fundamentos da educacao matematica 3edicao

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Ideias das quatro operações 
fundamentais 
 Problemas que envolvem as experiências das crianças devem ser o cami-
nho para iniciar o trabalho com as operações. Situações como contar pontos em 
um jogo, colecionar materiais, brincadeiras e outras atividades podem estar en-
volvidas no dia a dia das crianças em sala de aula ou em casa, sendo exemplos de 
contextos que venham a favorecer o envolvimento e a compreensão das crianças 
com as operações trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental. 
 O trabalho com as quatro operações fundamentais, nos anos iniciais, deve 
privilegiar os diferentes significados de cada uma delas e as relações entre as mes-
mas. Há, ainda, um importante ponto sobre o qual os professores hão de refletir: 
as várias ideias envolvidas nas quatro operações fundamentais. A relevância do 
conhecimento dessas ideias pelo professor dos anos iniciais está na possibilidade 
da escolha de problemas que possam envolver as várias ideias presentes, propi-
ciando ao aluno o enfrentamento de situações diversas que o prepararão para 
resolver tipos diferentes de problemas.
 Ideias da adição
 As ideias presentes na operação de adição são as de “juntar” e “acrescentar”.
Alguns autores não diferenciam as duas ideias. Já outros, como
Cardoso (1998), diferenciam as ideias mencionadas.
 Vejamos dois problemas que podem justificar essa diferenciação:
 1. Marcos tem 13 figurinhas e seu irmão José tem 7. Quantas figurinhas
possuem os dois juntos?
 2. Marcos tem 13 figurinhas e vai jogar com seu irmão. Se ele ganhar 7
nesse jogo, com quantas figurinhas ficará?
 Os dois problemas podem ser resolvidos com a operação 13 + 7. No primei-
ro caso, a ideia presente é juntar as quantidades; no segundo, é acrescentar uma 
quantidade a outra já colocada.
 Concordamos com Cardoso (1998) quando diz que a diferença entre as 
duas ideias é muito sutil e dificilmente leva o aluno ao erro. Acreditamos que essa 
diferença dificilmente é observada e não representa preocupações por parte do 
professor quanto à escolha de problemas. No entanto, há de se ressaltar que es-
sas ideias se diferem muito quando observamos os procedimentos que as crian-
ças pequenas realizam para efetuarem adições. Para adicionar duas quantidades 
como 3 e 4, por exemplo, é comum observarmos crianças agindo de maneiras di-
ferentes. Vejamos:
 • Algumas crianças representam a primeira quantidade com os dedos de 
uma das mãos e, a segunda, com os dedos da outra mão. Então, contam sequen-
cialmente as duas quantidades.
 • Outras crianças representam apenas uma das quantidades em uma das 
mãos e realizam a contagem partindo da outra quantidade, prosseguindo com a 
indicação dos dedos que, inicialmente, representaram uma das quantidades.
 Nessas duas situações é possível identificar mais claramente a diferença en-
tre a ideia de juntar e a ideia de acrescentar. No primeiro exemplo, o aluno “junta” 
duas quantidades e, no segundo, acrescenta uma quantidade a outra já conside-
rada. 
 Ideias da substração
 Sabe-se que a operação de subtração é, para a criança, uma operação mais
complexa do que a operação de adição. Segundo pesquisas realizadas por
Piaget, o raciocínio das crianças direciona-se primeiro para os aspectos positivos
da ação, da percepção e da cognição. Posteriormente, elas se voltam para os
aspectos negativos.
 Outra questão importante a se considerar é que a operação de subtração 
envolve ideias bastante diferentes:
 • ideia de tirar;
 • ideia de comparar;
 • ideia de completar. 
 Vejamos os três problemas que seguem:
 1. Em uma festa estavam 45 pessoas e 23 destas foram embora. Quantas 
pessoas ainda restam nessa festa?
 2. Meu irmão tem 32 reais e eu tenho 15. Quantos reais meu irmão tem a mais 
do que eu?
 3. Para preencher seu álbum, Tales precisa de 50 figurinhas. Ele já tem 17. 
Quantas figurinhas faltam para que seu álbum fique preenchido?
 O primeiro problema envolve a ideia de “tirar”, conhecida também como 
ideia subtrativa. Retira-se uma quantidade de objetos de mesma espécie de outra 
quantidade. Essa é a ideia mais trabalhada nos anos iniciais. A maioria das pessoas 
recorre a ela quando se refere à operação de subtração. Um esquema que pode-
ria representá-la é:
 6 – 2 = 4
 Temos seis objetos; retiramos dois deles, restam quatro.
