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AP3-2017-2-gabarito

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Gabarito da AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 09/12/2017
Nome: Matr´ıcula:
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• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1 (2,0 pt) Um vendedor ganha, como parte fixa de seu sala´rio, o valor mensal de
R$ 2.000,00. Ale´m desta parte fixa, se suas vendas ultrapassarem a meta de R$ 10.000,00 no
meˆs, ele recebera´ 5% de comissa˜o sobre o volume de vendas que exceder a meta.
Determine a expressa˜o da func¸a˜o S que representa o sala´rio do vendedor em func¸a˜o do volume
de vendas v que ele fizer no meˆs e esboce seu gra´fico.
Soluc¸a˜o: Vamos determinar S(v), isto e´, o sala´rio do vendedor em func¸a˜o do volume de vendas v
no meˆs. Pelo enunciado, para v 6 10.000, temos S(v) = 2.000. Para v > 10.000 o sala´rio sera´
dado por 2.000 mais 5% do que exceder a meta, isto e´, v − 10000. Assim, para v > 10.000,
S(v) = 2.000 + 5% · (v − 10.000) = 2.000 + 5100(v − 10.000) = 2.000 +
5v − 50.000
100 .
Assim,
S(v) =

2.000, se x 6 10.000
2.000 + 5v − 50.000100 , se x > 10.000.
Esboc¸ando o gra´fico, temos:
Note que esboc¸amos apenas para v > 0, pois na˜o faz sentido o volume de vendas ser negativo.
Para trac¸ar a reta quando x > 10.000, note que, por exemplo,
S(10.000) = 2.000
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
e
S(20.000) = 2.000 + 20.000− 10.00010 = 2.000 +
10.000
10 = 3.000.
Assim, temos os pontos (10.000, 2.000) e (20.000, 3.000).
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 2 a 6 a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −P
2
4 + 2 e Q(P ) =
2
3P −
1
3 .
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Questa˜o 2 (0,4 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,00?
Soluc¸a˜o: Quando P = 1, temos
D(1) = −1
2
4 + 2 = 2−
1
4 =
7
4 .
Questa˜o 3 (0,7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 1 milha˜o de unidades?
Soluc¸a˜o: Quando a demanda e´ de 1 milha˜o de unidades, temos D(P ) = 1, logo
D(P ) = 1⇔ −P
2
4 + 2 = 1⇔ −
P 2
4 = −1⇔
P 2
4 = 1⇔ P
2 = 4⇔ P = 2 ou P = −2.
Como o prec¸o P na˜o pode ser negativo, temos
D(P ) = 1⇔ P = 2.
Questa˜o 4 (1,0 pt) Qual e´ o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do
mesmo?
Soluc¸a˜o: Temos
Q(P ) = 0⇔ 23 P −
1
3 = 0⇔
2
3 P =
1
32P = 1⇔ P =
1
2 .
Assim, a demanda e´ zero quando P = 0, 50.
Questa˜o 5 (1,0 pt) Qual e´, aproximadamente, o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual
na˜o ha´ demanda do mesmo?
Soluc¸a˜o: Temos
D(P ) = 0⇔ −P
2
4 + 2 = 0⇔ −
P 2
4 = −2⇔ P
2 = 8⇔ P = √8 ou P = −√8.
Como o prec¸o na˜o pode ser negativo, temos
D(P ) = 0⇔ P = √8.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Questa˜o 6 (1,0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio deste produto?
Soluc¸a˜o: O prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P tal que D(P ) = Q(P ). Mas
D(P ) = Q(P )⇔ −P
2
4 + 2 =
2
3P −
1
3 ⇔ −3P
2 + 24 = 8P − 4⇔ −3P 2 − 8P + 28 = 0⇔
⇔ P = −(−8)±
√
(−8)2 − 4(−3)(20)
2(−3) =
8±√400
−6 =
8± 20
−6 ⇔ P =
−12
−6 = 2 ou P =
28
−6 = −
14
3 .
Como P > 0,
D(P ) = Q(P )⇔ P = 2.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 7 e 8 a seguir.)
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(1) Se Pedro joga bola ou Mateus brinca de pique, enta˜o Bernardo pula corda.
(2) Julieta desenha se e so´ se Ana sobe em uma a´rvore.
(3) Se Mateus brinca de pique, enta˜o Ana sobe em uma a´rvore.
(4) Para que Bernardo pule corda, basta que Mateus brinque de pique ou que Velentina coma um
lanchinho.
(5) Mas Julieta na˜o desenha e Pedro joga bola.
Questa˜o 7 (0,6 pt) Considere as proposic¸o˜es elementares p: Pedro joga bola, m: Mateus brinca
de pique, b: Bernardo pula corda, j: Julieta desenha, a: Ana sobe em uma a´rvore e v: Velentina
come um lanchinho. Reescreva as afirmac¸o˜es (1) a (5) com as letras atribu´ıdas a`s proposic¸o˜es e com
os s´ımbolos da Lo´gica (implicac¸a˜o, equivaleˆncia e conectivos).
