PROJEÇÃO ESTEREOGRAFICA FULL

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E ENGENHARIAS
FACULDADE DE GEOLOGIA
Prof. Francisco Ribeiro da Costa
PROJEÇÃO ESTEREOGRAFICA 
PARA ANÁLISES DE ESTRUTURAS
Prof. Francisco Ribeiro da Costa
Faculdade de Geologia
 Aulas sobre projeção estereografica baseada no livro PROJEÇÃO
ESTEREOGRÁFICA DE ESTRUTURAS
 sob a coordenação do Prof. Celso Dal Ré Carneiro
 Carneiro, C .D .R. Projeção Estereográfica de Estruturas ,
INTRODUÇÃO
 A projeção estereográfica permite a representação, no
plano de feições espaciais, sejam elas planares ou
lineares. Possibilita, ainda, a realização de inúmeras
operações, indispensáveis em estudos de Geologia,
Cristalografia, Cartografia e Ciência dos Materiais, além
das aplicações especificas em Geologia Estrutural.
 A sua principal virtude – Facilitar o
entendimento das situações geológicas
complexas - explica porque esta técnica é
utilizada ha mais de três quartos de século
em Geologia Estrutural Dados tridimensionais
de estruturas, das mais variadas naturezas,
podem ser reduzidos a conjuntos de planos e
retas (Phillips, 1971), para fins de análise e
lançamento em mapas e perfis Pode-se
investigar sistemas estruturais complicados,
bem como arranjos ou associações de diversos
tipos rochosos do terreno, uma vez
decompostos em suas feições geométricas
elementares:
 Contatos
 ESTRUTURAS PLANARES como estratificação, foliações, 
falhas, juntas etc ou
 ESTRUTURAS LINEARES, como lineações de 
estiramento, budinagem, estrias de atrito e charneiras 
de dobras.
 A interpretação geológica dos dados irá depender da
natureza, complexidade e escala considerada, mas o
tratamento em projeção estereográfica não sofre
qualquer restrição sob o aspecto de escala ou posição
absoluta no espaço
 Podem ser abordadas feições mesoscópicas ou de
magnitude continental, como direções de encurtamento
crustal ou grandes lineamentos ou, até mesmo,
microscópicas, como as obtidas sob platina universal
(Analise de Petrotrama ou Microtectônica)
PRINCÍPIOS GERAIS
 Tome-se um plano estrutural qualquer, no espaço, que
passa por um ponto da superfície da Terra, chamado,
por convenção, de O (Fig. II.2a). Admitindo-se uma
esfera de raio r centrada em O, a interseção do plano p
com a esfera constitui a projeção esférica do plano, que
é única para sua atitude no espaço (Fig. II.2b).
A representação bidimensional da projeção
esférica do plano é feita sobre uma superfície de
referência, delimitada por uma circunferência
denominada primitiva, ou círculo-base.
Projeção de uma Reta
 Para projetar uma reta é necessário fazc-la passar pelo centro da esfera de
referência. A reta intercepta a superfície esférica em dois pontos.
 Ligando o ponto do hemisfério inferior com o pólo norte da esfera e o
ponto do hemisfério superior com o pólo sul, obtcm-se duas retas que
cortam o plano do equador em dois pontos, que são os pólos estereo-
gráficos
 Uma reta e representada por dois pólos. Obviamente, se a
reta é vertical, os dois pólos coincidem com o centro do
estereograma. Se ó horizontal, ambos caem na borda do plano
equatorial, em posições diametralmente opostas. Como a reta
é imaginada passando pelo centro da esfera, não precisamos
de dois pólos estereográficos para representá-la: basta um.
Convencionou-se, em Geologia Estrutural, utilizar o
hemisfério inferior da esfera. Algumas escolas, como a
francesa, adotam representações no hemisfério superior. Em
resumo, uma reta é representada por apenas um pólo
estereográfíco: aquele obtido pela sua projeção, a partir do
hemisfério inferior da esfera de referencia
Projeção de um Plano
 Para projetar um plano (Fig. II.4), toma-se
necessário faze-lo passar pelo centro da esfera de
referência. Podemos representar o plano:
 Pelos pólos da reta perpendicular ao plano e,
nesse caso, caímos na situação anterior;
 Pelo traço do plano na esfera, que é um círculo.
Ligando os pontos desse traço, situados no
hemisfério inferior com o pólo norte, obtemos
sobre o plano do Equador um conjunto de pontos
que definem um arco de círculo (Fig. II.5).
 Pela mesma razão já exposta, existirá um segundo
arco, obtido de maneira idêntica, a partir do
hemisfério superior. Um deles e suficiente.
