da parábola e, olhando para ele, encontramos os pontos no eixo x que possuem o y da parábola negativo. Veja a Figura 6. Notamos que o y da parábola é sempre maior ou igual zero para qualquer valor de x real. Dessa forma, y = x2 − 6x + 9 ≤ 0, somente quando x = 3. + + 3 x y Figura 6: Exercício 8-a) b) Vamos chamar y de x2 − x 2 − 3, isto é y = x2 − x 2 − 3. E, em seguida vamos estudar o sinal de y, ou seja, vamos estudar o sinal do y da parábola. Inicialmente, vamos determinar quando y = 0, isto é, quando x2 − x 2 − 3 = 0. Usando Bhaskara, você encontrará que y = 0 quando x = −3 2 ou x = 2. Para determinar os valores de x em (x, y) onde o y da parábola é maior do que zero, plotamos o gráfico de y = x2 − x 2 − 3 e, olhando para esse gráfico, encontramos os pontos no eixo x que possuem o y da parábola maior do que zero. Veja a Figura 7. Notamos que o y da parábola é maior do zero para x tal que x < −3 2 ou x > 2. Dessa forma, y = x2 − 6x + 9 > 0, quando x ∈ ( −∞,−3 2 ) ∪ (2,∞). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 11 ++ - - 3 2 2 x y Figura 7: Exercício 8-b) c) Vamos chamar y de −x2 + 5x − 9, isto é, y = −x2 + 5x − 9, cujo gráfico sabemos que é o de uma parábola. Em seguida, vamos estudar o sinal do y da parábola. Notemos que ela tem a concavidade voltada para baixo, já que o coeficiente de x2 é negativo. Além disso, quando y = 0, isto é, quando −x2 + 5x − 9 = 0, usando Bhaskara, temos que ∆ = 25 − 36 = −11 < 0, o que significa que a parábola não intercepta o eixo x. Temos também que o vértice da parábola é( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 5 2(−1) ,− −11 4(−1) ) = ( 5 2 ,−11 4 ) . A partir destas informações, plotamos o gráfico da parábola na Figura 8. Você observará que para qualquer x real, o ponto (x, y) da parábola, tem o y negativo. Dessa forma, y = −x2 + 5x− 9 < 0, para todo x ∈ R. - - - 2.5 x y Figura 8: Exercício 8-c) Exercício 9 O custo C de produção de x litros de certa substância é dado pela equação de uma reta, cujo gráfico está representado na Figura 9, em que x ≥ 0. Nestas condições, determine o custo de produção em termos da quantidade x. Determine, também, a quantidade de litros produzida que corresponde ao custo de R$ 800,00. Solução: Seja C = ax+ b a equação da reta. Lembremos que conhecendo dois pontos pelos quais ela passa, temos condiç�eos de determinar sua expressão. Pelo gráfico da Figura 9, temos estes dois pontos, que são (0, 300) e (9, 480). Assim, estes dois pontos satisfazem a equação C = ax + b. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 12 9 xHlitrosL 300 480 CHxL Figura 9: Questão 9 Substituindo x = 0, C = 300 em C = ax + b, temos que 300 = a(0) + b, isto é, obtemos que b = 300. Logo, C = ax + 300. Substituindo, agora, x = 9, C = 480 em C = ax + 300, obtemos que 480 = a(9) + 300. Ou seja, 9a = 480− 300⇐⇒ 9a = 180⇐⇒ a = 20. Portanto, o custo de produção em termos da quantidade x é representado pela equação C = 20x + 300. E quando C = 800, segue que 800 = 20x + 300⇐⇒ 20x = 800− 300⇐⇒ 20x = 500⇐⇒ x = 25. Assim, a quantidade de litros produzida que corresponde ao custo de R$800,00 é igual a 25 litros. Um problema muito interessante! Vamos agora tentar utilizar um pouco da teoria de sistemas de equações de primeiro grau para resolver um problema de otimização. O velho McDonnald tem uma fazenda, ia-ia-ô! E, nessa fazenda,tem porcos e galinhas. Para criar seus animais, MacDonnald dispõe de uma área de 8km2. Cada mil porcos criados necessitam de uma área de 4km2, e cada mil galinhas necessitam de 1km2. Considere, agora, um sistema cartesiano de coordenadas, no qual o x representa a quantidade de milhares de porcos (por exemplo, x = 2 equivale a 2.000 porcos) e y representa a quantidade de milhares de galinhas. a) Qual é a área ocupada por x milhares de porcos? E a área ocupada por y milhares de galinhas? Solução: Se cada mil porcos ocupam 4km2, então x milhares de porcos ocuparão 4x km2. Cada mil galinhas ocupam 1km2, então y milhares de porcos ocuparão y km2. