9° arquivo Continuidade

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Continuidade 
 Continuidade em um ponto 
 Tomando o exemplo estudado anteriormente, tem-se: 
)0()(lim
0
fxf
x


Em x = 0 
 Em x = 1, x = 2 e x = 4 , há saltos. 
 Assim, diz-se que a função é contínua em 
 todos os pontos do seu domínio [0, 4], 
 exceto em x = 1, x = 2 e x = 4. 
 Nestes pontos a função é descontínua. 
 Relação entre o valor de f (x) e seu limite em cada ponto do domínio 
)3()(lim
3
fxf
x


Em x = 3 
 Pontos nos quais f (x) é contínua 
)()(lim cfxf
cx


P/ 0 < c < 4, c ≠ 1 e c ≠ 2 
1 
Continuidade 
 Continuidade em um ponto 
existenão)(lim
1
xf
x
Em x = 1 
)2()(lim
2
fxf
x


Em x = 4 
 Pontos nos quais f (x) é descontínua 
P/ c < 0 e c > 4 
Em x = 2 
)4()(lim
4
fxf
x


 estes pontos não estão no domínio de f (x). 
2 
Continuidade 
 Definição: continuidade em um ponto 
Graficamente: 
 Ponto Interior: Uma função f (x) é contínua em um ponto interior c do 
 seu domínio quando: 
 
 
 
 Extremidades: Uma função f (x) é contínua na extremidade esquerda a 
 ou é contínua na extremidade direita b do seu domínio se: 
 
 )()(limou)()(lim bfxfafxf bxax   
)()(lim cfxf
cx


Continuidade bilateral 
Continuidade pela 
esquerda 
Continuidade pela 
direita 
3 
Continuidade 
 Resumo do Processo: Teste de Continuidade 
Exemplos: 
(a) Contínua 
 Uma função f (x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer 
 às 3 condições seguintes: 
 1. f (c) existe (c está no domínio de f ) 
 
 2. existe 3. 
 
 OBS: Para pontos de extremidade, os limites dos itens 2 e 3 devem ser 
 substituídos pelos limites laterais adequados. 
 
)()(lim cfxf
cx


)(lim xf
cx 
Em x = 0 
(b) e (c) Descontinuidade Removível: 
pode ser removida fazendo f (0) igual 
ao limite. 4 
(d) (e) (f) 
Continuidade 
Exemplos: Em x = 0 
(d) O limite não existe. Não há como remover a descontinuidade. 
(e) Descontinuidade infinita. 
(f) A função oscila muito para que possa ter um limite quando x  0. 
5 
Continuidade 
 Funções contínuas 
 Uma função é contínua em um intervalo se somente se for contínua 
 em cada ponto deste intervalo. 
 Esta função é contínua em [-2, 2], que 
 também é o seu domínio. 
 
 Uma função contínua é aquela que é contínua em cada ponto do 
 seu domínio. 
 É uma função contínua. 
6 
 É descontínua em qualquer intervalo 
 que contenha x = 0. 
OBS: Combinações de funções algébricas são 
 contínuas em qualquer ponto em que estejam definidas. 
Continuidade 
 Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações 
 são contínuas em x = c: 
 
1. Soma: f + g 
4. Multiplicação por constante: k f, para qualquer número k. 
5. Quociente: f / g, uma vez que g(c) ≠ 0. 
2. Subtração: f - g 
 
3. Produto: f g 
 
7 
6. Potenciação: f r/s , uma vez que ela é definida em um intervalo 
 aberto contendo c onde r e s são inteiros. 
Continuidade 
 Observações 
8 
OBS1: Todo polinômio é contínuo, pois: 
)()(lim cPxP
cx


OBS2: Se P(x) e Q(x) são polinômios, então a função racional é contínua em 
todos os pontos em que é definida (Regra 5). 
OBS3: As seis funções trigonométricas são contínuas em todos os pontos em 
que são definidas. 
OBS4: A função inversa de uma função contínua também é contínua em todo o 
seu domínio. 
Continuidade 
 Compostas de funções contínuas 
Teorema: Se f (x) é contínua em x = c e g(x) é contínua em x = f (c) 
então a função composta é contínua em x = c . 
9 
OBS: A continuidade de funções compostas vale para qualquer número 
 finito de funções. A única exigência é que cada função seja contínua 
 onde é aplicada. 
fg 
))(lim()())((lim xfgbgxfg
cxcx 

O teorema é consequência de um resultado mais geral que diz que: 
Se g é uma função contínua no ponto b e , então 
bxf
cx


)(lim
Continuidade 
 Teorema do Valor Intermediário para Funções Contínuas 
Considere uma função y = f (x) que é contínua no intervalo fechado [a, b]. 
Se y0 for qualquer valor entre f (a) e f (b), então y0 = f (c) para um dado c 
no intervalo [a, b]. 
10 
Graficamente: 
Geometricamente, o teorema diz que qualquer reta horizontal y = y0 
cruzando o eixo y entre f (a) e f (b) cruza a curva y = f (x) pelo menos 
uma vez no intervalo [a, b]. 
Continuidade 
 Exercício 1: Responda as perguntas abaixo, justificando a resposta. 
11 
a. A função é contínua em x = -1? 
b. A função é contínua em x = 1? 















