2° arquivo Funções

Prévia do material em texto

Funções 
 Fundamentais para o estudo do Cálculo. 
 São a chave para descrever o mundo real em termos matemáticos. 
 Exemplos 
1. A área do círculo depende (é função) do seu raio. 
2. A temperatura da ebulição da água depende da altitude. 
 Definição 
 Quando o valor de uma variável (y) depende do valor de outra (x), 
 sendo y completamente determinado pelo valor de x, pode-se dizer 
 que y é uma função de x: 
)(xfy 
Variável dependente Variável independente 
No exemplo 1 
2rA  1 
Funções 
 Definição Formal (existem várias) 
 Uma função de um conjunto D para um conjunto Y é uma regra que 
 associa um único elemento f (x)  Y a cada elemento x  D. 
 O conjunto D de todos os possíveis valores de entrada: Domínio. 
 O conjunto dos números de saída resultantes: Imagem. 
 A imagem não necessariamente inclui todos os elementos de Y 
 (Contradomínio) 
Domínio Contradomínio 
y1 
y3 
 y2 y4 
x1 x2 
x3 
Imagem 
{y1, y2, y3} 
2 
Funções 
 Identificação de Domínios e Imagens 
Função Domínio Imagem 
2xy 
3xy 
xy /1
xy 
21 xy 
),( 
),( 
),( 
),0()0,(   ),0()0,(  
),0[ 
),0[ 
]1,0[
),0[ 
]1,1[
3 
Funções 
 Gráficos 
 Uma função também pode ser definida graficamente. 
 Sendo f uma função com domínio D, seu gráfico é formado pelos 
 pontos do plano cartesiano cujas coordenadas sejam os pares 
 entrada/saída para f. 
 
 Exemplos 
 Função: 
 
 
 Função: 
 
2)(  xxf
2)( xxf 
Função linear 
Poderia ser assim? 
4 
Funções 
 Formas de Definição 
1. Algébrica: equação 
2. Visual: gráfico 
3. Numérica: tabela de valores. 
4. Verbal: descrição por meio de palavras 
 Teste da Reta Vertical 
 Nem toda curva é o gráfico de uma função. Uma função f (x) só poderá 
 ter um valor para cada x. Assim, nenhuma reta vertical poderá cruzar a 
 curva de uma função mais de uma vez. 
122  yx
21 xy 
21 xy 
Não é função Funções 
5 
Funções 
 Funções definidas por partes 
 Diferentes expressões para trechos distintos do domínio. 
 Funções definidas por partes - expressões 
 Dado o gráfico a seguir, escreva uma expressão para f (x). 






0para
0para
xx
xx
x
12
12
xx
yy
m



Retas 
bxmy 
Função: 
valor absoluto 
1
20
02
1 


m 3/1
25
10
2 


m
6 
Funções 
A partir do ponto (0, 2): b1 = 2 
11 m
A partir do ponto (2, 1): b2 = 5/3 







52para)5(
3
1
20para2
)(
xx
xx
xf
7 
3/12 m bxmy 
Funções 
 Função menor inteiro (Ceiling) 
 É a função cujo valor em qualquer número x é o menor inteiro maior 
 ou igual a x. É também chamada de função teto. 
 Função maior inteiro (Floor) 
 É a função cujo valor em qualquer número x é o maior inteiro menor 
 ou igual a x. É também chamada de função piso. 
 xy 
Função Piso Função Teto 
 xy 
8 
Tipos de Funções 
 Funções Lineares 
 Uma função com a forma para m e b constantes é 
 chamada função linear. 
bxmxf )(
 Quando b = 0, a função passa pela origem. 
 Quando m = 0, a função é constante. 
y = c 
9 
 Exemplos: Calcule as funções a seguir 
 
 4,2
 7,1
3
1
 2,2
2
 3,0
1
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Tipos de Funções 
 Funções de Potência 
 Quando a = n (número inteiro positivo) 
 Estas funções são definidas para todos os valores reais de x. 
 Todas as curvas passam pela origem e pelo ponto (1,1). 
 À medida em que n cresce, as curvas se achatam sobre o eixo x no 
 intervalo (-1, 1) e também sobem mais repentinamente em | x | > 1. 
 