Soluc¸a˜o: Reescrevendo as afirmac¸o˜es, temos
(i) p ou m ⇒ b
(ii) j ⇔ a
(iii) m ⇒ a
(iv) m ou v ⇒ b
(v) (∼ j) e p
Questa˜o 8 (0,9 pt) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es (1) a (5), decida se cada
uma das proposic¸o˜es elementares abaixo e´ verdadeira ou falsa. E necessa´rio que voceˆ apresente o
racioc´ınio que usou para deduzir sua conclusa˜o a partir dos dados.
a: Ana sobe em uma a´rvore.
b: Bernardo pula corda.
m: Mateus brinca de pique.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Soluc¸a˜o: Pela afirmac¸a˜o (v), sa˜o verdadeiras ∼j e p. Assim, como ∼j e´ verdadeiro, j e´ falso. Como
j e´ falso, por (ii) temos que a e´ falso.
Por (v), p e´ verdadeiro. Logo “j ou m”sera´ verdadeiro, qualquer que seja o valor de m, logo, por
(i), b e´ verdadeiro.
Como a e´ falso, temos, ∼ s e´ verdadeiro. Pela contrapositiva da (iii) (isto e´, ∼ j ⇒ ∼ m), que ∼
m e´ verdadeiro. Logo, m e´ falso.
(As questo˜es 9 e 10 a seguir podem ser utilizadas para resolver a questa˜o 11.)
Questa˜o 9 (0,6 pt) Diminuir um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por qual nu´mero
racional? Justifique.
Soluc¸a˜o: Diminuir um prec¸o P em 20%, significa torna´-lo igual a
P − 20%P = P − 20100 P = P −
2
10 P =
(
1− 210
)
P = 810 P =
4
5 P.
Assim, diminuir um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por 45 (ou
80
100 , ou 0.8, etc.)
Questa˜o 10 (0,6 pt) Aumentar um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por qual nu´mero
racional? Justifique.
Soluc¸a˜o: Aumentar um prec¸o P em 20%, significa torna´-lo igual a
P + 20%P = P + 20100 P = P +
2
10 P =
(
1 + 210
)
P = 1210 P =
6
5 P.
Assim, aumentar um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por 65 (ou
120
100 , ou 1.2, etc.)
Questa˜o 11 (1,2 pt) Uma loja adotara´ uma pol´ıtica de prec¸os inovadora. No primeiro dia, seus
produtos estara˜o com prec¸o 20% inferior ao que tinham no dia anterior a esta nova pol´ıtica de prec¸os.
No segundo dia, os prec¸os sera˜o aumentados de 20%, em relac¸a˜o ao prec¸o que tinham no primeiro
dia. No terceiro dia, os prec¸os diminuira˜o em 20% em relac¸a˜o ao segundo dia. No quarto dia, au-
mentara˜o em 20% em relac¸a˜o ao terceiro dia. Os prec¸os continuam desta forma nos dias seguintes;
em um dia diminuem 20% em relac¸a˜o ao anterior e, no dia seguinte, sobem 20% sobre o novo prec¸o.
Se um produto era vendido por P reais antes da nova pol´ıtica de prec¸os, por quanto sera´ vendido no
de´cimo terceiro dia?
Deˆ a resposta como uma expressa˜o envolvendo apenas a inco´gnita P e frac¸o˜es e/ou
nu´meros decimais, suas poteˆncias ou produtos.
Soluc¸a˜o: Nas questo˜es acima, vimos que diminuir um prec¸o em 20% significa multiplica´-lo por 45 ,
enquanto aumenta´-lo em 20% representa uma multiplicac¸a˜o por 65 . Com isso, no de´cimo terceiro
dia, o prec¸o do produto passara´ por:
• 7 reduc¸o˜es de 20%: nos dias 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13;
• 6 aumentos de 20%: nos dias 2, 4, 6, 8, 10 e 12.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
O prec¸o do produto no de´cimo terceiro dia sera´, portanto,
P · 45︸︷︷︸
dia 1
· 65︸︷︷︸
dia 2
· 45︸︷︷︸
dia 3
· 65︸︷︷︸
dia 4
· 45︸︷︷︸
dia 5
· 65︸︷︷︸
dia 6
· 45︸︷︷︸
dia 7
· 65︸︷︷︸
dia 8
· 45︸︷︷︸
dia 9
· 65︸︷︷︸
dia 10
· 45︸︷︷︸
dia 11
· 65︸︷︷︸
dia 12
· 45︸︷︷︸
dia 13
= P ·
(4
5
)7
·
(6
5
)6
.
Algumas respostas equivalentes sa˜o:
P ·
( 80
100
)7
·
(120
100
)6
;P ·
( 8
10
)7
·
(12
10
)6
;P · (0.8)7 · (1.2)6 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