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Zeros Reais de Funções 
Reais 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Programa 
 1. Introdução 
2. Isolamento das raízes 
3. Refinamento 
a) Critério de parada 
b) Métodos iterativos 
c) Comparação entre os métodos 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Introdução 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Zeros de funções reais - Objetivos 
 Estudar métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma 
função f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de x tal 
que f(x) = 0) 
 Fundamentar a necessidade de uso de métodos 
numéricos para a resolução de equações não lineares 
 
 Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos 
para a resolução de equações não lineares 
 
 Apresentar e discutir uma série de métodos destinados à 
resolução de equações não lineares 
 
 
 Zeros de funções reais - Introdução 
 Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0 
 
 
+FV 
-FV 
+FH -FH 
Em cada nó 
: 
 
 FH = 0 
 FV = 0 
 
 
 
F Estruturas 
(Lei de Kirchhoff) 
R 
E 
 
i 
 v = g(i) 
+ 
- 
E - Ri – g(i) = 0 
Circuitos 
 
 Zeros de funções reais - Introdução 
  é um zero da função f(x) ou raiz da equação 
f(x) = 0 se f() = 0. 
 
 Zeros podem ser reais ou complexos. 
 
 Este capítulo trata de zeros reais de f(x). 
 Abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x 
 
 
 
 
2 1 
f(x) 
x 
 
 Zeros de funções reais - Introdução 
 Para uma equação de segundo grau na forma: 
 
 
 Determinação das raízes em função de a, b e c: 
 
 
 
 Polinômios de grau mais elevado e funções com maior 
grau de complexidade 
 Impossibilidade de determinação exata dos zeros 
 Uso de soluções aproximadas 
02  cbxax
a
acbbx
2
42 
 
 Zeros de funções reais - Introdução 
 Etapas para a determinação de raízes a partir de 
métodos numéricos 
 
 FASE 1: Determinação de um intervalo (o menor possível) 
que contenha apenas uma raiz 
 
 FASE 2: Melhoramento do valor da raiz aproximada 
(refinamento até que a raiz esteja dentro uma precisão ε 
prefixada) 
 
 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Isolamento de Raízes 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Isolamento de raízes 
 Realização de uma análise teórica e gráfica da função 
f(x) 
 
 Precisão das análises é relevante para o sucesso da 
fase posterior 
 
 
 Teorema 1 
 
Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 
então existe pelo menos um ponto x =  entre a e b que é 
zero de f(x). 
 
 
 
 
 Isolamento de raízes – Análise Gráfica 
1 2 
f(x) 
x 3 
a b 
 b 
f(x) 
x 
a 
a 
1 
f(x) 
x 2 
b 
 
 Isolamento de raízes – Tabelamento 
 Exemplo: 
 
 
 
 
f(x) é contínua para 
I1 = [-5, -3] 
I2 = [0, 1] 
I3 = [2, 3] 
 
Cada um dos intervalos acima contém pelo menos um 
zero de f(x). 
 
 
 x
 
39)( 3  xxxf
 
 Isolamento de raízes – Tabelamento 
 Exemplo: 
 
 
 
 
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1,2] 
 
Mas esse zero é único? 
 Análise do sinal de f’(x) 
 
 
 
f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição, localizado no intervalo [1,2] 
 
 
xexxf  5)(
0,05
2
1
)('   xe
x
xf x
 
 Isolamento de raízes 
 A partir do Teorema 1, se f’(x) existir e preservar o sinal 
em (a,b), então esse intervalo contém um único zero de 
f(x) 
 
 Isolamento de raízes 
 Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no 
intervalo [a, b]. 
 
 
 
Isolamento de raízes 
 A análise gráfica é fundamental para se obter boas 
aproximações para a raiz 
 
 Suficiente utilizar um dos seguintes passos: 
 Esboçar o gráfico de f(x) 
 Localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o 
eixo x 
 Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) a partir da 
equação f(x) = 0 
 Construção dos gráficos de g(x) e h(x) no mesmo sistema 
cartesiano e localização dos pontos x nos quais g(x) e h(x) 
se interceptam (f() = 0  g() = h() ) 
 Uso de programas para traçar gráficos de funções 
 
 Isolamento de raízes 
 O esboço do gráfico de uma função requer um estudo 
detalhado de seu comportamento, no qual devem ser 
considerados os itens abaixo: 
 Domínio da função 
 Pontos de descontinuidade 
 Intervalos de crescimento e decrescimento 
 Pontos de máximo e mínimo 
 Concavidade 
 Pontos de inflexão, etc 
 
 
 Isolamento de raízes 
 Exemplo: 
 
 Solução utilizando o método 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
39)( 3  xxxf
30)('
93)('
39)(
2
3



xxf
xxf
xxxf
)3,4(1 
)1,0(2 
)3,2(3 
3 3 
-7 2 
-7,3923  3 
-5 1 
3 0 
11 -1 
13,3923 -  3 
3 -3 
-25 -4 
f(x) x 
3 
f(x) 
x -4 1 -3 -2 -1 2 3 4 
2 1 
 
 
 Isolamento de raízes 
 Exemplo: 
 
 Solução utilizando o método 2: 
 Dada: 
 
 
Equação Equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
039)( 3  xxxf
0393  xx
3)( xxg 
39)(  xxh
)3,4(1 
)1,0(2 
)3,2(3 
3 
g(x) 
x -4 1 -3 -2 -1 2 3 4 2 
1 
h(x) 
y 
 
 Isolamento de raízes 
 Exemplo: 
 
 Solução utilizando o método 2: 
 Dada: 
 
 
 Equação Equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
05)(  xexxf
xex  5
xxg )(
xexh  5)(
)2,1(
 
g(x) 
x 1 2 3 4 
h(x) y 
5 6 
 
 
 Isolamento de raízes 
 Exemplo: 
 
 Solução utilizando o método 2: 
 Dada: 
 
 
 Equação Equivalente: 
 
01)log()(  xxxf
x
x
1
)log( 
)log()( xxg 
x
xh
1
)( 
)3,2(
 
g(x) 
x 1 2 3 4 
h(x) 
y 
5 6 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Refinamento de Raízes 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Refinamento de raízes 
 Aplicação de métodos numéricos destinados ao 
refinamento de raízes 
I. Método da Bisseção 
II. Método da Posição Falsa 
III. Método do Ponto Fixo 
IV. Método de Newton-Raphson 
V. Método da Secante 
 
 Diferenciação dos métodos  Modo de refinamento 
 
 Método Iterativo  Caracterizado por uma série de 
instruções executáveis seqüencialmente, algumas das 
quais repetidas em ciclos (iterações) 
 
 
 
 Refinamento de raízes 
Sequência de passos: 
 
 
 Critérios de Parada 
 Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata? 
 
