Aula 04 Cálculo Vetorial 2011.2

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Mudança de variáveis em integrais triplas
Seja , podemos usar
mudanças de variáveis para resolver a integral.
∫∫∫=
T
dxdydzzyxfI ),,(
Aula 04 1
∫∫∫ ∫∫∫ ∂
∂
=
T T
dudvdt
tvu
zyx
tvufdxdydzzyxf
* ),,(
),,(
),,(),,(
Jacobiano tedeterminan o é ),,(
),,(
 onde
tvu
zyx
∂
∂
Aula 04 2
Coordenadas cilíndricas





=
=
=
zz
rseny
rx
)(
)cos(
θ
θ
Aula 04 3
r
zr
zyx
=
∂
∂
),,(
),,(
θ
∫∫∫ ∫∫∫=
T T
dzrdrdzrfdxdydzzyxf
*
),,(),,( θθ
Aula 04 4
Exemplo. Calcule , onde T 
é a região delimitada pelo plano xy, pelo parabolóide 
e pelo cilindro 
∫∫∫ +=
T
dVyxI )( 22
22 yxz +=
422 =+ yx
Aula 04 5
Exemplo. Calcule , onde T 
é a região delimitada pelos cilindros 
∫∫∫=
T
dVI
yz −= 3
122 =+ yx
e pelos planos xy e 422 =+ yx
Aula 04 6
Exemplo. Calcule , onde T 
é a região delimitada pelos cone ,
pelo cilindro e pelo plano xy. 
∫∫∫=
T
zdVI
422 =+ yx
22 yxz +=
Aula 04 7
Coordenadas esféricas
Para algumas regiões de integração, é mais fácil resolver a 
integral tripla usando o sistema de coordenadas esféricas.
),,( φθρ=P
Aula 04 8
Considere a figura abaixo.





=
=
=
)cos(
)()(
)cos()(
φρ
θφρ
θφρ
z
senseny
senx
Aula 04 9
O determinante Jacobiano é dado por:
)(
),,(
),,(
φρ
φθρ
sen
zyx 2
=
∂
∂
Exemplo. Calcule . Onde T é a esfera
sólida .4222 ≤++ zyx
∫∫∫=
T
xdxdydzI
Aula 04 10
Exemplo. Calcule , onde T é o
hemisfério superior da esfera sólida .4222 ≤++ zyx
∫∫∫=
T
zdxdydzI
Aula 04 11
Exemplo. Calcule , onde T
é a região externa à esfera e inter-
na à esfera .
1222 =++ zyx
∫∫∫ ++=
T
dxdydzzyxI 222
4222 =++ zyx
Aula 04 12
Cálculo de volume
Vimos que a área de uma região R do plano xy é calculada por:
∫∫=
R
dAA
Analogamente, o volume de uma região T do R3 é calculado 
por:
∫∫∫=
T
dVV
Aula 04 13
Exemplo. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos 
e lateralmente pelos gráficos de 
,
2
3 yz −= 6=z
 e 2xy = .4=y
Aula 04 14
Exemplo. Calcule o volume do sólido limitado pelos gráficos de
.,, 24 e 5 0 0 xzzyzy −==+==
Aula 04 15
Exemplo. Calcule o volume do sólido limitado superiormente 
pela esfera e 
inferiormente pelo cone 
16222 =++ zyx
.
3
22 yx
z
+
=
Aula 04 16