32,0
21,42
1,1
10,2
01,1
)(
2
x
xx
x
xx
xx
xf
c. A função é contínua em x = 2? 
d. Em quais valores de x a função é contínua? 
Continuidade 
12 
 Exercício 2: Em quais intervalos as funções abaixo são contínuas? 
)2(cosec)( xxf 
1
)tg(
)(
2 

x
xx
xf xxxf sen1)( 
 Exercício 3: Para qual valor de b 
 a função é contínua em qualquer x? 







2,
2,
)(
2 xbx
xx
xf
Retas Tangentes e Derivadas 
 Determinação da reta tangente a uma curva 
 Circunferência: uma reta L será tangente a uma 
 circunferência em um ponto P se L passar por P 
 perpendicularmente ao raio em P. 
13 
 Curva Arbitrária: O cálculo da tangente à curva y = f (x) em um 
 ponto P pode ser dividido em dois passos: 
1. Calcula-se o coeficiente angular 
 da reta secante PQ. 
2. Calcula-se o limite do coeficiente 
 angular (m) quando h  0: 
h
xfhxf
m
h
)()(
lim 00
0



 A reta tangente à P é a reta que passa por este ponto e apresenta este 
 coeficiente angular. 
Outra Pessoa
Realce
Retas Tangentes e Derivadas 
 Exemplo 1: Encontre a reta tangente à curva y = x2 – 4x + 3 no 
 ponto (4, 3). 
Sol: De início, calcula-se o coeficiente angular da reta: 
34168163)4(4)4()4( 22  hhhhhhf
14 
h
fhf
m
h
)4()4(
lim
0



34)4( 2  hhhf
Assim: 
331616)4( f
4)4(lim
0


hm
h
Como h ≠ 0: 
h
hh
h
hh
m
hh
4
lim
334
lim
2
0
2
0





Por outro lado: 
Reta tangente: 
134)4(43)( 00  xyxxxmyy
Retas Tangentes e Derivadas 
 Exemplo 2: Dada a curva y = 1/x , determine o coeficiente angular 
 em x = a (a ≠ 0). Em seguida, obtenha os pontos nos quais a curva 
 tem coeficiente angular m = -1/4. 
Sol: De início, calcula-se o coeficiente angular da reta: 
15 
)(
)(
lim
11
lim
)()(
lim
000 haha
haa
h
aha
h
afhaf
m
hhh 








b. 
24
4
11 2
2
 aa
a
)(
lim
0 haha
h
m
h 


 20
1
)(
1
lim
ahaa
m
h





Assim, a curva tem m = -1/4 nos pontos (2, 1/2) e (- 2, - 1/2) 
Como h ≠ 0: 
Retas Tangentes e Derivadas 
 Taxas de variação: derivada em um ponto 
 A expressão é chamada razão incremental. 
16 
Se o limite dessa expressão existe quando h  0, esse limite é 
denominado derivada de f em x0. 
h
xfhxf )()( 00 
 Sendo a razão incremental o coeficiente angular da retasecante, a 
 derivada nos dá o coeficiente angular da reta tangente. 
 Interpretando a razão incremental como uma taxa média de variação, 
 a derivada nos dá a taxa de variação instantânea. 
Outra Pessoa
Realce
Retas Tangentes e Derivadas 
 Voltando aos exemplos 1 e 2 da queda livre da pedra, tem-se: 
A velocidade média no intervalo entre t = 1 e t = 1 + h era: 
17 
29,4)( ttf 
h
hh
h
h
h
fhf
vm
22 9,48,99,4)1(9,4)1()1( 





)2(9,4  hvm
e a velocidade no instante t = 1s : 
smvhv
h
/8,9])2(9,4[lim
0


Retas Tangentes e Derivadas 
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 Exercício 1: Determine o coeficiente angular da curva nos pontos 
 dados. Em seguida, determine a equação para a tangente à curva 
 nesse ponto. 
)8,2(;)(b.
)1,1(;2)(a.
3
2
xxg
xxxf


 Exercício 2: Qual é a taxa de variação da área de uma 
 circunferência em relação ao raio quanto este é r = 3?