 Como verificar tal questionamento? 
 
 Interpretações para raiz aproximada 
 x é raiz aproximada com precisão  se: 
 ou 
 
 Como proceder se não se conhece  ? 
 
 
 
 x )(xf
 
 Critérios de Parada 
 Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração 
 
 Obtenção de um intervalo [a,b] tal que: 
 
 . então 
 
 Logo pode ser tomado como 
 
 
 









ab
e
ba,
    xbax ,,
 bax , x
 
 Critérios de Parada 
 Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios 
 
 Critérios de Parada 
 Métodos numéricos devem satisfazer a pelo menos umdos 
critérios 
 
 Quando da utilização de programas computacionais, 
devemos utilizar: 
 Teste de Parada 
 Estipular o número máximo de iterações 
 Prevenção de loops por: 
 Erro no programa 
 Escolha de método inadequado 
 
 
 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Método da Bisseção 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Método da Bisseção 
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz 
subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a 
contém pelo ponto médio de a e b. 
 
 Em outras palavras, o objetivo deste método é reduzir 
a amplitude do intervalo que contém a raiz até atingir 
precisão requerida, ou , usando 
para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio 
 
 
 
 kk ab )(xf
 
 Método da Bisseção 
 Definição do intervalo inicial 
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial 
 a0 = a 
 b0 = b 
 
 Condições de Aplicação 
 f(a) x f(b) < 0 
 Sinal da derivada constante 
 
 
 Método da Bisseção 
 Definição de novos intervalos 
 Calcula-se o ponto médio entre a e b, chamado de x0 
 Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] – 
contém a raiz 
 Calcula-se o produto f(a) * f(x0) 
 Verifica-se f(a) * f(x0) < 0 
 Se verdadeiro 
 Logo a = a e b = x0 
 Caso contrario 
 Logo a = x0 e b = b 
 Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada. 
 
 ),( 0xa
 ),( 0 bx
 
 Método da Bisseção - Resumo 
 















0)(
0)(
0)(
2
0
0
0
00
0
xf
bf
af
ba
x









01
01
00 ),(
xb
aa
xa















0)(
0)(
0)(
2
1
1
1
11
1
xf
bf
af
ba
x









12
12
11 ),(
bb
xa
bx















0)(
0)(
0)(
2
2
2
2
22
2
xf
bf
af
ba
x









23
23
22 ),(
bb
xa
bx
 
 
 Método da Bisseção - Graficamente 
b a x0 || 
a1 
x1 
|| 
a3 
a2 
|| 
b1 
 
|| 
x2 
|| 
b3 
x 
y 
b2 
 
= 
 
 
 Método da Bisseção 
 Exemplo: 
 
 Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes: 
 
 
 Equação Equivalente: 
 
01)log()(  xxxf
x
x
1
)log( 
)log()( xxg 
x
xh
1
)( 
)3,2(
 
 
h(x) 
y 
 
g(x) 
x 1 2 3 4 5 6 
 
 Método da Bisseção 
 Exemplo: 
 
01)log()(  xxxf
x0 =
2+3
2
= 2.5
f (2) = -0.3979 < 0
f (3)= 0.4314 > 0
f (2.5) = -5.15´10-3 < 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 3)
a1 = x0 = 2.5
b1 = b0 = 3
ì
í
ï
î
ï
x1 =
2.5+3
2
= 2.75
f (2.5) < 0
f (3)> 0
f (2.75)= 0.2082 > 0
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
Þ
x Î (2.5, 2.75)
a2 = a1 = 2.5
b2 = x1 = 2.75
ì
í
ï
î
ï
 
 
 Método da Bisseção - Algoritmo 
k = 0; 
a0 = a; b0 = b; 
xk = (ak + bk)/2; 
while and 
 if f(ak)f(xk) < 0 then /*raiz em [ak , xk] */ 
 ak+1 = ak; 
 bk+1 = xk; 
 else /* raiz em [xk, bk] */ 
 ak+1 = xk; 
 bk+1 = bk ; 
 end if 
 xk+1 = (ak+1 + bk+1)/2; 
 k = k +1; 
end while 
bk -ak >=e
f (xk ) >=e
 
 Método da Bisseção - Algoritmo 
 Ao final da execução do algoritmo, teremos um intervalo 
[ak, bk] que contém a raiz e uma aproximação para a 
raiz exata (tal que ou ) 
 
 A convergência do método é intuitiva 
 
 kk ab
x
)(xf
 
 Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações 
 
 Após n iterações, a raiz estará contida no intervalo: 
 
 
 
 Deve-se obter o valor de k, tal que , ou seja: 
2
11   kkkk
ab
ab
 kk ab


k
ab
2
00
)2log(
)log()log( 00  abk
k
ab
2
00 

002
abk  )log()log()2log( 00  abk
 
 
 
 Exemplo: Considerando um intervalo [2,3] e ε=10-2, 
calcular o numero mínimo de iterações para que 
tenhamos (Critério de Parada). 
 kk ab
)2log(
)log()log( 00  abk
)2log(
)10log()23log( 2
k
64,6
3010,0
2
)2log(
)10log(2)1log(


k
7k
Método da Bisseção – Estimativa do 
número de iterações 
 
 Método da Bisseção 
 Exemplo: 
 
 Utilizando o método de Equações Equivalentes para 
Isolamento de Raízes 
 
 
 Equação Equivalente 
 
039)( 3  xxxf
0393  xx
3)( xxg 
39)(  xxh
)3,4(1 
)1,0(2 
)3,2(3 
 
 Método da Bisseção 
 Exemplo: 
 