 O segundo problema compara duas quantidades de objetos de mesma es-
pécie, ou seja, quantos reais uma pessoa tem a mais que outra. A ideia presente 
nesse problema é a de “comparar”. Não se deve deixar de trabalhar problemas 
que envolvam essa ideia. É importante que o aluno seja colocado em situações 
envolvendo ideias diferentes e, nesse caso, usa-se muito a expressão “mais que”, 
podendo confundir o raciocínio do aluno e encaminhá-lo para uma operação de 
adição. Um esquema que se poderia apresentar com essa ideia é:
 6 – 2 = 4
 Temos um grupo de seis objetos e outro grupo de dois. 
 Qual é a quantidade de objetos que um grupo possui a mais que o outro?
 Pode-se concluir de duas maneiras diferentes: 
 • seis tem quatro a mais que dois;
 • dois tem quatro a menos que seis.
 O terceiro problema apresenta a ideia de “completar”. Tales tem 17 figurinhas
e quer chegar a 50. Quantas faltam? Essa ideia aparece em duas situações de
algoritmos, um na própria subtração e outro no algoritmo do processo curto da
divisão. Vejamos:
 Método da compensação na subtração
 Nesse método, a subtração desenvolve-se da seguinte forma: 
 50 – 17 =
 Iniciando pela ordem das unidades: 7 para chegar a 10 faltam 3; como consi-
derou 10 o zero da ordem das unidades no minuendo, compensa-se acrescentan-
do uma dezena no subtraendo.
 Tínhamos uma dezena no subtraendo, e, somada com outra da compensa-
ção, temos 2; 2 para chegar a 5 faltam 3.
 Processo curto da divisão
 Nesse método encaminhamos a divisão da seguinte forma:
 50
– 1,7
3
 50
– 1,7
3 3
 74 : 2 =
 Sete dezenas divididas por dois é igual a três dezenas.
 Três dezenas vezes dois é igual a seis dezenas. Seis dezenas para chegar a 
sete dezenas, falta uma dezena.
 Juntam-se quatro unidades a uma dezena que sobrou da divisão anterior, 
tendo, assim, 14 unidades.
 Quatorze unidades divididas por dois é igual a sete unidades.
 Sete unidades vezes dois é igual a 14 unidades. 14 para chegar a 14 falta zero.
 Para representar a ideia de “completar” na subtração, podemos apresentar 
o seguinte esquema:
 6 – 2 = 4
 Temos dois; para completar seis, faltam quatro.
 É importante que o professor contemple em suas atividades problemas que
envolvam todas as ideias.
 74 2
3
 74 2
31
 74 2
314
 74 2
3714
 74 2
3714
0
 Ideias da multiplicação
 A operação de multiplicação envolve duas ideias básicas: a soma de parce-
las iguais e a ideia de combinatória. Vejamos os seguintes problemas:
 1. Um carro possui quatro rodas. Quantas rodas possuem três carros semelhan-
tes ao primeiro?
 2. Tânia possui três saias e quatro blusas. De quantas maneiras diferentes ela
pode se vestir?
 O primeiro problema envolve a ideia de soma de parcelas iguais. Vejamos 
um esquema para sua solução:
 • 4 + 4 + 4 = 12, o que equivale a 3 . 4 = 12
 O segundo problema envolve a ideia de “combinatória”. Cada saia combina-
rá com uma blusa. Assim, as possíveis maneiras de Tânia se vestir serão:
 Considerando três saias, S1 S2 e S3, e quatro blusas, B1, B2, B3 e B4, Tânia 
poderá se vestir com:
 S1 e B1 ou S1 e B2 ou S1 e B3 ou S1 e B4
 S2 e B1 ou S2 e B2 ou S2 e B3 ou S2 e B4
 S3 e B1 ou S3 e B2 ou S3 e B3 ou S3 e B4
 ou simplesmente:
 3. 4 = 12 maneiras diferentes.
 É de fundamental importância que o professor não se esqueça que a multi-
plicação oferece à criança um contato com a proporcionalidade, uma das ideias
mais importantes da Matemática.
 Ideias da divisão
 A operação de divisão envolve duasideias distintas: a de repartir e a de medir.
 Vejamos os problemas seguintes.
 1. Maria tem 20 reais e quer repartir essa quantia entre seus cinco sobrinhos. 
Quantos reais receberá cada sobrinho?
 2. A professora Nair quer formar grupos de cinco alunos com os seus 20 
alunos. Quantos grupos ela conseguirá formar?
 O primeiro problema envolve a ideia de repartir igualmente e o segundo de
medir: quantas vezes a quantidade 5 cabe em 20?
 O procedimento para desenvolver a ideia presente em cada um dos proble-
mas é bem diferente. Analisemos cada caso.
