Aula 4 Flambagem de Colunas

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Flambagem de Colunas 
 
 
 
Colunas: Elementos de grande comprimento e de pequena seção transversal. 
 
Flambagem em colunas: Processo de deflexão lateral pelo efeito de força axial de compressão. 
 
Efeito da Flambagem: Falha repentina e dramática da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flambagem de uma coluna devido a um carregamento axial de compressão P. 
 
 
Os sistemas mecânicos e estruturas em geral quando submetidos a carregamentos, podem falhar em 
função de: 
 Tipo do material utilizado; 
 Tipo de estrutura; 
 Condições de apoio; 
 Cargas não dimensionadas. 
 
 
O dimensionamento por efeito de Flambagem deve atender e satisfazer aos seguintes requisitos: 
 Tensão; 
 Deflexão e 
 Estabilidade. 
 
 
 
 
 
Carga Crítica ( Pcr ): 
É a carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a Flambagem. 
 
Qualquer carga adicional provocará Flambagem na coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Análise do efeito de Instabilidade: 
 
Considere um mecanismo formado por duas barras: 
 
Características das barras: sem peso, rígidas e acopladas por pinos nas duas extremidades. 
 
 F = K. Δ (Força de recuperação) 
 P.tgƟ= (Força que tende a empurrar o pino “A”) 
 
 Tipos de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
(a) Mola com rigidez “k” sem deformação 
(b) Deslocamento do pino em “A” de uma posição “Δ” 
(c) Diagrama de corpo livre. 
 
 
Estados de equilíbrio identificados: Situações similares de equilíbrio: 
 Uma bola sobre uma superfície lisa 
 
 
 
 
 
Bola em equilíbrio: (a) estável, (b) instável e (c) neutro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Colunas com Apoios Simples (extremidades apoiadas por Pinos): 
 
 
Coluna ideal: 
 
É perfeitamente reta e de material elástico linear que segue a lei de Hooke. (sem imperfeições) 
 
 
Características da Coluna ideal: 
 
 Carregada por uma força vertical “P”. 
 Força “P” aplicada através do centróide da seção transversal. 
 Extremidades presas por pinos. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Coluna Ideal (b) Deflexão lateral (Flambagem) (c) Força axial “P” e momento fletor “M” agindo na seção transversal. 
 
 
Comportamento da Coluna Ideal: 
 
Se P < Pcr = coluna em equilíbrio estável na posição reta. 
 
Se P = Pcr = coluna em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição levemente flexionada. 
 
Se P > Pcr = coluna em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre a menor perturbação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Equação Diferencial para Flambagem de Coluna: 
 
Para determinar os carregamentos críticos correspondentes às formas defletidas para uma coluna real 
apoiada por pinos, aplicam-se as equações diferenciais da curva de deflexão de uma viga. 
 
Essas equações são aplicáveis a uma coluna flambada porque a coluna flete como se fosse uma viga. 
Tem-se a seguinte equação: 
 
EI ν " = M (2) Onde, M = −Pν 
 
Para uma equação diferencial linear homogênea de segunda 
ordem com coeficientes constantes, resulta em: 
 
 
A solução geral da equação é: 
As duas condições de contorno são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades da 
coluna. Como então: 
A equação é satisfeita se : 
 
ou 
 
O menor valor de “P” é obtido quando n=1, logo, a carga crítica para a coluna será: 
 
P = Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da Flambagem. 
 
Obs.: esta carga não deve permitir que a tensão na coluna seja maior que o limite de proporcionalidade. 
 
E = Módulo de Elasticidade linear do material. 
 
I = Momento de inércia da área da seção transversal. 
 
L = Comprimento da coluna sem apoio (para extremidades apoiadas por pinos). 
 
 
 
 
 
Comportamento carga-deflexão da coluna ideal. 
 
 
 
 
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Obs.: 
1- A carga crítica (Pcr) depende diretamente: 
 
 E (Módulo de Elasticidade). 
 I (Momento de Inércia). 
 L (comprimento da coluna). 
 
 
2- À medida que o momento de inércia aumenta, a capacidade de carga da coluna também aumenta. 
 
3- Colunas eficientes são projetadas de tal forma que a quantidade de material fique mais distante 
possível dos eixos principais. Exemplos (seções tubulares) 
 
4- A coluna sofrerá Flambagem em torno do eixo principal da seção transversal de menor momento de 
inércia (o eixo menor resistência mecânica). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A carga “P” denomina-se também de Carga de Euler em homenagem ao matemático Leonhard Euler. 
 
 
Em projeto se utiliza a equação em função do raio de giração, onde o momento de inércia é: 
 
A = área da seção transversal 
 
r = raio (menor) de giração da área da seção transversal. Dessa forma tem-se: 
 
 Tensão crítica: 
 
 
Tensão Critica: 
 
Tensão media na coluna imediatamente antes da coluna flambar, essa tensão é uma tensão elástica e 
portanto, 
 
 
 
 
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Modo de Flambagem em função das 
condições de contorno (apoios) e das 
características da coluna e da carga 
aplicada: 
 
 
 
 
 
n=1 (uma onda de deflexão) n=2 (duas ondas de deflexão) 
 
 
 
A equação Tensão Crítica , por atender a Lei de Hooke, é denominada também de 
 Tensão Crítica de Euler. 
 
A relação geométrica , também pode ser definida como índice de esbeltez (que é função do tipo de 
apoio da coluna) 
(a) Extremidades presas por pinos. 
 
(b) Extremidades, engastada e livre. 
 
(c) Extremidades engastadas. 
 
(d) Extremidades, engastada e presa 
por pino. 
 
 
Comprimento efetivo (Le) de Flambagem para diferentes formas de apoio 
 
Logo, Tensão Crítica de Euler pode ser expressa por: 
 
 
Onde, ( ) índice de esbeltez (flexibilidade da coluna) é dado por: 
r mín. = raio de giração mínimo 
 
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< 
 
A Tensão de Flambagem ( ) é função do índice de esbeltez ( ) da barra. 
 
Barras com índice de esbeltez muito 
pequeno necessitam de uma tensão 
muito grande para que ocorra a Flambagem. 
 
 
A equação de Euler possui validade 
para: 
 
 < ou 
 
 
 > 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão de Flambagem em função do índice de esbeltez para E = 200 GPa 
Obs.: Barras com valor de esbeltez pequeno necessitam de uma tensão muito grande para que 
ocorra a Flambagem. 
 
 
Referências 
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, 1995. 
2. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000. 
Obs.: 
1- O presente texto é baseado nas referências citadas. 
2- Figuras de autoria das referências citadas.