Cálculo da 1ª aproximação 
 x0 = (a0+b0)/2 = (0+1)/2 = x0 = 0,5 
 f(x0) = 0,5
3 – 9x0,5 + 3 = -1,375 
 
Teste de Parada 
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-1,375| = 1,375 > 10
-3 
 
Escolha do Novo Intervalo 
 f(a0) = 0
3 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0 
 f(b0) = 1
3 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0 
 f(x0) = 0,5
3 – 9x0,5 + 3 = -1,375, logo f(x0) < 0 
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,5 
 
039)( 3  xxxf  1,0I
3103 
 
 Método da Bisseção 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então em 9 iterações 
 
 . foi atendida, enquanto , não foi 
 kk ab)(xf
039)( 3  xxxf  1,0I
3103 
337890625.0x
 
 Método da Bisseção 
 Vantagens: 
 Facilidade de implementação; 
 Estabilidade e convergência para a solução procurada; 
 Desempenho regular e previsível. 
 
 Desvantagens 
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações); 
 
 
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (nem sempre é possível); 
 Complexidade da extensão do método para 
problemas multivariáveis. 
 
258.24
10
3
7
00







kk
ab

 
 Método da Bisseção – Exercício 
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Explique porque essa raiz é única. 
Execute as primeiras 7 iterações do Método da Bisseção 
para a função , tal que 
 
 
 
b) Caso a condição de 
erro não tenha sido 
satisfeita, calcule quantas 
iterações ainda seriam 
necessárias. 
1)( 3  xxxf
3102 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
 
 Método da Bisseção – Exercício 
a) Execute as primeiras 5 iterações do Método da 
Bisseção para a função , tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a iteração 5 temos: 
 e 
 
 
1)( 3  xxxf
3102 
Iter. a b f(a) f(b) x f(x ) 
1 1,000000 2,000000 -1,000000 5,000000 1,500000 0,875000 
2 1,000000 1,500000 -1,000000 0,875000 1,250000 -0,296875 
3 1,250000 1,500000 -0,296875 0,875000 1,375000 0,224609 
4 1,250000 1,375000 -0,296875 0,224609 1,312500 -0,051514 
5 1,312500 1,375000 -0,051514 0,224609 1,343750 0,082611 
31020,06253125,1375,1 ab
31020,082611)( xf
 
 Método da Bisseção – Exercício 
b) Caso a condição de erro não tenha sido satisfeita, 
calcule quantas iterações ainda seriam necessárias. 
 
 
)2log()log()log( 00  abk
)2log(
)102log()12log( 3
k
)2log(
)10log32(log)1log( 
k
9658,8
30103,0
2,69897
30103,0
)330103,0(0
)2log(
)10log32(log)1log(




k
9k
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Método da Posição Falsa 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Método da Posição Falsa 
 Método da Bisseção 
 Calcula a média aritmética dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b]) 
 
 Método da Posição Falsa 
 Calcula a média ponderada dos limites do intervalo que 
contém a raiz ([a, b]) 
 
 
 Método da Posição Falsa 
 Dada a função e, sendo o intervalo 
inicial , temos que 
 está mais próximo de zero que 
 Logo é provável que a raiz esteja mais próxima de x = 0 
que de x = 1 ( isso é sempre verdade quando f(x) é linear 
em ) 
 
 Assim, ao invés de tomar a média aritmética, o método 
da posição falsa toma a média ponderada, com pesos 
de e 
 
 
 
 
 
039)( 3  xxxf
   1,0, ba )0(305)1( ff 
)0(f )1(f
 ba,
)(af )(bf
)()(
)()(
)()(
)()(
afbf
abfbaf
afbf
afbbfa
x






 
 Método da Posição Falsa - Graficamente 
 Graficamente x é a interseção entre o eixo x e a reta 
que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)): 
 
 Método da Posição Falsa - Graficamente 
x 
a = a0 
 
f(x) 
b = b0 x0 
x0 = a0f(b0) - b0f(a0) 
 
 f(b0) - f(a0) 
x 
a = a1 
 
f(x) 
b1 = x1 
x1 = a1f(b1) – b1f(a1) 
 
 f(b1) - f(a1) 
x1 
 
 Método da Posição Falsa 
 Definição do intervalo inicial 
 Atribui-se [a,b] como intervalo inicial 
 a0 = a 
 b0 = b 
 
 Condições de Aplicação 
 f(a) x f(b) < 0 
 Sinal da derivada constante 
 
 
 Método da Posição Falsa 
 Definição dos Subintervalos 
 Subdivide-se o intervalo pelo ponto de interseção da reta 
que liga f(a) a f(b) e o eixo das abscissas 
 
Verifica-se se, através do teste de parada, se x0 é uma 
aproximação da raiz da equação ()  pelo tamanho do 
intervalo [a, b] ou o valor f(x0) 
 
 Se verdadeiro  x0 é a raiz procurada 
 
 Caso contrário  define-se um novo intervalo 
 
 
 Método da Posição Falsa 
 Definição do novo intervalo 
 Determina-se qual o subintervalo – [a , x0] ou [x0 , b] – 
contém a raiz 
 Calcula-se o produto f(a) * f(x0) 
 Verifica-se f(a) * f(x0) < 0 
 Se verdadeiro 
 Logo a = a e b = x0 
 Caso contrario 
 Logo a = x0 e b = b 
 
 Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada. 
 