10 
 Uma função de potência tem a forma onde a é uma 
 constante. Seu comportamento é modificado pela característica desta 
 constante. 
axxf )(
Tipos de Funções 
 Funções de Potência 
 Quando a = -1 ou a = -2 
 Estas funções são definidas para todos os valores de x ≠ 0. 
 Estas funções se aproximam dos eixos coordenados. 
axxf )(
a = -2 a = -1 
Hipérbole 
Domínio: x ≠ 0 
Imagem: y ≠ 0 Domínio: x ≠ 0 
Imagem: y > 0 
11 
Tipos de Funções 
 Funções de Potência 
 Quando a = 1/n onde n é um inteiro positivo 
 Esta função é uma função raiz. 
axxf )(
n = 3 n = 2 
Domínio: 
Imagem: 
),0[ 
),0[ 
Domínio: 
Imagem: 
),( 
),( 
12 
 Para outros valores pares de n > 2, o gráfico da função é similar ao 
 gráfico da função raiz quadrada. 
 Para outros valores ímpares de n > 3, o gráfico da função é similar ao 
 gráfico da função raiz cúbica. 
Tipos de Funções 
 Polinômios 
 Uma função f é um polinômio se tiver a seguinte forma: 
n
n
n
n xaxaxaaxf 


1
110 ...)(
Domínio: 
),( 
 n: número inteiro não negativo. 
 Coeficientes dos polinômios (constantes reais): a0, a1, ..., an 
 Se an ≠ 0 e n > 0 : n é o grau do polinômio. 
3
3
2
210)( xaxaxaaxf 
xaaxf 10)( 
2
210)( xaxaaxf 
 Funções lineares: polinômio de grau 1 
 
 Funções quadráticas: polinômios de grau 2 
 
 Funções cúbicas: polinômios de grau 3 
13 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Tipos de Funções 
 Funções Racionais 
 Uma função racional é a razão de dois polinômios : 
)(
)(
)(
xq
xp
xf 
onde p e q são polinômios 
 O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os valores 
reais de x para os quais q(x) ≠ 0. 
 Funções Algébricas 
 Uma função f (x) é dita algébrica quando é construída a partir de 
 polinômios por meio de operações algébricas (adição, subtração, 
 multiplicação, divisão e extração de raízes). 
12
14
)(
2 


x
x
xf
Função algébrica e também racional 
14 
Tipos de Funções 
 Funções Trigonométricas 
 São importantes devido à periodicidade, podendo representar vários 
 processos naturais que apresentam esta característica. 
 Uso de medidas em radianos. 
15 
Tipos de Funções 
 Funções Exponenciais 
 São as funções que apresentam a forma com a base a > 0 
 (constante positiva) e a ≠ 1. 
xaxf )(
 Funções Logarítmicas 
 São as funções inversas das funções exponenciais e apresentam a forma: 
 
 xxf alog)( 
Com base a > 0 (constante positiva) e a ≠ 1. 
Domínio: 
Imagem: 
),0( 
),( 
Domínio: 
Imagem: 
),( 
),0( 
16 
Tipos de Funções 
 Funções Transcendentes 
 São as funções que não são algébricas. 
 Exemplos: 
 Funções trigonométricas. 
 Funções exponenciais. 
 Funções logarítmicas. 
 Função catenária (cabos suspensos, risers). 
 