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 13 b) Se McDonnald utilizar toda a área disponível para criar os animais, qual será a equação relacionando x e y? Solução: A soma das áreas ocupada por porcos e galinhas será 4x+ y. Se toda a área de 8km2 for ocupada pelos suínos e galináceos criados, então teremos 4x + y = 8. c) Faça um esboço da figura representada pela equação do item anterior (se neces- sário, consulte o EP10). Solução: Como visto no EP anterior, a equação 4x+y = 8 corresponde a uma reta. Nesta reta, fazendo x = 0, temos y = 8, logo o ponto (0, 8) pertence à reta. Fazendo y = 0, temos 4x = 8, logo x = 2; com isso, o ponto (2, 0) também pertence à reta. Esboçando, temos Antes de prosseguir, tente resolver os itens (a), (b) e (c) acima e, de- pois de resolver, consulte o gabarito! Apenas depois de ter acertado ou compreendido a resposta correta, continue! No item (b), você deve (deveria!) ter encontrado, como resposta, a equação 4x+y = 8, que representa uma reta. Note que, quando 4x + y = 8, a área ocupada pelos porcos é de 8km2. Porém ninguém obriga o Sr. McDonnald a ocupar toda sua área com animais. A soma das áreas ocupadas por porcos e galinhas deve ser, no máximo 8km2. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 14 d) Dê a desigualdade satisfeita por x e y para que a área ocupada por porcos e galinhas seja no máximo igual a 8km2. Solução: Se a área ocupada pelos animais, dada por 4x + y, deve ser no máximo 8km2, então esta área é menor ou igual a 8. Com isto, 4x + y 6 8. Mais uma vez, tente resolver e, depois de acreditar ter a resposta cor- reta, consulte o gabarito! e) A reta dada pela equação 4x+y = 8 divide o plano cartesiano em duas �partes", a parte de um lado da reta, e a parte do outro!. Estas �partes"são chamadas de semiplanos Em qual destes semiplanos a desigualdade do item (d) é satisfeita? Se não sabe como responder, teste um ponto de cada semiplano e veja de que lado a desigualdade é atendida. Solução: A origem (0, 0) está em um dos semiplanos. Como 4 · 0 + 0 = 0 6 8, vemos que o semiplano que satisfaz à desigualdade 4x + y 6 8 é o que contém a origem, esboçado abaixo. f) Baseando-se no item anterior, pinte a região do plano que satisfaz a desigualdade do item (d). Solução: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 15 Além da restrição da área, há outras duas restrições óbvias a x e y: não se pode criar quantidades negativas de algum animal! Com isso, x > 0 e y > 0. g) Pinte, em um sistema cartesiano de coordenadas, a região representada pelas duas restrições acima. Solução: A desigualdade x > 0 representa a região esboçada abaixo. A desigualdade y > 0 representa, por sua vez, a região esboçada abaixo. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 16 Juntas, as restrições representam a região abaixo: Mais uma vez, é hora de tentar com afinco e, depois, verificar o gabarito! Há ainda uma quarta restrição: criar animais é caro! Nosso velho e bom McDonnald dispõe apenas de R$6.000, 00 para tocar sua produção de animais até o momento em que estejam prontos para o abate (Sim, abate! Estava pensando que ele fazer o que com os bichos?). Cada milhar de galinhas consumirá R$1.000, 00 e cada milhar de porcos custará R$2.000, 00. h) Determine a expressão do valor gasto com a criação de x milhares de porcos e y milhares de galinhas. Solução: Se cada milhar de porcos gasta R$2.000,00, x mil porcos custarão 2000x reais ao fazendeiro. Se cada mil galinhas custam R$1.000,00, y mil galinhas custarão 1000y reais. Assim, o valor gasto com x mil porcos e y mil galinhas será de 2000x + 1000y. i) Determine a desigualdade que representa a restrição de R$6.000,00 aos gastos com a criação, isto é, dê a desigualdade satisfeita por x e y supondo que o gasto seja de, no máximo, R$6.000, 00. Solução: Para que o gasto seja de, no máximo R$6.000,00, temos 2000x + 1000y 6 6000. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 17 Esta desigualdade pode ser simplificada para 2x + y 6 6. j) Esboce a região do plano correspondente à restrição imposta pelos R$6.000,00. Neste item, pode ajudar se você proceder como nos itens (d) e (e). Solução: A reta 2x+y = 6 divide o plano em dois semiplanos, e a desigualdade 2x+y 6 6 representa um destes semiplanos. Substituindo (0, 0), vemos que a desigualdade é satisfeita, pois 2 · 0 + 0 6 6; com isso, a desigualdade 2x+ y 6 6 representa o semiplano determinado pela reta 2x+y = 6 e contendo a origem (0, 0), esboçado abaixo. Para esboçarmos a reta 2x + y = 6, vemos que, quando x = 0, temos y = 6, logo o ponto (0, 6) e, quando y = 0, temos x = 3, logo o ponto (3, 0). Bom, agora que você já entendeu as quatro restrições impostas à criação de porcos e galinhas