EDO – Lista 1 Resolvida

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Sumário
a) 𝑦′ + 𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡 + 1
Resolvendo por simples resolução de PVI
Encontrar o fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬ 1𝑑𝑡 = 𝑡 = 𝑒𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ + 𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡 + 1 → y′et + yet = t + et
Simplificar
𝑦′𝑒𝑡 + 𝑦𝑒𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒𝑡 + 𝑒𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒𝑡 = 𝑡 + 𝑒𝑡 → 𝑦𝑒𝑡 = න𝑡 𝑑𝑡 + න𝑒𝑡 𝑑𝑡
Integrar (solução geral)
𝑦𝑒𝑡 =
𝑡2
2
+ 𝑒𝑡 + 𝑐 → 𝑦 =
𝑡2
2𝑒𝑡
+ 1 +
𝑐
𝑒𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 =
𝑡2
2𝑒𝑡
+ 1 +
𝑐
𝑒𝑡
→ 𝑦 =
∞2
2𝑒∞
+ 1 +
𝑐
𝑒∞
𝑦 → 1
A função tende a infinito.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 4
b) 𝑦′ − 2𝑦 = 3𝑒𝑡
Resolvendo por simples resolução de PVI
Encontrar o fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬ −2𝑑𝑡 =−2𝑡 = 𝑒−2𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ − 2𝑦 = 3𝑒𝑡 → 𝑦′𝑒−2𝑡 − 2𝑒−2𝑡𝑦 =
3𝑒𝑡
𝑒2𝑡
→ y′e−2t + (−2ye−2t) = 3e−t
Simplificar
𝑦′𝑒−𝑡 + (−𝑦𝑒−𝑡) → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒−2𝑡 + (−2𝑒−2𝑡)𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒−2𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒−2𝑡 = 3𝑒−𝑡 → 𝑦𝑒−2𝑡 = න3𝑒−𝑡 𝑑𝑡
Integrar (solução geral)
𝑦𝑒−2𝑡 = −3𝑒−𝑡 + 𝑐 → 𝑦 =
−3𝑒−𝑡
𝑒−2𝑡
+
𝑐
𝑒−2𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 =
−3𝑒2𝑡
𝑒𝑡
+ 𝑒2𝑡𝑐 → 𝑦 = −3𝑒∞ + 𝑒2∞𝑐
A função tende a infinito.
Os fatores do denominador são menores que o do numerador.
Passo 5
c) 𝑦′ +
𝑦
𝑡
= 3cos(2𝑡) (𝑡 > 0)
Resolvendo por simples resolução de PVI
Encontrar o fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬
1
𝑡𝑑𝑡 = ln 𝑡 = 𝑒ln |𝑡| = 𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ +
𝑦
𝑡
= 3cos 2t → y′t + y = 3tcos(2t)
Simplificar
𝑦′𝑡 + 𝑦 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑡 + 1𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡 = 3tcos(2𝑡) → 𝑦𝑡 = න3tcos(2𝑡) 𝑑𝑡
Integrar (solução geral)
3නcos 2𝑡 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 → ቐ
𝑢 = 𝑡 𝑑𝑣 = cos(2𝑡)𝑑𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
→ 𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
− න𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
− න𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
𝑑𝑡
A integração de 𝑠𝑒𝑛(2𝑡), caso não entenda
ቊ
𝑢 = 2𝑡
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑡 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢/2
1
2
න sen 𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
4
නsen 𝑢 𝑑𝑢 = −cos 2𝑡
1
4
3නcos 2𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = 3 𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
+ cos 2𝑡
1
4
Ou pelo método mais rápido
3නcos 2𝑡 𝑡 𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
1 →
−
−cos 2𝑡
1
4
→ 3 𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
2
+ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡
1
4
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦𝑡 = 𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡
3
2
+ cos 2𝑡