  Outras Classificações de Funções 
 Funções crescentes e funções decrescentes. 
 Funções pares e ímpares. 
17 
Tipos de Funções 
 Funções Crescentes e Funções Decrescentes 
 Uma função f é dita crescente em um dado intervalo I se: 
Ixxxfxf emquesempre)()( 2121 
 Uma função f é dita decrescente em um dado intervalo I se: 
Ixxxfxf emquesempre)()( 2121 
Função decrescente: 
Função crescente : 
]0,(
),0( 
Função crescente : ),( 
18 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Tipos de Funções 
 Funções Pares e FunçõesÍmpares: propriedades de simetria 
 Uma função f (x) é par se para qualquer x dentro do 
 domínio da função. 
)()( xfxf 
 Uma função f (x) é ímpar se para qualquer x dentro do 
 domínio da função. 
Função Par: gráfico simétrico 
em relação ao eixo y. 
Função Ímpar: gráfico simétrico em 
 relação à origem (uma rotação de 
 180 em relação à origem não altera 
 o gráfico). 
)()( xfxf 
19 
Luciany Lopes
Realce
Luciany Lopes
Realce
Modelos Matemáticos 
 Modelos são representações simplificadas da realidade 
 Um bom modelo pode fornecer resultados e conclusões bastante 
 satisfatórios. 
Simplificação 
PROBLEMA DO 
MUNDO REAL 
Formulação 
MODELO 
MATEMÁTICO 
Resolução 
CONCLUSÕES 
(RESULTADOS) 
Interpretação PREVISÕES 
(EXPLICAÇÕES) 
Verificação 
Processo de Modelagem 
20 
Combinações de Funções 
 Funções podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas 
 para dar origem a novas funções. 
 Sendo f e g funções, para qualquer x que pertença ao domínio de 
 ambas as funções, define-se: 
)()()()( xgxfxgf 
Soma de 
funções 
Soma de números reais 
 Soma: 
 Subtração: 
)()()()( xgxfxgf 
21 
Combinações de Funções 
 Multiplicação: 
)()()( xfcxfc 
 Divisão: 
)()()()( xgxfxgf 
Para qualquer ponto de 
D ( f ) U D (g) no qual g(x) ≠ 0 
 Uma função f (x) também pode ser multiplicada por um número real “c”: 
)()()()( xgxfxgf 
22 
 Exemplo. 
 Sendo f e g as funções abaixo, calcule a soma, subtração ( f – g e g – f ), 
 multiplicação e divisões entre elas ( f/g e g/f ). 
xxgxxf  1)(e)( ]1,()(e),0[)(  gDfD
]1,0[)()(  gDfD
Combinações de Funções 
xxxgf  1)()(
 Soma: 
 Subtração: 
 Multiplicação: 
 Divisão: 
Domínio: [0, 1] 
)1(1)()()()( xxxxxgxfxgf 
xxgxxf  1)(e)(






xxxfg
xxxgf
1)()(
1)()( Domínio: [0, 1] 
Domínio: [0, 1] 






xxxfg
xxxgf
1)()(
1)()(
Domínio: (0, 1] 
Domínio: [0, 1) 
23 
Combinações de Funções 
 Funções Compostas: outra forma de combinar funções. 
 Sendo f e g funções, a função composta f o g ( f composta com g) é 
 definida por: 
 
))(()()( xgfxgf 
 O domínio desta função composta consiste nos números x do domínio 
 de g para os quais g(x) fica no domínio da função f. 
 
 Para determiná-la, calcula-se primeiro g(x) e depois f (g(x)). 
 
 OBS: Normalmente: 
)()( fggf  
24 
Combinações de Funções 
Domínio: [-1, ∞) 
 Exemplo: Sendo f e g as funções abaixo, calcule as seguintes funções 
 compostas 
)(e)(,)(,)( ggfffggf 
1)(e)(  xxgxxf
1)())(()()(  xxgxgfxgf 
21)1(1)())(())((  xxxgxggxgg 
42/1)())(()()( xxxfxffxff 
11)())(()()(  xxfxfgxfg 
Domínio: [0, ∞) 
Domínio: [0, ∞) 
Domínio: (- ∞, ∞) 
25 
Elipse e Circunferência 
 Circunferência 
 A equação padrão de uma circunferência com centro (h, k) e raio a é: 
222 )()( akyhx 
 Substituindo x por cx na equação padrão centrada em (0, 0) e fazendo a = r: 
Se 0 < c < 1, o gráfico da equação alonga horizontalmente 
a circunferência. Por outro lado, se c > 1, o gráfico da 
equação a alonga verticalmente. 
26 
222 ayx 
2222 ryxc 
 Elipse 
Se (h , k) = (0, 0), o círculo é centrado na origem: 
Elipse e Circunferência 
 Se a > b, o eixo principal é horizontal. 
 Caso contrário o eixo principal é vertical. 
 Pode-se ainda dizer que: 
onde a = r/c e b = r. 
27 
11
2
2
2
2
2
2
2
22
2222 
b
y
a
x
r
y
r
xc
ryxc
Elipse centrada na origem 
(a) circunferência. (b) elipse, 0 < c < 1. (c) elipse, c > 1. 
 