Convém lembrar que o uso do hemisfério superior
fornece uma figura simétrica à do inferior.
TIPOS DE NOTAÇÃO
 Os tipos de notação mais comuns cm Geologia Estrutural, para planos ou
retas, correspondem às bússolas disponíveis no mercado: QUADRANTE,
AZIMUTAL e CLAR, existindo certas variações dentro desses formatos-
padrões. A notação deve indicar a atitude do plano ou reta, isto c, sua
direção, mergulho e rumo do mergulho.
TIPOS DE NOTAÇÃO
A notação quadrante considera os
quadrantes: Nordeste (NE),
Noroeste (NW),
Sudeste (SE) e;
Sudoeste (SW).
Um intervalo de variação (campo) de
360° e, pois, dividido em quatro
partes, cada qual com 90°.
TIPOS DE NOTAÇÃO
A direção de um plano ou
rcta, por não ser vetorial, é
referida aos quadrantes do
Norte (NE e NW, N-S e E-W),
que correspondem a um
campo de 180°; o rumo do
mergulho do plano ou reta,
por ser vetorial, é referido aos
quadrantes. Exemplos:
TIPOS DE NOTAÇÃO
 E menos usual, mas igualmente correta, a indicação do ângulo de
mergulho, no caso de retas, precedendo o rumo em que se dá o caimento,
separados por ponto e vírgula. Dispensa-se, por convenção, a indicação de
grau (°) para os ângulos.
NOTAÇÃO AZIMUTAL
 A notação azimutal considera a direção de plano ou
reta segundo o azimute entre O e 360 graus; o rumo
do mergulho e referido ao quadrante para o qual se
dá o caimento da reta ou o mergulho do plano
considerado. Os planos e retas anteriormente citados
são representados, respectivamente, por:
NOTAÇÃO CLAR
 A notação CLAR considera o campo de rumos possíveis,
segundo azimutes. A direção do plano e definida pelo
azimute do rumo de mergulho de sua reta de maior
pendente ou seja, a reta de maior valor de caimento
pertencente ao plano; a direção de uma reta e definida
pelo azimute do rumo para o qual mergulha. Os mesmos
planos e retas citados são representados,
respectivamente, por:
Notação e essencialmente, uma questão de convenção Há outras possibilidades, 
mas limitando-nos a referir neste ponto apenas as citadas. A Tabela II.l fornece 
exemplos adicionais.
DIAGRAMA DE WULFF
 Para facilitar a projeção estereográfica existem
alguns tipos de diagramas.
 Planos que contêm o diâmetro ântero-postcrior da
esfera Os planos considerados, normalmente, são
tais que dois deles sucessivos formam ângulos diedros
de 2° (Figs. II.6 c II.7) Os arcos de circulo que
aparecem no diagrama de Wulff são chamados
CÍRCULOS MÁXIMOS, ou meridianos.
 Planos perpendiculares ao diâmetro àntero-posterior.
Dois planos sucessivos guardam entre si uma distância
dada por um arco (na esfera) que. ligado ao centro da
mesma, corresponde a um ângulo de 2°. Os arcos de
círculo que aparecem no diagrama de Wulff são os
CIRCULOU MÍNIMOS, ou paralelos, formados a partir da
projeção esférica de uma família de cones coaxiais com
o mesmo diâmetro da primitiva (Fig. 11.8).
Círculos Maiores 
ou MÁXIMOS 
Longitude
Meridianos
Círculos MÍNIMOS
ou Menores 
Latitude
Paralelos
0º 10º
20º
30º
40º
50º
60º
70º
80º
90º
100º
110º
120º
130º
140º
150º
160º
170º180º190º
200º
210º
220º
230º
240º
250º
260º
270º
280º
290º
300º
310º
320º
330º
340º
350º
N
E
S
W
NOTAÇÃO 
AZIMUTAL
0º 10º
20º
30º
40º
50º
60º
70º
80º
90º
80º
70º
60º
50º
40º
30º20º
10º0º10º
20º
30º
40º
50º
60º
70º
80º
90º
80º
70º
60º
50º
40º
30º
20º
10º
N
E
S
W
NOTAÇÃO 
QUADRANTE
0º 0º90º
90º
0º 0º80º 80º90º
80
º
0º 0º70º 70º80º 80º90º
70
º
0º 0º60º 60º70º 70º80º 80º90º
60
º
0º 0º50º 50º60º 60º70º 70º80º 80º90º
50º
0º 0º40º 40º50º 50º60º 60º70º 70º80º 80º90º
40º
0º 0º30º 30º40º 40º50º 50º60º 60º70º 70º80º 80º90º
30º
0º 0º20º 20º30º 30º40º 40º50º 50º60º 60º70º 70º80º 80º90º
20º
0º 0º10º 10º20º 20º30º 30º40º 40º50º 50º60º 60º70º 70º80º 80º90º
10
º
0º 0º10º 10º20º 20º30º 30º40º 40º50º 50º60º 60º70º 70º80º 80º90º
 Em suma. os CÍRCULOS MÁXIMOS são os
arcos de círculo que ligam dois pontos
diametralmente opostos no diagrama de
Wulff. originados pela rotação de um
plano vertical, segundo um eixo
horizontal. Um dos círculos e uma reta e
será designado, para facilitar, diâmetro
vertical. Os CÍRCULOS MÍNIMOS são os
arcos transversais; um deles e uma reta e
o designaremos diâmetro horizontal
(note-se que esse diâmetro é exatamente
igual ao vertical).
