lista2parte22013II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 2013 II
3a Lista de Exerc´ıcios: Aplicac¸o˜es de Derivada.12
Professoras: Ariane (coordenadora), Dylene e L´ılian.
1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x+
1
x
,
(b) f(x) = 2− e−x,
(c) f(x) =
x3 − x2 + 1
x
,
(d) f(x) =
ex
x
.
2. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = 2x−√x2 + 3, x ∈ R.
(a) Verifique que f ′ e´ cont´ınua em R.
(b) Verifique que f ′(x) 6= 0 para todo x em R.
(c) Tendo em vista que f ′(0) > 0, conclua que f e´ estritamente crescente.
3. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a` concavidade e pontos de inflexa˜o:
(a) f(x) = xe−2x,
(b) f(x) =
x
1 + x2
,
(c) f(x) = xe1/x,
(d) f(x) = xln(x).
4. Para cada uma das func¸o˜e a seguir, determine:
(i) Os intervalos nos quais f e´ crescente ou decrescente,
(ii) Os valores de ma´ximo e mı´nimo local de f ,
(iii) Os intervalos nos quais f possui concavidade para baixo ou para cima e os pontos de
inflexa˜o, se existirem.
a) f(x) = x4 − 2x2 + 3.
1Lista elaborada por: Aline Vilela Andrade, Ariane P. Entringer e Thiago Neves Mendonc¸a. DMA - UFV
2Esta lista e´ um complemento dos exerc´ıcios do livro texto e na˜o engloba todo o conteu´do da segunda prova.
1
MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 2
b) f(x) = senx+ cosx, o ≤ x ≤ 2pi.
c) f(x) = e2x + e−x.
d) f(x) =
lnx√
x
.
5. Demonstre que a func¸a˜o f(x) = x101 + x51 + x+ 1 na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo local.
6. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x4 + 4x3,
(b) f(x) =
x
x+ 1
,
(c) f(x) =
x
x2 + 9
,
(d) f(x) = e−x
2
,
(e) f(x) =
x3
x2 + 4
,
(f) f(x) =
x3
x2 − 1,
(g) f(x) = x − lnx (Dica para ass´ıntotas
obl´ıquas: use que lim
x→+∞
lnx
x
= 0,
(h) f(x) =
x2 + 4
x
.
7. Determine os ma´ximos e mı´nimos locais e globais das seguintes func¸o˜es, caso existam:
(a) f(x) =
x
1 + x2
,
(b) f(x) = ex − e−3x,
(c) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3,
(d) f(x) = senx+ cosx, x ∈ [0, pi],
(e) f(x) = x3 + 2x2 − 4x+ 1, x ∈ (−3, 2),
(f) f(x) =
x+ 2
x− 2, x ∈ [−4, 4],
(g) f(x) =
x2
x+ 3
, x ∈ [−4, 1].
8. Uma certa quantidade de areia e´ despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte
coˆnico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa o monte estara´
crescendo quando o monte tiver 8m de altura.
9. Um tanque com a forma de um cone invertido esta´ sendo esvaziado a taxa de 6m3/min. A
altura do cone e´ 24m e o raio da base e´ 8m. Ache a velocidade com que o n´ıvel da a´gua esta´
abaixando, quando a tiver a profundidade de 10m.
10. Uma corda esta´ amarrada em um barco no n´ıvel da a´gua e uma mulher em um cais puxa a
corda com a taxa de 15m/mim. Se as ma˜os da mulher esta˜o a 5m acima do n´ıvel da a´gua,
com que velocidade o bote estara´ se aproximando do cais, quando o comprimento da corda ja´
puxada for de 6m?
11. Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimenso˜es do maior campo
retangular que pode ser fechado com 240m de cerca para os outros 3 lados.
Lista elaborada por: Ariane P. Entringer, Dylene Agda Souza de Barros e L´ılian Neves Santa Rosa.