 ),( 0xa
 ),( 0 bx
 
 Método da Posição Falsa 
 Exemplo: 
 
 logo, existe ao menos 1 raiz no 
 intervalo dado 
 
 
 
 . Como têm o mesmo sinal, 
 
 
 
 
]3,2[,1)log()(  Ixxxf





04314,0)(
03979,0)(
0
0
bf
af
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x



)3979,0(4314,0
)3979,0(34314,02



8293,0
0565,2

4798,2
00219,0)( 0 xf )()( 00 xfeaf








0)(3
0)(4798,2
101
101
bfbb
afxa
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Como , temos: 
Método da Posição Falsa 
]3,2[,1)log()(  Ixxxf








0)(3
0)(4798,2
11
101
bfb
afxa
)0219,0(4314,0
)0219,0(34314,04798,2



0,4533
1354,1

5049,21 x
00011,0)( 1 xf








0)(3
0)(5049,2
112
112
bfbb
afxa

 
 Método da Posição Falsa - Algoritmo 
k = 0; 
ak = a; bk = b; 
FAk = f(ak); GBk = f(bk); 
xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
while and 
 if f(ak)f(xk) ≤ 0 then /* raiz em [ak , xk] */ 
 bk = xk; 
 else /* raiz em [xk, bk] */ 
 ak = xk; 
 end if 
 FAk = f(ak); GBk = f(bk); 
 xk = (akGBk - bkFAk) / (GBk - FAk); 
 k = k +1; 
end while 
 kk ab )( kxf
 
 Método da Posição Falsa 
 Exemplo: 
Cálculo da 1ª aproximação 
 
 
 
 
Teste de Parada 
 |b-a| = |1| > 10-3 e |f(x0)| = |-0,322265625| > 10
-3 
 
Escolha do Novo Intervalo 
 f(a0) = 0
3 – 9x0 + 3 = 3, logo f(a0) > 0 
 f(b0) = 1
3 – 9x1 + 3 = -5, logo f(b0) < 0 
 f(x0) = 0,375
3 – 9x0,375 + 3 = -0,32..., logo f(x0) < 0 
 logo: a1=a0=0 e b1=x0=0,375
 
039)( 3  xxxf  1,0I
3102 
)()(
)()(
0
afbf
abfbaf
x



)3(5
)3(1)5(0



8
3



 
 Método da Posição Falsa 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
Então em 3 iterações 
 
. foi atendida, enquanto , não foi 
 
No método da Bisseção, o valor foi 
encontrado depois de 9 iterações 
 kk ab)(xf
039)( 3  xxxf  1,0I
3103 
337890625.0x
337635046.0x
 
 Método da Posição Falsa 
 Vantagens: 
 Estabilidade e convergência para a solução procurada; 
 Desempenho regular e previsível; 
 Cálculos mais simples que o método de Newton. 
 
 Desvantagens: 
 Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo 
de f(x) em um elevado número de iterações); 
 Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se 
encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é 
possível). 
 
 
 Método da Posição Falsa– Exercício 
a) Analise a função abaixo. Identifique um intervalo onde 
existe raiz real. Execute as iterações do Método da 
Posição Falsa para a função , tal que 
 
 
 
1)( 3  xxxf
3102 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Método do Ponto Fixo 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Método do Ponto Fixo 
 Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde 
existe uma raiz única, f(x) = 0, é possível transformar tal 
equação em uma equação equivalente x = φ(x) e, a 
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma 
sequência {xk} de aproximações para  pela relação xk+1 
= φ(xk), uma vez que φ(x) é tal que f() = 0 se e 
somente se φ() = . 
 
 Transformamos o problema de encontrar zero de f(x) no 
problema de encontrar um ponto fixo de φ(x) 
 
 A função φ(x) é chamada de função de iteração 
 
 Método do Ponto Fixo 
 Exemplo: Dada a função 
São funções de iteração possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 A forma geral das funções de iteração φ(x) é dada por 
 com a condição de que 
A()  0 em , ponto fixo de φ(x) 
06)( 2  xxxf
1
6
)(
1
6
)(
6)(
6)(
4
3
2
2
1





x
x
x
x
xx
xx




)()()( xfxAxx 
 
 Método do Ponto Fixo 
 A partir da definição da forma de φ(x), , 
podemos então mostrar que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Existem infinitas equações de iteração φ(x) para a 
equação f(x) = 0 
  )(0)(f
  0)(   fquetalseja
)()()(  fA )0)(()(   fporque
    )(se
  )()( fA 0)()(   fA
)0)((0)(   Aporquef
)()()( xfxAxx 
 
 Método do Ponto Fixo - Graficamente 
 Uma raiz da equação φ(x)=x é a abscissado ponto de 
interseção da reta y=x com a curva y=φ(x) 
 
 Método do Ponto Fixo - Graficamente 
 Todavia, para algumas escolhas de φ(x) o Método do 
Ponto Fixo pode divergir do valor  procurado 
 
 Método do Ponto Fixo 
 Exemplo: Dada a equação : 
 As raízes são 
1
 = -3 e 
2
 = 2 (Não há necessidade de uso 
de métodos numéricos para o calculo) 
 Objetivo: Mostrar a convergência ou divergência do processo 
iterativo 
 
 Seja a raiz 
2
 = 2 e φ
1
 (x) = 6 - x2,Tomando x
0
= 1,5 e φ (x) 
= φ
1
 (x) 
 
 Seja a raiz 
2
 = 2 e ,Tomando x
0
= 1,5 e φ (x) 
= φ
2
 (x) 
 
06)( 2  xxxf
xx  6)(2
 
 Método do Ponto Fixo 
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 

2
 = 2 , φ
1
 (x) = 6 - x2 e x
0
 = 1,5 
 
x
1
 = φ(x
0
) = 6 – 1,52 = 3,75 
x
2
 = φ(x
1
) = 6 – 3,752 = -8,0625 
x
3
 = φ(x
2
) = 6 – (-8,0625)2 = -59,003906 
x
4
 = φ(x
3
) = 6 – (-59,003906)2 = -3475,4609 
 
Conclui-se que {x
k
} não convergirá para 
2
 = 2 
06)( 2  xxxf
 
 Método do Ponto Fixo 
06)( 2  xxxf
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 

2
 = 2 , φ
1
 (x) = 6 - x2 e x
0
 = 1,5 
 
Análise Gráfica: 
y 
x 2 
x1 
φ(x) 
x0 
y = x 
x2 

1 
{xk}   
 
 Método do Ponto Fixo 
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 

2
 = 2 , e x
0
 = 1,5 
 
x
1
 = φ(x
0
) = 
x
2
 = φ(x
1
) = 
x
3
 = φ(x
2
) = 
x
4
 = φ(x
3
) = 
x
5
 = φ(x
4
) = 
 