PLOTANDO UM PLANO EM UMA 
NOTAÇÃO DE QUADRANTE
EXEMPLO
N30E 40NW
N30E 40NW
N30E 40NW
N30E 40NW
N30E 40NW
N30E 40NW
PLOTANDO UM PLANO EM UMA 
NOTAÇÃO CLAR
EXEMPLO
N300/40
40/300AZ
N300/40
40/300AZ
N300/40
40/300AZ
N300/40
40/300AZ
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
DETERMINAÇÃO DO POLO DO PLANO
N300/40
40/300AZ
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS EM 
ESTEREOGRAMA
 Os ângulos entre retas, reta e plano ou
planos PODEM SER MEDIDOS SOMENTE AO
LONGO DE CÍRCULOS MÁXIMOS. Isso
porque, as retas ou planos são imaginados
passando pelo centro da esfera e o ângulo
desejado tem vértice exatamente nesse
centro. A única exceção à regra diz
respeito ao círculo máximo N-S. Suas
divisões são iguais às do círculo E-W e,
assim, podemos fazer medidas,
indiferentemente, sobre um ou outro.
MEDIÇÃO DE ÂNGULO 
ENTRE DOIS PÓLOS
➢ Para se fazer medidas de ângulos entre dois pólos, podem-se adotar os seguintes 
passos:
1. Colocar os dois pólos sobre um mesmo CÍRCULO MÁXIMO. Para isso, basta girar 
adequadamente o papel transparente sobre o diagrama, desde que ambos 
estejam no hemisfério inferior;
 Geralmente é medido o menor ângulo entre dois pólos, que corresponde ao ângulo
agudo entre duas retas, entre uma reta e a normal ao plano ou entre dois planos.
MEDIÇÃO DE ÂNGULO ENTRE PLANOS 
POR MEIO DE CICLOGRAMAS
 O arco de círculo que representa a projeção de planos por 
meio de círculos máximos é denominado ciclograma. Existem 
dois processos distintos para essa operação:
 PRIMEIRO PROCESSO: 
 1) a partir do ponto de intersecção dos dois círculos máximos, 
traçar tangentes a esses círculos; 
 2) o ângulo entre essas tangentes é o ângulo diedro. 
 SEGUNDO PROCESSO:
 1) determinar os pólos correspondentes a dois círculos 
máximos (o pólo situa-se a 90° do arco);
 2) determinados os dois pólos, cai-se no caso anterior. -
DIAGRAMA DE IGUAL ÁREA 
(SCHMIDT-LAMBERT)
 A principal diferença em relação ao diagrama de
Wulff é manter constante a área da unidade de
malha (apesar das distorções próprias da rede) em
qualquer ponto de observação (Fig. 11.10). Se um
conjunto de linhas próximas da vertical, ou dispostas
ao acaso no espaço, é plotado no diagrama de Wulff,
sua distribuição tende a se concentrar no centro do
estereograma. Isso pode dar a falsa impressão de
orientação preferencial das linhas, pois uma área
angular no centro da rede é menor que a encontrada
junto à borda. Por meio do diagrama de igual-área,
pode-se evitar tal deficiência, mesmo que a forma
das áreas tenha que ser modificada (Fig. II. l Q)
EXERCÍCIO
 Calcule o angulo entre os plans
 PLANO ATITUDE
 A N30E 50NW
 B N40W 30NE
 C N70W 50NE
 D N80W 40SW
Determinação de lugares 
Geométricos
 A determinação do lugar geométrico das retas que fazem uma com a outra um
certo ângulo especificado desdobra-se em três casos distintos. A reta dada pode ser
horizontal (paralela ao plano de projeção), vertical ou inclinada em relação ao
plano de projeção (caso geral).
