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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 3 a AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP3) 2º. Semestre de 2017 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO Um determinado produto, cujo preço médio é de R$ 22,50, é vendido no comércio com preços que variam de um estabelecimento para outro. Uma amostra de preços deste produto em dez estabelecimentos diferentes resultou nos seguintes valores (em reais): Utilize estas informações para resolver as questões de 1 a 7. 1) (0,5 pt) Determine o preço 𝑋; 2) (0,5 pt) Determine a moda; 3) (0,5 pt) Determine a mediana; 4) (1,0 pt) Determine o desvio-padrão, sabendo que 𝜎2 = 1 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑋) 2; 5) (0,5 pt) Determine o coeficiente de assimetria; 6) (0,5 pt) Determine o coeficiente de variação; 7) (0,5 pt) Determine o primeiro e o terceiro quartil. Solução: 1) Temos que: 𝑋 = 16 + 17 + 19 + 20 + 𝑋 + 21 + 21 + 23 + 25 + 30 10 = 22,50 192 + 𝑋 = 225 ⇒ 𝑋 = 225 − 192 𝑿 = 𝟑𝟑 2) A moda é o valor de maior freqüência. Na ocasião, 𝒙∗ = 𝟐𝟏. 3) Ao incluir o valor 33, os valores em ordem crescente são: Como n é par, então: 𝑄2 = 𝑥5 + 𝑥6 2 = 21 + 21 2 = 𝟐𝟏. 4) 𝜎2 = 1 𝑛 ∑(𝑥𝑖 − 𝑋) 2 = 1 10 [(16 − 22,5)2 + ⋯ + (33 − 22,5)2] = 268,5 10 = 26,85. 𝜎 = √26,85 = 𝟓, 𝟏𝟖. 16 17 19 20 𝑿 21 21 23 25 30 16 17 19 20 21 21 23 25 30 33 5) 𝑒 = 𝑋 − 𝑥∗ 𝜎 = 22,5 − 21 5,18 = 1,5 5,18 = 𝟎, 𝟐𝟗. 6) 𝐶𝑉 = 𝜎 𝑋 = 5,18 22,5 = 𝟎, 𝟐𝟑. 7) Temos que 𝑄1 e 𝑄3 são respectivamente as medianas da primeira e da segunda metade dos dados. Assim: 𝑄1 = 𝑥3 = 𝟏𝟗. 𝑄3 = 𝑥8 = 𝟐𝟓. Contexto para as questões de 8 a 11. Os produtos (A, B, C e D) provenientes de uma determinada fábrica podem ser feitos a partir do ferro, da madeira ou do plástico. Um comprador solicitou as quantidades listadas na tabela abaixo: Produto Matéria Prima A B C D Total Ferro (F) 30 15 25 30 100 Madeira (M) 25 35 20 40 120 Plástico (P) 65 20 35 20 140 Total 120 70 80 90 360 Se um produto for selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de ele: 8) (0,5 pt) ser um produto B? 9) (0,5 pt) ser um produto A feito de ferro? 10) (0,5 pt) ser um produto D ou de plástico? 11) (0,5 pt) ser de madeira, dado que é um produto C? Solução: 8) 𝑃(𝐵) = 70 360 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟒. 9) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐹) = 30 360 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟑. 10) 𝑃(𝐷 ∪ 𝑃) = 𝑃(𝐷) + 𝑃(𝑃) − 𝑃(𝐷 ∩ 𝑃) = 90 360 + 140 360 − 20 360 = 210 360 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟑. 11) 𝑃(𝑀|𝐶) = 𝑃(𝑀 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐶) = 20 360 80 360 = 20 80 = 𝟎, 𝟐𝟓. Use o contexto a seguir para resolver as questões de 12 a 15. Sabe-se que 2 a cada 10 pessoas de uma cidade tem idade superior a 65 anos. Em um grupo aleatório de 6 pessoas, determine a probabilidade de: 12) (0,5 pt) todas terem idade acima de 65 anos; 13) (0,5 pt) nenhuma ter idade acima de 65 anos; 14) (0,5 pt) no máximo uma ter idade acima de 65 anos; 15) (0,5 pt) pelo menos cinco ter idade acima de 65 anos. Solução: Se X for a variável aleatória: número de pessoas com mais de 65anos, então: 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(6; 0,2) 12) 𝑃(𝑋 = 6) = ( 6 6 ) (0,2)6(0,8)0 = (0,2)6 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒. 13) 𝑃(𝑋 = 0) = ( 6 0 ) (0,2)0(0,8)6 = (0,8)6 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒. 14) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = 0,262144 + ( 6 1 ) (0,2)1(0,8)5 = 0,262144 + (6 × 0,2 × 0,32768) = 0,262144 + 0,393216 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟔. 15) 𝑃(𝑋 ≥ 5) = 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) = ( 6 5 ) (0,2)5(0,8)1 + 0,000064 = (6 × 0,00032 × 0,8) + 0,000064 = 0,001536 + 0,000064 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟔. Use o contexto a seguir para resolver as questões de 16 e 17. 35% das peças vendidas por um determinado lojista têm origem à partir do fabricante A, 42% são originárias do fabricante B e as demais são produzidas pelo fabricante C. Sabe-se de antemão que das peças produzidas pelos fabricantes A, B e C, 2,5%, 3% e 3,5% respectivamente contém algum tipo de defeito. Uma peça será selecionada aleatoriamente para averiguação. 16) (1,0 pt) Determine a probabilidade de a peça selecionada ser defeituosa; 17) (1,0 pt) Sabendo que a peça selecionada é perfeita, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pelo fabricante C? Solução: Considere os seguintes eventos: A: A peça foi produzida pelo fabricante A; B: A peça foi produzida pelo fabricante B; C: A peça foi produzida pelo fabricante C; D: A peça é defeituosa; N: A peça não é defeituosa. São dados do enunciado: 𝑃(𝐴) = 0,35; 𝑃(𝐵) = 0,42 𝑃(𝐷|𝐴) = 0,025; 𝑃(𝐷|𝐵) = 0,03; 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,035. 16) Temos que 𝑃(𝐶) = 1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)] = 1 − [0,35 + 0,42] = 1 − 0,77 = 0,23. 𝑃(𝐶) = 0,23. Pelo Teorema da Probabilidade Total: 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝐷|𝐶) = (0,35 × 0,025) + (0,42 × 0,03) + (0,23 × 0,035) = 0,00875 + 0,0126 + 0,00805 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟗𝟒. 17) Temos que: 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,035, logo: 𝑃(𝑁|𝐶) = 1 − 𝑃(𝐷|𝐶) = 1 − 0,035 = 0,965 Pelo Teorema de Bayes: 𝑃(𝐶|𝑁) = 𝑃(𝐶)𝑃(𝑁|𝐶) 𝑃(𝑁) = 0,23 × 0,965 1 − 𝑃(𝐷) = 0,22195 1 − 0,0294 = 0,22195 0,9706 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟖𝟔𝟕.
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