3
4
+ 𝑐
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
3
2
+ cos 2𝑡
3
4𝑡
+
𝑐
𝑡
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 2∞ 3
2
+
cos 2∞ 3
4∞
+
𝑐
∞
A função tende a zero.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 5
d) 2𝑦′ + 𝑦 = 3𝑡
Organizar
2𝑦′ + 𝑦 = 3𝑡 →
2𝑦′
2
+
𝑦
2
=
3
2
𝑡 → 𝑦′ +
𝑦
2
=
3
2
𝑡
Encontrar o fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬
1
2𝑑𝑡 =
1
2𝑡 = 𝑒
1
2t
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ +
𝑦
2
=
3
2
𝑡 → 𝑒
1
2𝑡𝑦′ +
𝑒
1
2𝑡
2
𝑦 =
3
2
𝑡𝑒
1
2𝑡
Simplificar
𝑒
1
2𝑡𝑦′ +
𝑒
1
2𝑡
2
𝑦 =
3
2
𝑡𝑒
1
2𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑦′𝑒
1
2𝑡 +
𝑒
1
2𝑡
2
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒
1
2𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
1
2𝑡 =
3
2
𝑡𝑒
1
2𝑡 → 𝑦𝑒
1
2𝑡 = න
3
2
𝑡𝑒
1
2𝑡𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
𝑦𝑒
𝑡
2 = න
3
2
𝑡𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
Método rápido
3
2
න 𝑡𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
2𝑒
𝑡
2
1 →
−
4𝑒
𝑡
2
→
3
2
2𝑡𝑒
𝑡
2 − 4𝑒
𝑡
2 → 2𝑡𝑒
𝑡
2 − 6𝑒
𝑡
2 + 𝑐
Solução geral
𝑦𝑒
𝑡
2 = 2𝑡𝑒
𝑡
2 − 6𝑒
𝑡
2 +
3𝑐
2
→ y =
2𝑡𝑒
𝑡
2
𝑒
𝑡
2
−
6𝑒
𝑡
2
𝑒
𝑡
2
+
3𝑐
2𝑒
𝑡
2
→ y = 2𝑡 − 6 +
𝑐
𝑒
𝑡
2
Passo 5
Passo 6
Solução PVI
𝑡 → ∞
y = 2𝑡 − 6 +
𝑐
𝑒
𝑡
2
y = 2∞ − 6 +
𝑐
𝑒
∞
2
𝑦 → −6
A função tende a zero.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 7
e) 𝑦′ + 𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
Encontrar o fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬ 𝑑𝑡 =𝑡 = 𝑒𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ + 𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 → 𝑒𝑡𝑦′ + 𝑒𝑡𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡
Simplificar
𝑦′ + 𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒𝑡 + 𝑒𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒𝑡 = 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 → 𝑦𝑒𝑡 = න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
Integrar
Ambas as funções na integral são funções que nunca zerão ao derivar, nesse caso 
esta integral se tornará um integral por partes infinita se for resolvida pelo método 
convencional de integração por partes.
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Como ambas as funções podem ser tanto “u” como “dv” na escolha de variáveis 
devemos selecionar a escolha que tornará a conta menor possível.
A integração por partes irá terminar quando a integral ׬𝑣𝑑𝑢 que é resultante da 
integração por partes obter uma aparência idêntica à sua integral original (׬𝑢𝑑𝑢) 
independente de constantes.
Para isso coloque a constante 5 na conta, para que no final׬𝑢𝑑𝑢 = ׬𝑣𝑑𝑢
න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
5𝑒𝑡
∙
5𝑒𝑡
∙
5𝑒𝑡
∙
5𝑒𝑡
.
5𝑒𝑡
→
+
∙
→
−
∙
→
+
∙
→
−
.
→
+
−
1
2
cos 2𝑡
−
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
1
8
cos 2𝑡
1
16
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
−
1
32
cos 2𝑡
→ −
5 cos 2𝑡 𝑒𝑡
2
+
5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡
4
+
5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡
8
−
5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡
16
+
1
16
න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