Conclui-se que {x
k
} tende a convergir para 
2
 = 2 
06)( 2  xxxf
xx  6)(2
121320343,25,16 
969436380,1121320343,26 
007626364,2969436380,16 
998092499,1007626364,26 
000476818,2998092499,16 
 
 Método do Ponto Fixo 
 Exemplo: Dada a equação , com raiz 

2
 = 2 , e x
0
 = 1,5 
 
 Análise Gráfica: 
 
 
06)( 2  xxxf
xx  6)(2
{xk}  2 quando k  inf 
φ(x) 
x 
y 
y = x 

2 
x1 
x0 
x2 
 
 Método do Ponto Fixo 
 
Teorema 2: 
Sendo  uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I 
centrado em  e φ(x) uma função de iteração para 
f(x) = 0. Se 
1. φ(x) e φ’(x) são contínuas em I 
 
2. |φ’(x)| < 1,  x  I e 
 
3. x
0 
 I 
então a sequencia {x
k
} gerada pelo processo iterativo x
k+1
 
= φ(x
k
) convergirá para  . Além disso quanto menor for 
o valor de |φ’(x)|, mais rápido o Método do Ponto Fixo 
convergirá. 
 
 
 Método do Ponto Fixo 
 Resgatando os exemplos anteriores, para a função 
 temos que: 
 
 φ
1
(x) ( )  geração de uma sequencia 
divergente de 
2 
= 2 
 
 φ2(x) ( )  geração de uma sequencia 
convergente para 
2 
= 2 
 
06)( 2  xxxf
2
1 6)( xx 
xx  6)(2
 
 Método do Ponto Fixo 
 Avaliando a divergência de φ
1
(x) 
 
 φ
1
(x) = 6 - x2 e φ’
1
(x) = - 2x  contínuas em I 
 
 |φ’
1
 (x)| < 1  |-2x| < 1  -½ < x < ½ 
 
 Não existe um intervalo I centrado em 
2
=2, tal que 
|φ’(x)| < 1,  x  I  φ
1
 (x) não satisfaz a 
condição 2 do Teorema 2 com relação a 
2
=2. 
 
 Método do Ponto Fixo 
 Avaliando a convergência de φ
2
(x) 
 
 e 
 φ
2
 (x) é contínua em S = {x  R | x  6} 
 
 φ’
2
 (x) é contínua em S’ = {x  R | x < 6} 
 
 . 
 
 É possível obter um intervalo I centrado em 2=2, tal que 
todas as condições do Teorema 2 sejam satisfeitas. 
 
 
xx  6)(2 )62/1()('2 xx 
75,5162/11)('2  xxx
 
 Método do Ponto Fixo - Algoritmo 
 Critérios de Parada 
 |f(xk)|   
 |xk – xk-1|   
 
k = 0; 
Xk+1 = φ(xk); 
while and 
 k = k +1; 
 xk = xk+1; 
 xk+1 = φ(xk); 
end while 
 
 kk xx 1  )( 1kxf
 
 Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência 
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 
1
 = -3 e x0= -2,5 
06)( 2  xxxf
1
6
)(3 
x
x
0,,0
6
)('
2


 xx
x
x
0,,
66
)('
22


 xx
xx
x
6661
6
1)(' 2
2
 xouxx
x
x
 
0,,1
6
)(  xx
x
x
 
 Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência 
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 
1
 = -3 e x0= -2,5 
 
Como o objetivo é obter a raiz negativa, temos: 
 
 
Podemos então definir o intervalo que o 
processo convergirá visto que o intervalo está 
centrado na raiz  = -3 
 
)6;(:,,1)(' 111  IseráIxxquetalI 
)4497897,26( 
)5.2,5.3( I
1II 
06)( 2  xxxf
1
6
)(3 
x
x
 
 Método do Ponto Fixo – Verificando a 
Convergência 
 Exemplo: Dada a função , cujas raízes 
são 2 e -3, vamos avaliar a convergência da função 
equivalente , dados 
1
 = -3 e x0= -2,5 
 
 Tomando x0= -2,5, temos: 
 
 
 
 Quando não se conhece a raiz, escolhe-se o intervalo I 
aproximadamente centrado em  
 Quanto mais preciso isolamento de , maior exatidão na 
escolha de I 
892617,2
170213,3
764706,2
5,2
4
3
2
1




x
x
x
x
06)( 2  xxxf
1
6
)(3 
x
x
 
 Método do Ponto Fixo 
 Exemplo: Dados: 
 , calcule a raiz de f(x) 
utilizando o MPF: 
 
 
 
 
Assim, e 
Importante lembrar: Iteramos de modo que , 
todavia avaliamos, a cada iteração se 
 
Desafio: Provar que satisfaz a condição 2 do 
Teorema 2 no intervalo (0, 1) 
 
;
3
1
9
)(;039)(
3
3 
x
xxxxf 
)1,0(;105;5,0 20 
 x
3376233,0x 31012,0)( xf
)(1 kk xx 
)( kxf
)(x
 
 Método do Ponto Fixo 
 Vantagens 
 Rapidez processo de convergência; 
 Desempenho regular e previsível. 
 
 Desvantagens 
 Um inconveniente é a necessidade da obtenção de uma 
função de iteração φ(x); 
 Difícil sua implementação. 
 
 
 Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido 
1) Tente encontrar a raiz da função 
 
utilizando a função de iteração e , sendo 
 
 .Justifique sua resposta. 
 