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MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 3
12. Ache o nu´mero no intervalo [0, 1] tal que a diferenc¸a entre o nu´mero e seu quadrado seja
ma´xima.
13. Ache a a´rea do maior retaˆngulo tendo dois ve´rtices no eixo x e os dois outros ve´rtices sobre a
para´bola y = 9− x2 acima do eixo x.
14. Laranjeiras na Califo´rnia produzem 600 laranjas por ano, se forem plantadas no ma´ximo 20
a´rvores por acre (4km2). Cada a´rvore plantada a mais causa decre´scimo de 15 laranjas por pe´.
Quantas a´rvores devem ser plantadas por acre para se obter o maior nu´mero de laranjas.
15. Um pedac¸o de arame de 10m e´ cortado em duas partes. Uma delas e´ curvada em forma de um
triaˆngulo equila´tero e a outra em forma de um quadrado. Como dividir o fio de tal forma que
a a´rea combinada das duas figuras seja ma´xima.
16. Prove que a equac¸a˜o x5 + 4x− 2 = 0 na˜o possui mais de uma ra´ız real.
17. Prove que a equac¸a˜o 5x4 − 8x3 + 3x2 − 2x+ 1 = 0 possui uma ra´ız real em (0, 1).
18. Suponha que a func¸a˜o f seja cont´ınua em [a, b] e f
′
(x) = 1 para todo x em [a, b]. Prove que
f(x) = x− a+ f(a) para todo x em [a, b].
19. Se a equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula e´ dada por s = t2− t+ 4, ache o valor de t onde
a velocidade instantaˆnea e´ igual a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e t = 3.
20. O comprimento de um retaˆngulo esta´ aumentando a uma taxa de 8cm/s enquanto sua largura
diminui a uma taxa de 2cm/s. Quando o comprimento for 20cm e a largura for 10cm, qua˜o
ra´pido a a´rea do retaˆngulo esta´ variando.
21. Um holofote sobre o solo ilumina uma parede 12m distante dele. Se um homem de 2m de altura
anda do holofote em direc¸a˜o a` parede a uma velocidade de 1, 6m/s, qua˜o ra´pido o comprimento
da sombra diminui sobre a parede quando ele esta´ a 4m?
22. Um cocho tem 6m de comprimento e suas extermidades teˆm a forma de triaˆngulo iso´sceles com
1m de base e 50cm de altura. Se o cocho for preenchido com a´gua a uma taxa de 1, 2m3/min,
qua˜o ra´pido o n´ıvel da a´gua estara´ subindo quando ela tiver 30cm de profundidade?
23. Dois lados de um triaˆngulo teˆm comprimento de 12m e 15m. O aˆngulo entre eles esta´
aumentando a uma taxa de 2◦/min. A que taxa o comprimento do terceiro lado esta´
aumentando quando o aˆngulo entre os lados de comprimento fixo fo 60◦? (DICA: Use lei
dos cossenos)
Lista elaborada por: Ariane P. Entringer, Dylene Agda Souza de Barros e L´ılian Neves Santa Rosa.
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MAT 141 - Ca´lculo Diferencial e Integral I 4
24. Seja f(x) = (x − 3)−2. Mostre que na˜o existe c ∈ (1, 4) tal que f ′(c) = f(4)− f(1)
3
. Por que
isso na˜o contradiz o Teorema do Valor Me´dio?
25. Suponha de f seja deriva´vel em R e tenha duas ra´ızes. Mostre que f ′ tem, pelo menos, uma
raiz.
26. Suponha que f seja uma func¸a˜o ı´mpar e que seja deriva´vel em toda parte. Demonstre que para
todo nu´mero positivo b existe c ∈ (−b, b) tal que f ′(c) = f(b)
b
.