Integrando com outras variáveis
A última conta é a menor
න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 = 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 2 cos 2𝑡 5𝑒𝑡 − 4න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
4න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
4𝑥
+න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
𝑥
= 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 2 cos 2𝑡 5𝑒𝑡
න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
∙
2 cos 2𝑡
∙
4−4𝑠𝑒𝑛 2𝑡
∙
→
+
∙
→
−
∙
→
+
∙
5𝑒𝑡
∙
5𝑒𝑡
∙
∙
5𝑒𝑡
∙
→ 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 2 cos 2𝑡 5𝑒𝑡 − 4න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡
4x + x = 5x
5න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 = 5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 10 cos 2𝑡 𝑒𝑡
න5𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 2 cos 2𝑡 𝑒𝑡 + 𝑐
𝑦𝑒𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡 − 2 cos 2𝑡 𝑒𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑒𝑡
𝑒𝑡
−
2 cos 2𝑡 𝑒𝑡
𝑒𝑡
+
𝑐
𝑒𝑡
→ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) − 2cos(2𝑡) +
𝑐
𝑒𝑡
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) − 2cos(2𝑡) +
𝑐
𝑒𝑡
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2∞) − 2cos(2∞) +
𝑐
𝑒∞
A função tende a zero.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 5
Passo 6
f) 1 + 𝑡2 𝑦′ + 4𝑡𝑦 = −2 1 + 𝑡2 → 1 + 𝑡2 𝑦′ + 4𝑡𝑦 = −2 − 2𝑡2
Variação de parâmetro
1 + 𝑡2 𝑦′ + 4𝑡𝑦 = 0
Organizar
𝑦′ +
4𝑡𝑦
1 + 𝑡2
= 0
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒
׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬
4𝑡
1+𝑡2
= 4 ׬
𝑡
1+𝑡2
𝑑𝑡→ ቊ 𝑢=𝑡
2+1
𝑑𝑢=2𝑡𝑑𝑡
→2 ׬
𝑑𝑢
𝑢 =2 ln 𝑢 =2 ln 𝑡
2+1 = ln 𝑡2+1
2
𝜇 𝑡 = 𝑒ln 𝑡
2+1
2
→ 𝑡2 + 1 2
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ +
4𝑡𝑦
1 + 𝑡2
= 0 → 𝑡2 + 1 2𝑦′ +
𝑡2 + 1 24𝑡𝑦
1 + 𝑡2
= 0 → 𝑡2 + 1 2𝑦′ + 𝑡2 + 1 4𝑡𝑦 = 0
Simplificar
𝑡2 + 1 2𝑦′ + 𝑡2 + 1 4𝑡𝑦 = 0 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′ 𝑡2 + 1 2 + 𝑡2 + 1 4𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦 𝑡2 + 1 2
Passo 1
Passo 2Passo 3
Passo 4
Passo 5
𝑑
𝑑𝑡
𝑦 𝑡2 + 1 2 = 0 → 𝑦 𝑡2 + 1 2 = න0𝑑𝑡
Integrar
𝑦 𝑡2 + 1 2 = න0𝑑𝑡 → 𝑦 𝑡2 + 1 2 = 𝑐
Tornar C função
𝑦 𝑡2 + 1 2 = 𝑐 → 𝑦 =
𝑐(𝑥)
𝑡2 + 1 2
𝑐′ 𝑥 = 𝑞(𝑥)𝜇(𝑥)
𝑐′ 𝑥 = −2 𝑡2 + 1 𝑡2 + 1 2
𝑐′ 𝑥 = −2 𝑡2 + 1 3
න𝑐′(𝑥) = −2න 𝑡2 + 1 3 → 𝑐 𝑥 = −2 න𝑡6𝑑𝑡 + න3𝑡4𝑑𝑡 + න3𝑡2 𝑑𝑡 + න𝑑𝑡
Passo 6
Passo 7
𝑐 𝑥 = −2න𝑡6𝑑𝑡 − 6න 𝑡4𝑑𝑡 − 6න𝑡2 𝑑𝑡 − 2න𝑑𝑡
𝑐 𝑥 = −
2𝑡7
7
−
6𝑡5
5
−
6𝑡3
3
− 2𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦 =
𝑐(𝑥)
𝑡2 + 1 2
→ 𝑦 =
−
2𝑡7
7 −
6𝑡5
5 −
6𝑡3
3 − 2𝑡 + 𝑐
𝑡2 + 1 2
𝑦 = −
2𝑡7
7 𝑡2 + 1 2
−
6𝑡5
5 𝑡2 + 1 2
−
6𝑡3
3 𝑡2 + 1 2
−
2𝑡
𝑡2 + 1 2
+
𝑐
𝑡2 + 1 2
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 = −
2∞7
7 ∞2 + 1 2
−
6∞5
5 ∞2 + 1 2
−
6∞3
3 ∞2 + 1 2
−
2∞
∞2 + 1 2
+
𝑐
∞2 + 1 2
A função tende a zero.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 8
Passo 9
g) 𝑦′ + 2𝑡𝑦 = 2𝑡𝑒−𝑡
2
Fator integrante
𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =2 ׬ 𝑡𝑑𝑡 =𝑡
2
= 𝑒𝑡
2
Multiplicar fator integrante
𝑦′ + 2𝑡𝑦 = 2𝑡𝑒−𝑡
2
→ 𝑦′𝑒𝑡
2
+ 2𝑡𝑒𝑡
2
𝑦 =
2𝑡𝑒𝑡
2
𝑒𝑡
2 → 𝑦
′𝑒𝑡
2
+ 2𝑡𝑒𝑡
2
𝑦 = 2𝑡
Simplificar
𝑦′𝑒𝑡
2