do sr. McDonnald, utilize os esboços dos itens (c), (g) e (i) para responder o item seguinte. k) Esboce a região do plano formada por todos os pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, às quatro restrições (área máxima, x > 0, y > 0 e custo máximo). Solução: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 18 Considerando as restrições 4x + y 6 8, 2x + y 6 6, x > 0 e y > 0, fazendo a interseção das regiões correspondentes, temos l) A região do item acima é limitada por um polígono convexo. Obtenha, encon- trando as interseções das retas adequadas, os vértices deste polígono. Solução: Os vértices sobre os eixos ordenados já foram obtidos anteriormente e são os pontos (0, 0), (2, 0), (0, 6). Para obter o outro vértice, vemos que ele é a interseção entre as retas 4x+ y = 8 e 2x+ y = 6, dada pela solução do sistema{ 4x + y = 8 2x + y = 6. Multiplicando a segunda equação por −1, temos{ 4x + y = 8 −2x− y = −6. e, somando, temos 2x = 2, logo x = 1. Substituindo na primeira equação, temos 4 · 1 + y = 8, logo y = 4. Assim, temos os vértices da figura abaixo. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 19 Chegou a hora de abater e vender os animais! Não acreditamos que McDonnald fique feliz com isso, mas é necessário pagar as contas... Cada milhar de porcos será vendido ao preço deR$17.000, 00 e cada milhar de galinhas será vendido a R$6.000, 00. m) Dê a expressão, dependendo de x e y, do valor arrecadado com a venda dos animais abatidos. Solução: Cada mil porcos é vendido por R$17.000,00 e cada mil galinhas por R$6.000,00. Com isso, a venda de x mil porcos e y mil galinhas terá a receita de 17000x + 6000y. n) Dê a expressão, dependendo de x e y, do lucro arrecadado com a venda dos animais abatidos (lembre-se de que lucro é igual a receita [obtida em (m)] menos a despesa [obtida em (h)]). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 20 Solução: O lucro é dado pela receita 17000x+6000y menos o custo 2000x+1000y, logo, o lucro será L = (17000x + 6000y)− (2000x + 1000y) = 15000x + 5000y. Chegou a hora de entender por que estamos fazendo todas estas contas! Importantes resultados de garantem que, em condições de restrição como as acima, e com lucrodado por uma expressão de grau 1 em duas variáveis, o maior valor possível com a venda dos animais é obtido em algum dos vértices do polígono, encontrados no item (l). Com isso, o) calculando, em cada vértice do polígono obtido em (l), o valor do lucro obtido (a expressão do lucro foi determinada em (n) ), diga em que vértice o lucro com a venda é máximo (isto é, o maior valor possível), e Solução: Vamos calcular o lucro em cada vértice do polígono: � No vértice (0, 6), o lucro será de 15.000 · 0 + 5.000 · 6 = 30.000. � No vértice (0, 0), o lucro será de 15.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0. � No vértice (2, 0), o lucro será de 15.000 · 2 + 5.000 · 0 = 30.000. � No vértice (0, 6), o lucro será de 15.000 · 1 + 5.000 · 4 = 35.000. Assim, o maior lucro possível é de R$35.000,00, ocorrendo no vértice (1, 4). o) com isso, diga como McDonnald pode obter o maior lucro possível com a venda dos animais. Com isso, estamos otimizando o lucro. Solução: O fazendeiro McDonnald obterá o maior lucro se criar 1.000 porcos e 4.000 galinhas (isto é, x = 1 e y = 4.). A técnica acima, utilizada para otimizar lucro (ou outras grandezas) em situações em que haja limitações lineares de recursos (isto é, limitações que possam ser descritas por equações de grau 1 em cada variável). Esta técnica se chama Programação Linear, e é utilizada para muitos fins como, por exemplo, otimização de cadeias de produção e alocação de recursos. Seu uso data da década de 30, em fábricas soviéticas e americanas. Agora, tente resolver sozinho um problema semelhante! Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 21 Exercício 10 Aproveitando a moda dos Pokémons, uma fábrica produzirá, para o dia das crianças, balões de Pikachu e de Charmander. O valor a ser investido é de, no máximo, R$ 3.000,00. Cada centena de Pikachu tem custo de produção de R$100,00 (o custo de licenciamento do pokémons mais famoso é alto), e cada centena de Charmander é produzida a o custo de R$70,00. Por outro lado, o tempo de produção de cem Charmanders é de três horas (entre outros detalhes, aquele foguinho no final da cauda é colado manualmente...), enquanto cada cem Pikachus levam 2 horas para serem feitos. Dada a proximidade do dia das crianças, a fábrica possui apenas 100 horas de trabalho para concluir a produção. Sabendo que, no final, a centena do balão é vendida a R$400,00, independentemente do tipo, quantos balões de cada tipo de pokémon devem ser produzidos a fim de otimizar o lucro? Solução: Chamemos de x e de y as centenas de Pikachu e Charmander produzidos, respectivamente. O custo de produção é dado por C = 100x + 70y, e a produção está restrita à condição 100x + 70y 6 3000, que pode ser simplificada para 10x + 7y 6 300. Por outro lado, o tempo de produção é dado por T = 2x + 3y, e a produção é limitada por 2x + 3y 6 100. Observando ainda que x > 0 e y > 0, a produção (x, y) de centenas de Pikachus e Charmanders está na região esboçada abaixo: O vértice O é dado por (0, 0). Para achar A, fazemos x = 0 na reta 2x + 3y = 100, encontrando 3y = 100, logo y = 100/3. Assim, A = (0, 100/3). Para achar C, fazemos y = 0 em 10x+7y = 300, Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 22 obtendo 10x = 100, logo x = 30. Com isso, C = (30, 0). Para obter B, resolvemos o sistema{ 10x + 7y = 300 2x + 3y = 100 Uma forma de resolver este sistema é, por exemplo, multiplicar a segunda equação por −5, obtendo{ 10x + 7y = 300 −10x− 15y = −500 Somando, temos −8y = −200, logo y = 25. Substituindo na primeira equação, 10x + 7 · 25 = 300 ∴ 10x = 300− 175 = 125 ∴ x = 12, 5. Assim, A = (12, 5, 25). A receita obtida com a venda dos pokémons é dada por R = 400x + 400y, e, sendo o custo dado por 100x + 70y, temos, como lucro, L = (400x + 400y)− (100x + 70y) = 300x− 330y. Testando o lucro nos vértices, temos • No vértice (0, 0): L = 300 · 0 + 330 · 0 = 0. • No vértice (0, 100/3): L = 300 · 0 + 330 · 100 3 = 11.000. • No vértice (12, 5, 25): L = 300 · 12, 5 + 330 · 25 = 12.000. • No vértice (30, 0): L = 300 · 30 + 330 · 0 = 9.000. Como o lucro é uma expressão de grau 1 nas variáveis x e y, o máximo ocorre em um vértice, que, no caso, é o (12, 5, 25). Assim, para otimizar o lucro, a fábrica deve produzir 12,5 centenas de Pikachus e 25 de Charmanders, isto é, 1250 Pikachus e 2500 Charmanders. Exercício 11 Se, no problema anterior, o preço de venda da centena do Pikachu fosse R$600,00 e o do Charmander fosse R$400,00, quantos pokémons de cada tipo deveriam ser vendidos para otimizar o lucro? Solução: Nas novas condições, a receita obtida com a venda dos pokémons é dada por R = 600x + 400y, e, sendo o custo dado por 100x + 70y, temos, como lucro, L = (600x + 400y)− (100x + 70y) = 500x− 330y. Testando o lucro nos vértices, temos • No vértice (0, 0): L = 500 · 0 + 330 · 0 = 0. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 23 • No vértice (0, 100/3): L = 500 · 0 + 330 · 100 3 = 11.000. • No vértice (12, 5, 25): L = 500 · 12, 5 + 330 · 25 = 14.500. • No vértice (30, 0): L = 500 · 30 + 330 · 0 = 15.000. Neste caso, para otimizar o lucro, a fábrica deve produzir apenas Pikachu, em um total de 30 centenas (3000 unidades) deste pokémon. Repare que, nesta condição, a fábrica utilizará todo o capital disponível, mas não toda a capacidade de horas. Ou seja, o problema de otimizar os pokémons, mais do que definir a escolha certa da quantidade de cada produto, ainda ajuda a definir como os recursos disponíveis (capital, tempo de produção) devem ser alocados. Apenas para chamar atenção e reforçar o que acontece no exemplo e exercícios acima, este método de otimização funciona apenas se: • A função a ser otimizada (nos exemplos acima, o lucro) tiver apenas as variáveis em grau 1. • As restrições impostas às variáveis também tiverem grau 1 nestas variáveis. • As restrições formarem um polígono convexo. Felizmente, muitos problemas reais de produção cumprem com estas condições. Nos exemplos, as limitações foram bem gerais (custo e área ou custo e tempo). Várias outras variáveis poderiam ser pensadas, mas de alguma forma já estariam embutidas nas expressões consideradas (Por exemplo, custos como licenciamento por unidade, hora extra, etc., poderiam estar todos já contabilizados no custo por unidade de cada pokémon. Custos com veterinário, ração, transporte até o abatedouro, por exemplo, poderiam estar nos custos de criação de cada animal do exemplo). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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