23° arquivo Teorema Do Valor Médio

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Teorema do Valor Médio 
 Antes de enunciar o Teorema do Valor Médio, é necessário falar do 
Teorema de Rolle. 
1 
 Teorema de Rolle 
 O Teorema de Rolle diz que o gráfico de uma função derivável apresenta 
ao menos uma tangente horizontal entre dois pontos quaisquer onde a 
curva da função cruza uma reta horizontal. 
2 
OBS1: O Teorema de Rolle está provado no livro. 
OBS2: A principal utilidade do Teorema de Rolle é provar o Teorema do 
 Valor Médio. 
Teorema do Valor Médio 
 De forma mais precisa, pode-se definir o Teorema de Rolle da seguinte 
maneira: 
Teorema 3: Teorema de Rolle 
 
 Supondo que y = f (x) é contínua em todos os pontos de um intervalo 
 fechado [a, b] e derivável em todos os pontos do intervalo (a, b). 
 Se f (a) = f (b) , então há pelo menos um número c em (a, b) no qual: 
 
0)(  cf
3 
Teorema do Valor Médio 
 Teorema do Valor Médio 
 É na verdade uma forma inclinada doTeorema de Rolle. 
Teorema 4: Teorema do Valor Médio 
 
 Supondo que y = f (x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e 
 derivável no intervalo (a, b). Então, existe pelo menos um número c 
 em (a, b) em que: 
 
ab
afbf
cf



)()(
)(
4 
Teorema do Valor Médio 
 Prova: Seja a figura abaixo: 
Determinação da reta AB: Calcula-se 
o coeficiente angular: 
 
 
 
 
e tomando o ponto A (a, f (a)): 
 
ab
afbf
m



)()(
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy 



Chamando o y da reta de g(x), tem-se: 
 
 
)(
)()(
)()( ax
ab
afbf
afxg 



5 
Teorema do Valor Médio 
Fazendo: h (x) = f (x) - g(x), tem-se: 
 
 









 )(
)()(
)()()()()( ax
ab
afbf
afxfxgxfxh





0)(
0)(
Quando
bhbx
ahax
A função h (x) satisfaz a hipótese 
do Teorema de Rolle em [a, b]. 
Ela é contínua em [a, b] e derivável 
em (a, b), pois as funções f (x) e g(x) o são. 
Além disso, h (a) = h (b). 
 
6 
Teorema do Valor Médio 
Os gráficos de f (x) e g(x) passam pelos pontos A e B. Assim, para um dado 
c em (a, b): 
 
 
Como: 
 
0)(  ch









 )(
)()(
)()()()()( ax
ab
afbf
afxfxgxfxh
ab
afbf
xfxh



)()(
)()(
Para x = c: 
 ab
afbf
cfch



)()(
)()(
Como: 
 
0)(  ch
ab
afbf
cf



)()(
)(
7 
Consequências matemáticas 
 Qual tipo de função teria derivada nula ao longo de um dado intervalo? 
 Sabe-se que é uma função constante. Contudo, o primeiro corolário do 
 Teorema do Valor Médio nos dá a resposta. 
Teorema do Valor Médio 
Corolário 1: Funções com Derivadas Nulas são Constantes 
Se em todos os pontos de um intervalo aberto (a, b), 
 então f (x) = C para qualquer x em (a, b), onde C é uma constante. 
 
0)(  xf
8 
Teorema do Valor Médio 
Assim: para um ponto c entre x1 e x2. 
ab
afbf
cf



)()(
)(
0)(  xf
)()( 21 xfxf 
Prova: Para provar que f = constante em (a, b), tomam-se dois pontos um 
quaisquer x1 e x2 em (a, b). 
Sendo x1 = x2, a função satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio 
no intervalo [x1, x2], ou seja: é derivável em qualquer ponto em [a, b] e, 
Obviamente, é contínua também. 
Como: ao longo de todo o intervalo (a, b), tem-se: 
Assim, de acordo com o Corolário 1, h(x) = C para qualquer x  (a, b), 
ou seja: 
Prova: Para qualquer x  (a, b), a derivada da função h(x) = f (x) - g(x) = 0 
é: 
9 
Teorema do Valor Médio 
Corolário 2: Funções com a mesma derivada diferem de uma constante 
Se em cada ponto x de um intervalo aberto (a, b), então existe 
 uma constante C tal que f (x) = g(x) para qualquer x em (a, b), ou seja: 
 