+ 2𝑡𝑒𝑡
2
𝑦 = 2𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒𝑡
2
+ 2𝑡𝑒𝑡
2
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒𝑡
2
]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒𝑡
2
= 2𝑡 → 𝑦𝑒𝑡
2
= න2𝑡𝑑𝑡
Integrar
න2𝑡𝑑𝑡 = 𝑡2 + 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑦𝑒𝑡
2
= 𝑡2 + 𝑐 → 𝑦 =
t2
𝑒𝑡
2 +
c
𝑒𝑡
2
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 =
t2
𝑒𝑡
2 +
c
𝑒𝑡
2
𝑦 =
∞2
𝑒∞
2 +
c
𝑒∞
2
A função tende a zero.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 5
Passo 6
h) 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑡2𝑒2𝑡
Fator integrante
𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =−2 ׬ 𝑑𝑡 = 2𝑡 = 𝑒−2𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑦′ − 2𝑦 = 𝑡2𝑒2𝑡 → 𝑦′𝑒−2𝑡 + −2𝑒−2𝑡 𝑦 = 𝑡2
Simplificar
𝑦′𝑒−2𝑡 + −2𝑒−2𝑡 𝑦 = 𝑡2 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒−2𝑡 + −2𝑒−2𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑒−2𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒−2𝑡 = 𝑡2 → 𝑦𝑒−2𝑡 = න𝑡2𝑑𝑡
Integrar
න𝑡2𝑑𝑡 =
𝑡3
3
+ 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑦𝑒−2𝑡 =
𝑡3
3
+ 𝑐
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 =
∞3𝑒2∞
3
+ 𝑐𝑒2∞
A função tende a infinito.
Os fatores do denominador são menores que o do numerador.
Passo 5
Passo 7
i) 𝑡𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
Organizar
𝑡𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 → 𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
2
𝑡𝑑𝑡 = 2ln |𝑡| = 𝑒ln |𝑡
2| = 𝑡2
Multiplicar fator integrante
𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
→ 𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡
Simplificar
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑦𝑡2]
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 → 𝑦𝑡2 = න𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
Método rápido
න𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
−𝑐𝑜𝑠(𝑡)
1 →
−
−sen(𝑡)
→ −𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦𝑡2 = −𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐 → 𝑦 = −
cos 𝑡
𝑡
+
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡2
+
𝑐
𝑡2
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 = −
cos ∞
∞
+
𝑠𝑒𝑛 ∞
∞2
+
𝑐
∞2
A função tende a zero.
Os fatores do denominador são maiores que o do numerador.
Passo 5
Passo 6
Passo 7
j) 𝑡𝑦′ − 𝑦 = 𝑡2𝑒−𝑡
Organizar
𝑡𝑦′ + 𝑦 = 𝑡2𝑒−𝑡 → 𝑦′ + −
𝑦
𝑡
= 𝑡𝑒−𝑡
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =− ׬
1
𝑡𝑑𝑡 = −ln |𝑡| = 𝑒ln |
1
𝑡| =
1
𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑦′ + −
𝑦
𝑡
= 𝑡𝑒−𝑡 → 𝑦′
1
𝑡
+ −
1
𝑡2
𝑦 = 𝑒−𝑡
Simplificar
𝑦′
1
𝑡
+ −
1
𝑡2
𝑦 = 𝑒−𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′
1
𝑡
+ −
1
𝑡2
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦
𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦
𝑡
= 𝑒−𝑡 →
𝑦
𝑡
= න𝑒−𝑡𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
න𝑒−𝑡𝑑𝑡 = −𝑒−𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦
𝑡
= −𝑒−𝑡 + 𝑐 → 𝑦 = −
𝑡
𝑒𝑡
+ 𝑡𝑐
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 = −
∞
𝑒∞
+∞𝑐
A função tende a infinito.
A primeira fração tenderá a zero enquanto a outra sobe ao infinito.
