Trabalho 4 de Volumes Finitos

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Trabalho 4 de Volumes Finitos 
Professor: José Adilson 
Aluno: Renner Egalon Pereira - PGMEC 
 
Estudo da equação unidimensional convectiva-difusiva com 
coeficientes constantes 
 
O problema se baseia no estudo da equação unidimensional convectiva difusiva. Os algoritmos para 
solução foram realizados através do software MATLAB© versão R2015a. 
 
Foram estudados 3 casos para a equação geral: 
 
i) Estacionária sem fonte externa 
 
𝜌𝑢
𝜕𝜙
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(Γ
𝜕𝜙
𝜕𝑥
) 
Γ =
k
c
 
ii) Transiente sem fonte externa 
 
𝜌
𝜕𝜙
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝜙
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(Γ
𝜕𝜙
𝜕𝑥
) 
Γ =
k
c
 
iii) Transiente com fonte externa 
 
𝜌
𝜕𝜙
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝜙
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(Γ
𝜕𝜙
𝜕𝑥
) + 𝑆 
Γ =
k
c
 
 
Termo Convectivo 
Fluxo de massa convectivo por unidade de área 
 
𝐹 = 𝜌𝑢 [kg/s/m²] 
 
Termo Difusivo 
Condutividade de difusão (W/m²C) 
 
𝐷 =
Γ
Δ𝑥
 [W/m²C] 
 
Número de Plecet 
𝑃 =
F
D
 
 
 
 
Caso 1: Equação Convectiva Difusiva Estacionária sem Fonte 
Para este caso, imagine um escoamento de um determinado fluido num tubo de comprimento L com 
velocidade constante u. As extremidades do tubo são mantidas a temperaturas constantes e a intenção 
é avaliar o comportamento da temperatura ao longo do tubo que é afetada por convecção e/ou 
condução, dependendo do valor de Peclet. As condições de contorno de temperatura são: 𝜙(0) =
873𝐾 e 𝜙(𝐿) = 473K. Usando 25 volumes de controle (25 nós), foi calculada distribuição de 𝜙 ao 
longo de L. 
 
 
 
 
 
 
Solução Analítica Exata 
 
𝜙(𝑥) = 𝜙(0) +
exp (
𝑃𝑥
𝐿 ) − 1
exp(𝑃) − 1
 (𝜙(𝐿) − 𝜙(0)) 
 
Solução pelo Método “UPWIND” 
 
𝐴𝑃𝜙𝑃 = 𝐴𝑊𝜙𝑊 + 𝐴𝐸𝜙𝐸 
𝐴𝑊 = 𝐷𝑤 + ⟦𝐹𝑤 , 0⟧ 
𝐴𝐸 = 𝐷𝑒 + ⟦−𝐹𝑒 , 0⟧ 
𝐴𝑃 = 𝐴𝑊 + 𝐴𝐸 + (𝐹𝑒 − 𝐹𝑤) 
 
 
Neste caso, com coeficientes constantes: 
 
𝐷𝑒 = 𝐷𝑤 = 𝐷 
𝐹𝑒 = 𝐹𝑤 = 𝐹 
𝐴𝑊 = 𝐷 + ⟦𝐹, 0⟧ 
𝐴𝐸 = 𝐷 + ⟦−𝐹, 0⟧ 
𝐴𝑃 = 𝐴𝑊 + 𝐴𝐸 
 
Solução pelo Método “EXPONENCIAL” 
 
𝐴𝑊 =
𝐹𝑤 exp(𝑃𝑤)
exp(𝑃𝑤) − 1
 
𝐴𝐸 =
𝐹𝑒
exp(𝑃𝑒) − 1
 
𝐴𝑃 = 𝐴𝑊 + 𝐴𝐸 + (𝐹𝑒 − 𝐹𝑤) 
 
Neste caso, com coeficientes constantes: 
 
𝐷𝑒 = 𝐷𝑤 = 𝐷 
𝐹𝑒 = 𝐹𝑤 = 𝐹 
𝐴𝑊 =
𝐹 exp(𝑃)
exp(𝑃) − 1
 
𝐴𝐸 =
𝐹
exp(𝑃) − 1
 
𝐴𝑃 = 𝐴𝑊 + 𝐴𝐸 
 
Para a análise os dados de entrada fixos são: 
CC_West = 873; %Temperatura(K) para x=0 
CC_East = 473; %Temperatura(K) para x=L 
L = 1; %Comprimento do tubo (m) 
N = 25; %Número de volumes de controle 
gama = 0.01; %gama=condutividade térmica/calor especifico (kg/m/s) 
ro=1; %massa específica do fluido (kg/m³) 
 
Os resultados foram obtidos variando os valores da velocidade, e consequentemente, número de 
Peclet. 
𝑷𝒆𝒄𝒍𝒆𝒕 ≅ 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que quando Peclet se aproxima de zero, a condução domina o fenômeno, o termo 
convectivo é praticamente nulo diante do termo difusivo (condutivo). As soluções pelos métodos 
Upwind e Exponencial são bem próximas a exata. 
 