 
1)( 3  xxxf
3102 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
2
11
)(
xx
x  10 x
 
 Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido 
1) Tente encontrar a raiz da função 
 
utilizando a função de iteração e , sendo 
 
 
x
1
 = φ(x
0
) = x
2
 = φ(x
1
) = 
 
x
3
 = φ(x
2
) = 
 
x
4
 = φ(x
3
) = 
 
x
5
 = φ(x
4
) = 
1)( 3  xxxf
3102 
2
11
)(
xx
x  10 x
2
1
1
1
1
2
 75,0
2
1
2
1
2

...1111,3
75,0
1
75,0
1
2

...4247,0
1111,3
1
1111,3
1
2

...8973,7
4247,0
1
4247,0
1
2
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido 
1) Tente encontrar a raiz da função 
 
utilizando a função de iteração e , sendo 
 
 
x
6
 = φ(x
5
) = 
 
x
7
 = φ(x6) = 
 
Conclui-se que {x
k
} tende a divergir da raiz da equação f(x). 
1)( 3  xxxf
3102 
2
11
)(
xx
x  10 x
...1427,0
8973,7
1
8973,7
1
2

...1461,56
1427,0
1
1427,0
1
2

 
 
 
Método do Ponto Fixo – Exercício Resolvido 
1) Tente encontrar a raiz da função 
 
utilizando a função de iteração e , sendo 
 
 
Justificando a resposta: 
 
 
 
 
 
Como a condição deve ser satisfeita, onde I 
é o intervalo centrado em  , é fácil perceber que isso 
não acontece, uma vez que 
 
1)( 3  xxxf
3102 
2
11
)(
xx
x  10 x
0,
11
)(
2
 xx
xx
x 0,21)(' 32 

 xx
xx
x
1
2
1
2
1
21
1)('
33332







x
x
xx
x
xx
x
Ixx 1)('
03)1(')(' 00   xeIx
 
 Método do Ponto Fixo – Exercício 
1) Tente encontrar a raiz da função 
 
utilizando a função de iteração e , 
sendo .Justifique sua resposta. 
 
 
1)( 3  xxxf
3102 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
13
1
)(
2
3



x
xx
xx 10 x
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Método de Newton Raphson 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Método do Ponto Fixo (MPF) 
 Uma das condições de convergência é que |φ’(x)|  M < 
1,  x  I , onde I é um intervalo centrado na raiz 
 A convergência será tanto mais rápida quanto menor for 
|φ’(x)| 
 
 O método de Newton busca garantir e acelerar a 
convergência do MPF 
 Escolha de φ(x), tal que φ’() = 0, como função de 
iteração 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Dada a equação f(x) = 0 e partindo da forma geral para 
φ(x) 
 φ(x) = x + A(x)f(x) 
 
 Busca-se obter a função A(x) tal que φ’() = 0 
 
φ(x) = x + A(x)f(x)  
 φ’(x) = 1 + A’(x)f(x) + A(x)f’(x)  
 φ’() = 1 + A’()f() + A()f’()  
 φ’() = 1 + A()f’() 
 
 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Assim 
 
 
 
 donde se toma 
 
 Como φ(x) = x + A(x)f(x) 
 
 
 Logo: 
 
 
)(
)('
1
)( xf
xf
xx 




 








)('
)(
)(
xf
xf
xx
0)('  0)(')(1   fA
)('
1
)(


f
A


)('
1
)(
xf
xA


 
 Método de Newton-Raphson 
 Então, dada f(x), a função de iteração φ(x) = x - 
f(x)/f’(x) será tal que φ’() = 0, posto que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e, como f() = 0, φ’() = 0 ( desde que f’()  0 ) 
 





 

2
2
)]('[
)('')()]('[
1)('
xf
xfxfxf
x
2
2
2
2
)]('[
)('')()]('[
)]('[
)]('[
)('
xf
xfxfxf
xf
xf
x


2)]('[
)('')(
)('
xf
xfxf
x 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Deste modo, escolhido x0, a sequência {xk} será 
determinada por 
 
 
 
 onde k = 0, 1, 2, ... 
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx 
 
 Método de Newton-Raphson – 
Graficamente 
 Dado o ponto ( x
k
 , f(x
k
) ) 
 Traçamos a reta Lk(x) tangente à curva neste ponto: 
 
 L
k
(x) = f(x
k
) + f’(x
k
)(x-x
k
) 
 
 Determinanos o zero de Lk(x), que é um modelo linear 
que aproxima f(x) em uma vizinhança x
k
 
 
 
 
 Faz-se x
k +1
 = x 
 
0)( xLk
)('
)(
k
k
k
xf
xf
xx 
 
 Método de Newton-Raphson – 
Graficamente 
 Análise Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repete-se o processo até que o valor de x 
atenda às condições de parada. 
x 
 
f(x) 
x1 x0 
x2 
x3 
1a iteração 
2a iteração 
3a iteração 
4a iteração 
 
 Método de Newton-Raphson - Convergência 
 Teorema 3: 
 
Sendo f(x), f’(x) e f”(x) contínuas em um intervalo I que 
contém uma raiz x =  de f(x) = 0 e supondo f’()  0, 
existirá um intervalo Ī  I contendo a raiz , tal que se 
x0  Ī, a seqüência {xk} gerada pela fórmula recursiva 
 
 
 
 convergirá para a raiz. 
 
 
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx 
 
 Método de Newton-Raphson - Algoritmo 
 Teste de parada: 
 |f(x
k
)|  ε 
 |x
k
 – x
k-1
|  ε 
 
 Algoritmo: 
 
 x0 := x; 
 k := 0; 
 while |f(x
k
)| > ε and |x
k
 – x
k-1
| > ε 
 xk+1 := xk – f(xk)/f’(xk) 
 k := k +1; 
 end while 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 
2
 = 2 e x
0
 = 1,5 
 
Fórmula recursiva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
6
)('
)(
)(
2



x
xx
x
xf
xf
xx
 
 
0625,2
15,12
65,15,1
5,1)(
2
01 


 xx 
 
 
000762195,2
10625,22
60625,20625,2
0625,2)(
2
12 


 xx 
000000116,2)( 23  xx 
 
 Método de Newton-Raphson 
 Exemplo: Dado f(x) = x2 + x – 6 , 
2
 = 2 e x
0
 = 1,5 
 
 Comentários: 
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 2,000000116), 
caso a precisão do cálculo com 6 casas decimais seja 
satisfatória para o contexto do trabalho 
 
 Observe que, no Método do Ponto Fixo, com 
 o valor x = 2,000476818 foi encontrado 
somente na 5a iteração 
 
 
xx  6)(
 
 Método de Newton-Raphson 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
 
1
  I
1
 = (-1, 0), 
2
  I
2
 = (1, 2) 
 
Seja: 
 x
0
 = 1 
 
 
 
 
 