Passo 5
Passo 6
Passo 7
k) 2𝑦′ + 𝑦 = 3𝑡2
Organizar
2𝑦′ + 𝑦 = 3𝑡2 → 𝑦′ +
𝑦
2
=
3
2
𝑡2
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =
1
2 ׬ 𝑑𝑡 =
t
2 = 𝑒
t
2
Multiplicar fator integrante
𝑦′ +
𝑦
2
=
3
2
𝑡2 → 𝑦′𝑒
𝑡
2 +
𝑒
𝑡
2
2
𝑦 =
3
2
𝑡2𝑒
𝑡
2
Simplificar
𝑦′𝑒
𝑡
2 +
𝑒
𝑡
2
2
𝑦 =
3
2
𝑡2𝑒
𝑡
2 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑦′𝑒
𝑡
2 +
𝑒
𝑡
2
2
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
𝑡
2
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
𝑡
2 =
3
2
𝑡2𝑒
𝑡
2 → 𝑦𝑒
𝑡
2 = න
3
2
𝑡2𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
Método rápido
3
2
න 𝑡2𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 →
𝑢
.
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙
.
𝑣
.
𝑡2
∙
2𝑡
∙
42
∙
→
+
∙
→
−
∙
→
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
→
3
2
2𝑡2𝑒
𝑡
2 − 8𝑡𝑒
𝑡
2 + 16𝑒
𝑡
2
Solução geral
𝑦𝑒
𝑡
2 = 3𝑡2𝑒
𝑡
2 − 12𝑡𝑒
𝑡
2 + 24𝑒
𝑡
2 + 𝑐
𝑦 = 3𝑡2 − 12𝑡 + 24 +
𝑐
𝑒
𝑡
2
Passo 5
Passo 6
Solução PVI
𝑡 → ∞
𝑦 = 3∞2 − 12∞ + 24 +
𝑐
𝑒
∞
2
𝑦 → 24
A função tende a infinito.
A última fração tenderá a zero enquanto as outras sobem ao infinito.
Passo 7
Sumário
a) 𝑦′ − 𝑦 = 2𝑡𝑒2𝑡 , 𝑦 0 = 1
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =− ׬ 𝑑𝑡 =−𝑡 = 𝑒−𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ − 𝑦 = 2𝑡𝑒2𝑡 → 𝑦′𝑒−𝑡 + −𝑒−𝑡 𝑦 = 2𝑡𝑒𝑡
Simplificar
𝑦′𝑒−𝑡 + −𝑒−𝑡 𝑦 = 2𝑡𝑒𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒−𝑡 + (−𝑒−𝑡)𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒−𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒−𝑡 = 2𝑡𝑒𝑡 → 𝑦𝑒−𝑡 = න2𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡
Integrar
Método rápido
2න 𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
𝑒𝑡
1 →
−
𝑒𝑡
→ 2 𝑡𝑒𝑡 − 𝑒𝑡 → 2𝑡𝑒𝑡 − 2𝑒𝑡 + 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑦𝑒−𝑡 = 2𝑡𝑒𝑡 − 2𝑒𝑡 + 𝑐 → 𝑦 = 2𝑡𝑒2𝑡 − 2𝑒2𝑡 + 𝑒𝑡𝑐
Solução PVI
𝑦 = 1, 𝑡 = 0
1 = 2.0𝑒0 − 2𝑒0 + 𝑒0𝑐
𝑐 = 3
𝑦 = 2𝑡𝑒2𝑡 − 2𝑒2𝑡 + 3𝑒𝑡
Passo 5
Passo 6
b) t𝑦′ + 2𝑦 = 𝑡2 − 𝑡 + 1, 𝑦 1 =
1
2
Organizar
t𝑦′ + 2𝑦 = 𝑡2 − 𝑡 + 1 → 𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 = 𝑡 − 1 +
1
𝑡
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
2
𝑡𝑑𝑡 = 2 ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡
2
= 𝑡2
Multiplicar fator integrante
𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 = 𝑡 − 1 +
1
𝑡
→ 𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 𝑡3 − 𝑡2 + 𝑡
Simplificar
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 𝑡3 − 𝑡2 + 𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2 = 𝑡3 − 𝑡2 + 𝑡 → 𝑦𝑡2 = න𝑡3𝑑𝑡 − න𝑡2𝑑𝑡 + න𝑡𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
න𝑡3𝑑𝑡 =
𝑡4
4
,න 𝑡2𝑑𝑡 =
𝑡3
3
,න 𝑡𝑑𝑡 =
𝑡2
2
→
𝑡4
4
−
𝑡3
3
+
𝑡2
2
+ 𝑐
Solução geral
𝑦𝑡2 =
𝑡4
4
−
𝑡3
3
+
𝑡2
2
+ 𝑐 → 𝑦 =
𝑡2
4
−
𝑡
3
+
1
2
+
𝑐
𝑡2
Solução PVI
𝑦 =
1
2
, 𝑡 = 1
1
2
=
1
4
−
1
3
+
1
2
+ 𝑐 → 𝑐 =
1
12
𝑦 =
𝑡2
4
−
𝑡
3
+
1
2
+
1
12𝑡2
Passo 5
Passo 6
Passo 7
c) t𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑦
𝜋
2
= 1
Organizar
t𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) → 𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑡
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
2
𝑡𝑑𝑡 = 2 ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡
2
= 𝑡2
Multiplicar fator integrante
𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) → 𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)
Simplificar
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡) → 𝑦𝑡2 = න𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
Método rápido
න𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
−cos(𝑡)
1 →
−
−𝑠𝑒𝑛(𝑡)
→ −𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦𝑡2 = −𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐 → 𝑦 = −
𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑡
+
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡2
+
𝑐
𝑡2
Solução PVI
𝑦 = 1, 𝑡 =
𝜋
2
1 = −
2𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
𝜋
+
4𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
𝜋2
+
4𝑐
𝜋2
→ 𝑐 = 1
𝑦 = −
𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑡
+
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡2
+
1
𝑡2
Passo 5
Passo 6
Passo 7
d) 𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 =
cos 𝑡
𝑡2
, 𝑦 𝜋 = 0
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
2
𝑡𝑑𝑡 = 2 ln 𝑡 = 𝑒ln |𝑡
2| = 𝑡2
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 =
cos 𝑡
𝑡2
→ 𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = cos(𝑡)
Simplificar
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦 = cos(𝑡) → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑡2 + 2𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡2 = cos(𝑡) → 𝑦𝑡2 = නcos(𝑡)𝑑𝑡
Integrar
නcos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑦𝑡2 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐 → 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡2
+
𝑐
𝑡2
Solução PVI
𝑦 = 0, 𝑡 = 𝜋
0 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋
𝜋2
+
𝑐
𝜋2
→ 𝑐 = 0
𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡2
Passo 5
Passo 6
e) t3𝑦′ + 4𝑡2𝑦 = 𝑒−𝑡, 𝑦 −1 = 0
Organizar
t3𝑦′ + 4𝑡2𝑦 = 𝑒−𝑡 → 𝑦′ +
4
𝑡
𝑦 =
𝑒−𝑡
𝑡3
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
4
𝑡𝑑𝑡 =4 ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡
4
= 𝑡4
Multiplicar fator integrante
𝑦′ +
4
𝑡
𝑦 =
𝑒−𝑡
𝑡3
→ 𝑦′𝑡4 + 4𝑡3𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡
Simplificar
𝑦′𝑡4 + 4𝑡3𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑡4 + 4𝑡3𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡4
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑡4 = 𝑡𝑒−𝑡 → 𝑦𝑡4 = න𝑡𝑒−𝑡𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
Método rápido
න𝑡𝑒−𝑡𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
−𝑒−𝑡
1 →
−
𝑒−𝑡
→ −𝑡𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦𝑡4 = −𝑡𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 + 𝑐 → 𝑦 = −
𝑒−𝑡
𝑡3
−
𝑒−𝑡
𝑡4
+
𝑐
𝑡4
Solução PVI
𝑦 = 0, 𝑡 = −1
0 =
𝑒1
1
−
𝑒1
1
+
𝑐
1
→ 𝑐 = 0
𝑦 = −
𝑒−𝑡
𝑡3
−
𝑒−𝑡
𝑡4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
f) 𝑡𝑦′ + (𝑡 + 1)𝑦 = 𝑡, 𝑦 ln 2 = 1
Organizar
𝑡𝑦′ + (𝑡 + 1)𝑦 = 𝑡 → 𝑦′ + 1 +
1
𝑡
𝑦 = 1
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬ 𝑑𝑡 + ׬
1
𝑡𝑑𝑡 = 𝑡 + ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡 𝑒𝑡 = 𝑒𝑡𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑦′ + 1 +
1
𝑡
𝑦 = 1 → 𝑦′𝑒𝑡𝑡 + 𝑒𝑡𝑡 + 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑒𝑡𝑡
Simplificar