 Na construção das redes, os círculos mínimos são
representados por lugares geométricos que fazem
determinado ângulo com os pólos Norte e Sul da
rede. Estes ângulos aumentam de N e S rumo ao
centro da rede. Imaginando-se uma reta N40W
horizontal, para determinar o lugar geométrico de
todas as retas que façam com a primeira ângulo de
50° (Fig. II. 19a), definimos uma superfície cónica,
disposta no "centro" da rede, que faz, com a reta
dada, igual ângulo. Os dois círculos mínimos traçados
correspondem às projeções das metades de um cone
com eixo horizontal.
 Se a reta dada for vertical, o problema acima é solucionável com
facilidade, tanto por meio do diagrama de Wulff. quanto o de Schmidt. Para isto,
basta traçar por meio de compasso um circulo, a partir do centro do estereograma
e abertura igual ao ângulo especificado, e o traço do cone estará devidamente
projetado.
FIGURA 11.19 - Determinação de lugar geométrico: (a) das retas que fazem 50°
com uma reta dada; (b) cone resultante
 Se a reta for inclinada, porém, é preciso construir um círculo menor em tomo da
mesma, que faça com ela o ângulo indicado. Para isso, projetam-se pontos
correspondentes a retas que fazem o ângulo indicado com a reta dada. É
indiferente utilizar os diagramas de Wulff ou Schmidt neste caso.
 Na Figura 11.20 aparecem dois casos distintos, 
construídos da seguinte forma:
FIGURA 11.20 –Determinação de lugar Geométrico: 
(a) das retas que fazem 30º com a reta N60W 40 NW; 
(b) das retas que fazem 30º com a reta N60W 20NW
 1) marcamos o ponto representativo da reta L
considerada;
2) colocamos L sobre um círculo máximo qualquer e, ao longo dele, marcamos
dois pontos (um para Norte, outro para Sul), distantes x graus de L;
 3) giramos o papel transparente de modo que L ocupe sucessivos meridianos (Fig.
n.20a), repetindo-se a operação anterior;
 4) caso se atinja a borda do estereograma, é
necessário continuar a contagem pelo lado oposto
(Fig. II.20b);
 5) unindo todos os pontos, obtém-se uma figura, que será tanto mais precisa
quanto maior o número de pontos que forem marcados;
 6) retornando-se o papel transparente para a posição original, determinamos o
lugar geométrico pretendido.
 A determinação de uma reta que faça determinados ângulos com duas ou mais
retas dadas requer a definição de lugares geométricos dois a dois, tantos quantos
forem as retas envolvidas. Para determinar a reta L4 que faz com as retas L1 (N40E
50NE), L2 (N70W 40SE) e L3 (N20E 64SW) respectivamente ângulos de 40°, 30° e
30°, procedemos da seguinte forma:
 1) marcamos as três retas e, do modo acima descrito, os lugares geométricos 
indicados, ou seja, 40° ao redor de L1 e 30° ao redor de L2 e L3 (Fig. II.21);
 2) as interseções dos cones definem as retas L.4,L,5, L6 e L7. A reta L5 está a 40°
de L1 e a 30° de L2, mas não está a 30° de L3, e assim por diante.
 No exemplo dado, a reta que satisfaz os requisitos tem atitude N63W 70SE.
OPERAÇÕES DE ROTAÇÃO 
NO ESTEREOGRAMA
 Suponhamos um eixo que admite uma rotação de A° e
vejamos como se comporta um ponto P com a rotação.
Utilizamos, nos exemplos a seguir, o diagrama de Wulff,
mas o de Schmidt poderia ser igualmente empregado,
com bons resultados. O estereograma admite três casos
possíveis, a seguir analisados
Operações com Eixo de RotaçãoVertical 
 A projeção de eixo
vertical cai no centro
do estereograma (Fig.
II.22). A rotação é tal
que um ponto P
descreve um círculo
com o centro em E. Se
o giro é de A°, o ponto
P descreve um arco de
círculo de A°,
colocando-se na
posição P'.
FIg.- II.22 - Rotação de uma reta. P' resulta da rotação de P, segundo n graus com
o eixo vertical E. O ângulo PM (inclinação de b graus) é igual a NP'. A seta indica a
rotação efetuada pelo papel transparente
Para marcar P', colocamos P sobre
o diâmetro vertical e, na borda do
diagrama de Wulff, localizamos M à
distância de A°. P' se situa sobre a
reta EM. Giramos o papel
transparente, colocando EM em
coincidência com o eixo vertical.
