6 Funcoes II

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Bniocontradomí)fIm( =
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MATEMÁTICA
Aula 6
FUNÇÕES
TÓPICOS
- Sobrejetora, Injetora e Bijetora
- Função Composta
- Função Inversa
FUNÇÃO SOBREJETORA
Definição:
 “Não sobram elementos no contradomínio B”.
 A f B
.y)x(fquetal
Axexiste,Byasobrejetoréf
BA:f
=
ŒŒ"¤
Æ
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FUNÇÃO INJETORA
Definição:
“Elementos diferentes se associam a imagens diferentes”.
 A f B
)x(f)x(fxxse
Ax,xinjetoraéf
BA:f
2121
21
≠fi≠
Œ"¤
Æ
)x(f)x(fxx:injetoraf 2121 ≠fi≠
•
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FUNÇÃO BIJETORA
Definição:
i) É sobrejetora
 A B
 f
ii) É injetora
 A B
 f
•
•
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•
•
.injetoraeasobrejetoréfbijetoraéf
BA:f
¤
Æ
Bniocontradomí)fIm( =-
)x(f)x(fxxSe 2121 ≠fi≠-
•
•
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•
•
•
•
•
 A B
 f
FUNÇÃO COMPOSTA
Função h capaz de levar diretamente de A para C, sem passar por B, isto é,
numa única etapa.
 B
 f(x)
 •
A c
 f g
 x • • g(f(x))
 h
 Notação: )x)(fg())x(f(g)x(h o== lê-se “g” de “f” de x ou g bola f(x).
Injetora
aSobrejetor:bijetoraf
-
-
••
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Exemplo:
 B
 2
 •
 4
 •
 f(x)=2.x g(x)=3.x
 6
 •
 A C
 1• •6
 2• •12
 3• •18
 h(x)
 Obtenção da composta: g(x) = 3.x
 g(f(x)) = 3.f(x)
 g(f(x)) = 3.2x
 g(f(x)) = 6.x x.6)x(h =fi
FUNÇÃO INVERSA
Seja f uma função bijetora de A em B.
Existe uma função capaz de nos levar de B para A. Essa função é a inversa.
 A B A B
 f f-1
 
 
bijetoraf
BA:f Æ
 Notação: AB:f 1 Æ-
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••
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Observações:
 A B A B
 f f-1
 
 D = A D = B
 Im = B Im = A
Exemplo:
A B A B
 1 2 1 2
 2 4 2 4
 
“Se a função dobra um número do domínio, a inversa dividi por dois”.
• •
x.2yx
BA:f
=
Æ
a
2
x
yx
AB:f 1
=
Æ-
a
Obtenção formal da inversa:
 Seja a função y = 2.x
I) Trocar x por y e y por x: x = 2.y
 II) Isola-se o y: 2.y = x fi y = 
2
x
 INVERSA f-1
Graficamente verifica-se uma simetria entre o gráfico da função e o gráfico
da inversa. São simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares,
isto é, a reta y=x. 
 y
 y = x
 y = 2.x
 2
 1
 x
1 2
2
x
y =
Exercícios:
1)Dadas as funções f e g de ¬ de ¬ , sendo g(x) = 4x – 5 e
f(g(x)) = 13 – 8x, obter f(x).
2)Obtenha a inversa da função bijetora y = 2.x – 3, e represente num
mesmo diagrama função e inversa.
Resoluções:
1)
 
x.23)x(f
)x(g.23))x(g(f
10)x(g.213))x(g(f
]5)x(g.[213))x(g(f
4
5)x(g
.813))x(g(f
x.813))x(g(f
-=
-=
--=
+-=
˙
˚
˘
Í
Î
È +
-=
-=
2)
 x f y
 0 -4
 2 0 2
 x
 -4 2
 -4
4
5)x(g
x
5)x(gx4
x45)x(g
5x4)x(g
+
=
+=
=+
-=
2
4x
f
2
4x
y
4xy.2
y.24x)II
4y.2x)I
4x.2y
1 +=
+
=
+=
=+
-=
-=
-