)('
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx 
13
1
)(
2
3



x
xx
xx
 
 Método de Newton-Raphson 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
 
1
  I
1
 = (-1, 0), 
2
  I
2
 = (1, 2) 
 
 Cálculo da 1ª aproximação 
 
 φ(x0) = 1 – [ (1)³ – 1 – 1 ] = 1,5 = x1 
 
 [ 3x(1)² – 1 ] 
 
 Teste de Parada 
 
|f(x
1
)| = | (1,5)³ – 1,5 – 1 | = 0,875 >  
|x1-x0| =| 1,5 - 1 | = 0,5 >  
 
 
 
 
 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
 
1
  I
1
 = (-1, 0), 
2
  I
2
 = (1, 2) 
 
 Cálculo da 2ª aproximação 
 
 φ(x1) = 1,5 – [ (1,5)³ – 1,5 – 1 ] = 1,3478261 = x2 
 
 [ 3x(1,5)² – 1 ] 
 
 Teste de Parada 
 
|f(x
2
)| = | 0,100682 | = 0,100682 >  
|x2-x1| =| 1,3478261 - 1,5 | = 0,1521739 >  
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 Cálculo da 3ª aproximação 
 
 φ(x2) = 1,3478261 - [ (1,3478261)³ - 1,3478261 - 1 ] 
 [ 3x(1,3478261)² - 1 ] 
 φ(x2) = 1,3252004 = x3 
 
 Teste de Parada 
|f(x
3
)| =| 0,0020584 | = 0,0020584 >  
|x3-x2| =| 1,3252004 – 1,3478261 | = 0,0226257 >  
 
 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε =0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
 
1
  I
1
 = (-1, 0), 
2
  I
2
 = (1, 2) 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 - x - 1, e 
ε = 0,002 cujos zeros encontram-se nos intervalos: 
 
1
  I
1
 = (-1, 0), 
2
  I
2
 = (1, 2) 
 
A sequência {x
k
} gerada pelo método de Newton 
será: 
 
 
 
Método de Newton-Raphson 
Iteração x |xk-xk-1| F(x) 
1 1,5 0,5 0,875 
2 1,3478261 0,1521739 0,1006822 
3 1,3252004 0,0226257 0,0020584 
4 1,3247182 0,0004822 1,0352x10-6 
 = 0,002 
 
 
 
 
 
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: 
1
  I
1
 = (-4, -3), 
2
  I
2
 = (0, 1) e 

3
  I
3
 = (2, 3). Seja x0 = 1,5: 
 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
 Comprovando o impacto de uma boa escolha de x0 
 Exemplo: Considere a função f(x) = x3 – 9x + 3, que 
possui três zeros: 
1
  I
1
 = (-4, -3), 
2
  I
2
 = (0, 1) e 

3
  I
3
 = (2, 3). Seja x0 = 1,5: 
 
 No início há um divergência da região onde estão as 
raízes, mas depois de x7 os valores se aproximam cada 
vez mais de 
3
 
 
 Causa: 
 x0 (1,5) é próximo de , que é raiz de f´(x) 
 Da mesma forma, x1 (-1,6666667) está próximo 
de , outra raiz de f’(x) 
 
Método de Newton-Raphson 
3
3
 
 
 
 
 
 Vantagens: 
 Rapidez processo de convergência 
 Desempenho elevado 
 
 Desvantagens: 
 Necessidade da obtenção de f’(x) , o que pode ser 
impossível em determinados casos 
 O cálculo do valor numérico de f’(x) a cada iteração 
 
Método de Newton-Raphson 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Método da Secante 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Método da Secante 
 Método de Newton-Raphson 
 Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de 
f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração 
 
 Forma de desvio do inconveniente 
 Substituição da derivada f’(xk) pelo quociente das 
diferenças 
 
 
1
1)()()('





kk
kk
k
xx
xfxf
xf
 
 Método da Secante 
 A função de iteração será: 
1
1)()(
)(
)(





kk
kk
k
k
xx
xfxf
xf
xx
 1
1)()(
)(
)( 



 kk
kk
k
k xx
xfxf
xf
xx
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
1
1
1
1










kk
kkkk
kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
xfxf
xfxxfx
x
)()(
)()(
)(
1
11





kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
 
 Método da Secante - Geometricamente 
 A partir de duas aproximações x
k-1 
e x
k
 obtém-se o 
ponto x
k+1
 como sendo a abscissa do ponto de 
intersecção do eixo x e da reta que passa pelos pontos 
( x
k-1 
, f(x
k-1
) ) e ( x
k 
, f(x
k
) ) (secante à curva da função) 
 
x 
1a iteração 
2a iteração 
3a iteração 
4a iteração 
 
f(x) 
x1 x0 x2 
x3 x4 
x5 
Repete-se o processo até 
que o valor de x atenda às 
condições de parada. 
 
 Método da Secante - Convergência 
 Como o Método da Secante é uma aproximação do 
método de Newton, as condições de convergência são 
praticamente as mesmas, ou seja basta que o 
Teorema 3 seja satisfeito 
 Todavia, o Método da Secante pode divergir para o 
seguinte caso 
 
)()( 1 kk xfxf
)()(
)()(
)(
1
11





kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
 
 Método da Secante - Algoritmo 
 Testes de Parada 
 |f(x
k
)|  ε 
 |x
k
 – x
k-1
|  ε 
 Algoritmo 
 x0 := x; 
 x1 := x1; 
 k := 1; 
 x2 := (x0*f(x1) – x1*f(x0)) / (f(x1) - f(x0)); 
 while |f(x
k+1
)| > ε and |x
k+1
 – x
k
| > ε 
 xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1)) / (f(xk) - f(xk-1)); 
 k := k +1; 
 end while 
 
 
 Método da Secante 
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x
0
 = 1,5 e x
1
 = 1,7: 
 
 
 )()(
)()(
)(
1
11





kk
kkkk
xfxf
xfxxfx
x
 
 Método da Secante 
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1,  = 0,003, 
x
0
 = 1,5 e x
1
 = 1,7: 
 