27. Mostre que |sen(a)− sen(b)| ≤ |a− b|, para todo a, b ∈ R.
28. Um poˆster dever ter uma a´rea de 900cm2 com uma margem de 3cm na base e nos lados e de
5cm no topo. Que dimenso˜es dara˜o a maior a´rea impressa?
Respostas ( 1 ao 7)
1) (a) Estritamente crescente em:
(−∞,−1] e [1,+∞)
Estritamente decrescente em:
[−1, 0) e (0, 1].
(b) Estritamente crescente em R.
(c) Estritamente crescente em:
[1,+∞)
Estritamente decrescente em:
[−∞, 0) e (0, 1]
(d) Estritamente crescente em:
[1,+∞)
Estritamente decrescente em:
[−∞, 0) e (0, 1]
2)
3) (a) Coˆncava para cima em: (1,∞). Coˆncava para baixo em: (−∞, 1). Ponto de inflexa˜o: 1
(b) Coˆncava para cima em: (−√3, 0) e (√3,+∞). Coˆncava para baixo em: (−∞,−√3) e
(0,
√
3). Ponto de inflexa˜o: 0 e ±√3.
(c) Coˆncava para cima em: (−∞, 0). Coˆncava para baixo em: (0,+∞). Ponto de inflexa˜o:
Na˜o possui.
(d) Coˆncava para cima em: (0,+∞) Coˆncava para baixo em:
Ponto de inflexa˜o: Na˜o possui.
4) (a) (i) Crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞); descrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 1).
(ii) Ma´ximo local: f(0) = 3. Mı´nimo local: f(−1) = f(1) = 2.
(iii) Concavidade para cima em (−∞,−√3/3)∪ (√3/3,+∞), concavidade para baixo em
(−√3/3,√3/3) e pontos de inflexa˜o (−√3/3, 22/9) e (√3/3, 22/9).
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(b) (i) Crescente em (0, pi/4) ∪ (5pi/4, 2pi); descrescente em (pi/4, 5pi/4).
(ii) Ma´ximo local: f(pi/4) =
√
2. Mı´nimo local: f(5pi/4) = −√2.
(iii) Concavidade para cima em (3pi/4, 7pi/4), concavidade para baixo em(0, 3pi/4) ∪
(7pi/4, 2pi) e pontos de inflexa˜o (3pi/4, 0) e (7pi/4, 0).
(c) (i) Crescente em (−1
3
ln 2,+∞); descrescente em (−∞,−1
3
ln 2).
(ii) Mı´nimo local: f(−1
3
ln 2) = 2−2/3 + 21/3.
(iii) Concavidade para cima em (−∞,+∞).
(d) (i) Crescente em (0, e2); descrescente em (e2,+∞).
(ii) Ma´ximo local: f(e2) = 2/e.
(iii) Concavidade para cima em (e8/3,+∞), concavidade para baixo em (0, e8/3) e pontos
de inflexa˜o (e8/3, 8
3
e−4/3).
5)
6) a) b)
c) d)
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e) f)
g) h)
Figura 1: Observe que na˜o ha´ ass´ıntota
obl´ıqua, ja´ que lim
x→+∞
f(x)
x
= 1 = a, mas
na˜o existe lim
x→+∞
[f(x)− ax].
7) (a) f(1) = 1/2 e´ ma´ximo global, f(−1) e´ mı´nimo global.
(b) Na˜o ha´ ponto de mı´nimo local, nem de ma´ximo local.
(c) f(1) = 8 e´ ma´ximo local, f(2) = 7 e´ mı´nimo local.
(d) f(
pi
4
) =
√
2 e´ ma´ximo global, f(pi) = −1 e´ mı´nimo global.
(e) f(−2) = 9 e´ ma´ximo global, f(3/2) = −25/32 e´ mı´nimo global.
(f) f(−4) = 1/3 e´ ma´ximo local e f(4) = 3 e´ mı´nimo local.
(g) f(0) = 0 e´ mı´nimo local e f(−4) = −16 e´ ma´ximo local.
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