)()( xgxf 
),(qualquerpara)()( baxCxgxf 
0)()()(  xgxfxh
CxgxfCxgxfxh  )()()()()(
Lembrando que: , 
 
 
tem-se, pelo Corolário 2, que funções de mesma derivada devem diferir 
de uma constante (no caso, lnb). 10 
OBS: Os corolários 1 e 2 também se aplicam a intervalos abertos não 
finitos. 
Teorema do Valor Médio 
 Exemplo 1: Prove, a partir do Corolário 2D, que ln (bx) = ln(b) + ln(x) 
Prova das Regras dos Logaritmos 
 
 As propriedades algébricas dos logaritmos, apresentadas anteriormente, 
podem ser provadas a partir do Corolário 2. 








xdx
xd
x
bx
bxdx
bxd
1)(ln
1
)(
1)(ln
Teorema do Valor Médio 
 Prova da Lei 
11 
 Leis dos Expoentes 
 As leis dos expoentes para a função ex são consequências das 
 propriedades algébricas de lnx. Sua origem está na relação inversa 
 entre estas funções : 
 Assim para todos os números x, x1 e x2, a função exponencial 
 natural obedece às seguintes leis: 
2121 xxxx eee
 21
2
1
xx
x
x
e
e
e 2121 )(
xxxx
ee 
x
x
e
e
1

21
2
1
xx
x
x
e
e
e 
Teorema do Valor Médio 
Como o corpo cai partindo do repouso: v(0) = 0. Assim: 
12 
 Determinando a velocidade e a posição a partir da aceleração 
 Como foi visto anteriormente, a velocidade de um corpo, inicialmente 
 em repouso que cai em queda livre é uma função cuja derivada é 9,8. 
 A derivada da função g(t) = 9,8t também é 9,8. 
Pelo Corolário 2: v(t) = g(t) + C v(t) = 9,8t + C; onde C é uma cte. 
v(0) = 9,8 (0) + C = 0 C = 0 e v(t) = 9,8t. 
Por outro lado, sabe-se que s(t) é uma função com derivada igual a 9,8t 
que é o mesmo valor da derivada da função f (t) = 4,9t 2 . 
Teorema do Valor Médio 
13 
Pelo Corolário 2: s(t) = f (t) + C1 s(t) = 4,9t 
2 + C1 . 
Como s(0) = h C1 = h. Assim: s(t) = 4,9t 
2 + h. 
 
Teste da Primeira Derivada 
 Uma função que é crescente ou decrescente em um intervalo I é 
 chamada monotônica em I. O intervalo I pode ser finito ou infinito. 
14 
 Definições: Funções Crescentes e Decrescentes 
2)( xxf 
 Seja f uma função definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos 
quaisquer em I. 
 Se sempre que , a função é crescente em I. 
 
 Se sempre que , a função é decrescente em I. 
)()( 21 xfxf  21 xx 
21 xx )()( 21 xfxf 
 Exemplo 1: Determine os intervalos em que a função é 
 monotônica. 
Teste da Primeira Derivada 
15 
 Com relação às derivadas deve-se observar que: 
 No intervalo (-, 0), as tangentes apresentam coeficientes angulares 
 negativos, ou seja, a primeira derivada é sempre negativa. 
 No intervalo (0, ), as tangentes apresentam coeficientes angulares 
 positivos, ou seja, a primeira derivada é sempre positiva. 
Corolário 3: Teste da primeira derivada para funções monotônicas 
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). 
 Se em qualquer ponto x  (a, b): f é crescente em [a, b]. 
 
 Se em qualquer ponto x  (a, b): f é decrescente em [a, b]. 
0)(  xf
0)(  xf
512)( 3  xxxf
 Exemplo 2: Determine os pontos críticos de e que 
 identifique os trechos onde a função é crescente e decrescente. 
Teste da Primeira Derivada 
 
16 
 Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais 
 Suponha que c sejaum ponto crítico de uma função contínua f e que f seja 
 derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c, exceto possivelmente 
 o próprio “c”. Movendo-se ao longo de c, da esquerda para a direita: 
 Se o sinal de muda de negativo para positivo em c: a função f possui 
um mínimo local em c. 
f 
 Se o sinal de muda de positivo para negativo em c: a função f possui 
um máximo local em c. 
f 
Teste da Primeira Derivada 
17 
xexxf )3()( 2 
 Exemplo 3: Determine os pontos críticos da função abaixo e 
 identifique os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. 
 Determine ainda os extremos locais da função. 
 Exercícios 
 Exercício 1: Para as funções dadas: 
 
 Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente. 
 Identifique os extremos locais (se houver) e onde ocorrem. 
 Se houver extremos locais, algum deles é absoluto? Quais? 
 
a. 
168)( 24  xxxf xxxf  5)( 2
2
3
)(
2



x
x
xf
b. 
c. 
Concavidade e Esboço de Curvas 
18 
 Concavidade: Definição – 2ª. derivada 
 O gráfico de uma função derivável y = f (x) é: 
 Côncavo para cima em um intervalo aberto I , se é crescente em I. 
 Côncavo para baixo em um intervalo aberto I , se é decrescente 
 em I. 
f 
f 
 Pelo Corolário 3 do TVM, pode-se concluir que é crescente se > 0 
 em I e decrescente se a segunda derivada for negativa em I. 
f  f 
Teste da segunda derivada para concavidade 
Seja y = f (x) uma função duplamente derivável em um intervalo I. 
 