 Cálculo da 1ª aproximação x0 = 1,5 e x1 = 1,7 
 f(x0) = 0,875 > 0 
 f(x1) = 2,213 > 0 
 x2 = [1,5 x (2,213) – 1,7 x (0,875)] = 1,36921 
 [2,213 – (0,875)] 
 Teste de Parada 
 |f(x
2
)| = | (1,36921)³ – 1,36921 – 1 | = 0,19769 >  
 |x
2
 - x
1
| =|1,36921 – 1,7| = 0,33079 >  
 Novo Intervalo: x
1
 = 1,7 e x
2
 = 1,36921 
 
 
 Método da Secante 
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x
0
 = 1,5 e x
1
 = 1,7: 
 
 Cálculo da 2ª aproximação x1 = 1,7 e x2 = 1,36921 
 f(x1) = 2,213 > 0 
 f(x2) = 0,19769 > 0 
 x3 = [1,7 x (0,19769) - 1,36921x (2,213)] = 1,33676 
 [0,19769 - 2,213] 
 Teste de Parada 
 |f(x
3
)| = |0,05193| = 0,05193 >  
 |x
3
 - x
2
| =|1,33676 – 1,36921| = 0,03245 >  
 Novo Intervalo: x
2
 = 1,36921 e x
3
 = 1,33676 
 
 Método da Secante 
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x3 - x - 1, 
 = 0,003, x
0
 = 1,5 e x
1
 = 1,7: 
 
 Cálculo da 3ª aproximação x2 = 1,36921 e x3 = 1,33676 
 f(x2) = 0,19769 > 0 
 f(x3) = 0,05193 > 0 
 x4 = [1,36921 x (0,05193) - 1,33676 x (0,19769)] = 
 [(0,05193) - 0,19769] 
 x4 = 1,3252 
 Teste de Parada 
 |f(x
4
)| = |0,00206| = 0,00206 <   cond. 
atendida 
 |x
4
 – x
3
| =|1,3252 – 1,33676| = 0,01156 >  
 
 Método da Secante 
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, 
x
0
 = 1,5 e x
1
 = 1,7: 
 
Solução: 
 
)()(
)()(
01
0110
2
xfxf
xfxxfx
x



25,241,1
25,27,1)41,1(5,1



2,035712 x
)()(
)()(
12
1221
3
xfxf
xfxxfx
x



1,99774
)()(
)()(
23
2332
4
xfxf
xfxxfx
x



1,99999
 
 Método da Secante 
 Exemplo: Considere-se a função f(x) = x2 + x – 6 = 0, 
x
0
 = 1,5 e x
1
 = 1,7: 
 
 Comentários: 
 A parada poderá ocorrer na 3a iteração (x = 1,99999 ), 
caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais seja 
satisfatória para o contexto do trabalho 
 
 No método de Newton-Raphson o valor 
x = 2,000000116, foi encontrado também na 3a 
iteração 
 
 Método da Secante 
 Vantagens 
 Rapidez processo de convergência 
 Cálculos mais convenientes que do método de Newton 
 Desempenho elevado 
 
 Desvantagens 
 Se o cálculo f’(x) não for difícil, então o método logo será 
substituído pelo de Newton-Raphson 
 Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou 
tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, 
logo não se deve usar o Método da Secante 
 
 
 
 
 
Zeros Reais de Funções 
Reais – Comparação entre os 
métodos 
Elaborado pelo Prof. Wellington Passos de Paula 
Adaptado por Marconi de Arruda Pereira 
 
 Comparação entre os métodos 
 Critérios de Comparação 
 Garantias de Convergência 
 Rapidez de Convergência 
 Esforço Computacional 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Garantias de Convergência 
 Bissecção e Posição Falsa 
 Convergência garantida, desde que afunção seja contínua 
num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b) < 0 
 
 Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante 
 Condições mais restritivas de convergência 
 Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois 
últimos métodos são mais rápidos do que os demais 
estudados 
 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Rapidez de Convergência 
 Número de Iterações  Medida usualmente adotada 
para a determinação da rapidez de convergência de um 
método 
 
 Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de 
execução do programa 
 
 Tempo gasto na execução de uma iteração  Variável 
de método para método 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Esforço Computacional 
 Indicadores 
 Número de operações efetuadas a cada iteração 
 Complexidade das operações 
 Número de decisões lógicas 
 Número de avaliações de função a cada iteração 
 Número total de iterações 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Esforço Computacional 
 Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de 
um método. 
 Bissecção  Cálculos mais simples por iteração 
 Newton  Cálculos mais elaborados 
 
 Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria 
das vezes, muito maior do que o número de iterações 
efetuadas por Newton 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal 
 Convergência assegurada 
 Ordem de convergência alta 
 Cálculos por iteração simples 
 
 Escolha do melhor método: 
 Newton-Raphson  Caso seja fácil a verificação das 
condições de convergência e o cálculo de f’(x) 
 
 Secante  Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f’(x) , 
uma vez que não é necessária a obtenção de f’(x) 
 
 Comparação entre os métodos 
 Critério de Parada  Detalhe importante na escolha do 
método: 
 Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a 
raiz  Bissecção (não usar o Método da Posição Falsa) 
 
 Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz  
Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com 
aproximações xk para a raiz exata) 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Observações importantes: 
 Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de 
Newton-Raphson e da Secante: 
 Tendência da curva ao paralelismo a qualquer um dos 
eixos 
 Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas 
em um ou mais pontos. 
 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Conclusão: 
 Escolha do método  Diretamente relacionada com a 
equação cuja solução é desejada 
 Comportamento da função na região da raiz exata 
 Dificuldades com o cálculo de f´(x) 
 Critério de parada, etc. 
 
 
 
 
 
 Comparação entre os métodos 
 Exemplo: f(x) = x3 – x – 1 
x 1 2 3 4 
y 
5 0 -1 -2 -3 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
  [1, 2 ],  = 10 
-6 
 
 Comparação entre os métodos 
 Exemplo: f(x) = x3 – x – 1 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 Melhor desempenho: Método do Ponto Fixo 
 Métodos de Newton e Secante: muitas iterações pois 
houve divergência no inicio da execução 
( denominador  0 ) 
 
 Comparação entre os métodos 
 Exemplo: f(x) = 4 sen(x) – e2 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 Melhor desempenho: Método de Newton, devido à boa 
escolha de x0 
  [0, 1 ],  = 10 
-5