Teorema de Green e o Planímetro - Cálculo

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Teorema de Green e o Planímetro
Eduardo Martin Borges dos Santos Júnior¹; Josaphat Ricardo Ribeiro Gouveia Jr.² , Neilson Castro Soares¹; Vanessa de Amaral Santos¹.
1. Acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática do IFBA– Campus Eunápolis 2. Professor Doutor do IFBA – Campus Eunápolis
RESUMO
O Teorema de Green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas
de figuras planas fechadas. Dessa forma este trabalho vem comprovar
que o princípio do teorema de Green é utilizado num aparelho que
calcula áreas de figuras planas irregulares apenas se movendo sobre o
contorno da curva fechada, denominado de planímetro. Suas
características e funcionalidades também são tratadas ao longo do
trabalho além de ser feita uma alusão da história do Teorema de Green
e de George Green.
INTRODUÇÃO
Como pode um instrumento medir a área de uma região
simplesmente percorrendo o contorno que a delimita? Certamente não
é medindo o comprimento do contorno, pois perímetros iguais podem
circundar áreas distintas. No entanto, baseado em princípios
matemáticos sofisticados, como o Teorema de Green, o planímetro
realiza tal proeza.
Nesse sentido, este trabalho tem por finalidade verificar que o
planímetro satisfaz o Teorema de Green. É nesse sentido que o
trabalho organiza-se em três tópicos, dispostos da seguinte ordem:
Planímetro, Teorema de Green e Teorema de Green aliado Planímetro.
Para a elaboração deste trabalho, basicamente foi utilizado como
fonte, artigos referentes ao tema.
PLANÍMETRO
O matemático suíço Jacob Amsler em meados de 1854 inventou
um dispositivo mecânico, denominado planímetro, que é capaz de
medir a área de regiões planas limitadas. O planímetro é uma
ferramenta inovadora, até para os dias contemporâneos, visto que, a
dificuldade de medir áreas de planos extremamentes irregulares é
considerada grande. O dispositivo mecânico de Jacob Amsler tem uma
construção¸ muito simples, possui dois braços de tamanho igual ou
não, geralmente feitos de metal. Esses braços são capazes de variar o
ângulo entre eles, de 0° a 180° graus.
George Green foi um matemático e físico inglês que, segundo
alguns escritos, passou apenas dois anos na escola básica. Em 1923 ele
tornou-se membro Subscription Library, Notingham, que tinha como
objetivo promover discussões por não acadêmicos sobre inovações
científicas. No ano de 1928, Green publica seu primeiro e mais
importante trabalho, intitulado "Um ensaio sobre a aplicação da análise
matemática às teorias de eletricidade e magnetismo", onde o famoso
Teorema de Green é utilizado, porém, o teorema só veio ter
notoriedade após a morte de George Green em 1844.
Podemos Enunciar o teorema de Green da seguinte forma:
𝐹 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥, 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑅
𝜕𝑔
𝑥
−
𝜕𝑓
𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦
Um campo diferenciável no plano, 𝐶 uma curva fechada e 𝑅 a
região cercada por C. Então,
 
𝑐
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑅
𝜕𝑔
𝑥
−
𝜕𝑓
𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦
CONCLUSÃO
Na extremidade de um dos braços, existe uma ponta que fixamos
em uma superfície plana. Na outra ponta fica localizado uma rodinha
que gira perpendicularmente ao braço na qual é fixada, na ponta da
rodinha existe um contador, que tem a função de medir o número de
voltas que ela dá quando a ponta móvel do instrumento se desloca em
uma superfície plana. Portanto, quando esta ponta se desloca sobre
uma curva fechada, o contador indicará a área cercada pela curva. O
modelo mais conhecido é o planímetro polar, mas existem outros tipos
de planímetros com diferentes construções mecânicas como o
planímetro linear, planímetro de Prytz e as versões eletrônicas, porém
todos eles utilizam o mesmo princípio para medida de áreas.
Figura 1: Planímetro polar de Amsler
TEOREMA DE GREEN
REFERÊNCIAS
GONCALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. 2 ed. Funceções de Várias
Variáveis, Integrais Múltiplas, Integrais Curvilíneas e de Superfície, São
Paulo: Person Prentice Hall, 2007.
RABELO, Adriano Borges; MANSO, Fernando Ferreira. O Planímetro
Teorema de Green. Belo Horizonte.
BRAGA, Alcimar de Souza. Teorema de Green e aplicação. Brasília.
TEOREMA DE GREEN ALIADO AO PLANÍMETRO
Para tanto, diante do que foi visto nesse trabalho, pode-se concluir a
importância da invenção do Planímetro no cálculo de figuras irregulares.
Instrumento que por sua vez, baseia-se no Teorema de Green, outro
grande desenvolvimento a ser considerável para o cálculo de áreas de
figuras planas limitadas e fechadas. Dada tamanha relevância, essas
ferramentas causaram muito entusiasmo na época de suas invenções e
ainda hoje são vistos com o mesmo entusiasmo de antes, tendo
aplicações extensas e extremamente úteis na engenharia e na física, de
modo que, o Planímetro e o Teorema de Green são ferramentas muito
úteis no dia a dia de um engenheiro, um físico e outros profissionais.
Assumindo a veracidade do Teorema de Green para o campo definido
pelo planímetro e o caso em que
𝑘 =
𝜕𝑔
𝜕𝑥
−
𝜕𝑓
𝜕𝑦
podemos dizer então que
𝐴𝑅 =
 
𝑅
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘−
1 
𝑐
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝐼
A articulação do planímetro determina a orientação da roda de
medição, como uma função de sua posição sobre o contorno da
superfície. Intuitivamente, pode-se perceber que contando o número de
voltas da roda de medição, podemos calcular a integral de linha. Dessa
forma, o número de voltas da roda de medição, registrado pelo contador,
é proporcional à área dentro do contorno, ou seja
 
𝐶
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑘 . á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐶 𝐼𝐼
onde 𝑘 representa o valor que aparece no contador do planímetro.
De I e II percebe-se a relação do Teorema de Green com Planímetro.
Se significa que o planímetro percorre uma curva ortogonal, a rodinha
não roda e o contador marcará 0 (𝑘 = 0).
 
𝑐
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Suponha o funcionamento de um planímetro onde cada braço tenha 
comprimento igual a r, a área da região igual a 𝑅 e percorrida pela curva 
C (ver Figura 2).
Figura 2