 Se em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para cima. 
 
 Se em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para baixo. 
0)(  xf
0)(  xf
Concavidade e Esboço de Curvas 
19 
 Ponto de Inflexão: definição 
2xy 
 Exemplo 4: Determine a concavidade das funções abaixo: 
]2,0[emsen xy e 
 Se em um ponto de uma curva de um lado e do 
 outro lado, este ponto é um ponto de inflexão. 
0)(  xf 0)(  xf
OBS1: Pode não existir um ponto de inflexão onde . 
 Por exemplo: y = x4 em x = 0. 
0)(  xf
OBS2: Pode existir um ponto de inflexão onde não existe. 
 Por exemplo: y = x1/3 em x = 0. 
)( xf 
 É um ponto onde há mudança de concavidade. Neste ponto, a segunda 
 derivada é nula ou indefinida. 
Concavidade e Esboço de Curvas 
20 
0,522142)( 23  ttttts
 Exemplo 5: Uma partícula se desloca ao longo de uma reta horizontal 
 de acordo com a função posição: 
Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento 
da partícula. 
Concavidade e Esboço de Curvas 
21 
 Teorema: Teste da segunda derivada para extremos locais. 
Suponha que seja contínua em um intervalo aberto que contenha c. 
 Se e : f possui um máximo local quando x = c. 
 
 Se e : f possui um mínimo local quando x = c. 
 
 Se e : o teste falha. 
0)(  cf 0)(  cf
 Exemplo 6: Para a função determine: 
 
a) Se há extremos e onde ocorrem. 
b) Os intervalos onde a função é crescente e decrescente. 
c) Os trechos onde o gráfico da função é côncavo para cima e onde o 
 gráfico é côncavo para baixo. 
f 
0)(  cf
0)(  cf0)(  cf
0)(  cf
104)( 34  xxxf
Concavidade e Esboço de Curvas 
22 
 Estratégia para construção do gráfico de uma função. 
1. Identifique o domínio da função f e quaisquer simetrias que a curva possa 
apresentar. 
2. Determine os valores de e 
f f 
3. Determine os pontos críticos da função f, identificando o comportamento da 
função em cada um deles. 
4. Determine a subida e a descida da curva. 
 5. Determine os pontos de inflexão, se houver, e a concavidade da curva. 
6. Identifique as assíntotas. 
 7. Trace os pontos mais importantes, tais como os pontos de interseção com os 
eixos e os obtidos nos passos 3 e 5. 
8. Esboce a curva. 
 
Problemas de Otimização 
23 
 Otimizar algo significa maximizar ou minimizar alguns de seus 
 aspectos e o cálculo diferencial é uma ferramenta poderosa para 
 resolver este tipo de problema: 
 Exemplo 7: Deseja-se construir uma caixa retangular aberta com uma folha de 
 papelão de 8  15 pol recortando quadrados congruentes dos vértices da folha 
 e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior 
 volume que pode ser feita? 
 
Desenhos Ilustrativos (dimensões diferentes) 
 
Problemas de Otimização 
24 
 Exemplo 9: O muro de 8 pés da figura a seguir está a 27 pés do 
 edifício. Determine o comprimento da viga mais curta para alcançar 
 o prédio, apoiado no solo do lado esquerdo do muro? 
 Exemplo 8: A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada 
por: 
1129616)( 2  ttts
com s em pés e t em segundos. Determine: 
a. A velocidade do objeto quando t = 0. 
b. Sua altura máxima e quando esta ocorre. 
c. Sua velocidade quando s = 0. 
 
Exercícios 
25 
1. Determine o valor do maior cone de revolução 
 que pode ser inscrito em uma esfera de raio 3: 
 
a. Que dimensões terá uma caixa com base quadrada para ter o 
 maior volume possível? 
 
b. E se a caixa tiver lados quadrados (h) e profundidade (w), que 
dimensões terá a caixa para que o volume seja máximo? 
 
2. O serviço postal americano aceita caixas para entrega doméstica 
 somente se a soma do seu comprimento com o perímetro da base 
 não exceder 108 pol.