Funções Exponenciais 
 São as funções que apresentam a forma com a base a > 0 
 (constante positiva) e a ≠ 1. 
Possui esse nome porque a variável x se encontra no expoente. 
Para expoentes racionais e inteiros, a função exponencial é obtida 
 aritmeticamente. 
xaxf )(
 Se x = n (número inteiro positivo): 
Multiplica-se a por 
ele mesmo n vezes.  Se x = 0: 
 Se x = - n (onde n é número inteiro positivo): 
10 a
nnn aaa )/1(/1 
.........aaan 
28 
Funções Exponenciais 
 Se x = p/q é um número racional qualquer: 
 
 
 Se x = 1/n (onde n é número inteiro positivo): 
nn aa /1
pqq pqp aaa )(/ 
OBS: O significado de ax quando x é irracional será comentado adiante. 
29 
 Regras de Exponenciação 
 Se a > 0 e b > 0 , as afirmações são válidas para quaisquer x e y reais: 
 Exemplo: 
yxyx aaa  1,26,05,1 222 
yx
y
x
a
a
a  5
)5(
)5(
2
3

 Exemplo: 
Funções Exponenciais 
 Se os expoentes são racionais ou inteiros, as regras são verificadas 
facilmente a partir da Álgebra. 
 
 
 Exemplo: xyyx aa )( 93)3( 222 
xxx baba )(
400)20(54 222 
x
x
x
b
a
b
a







3
5
9
5
9
5
2/1
2/12/1






 Exemplo: 
 Exemplo: 
30 
Função exponencial natural - ex 
 É a função exponencial mais importante para a modelagem de 
 fenômenos naturais e físicos. 
 A base e é um número irracional e seu valor é aproximadamente igual a 
 2,718281828, considerando 9 casas decimais. 
  A vantagem de usar e como base é a simplificação de muitos cálculos, 
 como será visto adiante. 
 
 As curvas das funções exponenciais 
 y = ax tornam-se mais inclinadas a 
 medida que a base a aumenta. 
 A ideia de inclinação é transmitida 
 pelo coeficiente angular (m) que 
 tangencia a curva em um dado ponto. 
31 
Função exponencial natural - ex 
 Intuitivamente, pode-se dizer que a reta que tangencia a curva em 
 um dado ponto é a reta que a toca apenas neste ponto. 
 As figuras abaixo mostram o coeficiente angular do gráfico da 
 função y = ax quando ele cruza o eixo y para dois valores distintos 
 de base: a = 2 e a = 3. 
Em que intervalo deverá estar o valor do coeficiente angular quando a = e 
 sabendo que 2 < e < 3? 
 32 
Função exponencial natural - ex 
1:Para
1:Para
1:Para






mea
mea
mea
33 
 As funções exponenciais y = ekx onde k é uma constante não nula 
 são frequentemente usadas como: 
1. Modelos de crescimento exponencial – quando k > 0. 
2. Modelos de decaimento exponencial – quando k < 0. 
 
Função exponencial natural - ex 
Exemplos 
1. Juros compostos continuamente 
 
 









(anos)tempo
(decimal)jurosdetaxa
inicialtoinvestimen
onde
t
r
P
ePy tr





 
(anos)tempo
radioativasubstânciadadecaimentodetaxa(positivo)
onde
t
r
eAy tr
4102,1 r
2. Decaimento do elemento radioativo carbono 14 
 
 
34 
a. 
b. 
Exercícios 
 Exercício 3 : Calcule, para as funções abaixo, . 
hgf 
x
xh
x
xgxxf
1
)(;
4
1
)(;1)( 

 35 
 Exercício 1: Encontre uma fórmula para cada função representada. 
 Exercício 2: Identifique se a função é par, ímpar ou nenhuma delas. 
a. b. c. 
xxxf  3)(
1
1
)(
2 

x
xg
1
1
)(


t
th
xxhxxgxxf  4)(;3)(;1)(