GABARITO AD1 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS, Cederj 2017/1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas – Fazer upload na plataforma ate´
04/03/2017
Questa˜o 1 [1,8 pt]Encontre o segmento x =
3y2
2z
onde z =
√
a.b e y =
√
a2 − b2.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, encontre o segmento z que e´ o e´ a me´dia geome´tria entre a e b, isto e´,
z =
√
ab. Em seguida, encontre o segmento y que e´ o segundo cateto de um triaˆngulo retaˆngulo
de hipotenusa a e um cateto b. Finalmente construa, do fato que x =
3y2
2z
⇔ 2z
3y
=
y
x
utilizamos
a construc¸a˜o da quarta proporcional para obtermos x.
Questa˜o 2 [1,5 pt] Construa treˆs cordas, AB, BC e CD consecutivas, numa circunfereˆncia
de centro O e raio 3 cm, as duas primeiras de medidas iguais ao lado do triaˆngulo equila´tero
inscrito e a terceira igual a medida do lado penta´gono regular inscrito. Trace a bissetriz do
aˆngulo AOˆD que interceptara´ a circunfereˆncia num ponto E. A corda AE corresponde ao lado
de que pol´ıgono regular inscrito nessa circunfereˆncia? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:Trace quatro cordas de comprimento igual ao raio para obter duas cordas, AB e BC,
que tenham medidas iguais ao lado do triaˆngulo equila´tero inscrito. Construa CD igual ao lado
penta´gono regular inscrito utilizando o processo descrito no mo´dulo. A corda AE corresponde
ao lado do pentadeca´gono regular inscrito nessa circunfereˆncia. Pois, o arco compreendido por
essa corda mede 360
◦−240◦−72◦
2
= 24◦ que e´ exatamente o aˆngulo central compreendido pelo lado
do pentadeca´gono regular inscrito numa circunfereˆncia.
Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Questa˜o 3 [1,6 pt]Dada a circunfereˆncia λ de centro em O. Obtenha as circunfereˆncias de
raio r que tangenciam λ e que seccionam a reta t segundo uma corda de comprimento m.
Soluc¸a˜o: Construa um triaˆngulo iso´sceles ABO′ de base AB igual am apoiada sobre t e os lados
iguais a r, estando O′ do mesmo lado de t que se encontra a circunfereˆncia dada. Trace por O′
a reta paralela a t. Trace uma reta s qualquer passando por O e some ao raio da circunfereˆncia
dada o raio r das circunfereˆncias pedidas. Construa a circunfereˆncia de centro em O e raio igual
a` soma dos raios. A intersec¸a˜o desta circunfereˆncia com a reta paralela sera´ os centros O1 e 02
das circufereˆncias procuradas. Basta enta˜o contruir as circunfereˆncias com esses centros e o raio
r.
Questa˜o 4 [1,7 pt]Construa um triaˆngulo conhecendo-se duas alturas e aˆngulo interno oposto
ao lado que na˜o e´ relativo e nenhuma das duas alturas dadas.
Soluc¸a˜o:Trace um igual ao aˆngulo dado e em seguida trace duas perpendiculares em relac¸a˜o
aos lados que formam o aˆngulo. Sobre estas perpendiculares construa as duas alturas (uma em
cada perpendicular). Pelos extremos trace as paralelas aos respectivos lados correspondentes.
Traces paralelas interceptara˜o os lados nos ve´rtices dos triaˆngulos que juntos com o ve´rtice do
aˆngulo constru´ıdo forma o triaˆngulo procurado.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
Questa˜o 5 [1,7 pt]Construa um triaˆngulo inscrito numa circunfereˆncia de raio R sendo dois
aˆngulos internos de medida 60◦ e 45◦.
Soluc¸a˜o: Construa uma circunfereˆncia de raio igual a R. Sobre essa circunfereˆncia construa
dois arcos consecutivos de medida 120◦ e 90◦. Os extremos desses arcos formam o triaˆngulo
procurado.
Questa˜o 6 [1,7 pt]Construa um triaˆngulo iso´sceles conhecendo-se a base e a mediana relativa
aos lados congruentes.
Soluc¸a˜o:Divida a mediana em treˆs partes iguais. Construa um triaˆngulo iso´sceles de base igual
a` base dada e os outro lados iguais a 2
3
da mediana. Trace a mediana desse novo triaˆngulo
relativa a` base. Triplique essa mediana. O extremo do triplo da mediana e´ ve´rtice oposto a` base
do triaˆngulo iso´sceles procurado.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4
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