Velocidade quase nula (0.001m/s), P=0.4 (Peclet próximo de zero) 
Posição(m) Analítica “Upwind” Exponencial 
0,02 873 865,392573234350 865,393344586385 
0,06 865,0157 850,116860288924 850,119058646922 
0,1 849,0451 834,780044491716 834,783553206324 
0,14 833,072 819,381881431319 819,386582896179 
0,18 817,0963 803,922125718681 803,927901364631 
0,22 801,118 788,400530983192 788,407261272447 
0,26 785,1372 772,816849868761 772,824414289055 
0,3 769,1539 757,170834029873 757,179111088569 
0,34 753,168 741,462234127629 741,471101345806 
0,38 737,1795 725,690799825776 725,700133732273 
0,42 721,1884 709,856279786715 709,865955912154 
0,46 705,1949 693,958421667498 693,968314538264 
0,5 689,1987 677,996972115805 678,006955248003 
0,54 673,2 661,971676765905 661,981622659282 
0,58 657,1987 645,882280234605 645,892060366437 
0,62 641,1949 629,728526117180 629,738010936128 
0,66 625,1885 613,510156983285 613,519215903221 
0,7 609,1796 597,226914372855 597,235415766647 
0,74 593,168 580,878538791982 580,886349985259 
0,78 577,154 564,464769708787 564,471756973654 
0,82 561,1373 547,985345549258 547,991374097995 
0,86 545,1181 531,440003693092 531,444937671803 
0,9 529,0964 514,828480469500 514,832182951743 
0,94 513,072 498,150511153015 498,152844133385 
0,98 497,0451 481,405829959263 481,406654346951 
0,02 873 865,392573234350 865,393344586385 
0,06 865,0157 850,116860288924 850,119058646922 
0,1 849,0451 834,780044491716 834,783553206324 
0,14 833,072 819,381881431319 819,386582896179 
0,18 817,0963 803,922125718681 803,927901364631 
0,22 801,118 788,400530983192 788,407261272447 
0,26 785,1372 772,816849868761 772,824414289055 
0,3 769,1539 757,170834029873 757,179111088569 
0,34 753,168 741,462234127629 741,471101345806 
0,38 737,1795 725,690799825776 725,700133732273 
0,42 721,1884 709,856279786715 709,865955912154 
0,46 705,1949 693,958421667498 693,968314538264 
0,5 689,1987 677,996972115805 678,006955248003 
0,54 673,2 661,971676765905 661,981622659282 
0,58 657,1987 645,882280234605 645,892060366437 
0,62 641,1949 629,728526117180 629,738010936128 
0,66 625,1885 613,510156983285 613,519215903221 
0,7 609,1796 597,226914372855 597,235415766647 
0,74 593,168 580,878538791982 580,886349985259 
0,78 577,154 564,464769708787 564,471756973654 
0,82 561,1373 547,985345549258 547,991374097995 
0,86 545,1181 531,440003693092 531,444937671803 
0,9 529,0964 514,828480469500 514,832182951743 
0,94 513,072 498,150511153015 498,152844133385 
0,98 497,0451 481,405829959263 481,406654346951 
 
𝑷𝒆𝒄𝒍𝒆𝒕 > 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que quanto maior o número de Peclet, mais convectiva se torna a solução, o coeficiente 
difusivo é muito pequeno em relação ao convectivo. Assim, a temperatura tende a se manter no valor 
da temperatura em x=0. 
Para valores altos de Peclet as soluções UPWIND e Exponencial se tornam muito próximas a exata. 
Para a UPWIND, a exceção é o ponto próximo a x=L, que se distancia mais da solução exata do que 
os outros. 
Para valores de Peclet próximos a zero, a condução domina a solução, o que pode ser visto para 
u=0,2m/s e P=0,8. 
 
𝑷𝒆𝒄𝒍𝒆𝒕 < 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que quanto menor o número de Peclet, mais convectiva se torna a solução, o coeficiente 
difusivo é muito pequeno em relação ao convectivo. Assim, a temperatura tende a se manter no valor 
da temperatura em x=L. 
Para valores altos de Peclet as soluções UPWIND e Exponencial se tornam muito próximas a exata. 
Para a UPWIND, a exceção é o ponto próximo a x=0, que se distancia mais da solução exata do que 
os outros. 
Para valores de Peclet próximos a zero, a condução domina a solução, o que pode ser visto para u = 
-0,2m/s e P=-0,8. 
 
O gráfico abaixo mostra a solução analítica avaliada para vários valores de Peclet. 
 
 
 
Caso 2: Equação Convectiva Difusiva Transiente sem Fonte 
O problema analisado agora é similar ao problema anterior, porém, em regime transiente sem fonte. 
O intuito é avaliar em quanto tempo a temperatura se equaliza ao longo do comprimento (dadas as 
CC’s e CI), ou seja, qual o tempo para a temperatura irá obedecer as condições. 
 
