Lista3 Calculo Numerico - grazielle ufscar

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Universidade Federal de Sa˜o Carlos - Departamento de Matema´tica
083020 - Ca´lculo Nume´rico: Terceira Lista de Exerc´ıcios
Profa Grazielle Feliciani Barbosa 27 de setembro de 2017
1. Seja a func¸a˜o f(x) definida conforme a tabela abaixo:
x 0 1 2 3
f(x) −2.5 6.7 10.8 k
onde k e´ o nu´mero formado pelos dois primeiros d´ıgitos do seu R.A.
Determine o polinoˆmio interpolador de f(x) utilizando:
(a) Lagrange
(b) Newton-Gregory
Avalie f(2.6).
2. Refac¸a o exerc´ıcio 1. tomando k = 15.
3. Seja a func¸a˜o f(x) definida conforme abaixo
x 0.2 0.4 0.6 0.8
f(x) −6.3 8.2 3.4 8.4
Determine o polinoˆmio interpolador de f(x) nos pontos dados, usando a fo´rmula interpolato´ria
de Lagrange para pontos equidistantes. Avalie f(0.47).
4. Refac¸a o exerc´ıcio anterior para a func¸a˜o g(x) = xf(x).
5. Determine e4.2 usando interpolac¸a˜o sobre treˆs pontos, e um limitante superior para o erro.
6. Dada a func¸a˜o f(x) =
7x
2 + x
pede-se:
(a) Determine o polinoˆmio interpolador de Lagrange na varia´vel u de grau 2, que aproxima a
func¸a˜o f(x) no intervalo [1 , 2] e, um limitante superior para o erro.
(b) Obter o valor aproximado da integral de f(x) no intervalo [1 , 2], usando o polinoˆmio obtido
em (a).
1
7. Considere a func¸a˜o f(x) = ex + cos(x) + 1, tabelada como segue:
x 0 0.5 1.1
f(x) 3 3.53 4.46
Usando o polinoˆmio interpolador de Lagrange, avalie f(0.6) e determine um limitante superior
para o erro.
8. Sabendo-se que a func¸a˜o f(x) = x− e−x admite uma raiz no intervalo [0 , 2], determine o valor
desta raiz usando um polinoˆmio de interpolac¸a˜o sobre treˆs pontos. Estime o erro cometido.
9. Sejam a, b, c, d ∈ R. Mostre que existe um polinoˆmio P (x) de grau 6 2 tal que, P (−1) = a,
P (0) = b, P (1) = c, P (3) = d se, e somente se, 3a− 8b + 6c− d = 0.
10. Calcular ln(4.7) usando interpolac¸a˜o sobre treˆs pontos igualmente espac¸ados. Determine um
limitante superior para o erro.
11. Com que grau de precisa˜o podemos calcular 1150.5 usando interpolac¸a˜o e os pontos x0 = 100,
x1 = 121 e x2 = 144?
12. Durante treˆs dias consecutivos foi tomada a temperatura, em oC, numa regia˜o de uma determi-
nada cidade, por quatro vezes no per´ıodo das 6 a`s 12 horas. Determinar, usando interpolac¸a˜o e
todos os dados da tabela abaixo, a me´dia das temperaturas dos treˆs dias a`s 9 horas.
dias
horas 1 2 3
6 18 17 18
8 20 20 21
10 24 25 22
12 28 27 23
13. A partir de uma linha reta, pro´xima a uma das margens de um rio, foram medidas distaˆncias,
em metros, entre esta linha reta e as duas margens de um rio de 15 em 15 metros, a partir de
um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados conforme tabela abaixo:
x 0 15 30 45 60
y(M1) 50.00 86.00 146.00 73.50 50.00
y(M2) 112.50 154.50 195.00 171.00 95.50
Usando interpolac¸a˜o e os dados acima, determinar o valor aproximado da largura do rio nos
pontos 10, 20, 40 e 50 metros da origem, tomados em linha reta.
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14. A velocidade do som na a´gua varia com a temperatura. Usando os valores da tabela abaixo,
determinar o valor aproximado da velocidade do som na a´gua a 100oC usando interpolac¸a˜o.
temp(oC) 88 93 98 103 108
vel(m/s) 1552 1548 98 1544 1532
15. Usando o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados determinar g(x) = a1x+ a2 que melhor se ajusta aos
dados da tabela abaixo:
x −2 −1 0 1 2 3 4
f(x) −4.99 −3.01 −1.02 0.99 3.00 4.99 7.00
Calcule
7∑
i=1
e(xi)
2.
16. (a) Usando a tabela de pontos de uma func¸a˜o, conforme abaixo:
x 0 1 2 3 4
f(x) 1 2 5 −4 1
Determine o polinoˆmio interpolador de Lagrange e avalie f(3.5).
(b) Usando o Me´todo dos Mı´nimos Quadrados, determine a func¸a˜o g(x) que melhor se ajusta
aos dados da tabela abaixo:
x −2 −1 0 0.1 1 2 3
f(x) 6.0 k 0 0.12 3.01 9.99 20.98
Calcule
7∑
i=1
e(xi)
2 e analise os resultados obtidos.
Se seu R.A e´ igual a 123456, enta˜o k = 1, 2345.
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