𝑦′𝑒𝑡𝑡 + 𝑒𝑡𝑡 + 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑒𝑡𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒𝑡𝑡 + 𝑒𝑡𝑡 + 𝑒𝑡 𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒𝑡𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒𝑡𝑡 = 𝑒𝑡𝑡 → 𝑦𝑒𝑡𝑡 = න𝑒𝑡𝑡𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
Método rápido
න𝑡𝑒𝑡𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑡 →
+
𝑒𝑡
1 →
−
𝑒𝑡
→ 𝑡𝑒𝑡 − 𝑒𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦𝑒𝑡𝑡 = 𝑡𝑒𝑡 − 𝑒𝑡 + 𝑐 → 𝑦 = 1 −
1
𝑡
+
𝑐
𝑒𝑡𝑡
Solução PVI
𝑦 = 1, 𝑡 = ln 2
1 = 1 −
1
ln 2
+
𝑐
𝑒ln 2 ln 2
→
1
ln 2
=
𝑐
ln 4
→ 𝑐 = ln |2|
𝑦 = 1 −
1
𝑡
+
ln 2
𝑒𝑡𝑡
Passo 5
Passo 6
Passo 7
g) 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑒2𝑡 , 𝑦 0 = 2
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =−2 ׬ 𝑑𝑡 =−2𝑡 = 𝑒−2𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ − 2𝑦 = 𝑒2𝑡 → 𝑦′𝑒−2𝑡 + −2𝑒−2𝑡 𝑦 = 1
Simplificar
𝑦′𝑒−2𝑡 + −2𝑒−2𝑡 𝑦 = 1 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒−2𝑡 + (−2𝑒−2𝑡)𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒−2𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒−2𝑡 = 1 → 𝑦𝑒−2𝑡 = න𝑑𝑡
Integrar
න𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑦𝑒−2𝑡 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑦 =
𝑡
𝑒−2𝑡
+
𝑐
𝑒−2𝑡
Solução PVI
𝑦 = 2, 𝑡 = 0
2 = 0𝑒0 + 𝑐𝑒0 → 𝑐 = 2
𝑦 = 𝑡𝑒2𝑡 + 2𝑒2𝑡
Passo 5
Passo 6
h) 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑡𝑒−2𝑡 , 𝑦 1 = 0
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ׬ 𝑑𝑡 =2𝑡 = 𝑒2𝑡
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ + 2𝑦 = 𝑡𝑒−2𝑡 → 𝑦′𝑒2𝑡 + 2𝑒2𝑡𝑦 = 𝑡
Simplificar
𝑦′𝑒2𝑡 + 2𝑒2𝑡𝑦 = 𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒2𝑡 + 2𝑒2𝑡𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒2𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒2𝑡 = 𝑡 → 𝑦𝑒2𝑡 = න𝑡𝑑𝑡
Integrar
න𝑡𝑑𝑡 =
𝑡2
2
+ 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑦𝑒2𝑡 =
𝑡2
2
+ 𝑐 → 𝑦 =
𝑡2
2𝑒2𝑡
+
𝑐
𝑒2𝑡
Solução PVI
𝑦 = 0, 𝑡 = 1
0 =
1
2𝑒2
+
𝑐
𝑒2
→ 𝑐 = −
1
2
𝑦 =
𝑡2
2𝑒2𝑡
−
𝑐
2𝑒2𝑡
Passo 5
Passo 6
Sumário
𝑦′ +
1
2
𝑦 = 2cos(𝑡) , 𝑦 0 = −1
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
1
2𝑑𝑡 =
𝑡
2 = 𝑒
𝑡
2
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ +
1
2
𝑦 = 2 cos 𝑡 → 𝑦′𝑒
𝑡
2 +
𝑒
𝑡
2
2
𝑦 = 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2
Simplificar
𝑦′𝑒
𝑡
2 +
𝑒
𝑡
2
2
𝑦 = 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑦′𝑒
𝑡
2 +
𝑒
𝑡
2
2
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
𝑡
2
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
𝑡
2 = 2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2 → 𝑦𝑒
𝑡
2 = න2cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Integrar
Método rápido
Perceba que temos uma integral infinita, neste caso temos que fazer integração por 
partes até que o núcleo da integral que está sendo integrada se repita 
(independente de constantes) e assim venhamos resolver a integral.
න2cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
2cos(𝑡)
∙
−2𝑠𝑒𝑛(𝑡)
∙
4−2cos(𝑡)
∙
→
+
∙
→
−
∙
→
+
∙
2𝑒
𝑡
2
∙
4𝑒
𝑡
2
∙
8𝑒
𝑡
2
∙
→ 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 4න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
A última linha de v foi cancelada por que o valor que está dentro da integral 
oriunda da integração por partes ainda será integrado, ou seja, a última linha não 
aconteceu.