 
473
523
573
623
673
723
773
823
873
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Temperatura em Função da Posição x - Solução Analítica
P=-20 P=-2,4 P=0,004 P=2,4P=20
Condições de Contorno 
𝑇(0, 𝑡) = 1873𝐾(1600°𝐶) 
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥=𝐿
= 0 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥=𝐿
= 0 
 
Condição Inicial 
 
𝑇(𝑥, 0) = 𝐶𝑡𝑒 
 
Para a análise os dados de entrada fixos são: 
 
CC_West = 1873; %Temperatura(K) para x=0 
L = 3; %Comprimento do tubo (m) 
N = 25; %Número de volumes de controle 
gama = 0.01; %gama=condutividade térmica/calor especifico (kg/m/s) 
ro=1; %massa específica do fluido (kg/m³) 
dPhidx = 0; %Gradiente de temperatura na direção +x (K/m) 
Phi_chute_East = 1873; %Temperatura de chute(°C) 
Deltat=0.1; %Incremento no tempo (s) 
tolerancia = 1e-03; %Condição de parada 
 
Foi utilizando um incremento no tempo, ∆𝑡 = 0,1𝑠. 
 
Foram utilizados os métodos UPWIND e Exponencial para se obter as soluções, variando os valores 
de Peclet. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que quanto maior a velocidade do fluido, maior o número de Peclet, e, consequentemente, 
mais rápida a equalização da temperatura ao longo do comprimento. As soluções por UPWIND e 
Exponencial são mais próximas e exatas quanto maior o número de Peclet, acima de 9.6. Nota-se que 
os métodos UPWIND E EXPONENCIAL são mais precisos para valores de Pleclet muito grandes. 
Quanto menor Peclet, maior o tempo final de equalização da temperatura e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota-se que os métodos UPWIND E EXPONENCIAL são mais precisos para valores de Pleclet 
muito grandes. 
 
Caso 3: Equação Convectiva Difusiva Transiente com Fonte Externa 
O problema analisado agora é similar ao problema anterior, porém, em regime transiente com fonte. 
Há uma fonte convectiva no exterior dos volumes de controle (no ambiente). Assim é gerada uma troca 
de calor de convecção entre 𝑇∞ (temperatura no ambiente exterior) e 𝑇 (temperatura referente a cada 
nó do domínio). Essa troca de calor é perpendicular às trocas de calor por convecção/condução no 
domínio 0<x<L, que tem direção +x. Essa fonte externa de convecção se caracteriza por ℎ𝑓 e 𝑇𝑓 
constantes. O valor do calor gerado pode ser obtido pela teoria de aletas retangulares. 
 
Condições de Contorno 
𝑇(0, 𝑡) = 1873𝐾(1600°𝐶) 
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥=𝐿
= 0 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
|
𝑥=𝐿
= 0 
 
 
 
Condição Inicial 
 
𝑇(𝑥, 0) = 𝐶𝑡𝑒 
 
Fonte Externa 
 
𝑆 =
2ℎ𝑓(∆𝑦 + ∆𝑧)
∆𝑦∆𝑧
(𝑇𝑓 − 𝑇) 
Considerando uma área ∆𝑦∆𝑧 unitária, 
𝑆 = 4ℎ𝑓𝑇𝑓 − 4ℎ𝑓𝑇 
Onde 
𝑆𝑐 = 4ℎ𝑓𝑇𝑓 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑆𝑝 = −4ℎ𝑓𝑇 
O problema foi analisado considerando um fluido externo com temperatura constante de 298K(25°C) 
e h=1W/m²K servindo de fonte externa para o domínio 1D, trocando calor por convecção (fonte 
externa de convecção). 
 
Dados de entrada 
CC_West = 1873; %Temperatura(K) para x=0 
L = 3; %Comprimento do tubo (m) 
N = 25; %Número de volumes de controle 
gama = 0.01; %gama=condutividade térmica/calor especifico (kg/m/s) 
ro=1; %massa específica do fluido (kg/m³) 
hf=1; %coeficiente de convecção do fluido externo(fonte) (W/m²K) 
Tf=298; %Temperatura(K)do fluido externo(fonte) 
dPhidx = 0; %Gradiente de temperatura em x=L (K/m) 
Phi_chute_East = 1873; %Temperatura de chute(K) 
Deltat=0.1; %Incremento no tempo (s) 
tolerancia = 1e-03; %Condição de parada 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se, agora, que com a adição de uma fonte externa no sistema, a temperatura cai ao longo 
da posição x devido a troca de calor por convecção entre o ambiente externo e os volumes de 
controle. A solução dos métodos é tanto melhor quanto maior o número de Peclet. 
Comparando as soluções pelos dois métodos sem fonte e com fonte para u=8m/s e Pe=96. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“GAP” de Temperatura 
(causa: fonte externa)