AP3 MetEst I Gabarito 2017.2

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
3
a 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP3) 
2º. Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
 
Um determinado produto, cujo preço médio é de R$ 22,50, é vendido no comércio 
com preços que variam de um estabelecimento para outro. Uma amostra de preços 
deste produto em dez estabelecimentos diferentes resultou nos seguintes valores 
(em reais): 
 
 
 
Utilize estas informações para resolver as questões de 1 a 7. 
 
1) (0,5 pt) Determine o preço 𝑋; 
2) (0,5 pt) Determine a moda; 
3) (0,5 pt) Determine a mediana; 
4) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 =
1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝑋)
2; 
5) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 
6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 
7) (0,5 pt) Determine o primeiro e o terceiro quartil. 
 
Solução: 
1) Temos que: 
𝑋 =
16 + 17 + 19 + 20 + 𝑋 + 21 + 21 + 23 + 25 + 30
10
= 22,50 
192 + 𝑋 = 225 ⇒ 
𝑋 = 225 − 192 
𝑿 = 𝟑𝟑 
 
2) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, 𝒙∗ = 𝟐𝟏. 
 
3) Ao incluir o valor 33, os valores em ordem crescente são: 
 
 
Como n é par, então: 
𝑄2 =
𝑥5 + 𝑥6
2
=
21 + 21
2
= 𝟐𝟏. 
 
4) 
𝜎2 =
1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝑋)
2 =
1
10
[(16 − 22,5)2 + ⋯ + (33 − 22,5)2] 
=
268,5
10
= 26,85. 
𝜎 = √26,85 = 𝟓, 𝟏𝟖. 
 
16 17 19 20 𝑿 21 21 23 25 30 
16 17 19 20 21 21 23 25 30 33 
5) 
𝑒 =
𝑋 − 𝑥∗
𝜎
=
22,5 − 21
5,18
=
1,5
5,18
= 𝟎, 𝟐𝟗. 
 
6) 
𝐶𝑉 =
𝜎
𝑋
=
5,18
22,5
= 𝟎, 𝟐𝟑. 
 
7) Temos que 𝑄1 e 𝑄3 são respectivamente as medianas da primeira e da segunda 
metade dos dados. Assim: 
𝑄1 = 𝑥3 = 𝟏𝟗. 
𝑄3 = 𝑥8 = 𝟐𝟓. 
 
Contexto para as questões de 8 a 11. 
Os produtos (A, B, C e D) provenientes de uma determinada fábrica podem ser 
feitos a partir do ferro, da madeira ou do plástico. Um comprador solicitou as 
quantidades listadas na tabela abaixo: 
 
 Produto 
Matéria Prima A B C D Total 
Ferro (F) 30 15 25 30 100 
Madeira (M) 25 35 20 40 120 
Plástico (P) 65 20 35 20 140 
Total 120 70 80 90 360 
 
Se um produto for selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de ele: 
8) (0,5 pt) ser um produto B? 
9) (0,5 pt) ser um produto A feito de ferro? 
10) (0,5 pt) ser um produto D ou de plástico? 
11) (0,5 pt) ser de madeira, dado que é um produto C? 
 
Solução: 
 
8) 
𝑃(𝐵) =
70
360
= 𝟎, 𝟏𝟗𝟒. 
 
9) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐹) =
30
360
= 𝟎, 𝟎𝟖𝟑. 
 
10) 
𝑃(𝐷 ∪ 𝑃) = 𝑃(𝐷) + 𝑃(𝑃) − 𝑃(𝐷 ∩ 𝑃) 
=
90
360
+
140
360
−
20
360
=
210
360
= 𝟎, 𝟓𝟖𝟑. 
 
11) 
𝑃(𝑀|𝐶) =
𝑃(𝑀 ∩ 𝐶)
𝑃(𝐶)
=
20
360
80
360
=
20
80
= 𝟎, 𝟐𝟓. 
 
Use o contexto a seguir para resolver as questões de 12 a 15. 
Sabe-se que 2 a cada 10 pessoas de uma cidade tem idade superior a 65 anos. Em 
um grupo aleatório de 6 pessoas, determine a probabilidade de: 
 
12) (0,5 pt) todas terem idade acima de 65 anos; 
13) (0,5 pt) nenhuma ter idade acima de 65 anos; 
14) (0,5 pt) no máximo uma ter idade acima de 65 anos; 
15) (0,5 pt) pelo menos cinco ter idade acima de 65 anos. 
 
Solução: 
Se X for a variável aleatória: número de pessoas com mais de 65anos, então: 
𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(6; 0,2) 
12) 𝑃(𝑋 = 6) = (
6
6
) (0,2)6(0,8)0 = (0,2)6 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒. 
13) 𝑃(𝑋 = 0) = (
6
0
) (0,2)0(0,8)6 = (0,8)6 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒. 
14) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = 0,262144 + (
6
1
) (0,2)1(0,8)5 
= 0,262144 + (6 × 0,2 × 0,32768) = 0,262144 + 0,393216 
= 𝟎, 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔. 
 
15) 𝑃(𝑋 ≥ 5) = 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) = (
6
5
) (0,2)5(0,8)1 + 0,000064 
= (6 × 0,00032 × 0,8) + 0,000064 = 0,001536 + 0,000064 
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔. 
 
Use o contexto a seguir para resolver as questões de 16 e 17. 
35% das peças vendidas por um determinado lojista têm origem à partir do 
fabricante A, 42% são originárias do fabricante B e as demais são produzidas pelo 
fabricante C. Sabe-se de antemão que das peças produzidas pelos fabricantes A, B 
e C, 2,5%, 3% e 3,5% respectivamente contém algum tipo de defeito. Uma peça 
será selecionada aleatoriamente para averiguação. 
 
16) (1,0 pt) Determine a probabilidade de a peça selecionada ser defeituosa; 
17) (1,0 pt) Sabendo que a peça selecionada é perfeita, qual a probabilidade de ela 
ter sido produzida pelo fabricante C? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
A: A peça foi produzida pelo fabricante A; 
B: A peça foi produzida pelo fabricante B; 
C: A peça foi produzida pelo fabricante C; 
D: A peça é defeituosa; 
N: A peça não é defeituosa. 
 
São dados do enunciado: 
𝑃(𝐴) = 0,35; 𝑃(𝐵) = 0,42 
𝑃(𝐷|𝐴) = 0,025; 𝑃(𝐷|𝐵) = 0,03; 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,035. 
 
16) 
Temos que 
𝑃(𝐶) = 1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)] = 1 − [0,35 + 0,42] = 1 − 0,77 = 0,23. 
𝑃(𝐶) = 0,23. 
 
Pelo Teorema da Probabilidade Total: 
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝐷|𝐶) 
= (0,35 × 0,025) + (0,42 × 0,03) + (0,23 × 0,035) 
= 0,00875 + 0,0126 + 0,00805 
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟗𝟒. 
 
 
17) 
Temos que: 
𝑃(𝐷|𝐶) = 0,035, logo: 𝑃(𝑁|𝐶) = 1 − 𝑃(𝐷|𝐶) = 1 − 0,035 = 0,965 
 
Pelo Teorema de Bayes: 
 
𝑃(𝐶|𝑁) =
𝑃(𝐶)𝑃(𝑁|𝐶)
𝑃(𝑁)
=
0,23 × 0,965
1 − 𝑃(𝐷)
=
0,22195
1 − 0,0294
=
0,22195
0,9706
= 𝟎, 𝟐𝟐𝟖𝟔𝟕.