Marcamos MP’ (=NP), assim
localizando P’.
Operações com Eixo de 
Rotação Horizontal A projeção do eixo E cai na borda do estereograma (Fig. 11.23).
Giramos o papel transparente, de modo que o eixo E coincida
com uma extremidade do eixo vertical do diagrama de Schmidt.
 Se girarmos agora o eixo E, o ponto P vai se deslocar sobre um
círculo mínimo. Com a rotação de A graus, P passa a P'. Basta
contar A graus sobre o circulo mínimo, a partir de P, para obter
P'. Se o ângulo A é maior que PQ, efetua-se a contagem de P a
Q e continua-se de Q' para R até totalizar o valor. Os dois
círculos mínimos considerados são simétricos.
 Um processo mais complicado para essa situação consiste em
contar de P e Q e voltar de Q para P, até totalizar A°.
 Nesse caso, o ponto resultante está situado no hemisfério
superior da esfera, mas como só interessa o hemisfério inferior,
deve-sc localizar o ponto diametralmente oposto a esse. Isto se
faz, colocando o ponto O resultante sobre um dos eixos do
diagrama de Wulff e contando 180° a partir dele
 FIG. II. 23 - A seta
indica o movimento do
papel transparente.
 Inicialmente, o
eixo'horizontal E é
levado a coincidir com
o
 diâmetro vertical do
diagrama de Wulff; P
desloca-se
 sobre um circulo
mínimo e origina P'. A
contagem da rotação
 efeito de P para P'. Se
a rotação é maior que o
arco PQ.
 deve-se contar de P
para Q, depois
recomeçar
 em O' e continuar no
sentido de R.
 As demais etapas
acham-se descritas no
texto
Operação com Eixo de 
Rotação Obliquo
Para operarmos com um eixo
oblíquo, é preciso lançar mão de
um artifício: dispor o eixo na
posição vertical ou horizontal,
deslocando os pólos a serem
gerados de maneira idêntica e
operar como nos casos
anteriores; depois, fazer os
pontos voltarem à posição real.
 Sejam o eixo E e o ponto P. Para Horizontalizar o eixo vamos agir do seguinte 
modo:
 O movimento do
papel transparente
está assinalado pela
seta.
 (a) lançamento dos
dados do problema;
 1) giramos o papel
transparente até que
E caia sobre o eixo
horizontal do
diagrama de Wulff
 O movimento do papel
transparente está
assinalado pela seta.
 (b) mediante emprego
de eixo auxiliar A,
 2) imaginamos um eixo
auxiliar horizontal A e
operar com ele. Assim,
levar E para a posição
E‘. Solidariamente, P
passa à posição P1,
segundo um círculo
mínimo.
 O movimento do papel
transparente está assinalado
pela seta.
 (c) girando o papel
transparente, o eixo E e o
ponto P deslocam-se de
modo a atingir uma posição
favorável para operar com
E como eixo horizontal;
 3) giramos o papel
transparente; colocar E'
numa das extremidades do
eixo vertical do diagrama
de WulfF e operar com ele,
de tal modo que P’ passa à
posição P", deslocando-se
sobre um CÍRCULO MÍNIMO
(Fig. II.24c). A rotação é
aquela admitida para o eixo
E, ou seja, a prevista no
problema;
 O movimento do papel
transparente está assinalado
pela seta.
 (d) retornando os pólos ao
passo anterior à operação,
opera-se novamente com o
eixo auxiliar Apara
restituir os pontos à sua
disposição original
 4) Tomamos a girar o papel
transparente, colocando E'
como na Figura II.24b e
voltar a operar com o eixo
A, fazendo-o voltar à
posição E original. Com
isso, P" se desloca sobre um
círculo mínimo para a
posição P1(Fig.II.24d);
 5) P1 é o ponto resultante
da rotação de P de A° pelo
eixo E;
 O movimento do papel
transparente está assinalado pela
seta. (e) em alguns casos, pode
ser necessário passar de uma
borda a outra do estereograma
 6) nas rotações auxiliares
realizadas é possível que o
ângulo de rotação leve a uma
mudança de hemisfério; nesses
casos, usamos o artifício,
anteriormente descrito, para
obter o pólo oposto no
hemisfério inferior. Por
exemplo, se a rotação é tal que
leva M até N (Fig. II.24e), o
ângulo de giro é contado de M
para O e de O'para N
EIXO 18/70SE LINHA
POLO DO PLANO 18/70SW (LINHA)