Introdução ao Cálculo - Aula 10 - Função Composta e Inversa

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Introdução ao Cálculo 
AULA 10 – Função Composta e Inversa 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
FUNÇÃO COMPOSTA 
DEFINIÇÃO 
Sejam as funções ƒ: 𝐴 em 𝐵 e 𝑔: 𝐵 em 𝐶, chama-se função composta de ƒ com 𝑔 a 
função h: A em B, tal que h x = 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). 
OBSERVAÇÃO 
1. A expressão (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) se lê: “g composta com f”; 
2. Em geral, 𝑔𝑜𝑓 ≠ 𝑓𝑜𝑔, isto é, a composição de funções não é comutativa.; 
3. O domínio de 𝑔𝑜𝑓 é o conjunto de todos os valores de x no domínio de f tais que 
f(x) está no domínio de g. Em outras palavras, (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) está definida sempre que 
tanto 𝑓(𝑥) quanto 𝑔(𝑓(𝑥)) estiverem definidas. 
EXEMPLOS: 1. Dadas as funções ƒ(𝑥) = 2𝑥 – 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2, calcular: 
 
a) ƒ𝑜𝑔 𝑥 = ƒ 𝑔 𝑥 = ƒ 𝑥2 + 2 = 2 𝑥2 + 2 – 3 = 2𝑥2 + 4 – 3 = 2𝑥2 + 1; 
 
b) 𝑔𝑜ƒ 𝑥 = 𝑔 ƒ 𝑥 = 𝑔 2𝑥 – 3 = 2𝑥 – 3
2
+ 2 = 4𝑥2– 12𝑥 + 9 + 2 
 = 4𝑥2– 12𝑥 + 11; 
 
𝑐) ƒ𝑜ƒ(𝑥) = ƒ(ƒ(𝑥)) = ƒ(2𝑥 – 3) = 2(2𝑥 – 3) – 3 = 4𝑥 – 6 – 3 = 4𝑥 – 9. 
FUNÇÃO COMPOSTA 
2. 
FUNÇÃO COMPOSTA 
3. 
FUNÇÃO COMPOSTA 
FUNÇÃO COMPOSTA 
EXERCÍCIOS 
1. Sejam as funções reais 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑓 𝑥 = 𝑥4. Encontre a função 𝑓(𝑔 𝑥 ) e 
𝑔 𝑓 𝑥 : 
 
 
2. Sejam f e g funções reais, sendo 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 2 e 𝑓 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 10. determine a 
lei de formação da função 𝑔 𝑥 . 
 
 
GABARITO: 
 
1. 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 4 e 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 1 ; 
2. 𝑔 𝑥 =
𝑥
2
+ 3. 
FUNÇÃO INVERSA 
DEFINIÇÃO 
 
Dada a função ƒ: 𝐴 em 𝐵, se 𝑓 é bijetora, então chama-se função inversa de ƒ, 
indicada por ƒ −1(𝑥) a função ƒ −1: 𝐵 em 𝐴 que associa cada y de B ao elemento 
𝑥 de A, tal que 𝑦 = ƒ(𝑥). 
 
*O domínio de ƒ −1 é igual ao conjunto 
imagem de f; 
*O conjunto imagem de ƒ −1 é igual ao 
domínio de f; 
*Os gráficos de f e de ƒ −1 são curvas 
simétricas em relação à reta 𝑦 = 𝑥 ou seja, 
à bissetriz do primeiro quadrante; 
*Para obter a função inversa , basta 
permutar as variáveis x e y. 
 
EXEMPLO: 1. Obter a função inversa da função ƒ(x) = 3x – 2. 
 
Solução: ƒ 𝑥 = 3𝑥 – 2 → 𝑦 = 3𝑥 – 2 
 𝑥 = 3𝑦 – 2 → 3𝑦 = 𝑥 + 2 
 𝑦 =
𝑥 + 2
3
 → ƒ−1 𝑥 =
𝑥 + 2
3
 
 
Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa 
 
 Trocar ƒ(𝑥) ou a função que está representada por 𝑦. 
 Trocar 𝑥 por 𝑦 e 𝑦 por 𝑥. 
 Isolar 𝑦 para representá-lo como função de 𝑥. 
 Trocar 𝑦 por 𝑓−1(𝑥) 
FUNÇÃO INVERSA 
2. Dada a função f(x) =
2𝑥 + 3
3𝑥−5
, qual será a sua função inversa? 
Solução: ƒ 𝑥 =
2𝑥 + 3
3𝑥−5
→ 𝑦 =
2𝑥 + 3
3𝑥−5
 
 Inicialmente multiplicando cruzado: 𝑦( 3𝑥 − 5) = 2𝑥 + 3 
 
 Aplicando a propriedade distributiva, temos: 
3𝑥𝑦 − 5𝑦 = 2𝑥 + 3 
3𝑥𝑦 – 2𝑥 = 3 + 5𝑦 
3𝑥𝑦 – 2𝑥 = 3 + 5𝑦 
 
 Colocando x em evidência no 1º membro da igualdade, temos: 
𝑥( 3𝑦 – 2) = 3 + 5𝑦 
 
 Por fim, trocando o x pelo y e o y pelo x, teremos: 
𝑥 =
3 + 5𝑦
3𝑦 − 2
 → 𝑓−1 =
3 + 5𝑦
3𝑦 − 2
 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
3. Ache a inversa de 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2. 
 
 
Solução: Seja y = 3𝑥 − 2 
 
 Para x como uma função de y. Os cálculos são: 
 
 𝑦2 = 3𝑥 − 2 → 𝑦2 + 2 = 3𝑥 
 
𝑥 =
𝑦2 + 2
3
 
 
 Temos então que: 
𝑓−1 =
1
3
𝑦2 + 2 
FUNÇÃO INVERSA 
EXERCÍCIOS 
1. Nas funções abaixo de ℝ em ℝ , obtenha 𝑓−1 𝑥 : 
 
GABARITO: 
1. a) 𝑓−1 𝑥 =
𝑥−3
2
 b) 𝑓−1 𝑥 = 𝑥 − 2
3
 c) 𝑓−1 𝑥 = 𝑥2 − 2 d) 𝑓−1 𝑥 =
3𝑥+1
4
 
 
 
FUNÇÃO INVERSA 
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 
d) 𝑓 𝑥 = 
4𝑥−1
3