Passo 5
න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 4න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡
4න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 + න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
5න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 = 4𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 + 8𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
න2 cos 𝑡 𝑒
𝑡
2𝑑𝑡 =
4
5
𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 +
8
5
𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑦𝑒
𝑡
2 =
4
5
𝑒
𝑡
2 cos 𝑡 +
8
5
𝑒
𝑡
2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐 → 𝑦 =
4
5
cos 𝑡 +
8
5
𝑠𝑒𝑛 𝑡 +
𝑐
𝑒
𝑡
2
Passo 6
Solução PVI
𝑦 = −1, 𝑡 = 0
−1 =
4
5
cos 0 +
8
5
𝑠𝑒𝑛 0 +
𝑐
𝑒0
→ 𝑐 = −
9
5
𝑦 =
4
5
cos 𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 −
9
5𝑒
1
2
Passo 7
Sumário
𝑦′ +
2
3
𝑦 = 1 −
1
2
𝑡 , 𝑦 0 = 𝑦0
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =׬
2
3𝑑𝑡 =
2𝑡
3 = 𝑒
2𝑡
3
Multiplicar o fator integrante
𝑦′ +
2
3
𝑦 = 1 −
1
2
𝑡 → 𝑦′𝑒
2𝑡
3 +
2𝑒
2𝑡
3
3
𝑦 = 𝑒
2𝑡
3 1 −
1
2
𝑡
Simplificar
𝑦′𝑒
2𝑡
3 +
2𝑒
2𝑡
3
3
𝑦 = 𝑒
2𝑡
3 1 −
1
2
𝑡 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑦′𝑒
2𝑡
3 +
2𝑒
2𝑡
3
3
𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
2𝑡
3
𝑑
𝑑𝑡
𝑦𝑒
2𝑡
3 = 𝑒
2𝑡
3 1 −
1
2
𝑡 → 𝑦𝑒
2𝑡
3 = න𝑒
2𝑡
3 1 −
1
2
𝑡 𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Integrar
න𝑒
2𝑡
3 1 −
1
2
𝑡 𝑑𝑡 →
න𝑒
2𝑡
3 𝑑𝑡 =3
2
𝑒
2𝑡
3
−
1
2
න𝑡𝑒
2𝑡
3 𝑑𝑡 = −
3
4
𝑡𝑒
2𝑡
3 +
9
8
𝑒
2𝑡
3
Solução geral
𝑦𝑒
2𝑡
3 =
3
2
𝑒
2𝑡
3 −
3
4
𝑡𝑒
2𝑡
3 +
9
8
𝑒
2𝑡
3 + 𝑐 → 𝑦 =
3
2
−
3
4
𝑡 +
9
8
+ 𝑐𝑒−
2𝑡
3
𝑦 =
21
8
−
3
4
𝑡 + 𝑐𝑒−
2𝑡
3
Passo 4
Passo 5
Solução PVI
𝑦 = 𝑦0, 𝑡 = 0
𝑦0 =
21
8
+ 𝑐 → 𝑐 = 𝑦0 −
21
8
𝑦 =
21
8
−
3
4
𝑡 + 𝑦0 −
21
8
𝑒−
2𝑡
3
Derivar
𝑦′ = −
3
4
+ 𝑦0 −
21
8
𝑒−
2𝑡
3 −
2
3
→ 𝑦′ = −
3
4
+
7
4
−
2
3
𝑦0 𝑒
−
2𝑡
3
Passo 6
Passo 7
Ponto crítico
0 = −
3
4
+
7
4
−
2
3
𝑦0 𝑒
−
2𝑡
3
7
4
−
2
3
𝑦0 𝑒
−
2𝑡
3 =
3
4
7
4
−
2
3
𝑦0 =
3
4
𝑒
2𝑡
3
−
2
3
𝑦0 =
3
4
𝑒
2𝑡
3 −
7
4
𝑦0 = −
9
8
𝑒
2𝑡
3 +
21
8
Substituir
𝑦 =
21
8
−
3
4
𝑡 + −
9
8
𝑒
2𝑡
3 +
21
8
−
21
8
𝑒−
2𝑡
3
Passo 8
Passo 9
como 𝑦 = 𝑦0 então 𝑦 = 0
0 =
21
8
−
3
4
𝑡 + −
9
8
𝑒
2𝑡
3 𝑒−
2𝑡
3
21
8
−
3
4
𝑡 =
9
8
−
3
4
𝑡 =
9
8
−
21
8
𝑡 =
3
2
.
4
3
= 2
Valor de 𝑦0
𝑦0 = −
9
8
𝑒
4
3 +
21
8
Passo 10
Helder Guerreiro