Lista de Cálculo 4 Série

Prévia do material em texto

INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Professor: Andre´s Mauricio Lo´pez Barraga´n
LISTA 2
SE´RIES DE POTEˆNCIAS
IC 244 CA´LCULO IV
TURMA 01
A. Determine o raio de convergeˆncia e todos os valores de x para os quais as seguintes se´ries de poteˆncia convergem.
1.)
∞∑
n=1
(−1)n−1xn
n3
2.)
∞∑
n=1
(−1)nxn
4n ln(n)
3.)
∞∑
n=1
(−1)n(x+ 2)n
n2n
4.)
∞∑
n=0
(−1)n(4x+ 1)n
5.)
∞∑
n=1
(x− 2)n
10n
6.)
∞∑
n=0
(−1)nxn
n!
7.)
∞∑
n=1
xn
n
√
n3n
8.)
∞∑
n=1
xn√
n2 + 3
9.)
∞∑
n=1
4nx2n
n
10.)
∞∑
n=1
nnxn
11.)
∞∑
n=1
(−1)n+1(x+ 2)n
n2n
12.)
∞∑
n=1
x2n−1
2n− 1
13.)
∞∑
n=1
(x− 2)n
(2n− 1)2n
14.)
∞∑
n=1
(−1)n−1(x− 2)2n
2n
15.)
∞∑
n=1
(
n
2n+ 1
)2n−1
xn
16.)
∞∑
n=1
n!xn
nn
17.)
∞∑
n=1
n!(x− 3)n
nn
B. Achar uma representac¸a˜o por meio de se´ries de poteˆncias das seguintes func¸o˜es e determine o intervalo de con-
vergeˆncia.
1.) f(x) =
1
1− x3
2.) f(x) =
1
x− 5
3.) f(x) =
x
9 + x2
4.) f(x) = ln(5− x)
5.) f(x) =
x3
(x− 2)2
6.) f(x) =
−2
x2 − 1
7.) f(x) =
−1
(x+ 1)2
8.) f(x) =
3x
x2 + x− 2
9.) f(x) =
x2
1− 2x
10.) f(x) = ln(x+ 1)
11.) f(x) = x arctan(x2)
C. Determine a se´rie de Taylor gerada pela f em x = a
1.) f(x) = e−x, a = 0
2.) f(x) =
1
1 + x
, a = 0
3.) f(x) = sen(3x), a = 0
4.) f(x) = cosh(x) = e
x+e−x
2 , a = 0
5.) f(x) = x3 − 2x+ 4, a = 2
6.) f(x) =
1
x2
, a = 1
7.) f(x) = ex, a = 2
8.) f(x) = x4 + x2 + 1, a = −2
D. Achar uma representac¸a˜o por meio de se´ries de poteˆncias centrada em x = a, das seguintes func¸o˜es
1.) f(x) =
1
x
, em poteˆncias de x− 1
2.) f(x) =
1
x2
, em poteˆncias de x+ 1
3.) f(x) =
1
x2 + 3x+ 2
, em poteˆncias de x+ 4
E. Verificar as seguintes igualdades:
1.)
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2n
= ln
(
3
2
)
2.)
∞∑
n=1
(−1)n+12n
n5n
= ln
(
7
5
)
3.)
∞∑
n=0
1
(2n+ 1)(2)2n+1
= arctan
(
1
2
)
F. Achar uma representac¸a˜o por meio de se´rie de poteˆncias da func¸a˜o, calcular a integral indefinida como una se´rie de
poteˆncias e determinar o intervalo de convergeˆncia.
1.)
∫
t
1− t8 dt
2.)
∫
tan−1
(
t2
)
dt
G. DESCANSE...
Rta:
A. 1.) 1, [−1, 1]
2.) 4, (−4, 4]
3.) 2, (−4, 0]
4.) 1/4, (−1/2, 0)
5.) 10, (−8, 12)
6.) ∞, R
7.) 3, [−3, 3]
8.) 1, [−1, 1)
9.) 1/2, [−1/2, 1/2)
10.) 0, x = 0
11.) 2, (−4, 0]
12.) 1, (−1, 1)
13.) 2, [0, 4)
14.) 2, [1, 3]
15.) 4, (−4, 4)
16.) e, (−e, e)
17.) e, (−e− 3, e− 3)
B. 1.)
∞∑
n=0
x3n, (−1, 1)
2.) −
∞∑
n=0
xn
5n+1
, (−5, 5)
3.)
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
9n+1
, (−3, 3)
4.) −
∞∑
n=0
xn+1
(n+1)5n+1
+ ln(5), (−5, 5)
5.)
∞∑
n=0
(n)xn+2
2n+1
, (−2, 2)
6.) 2
∞∑
n=0
x2n, (−1, 1)
7.)
∞∑
n=0
(−1)n+1(n+ 1)xn, (−1, 1)
8.)
∞∑
n=0
[
(−2)−n − 1] xn, (−1, 1)
9.)
∞∑
n=0
2nxn+2, (−1/2, 1/2)
10.)
∞∑
n=0
(−1)nxn+1
n+1 , (−1, 1)
11.)
∞∑
n=0
(−1)nx4n+3
2n+1 , (−1, 1)
C. 1.)
∞∑
n=0
(−x)n
n!
2.)
∞∑
n=0
(−1)nxn
3.)
∞∑
n=0
(−1)n32n+1x2n+1
(2n+1)!
4.)
∞∑
n=0
x2n
(2n)!
5.) 8 + 10(x− 2) + 6(x− 2)2 + (x− 2)3
6.)
∞∑
n=0
(−1)n(n+ 1)(x− 1)n
7.)
∞∑
n=0
e2(x−2)n
n!
8.) 21− 36(x+ 2) + 25(x+ 2)2 − 8(x+ 2)3 + (x+ 2)4
D. 1.)
∞∑
n=0
(−1)n(x− 1)n, 0 < x < 2
2.)
∞∑
n=0
(n+ 1)(x+ 1)n, −2 < x < 0
3.)
∞∑
n=0
(
2−n−1 − 3−n−1) (x+ 4)n, −6 < x < −2