 Problema 1:
 Para resolver essa questão, a criança pode distribuir aos sobrinhos de Maria,
um a um, cada real da quantidade total. A resposta da questão será a quantidade
que cada um dos sobrinhos receber.
 Problema 2:
 Nesse caso, a resolução pode ser encaminhada formando grupos de cinco
alunos. Quando todos os alunos forem reagrupados, conta-se o número de
grupos formados.
 Essas duas ideias estão presentes em dois dos métodos de divisão. O méto-
do menos usado em nossas escolas é o método conhecido como “método ameri-
cano”, que consiste em fazermos sucessivas estimativas. Vejamos como a ideia de
medida se apresenta nesse método:
20 20
2– 10
10
5
5
1
5
0
–
1
4
o 5 cabe duas vezes em 20 
e ainda sobram 10
o 5 cabe uma vez em 10
e ainda sobram 5
o 5 cabe uma vez em 5
e não resta nada.
 O processo mais usado para efetuar divisões envolve a ideia de divisão em 
partes iguais. Vejamos:
 A compreensão dessas ideias pela criança é de fundamental importância para
que ela possa resolver problemas das mais variadas categorias e, além disso,
possibilita a compreensão das diversas técnicas utilizadas nas quatro operações
fundamentais.
 Texto complementar
 Processo de recurso à ordem superior
(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 116-117, 119)
 A concretização da ideia de subtrair por meio de uma situação fazendo uso 
do dinheiro é a que tem conduzido aos melhores resultados. Considerando uma 
moeda criada pelos alunos (o tut), pode-se colocar a seguinte situação: você tem 
5 notas de T$10 e 4 notas de T$1 e precisa pagar T$38 a uma pessoa que não tem 
troco nenhum. Como fazer?
 Os alunos logo percebem que devem trocar uma nota de T$10 por 10 no-
tas de T$1, ficando com 14 notas de T$1. Assim, entregam 8 notas de T$1 e ainda 
ficam com 6 notas de T$1. Como 1 nota de T$10 já foi trocada, o aluno tem ainda 
4 notas; entrega 3 e fica com 1. O resultado é, então, T$16.
 
 Fazendo a representação no algoritmo, temos:
20 5
4– 20
0
2 dezenas divididas em 5
partes iguais resultam em 4
unidades em cada parte.
 O mesmo pode ser realizado com o material dourado.
 Emprestar: controvérsias
 
 O termo “emprestar” é considerado bastante inadequado, pois pede-se em-
prestado, mas não se paga o empréstimo feito. Além disso, o aluno que não compre-
ende bem o processo de agrupamentos e trocas e só faz contas com lápis e papel, 
sem agir sobre materiais de contagem, não entende por que pede 1 emprestado e 
recebe 10.
 Quando se usa o termo “trocar”, no entanto, fica claro que sempre se troca 
uma nota de dinheiro por outras que, somadas, representam o mesmo valor da 
primeira. Assim, no problema que acabamos de ver, trocou-se uma nota de T$10 
por dez notas de T$1, ou seja, trocou-se 1 dezena por 10 unidades.
 A subtração no século IX
 
 Por volta do ano 820, foi fundada, em Bagdá, a Casa da Sabedoria, onde se 
reunia um grande número de sábios vindos do mundo todo. Entre eles encontrava-
se o grande matemático e astrônomo Mohammed ibu Musa al-Khowarizmi, um dos 
responsáveis pela divulgação, na Europa, do sistema de numeração indo-arábico 
(de seu nome derivam os termos algarismos e algoritmo).
 Eis o algoritmo que al-Khowarizmi utilizava para fazer subtrações: 
 • inicia-se o processo da esquerda para a direita; 
 • os algarismos utilizados em cada subtração parcial são riscados, colocando- 
se o resultado acima deles; 
 • são usados, no minuendo, os algarismos necessários para formar um
número maior que o do subtraendo.
 Veja os exemplos a seguir:
 a) 7 582 – 1 936 = 5 646
 subtrações parciais:
 7 – 1 = 6; 65 – 9 = 56;
 8 – 3 = 5; 52 – 6 = 46.
 b) 28 347 – 9 186 = 19 161
 subtrações parciais:
 28 – 9 = 19; 3 – 1 = 2;
 24 – 8 =16; 7 – 6 = 1
Trechos do livro Fundamentos da Educação Matemática 
das Profs. ª Magna Natália Marin Pires e Marilda Trecenti Gomes 
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• METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
• METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA E DA FÍSICA 
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 Dicas de estudo
 Ler o livro: Materiais Didáticos para as Quatro Operações.
 Autora: Virginia C. Cardoso.
 Editora: USP.
 A obra explora o trabalho com vários materiais manipuláveis e aborda as
ideias das quatro operações fundamentais.