34° Arquivo Área de Superfície

Prévia do material em texto

Área de Superfície de Revolução 
 Cilindro 
 Girando a reta AB (de comprimento x) em torno do eixo x, gera-se o 
cilindro a seguir. 
Fora de escala 
 Área de superfície do cilindro: 
xyA  2
 Mesma área do retângulo (b) 
OBS: O comprimento 2y na área da superfície do cilindro é o perímetro do 
 círculo de raio y gerado pela rotação do ponto (x, y) da reta AB em torno 
 do eixo x. 
1 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície de Revolução 
 Tronco de Cone 
 Girando a reta AB (de comprimento s) em torno do eixo x, gera-
se o tronco de cone: 
 Segundo a Geometria Clássica, a área de superfície é 
 dada por: 
syA  *2
onde: 2/)( 21* yyy 
 Mesma analogia com a área de um retângulo de lados s e 2y*. 
2 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície de Revolução 
 Curvas Mais Gerais 
 Deseja-se obter a área da superfície gerada pela rotação, em torno do 
 eixo x, de uma curva definida por uma função contínua não-negativa 
 y = f (x), sendo a ≤ x ≤ b. 
 Girando o arco PQ em torno do eixo x, o 
 segmento de reta que une P e Q gera um 
 tronco de cone cujo eixo coincide com o 
 eixo x. 
 Divide-se o intervalo [a, b] para 
 subdividir o gráfico em arcos curtos 
 (p. ex: arco PQ). 
3 
Área de Superfície de Revolução 
 A área de superfície deste tronco de cone é usada para aproximar a área da 
 superfície da faixa gerada pelo arco PQ. 
 onde y* é a altura média do segmento de reta PQ e L é 
 o seu comprimento. 
syA  *2
 Como f ≥ 0, os valores de y* e L são dados por: 
2/))()(( 1
*
kk xfxfy  
22 )()( kk yxL 
4 
Área de Superfície de Revolução 
221 )()(
2
)()(
2Area kk
kk yx
xfxf


 
 Assim, a área de superfície é dada por: 
 A área da superfície original (soma das áreas das faixas geradas pelos arcos como 
 PQ) é aproximada pela soma das áreas dos troncos: 
 À medida que a partição torna-se mais refinada, espera-se uma melhoria na 
 aproximação. 
5 
22
1 )()(.))()((Area kkkk yxxfxf  
  221 )()(.))()(( kkkk yxxfxf
Área de Superfície de Revolução 
 Se f é derivável, de acordo com o TVM existe um ponto (ck, f (ck)) entre P e Q 
onde a tangente é // ao segmento PQ: 
kkkk
kkkkk
xcfxfxf
xcfxxfxf






2
1
22
1
))((1.))()((
))(()(.))()((


 Substituindo o valor de yk na expressão do 
 somatório: 
 Essas somas não são as somas de Riemann, mas um teorema de Cálculo 
 Avançado garante que conforme a norma da partição de [a, b] tende a 
 zero, as somas convergem para a integral: 
kkk
k
k
k xcfy
x
y
cf 


 )()(
6 dxxfxf
b
a
2))((1)(2  
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície de Revolução 
 Área de Superfície de Revolução em torno do eixo x 
 
Se a função f (x) ≥ 0 é continuamente derivável em [a, b], a área da superfície 
gerada pela rotação da curva y = f (x) em torno do eixo x é: 
 Analogamente: 
 Área de Superfície de Revolução em torno do eixo y 
 
Se a função x = g(y) ≥ 0 é continuamente derivável em [c, d], a área da 
superfície gerada pela rotação da curva x = g(y) em torno do eixo y é: 
7 
dxxfxfdx
dx
dy
yS
b
a
b
a
2
2
))((1)(212 





  
dyygygdy
dy
dx
xS
d
c
d
c
2
2
))((1)(212 





  
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície de Revolução 
 Exemplo 1: Calcule a área de superfície gerada pela revolução da curva 
 em torno do eixo x. 
 
21;2  xxy
;12
2
dx
dx
dy
yS
b
a






  
x
x
x
x
xdx
dy 









111
11
2
x
x
dx
dy 1
)(2
2
1 2/1 





 
  dxxdx
x
x
xS 2/1
2
1
2
1
)1(4
1
22 







 
  
  )2233(
3
8
)11()12(
3
8
2/3
)1(
4 2/32/3
2
1
2/3





 

 xS
8 
Área de Superfície de Revolução 
 Exemplo 2: Calcule a área da superfície lateral gerada pela revolução da 
 reta x = 1 – y ; 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y. 
 
;12
2
dy
dy
dx
xS
d
c






  
21
2







dy
dx
1)1( 2
2






dy
dx
1
0
21
0
1
0
2
22)1(222)1(2 





 
y
ydyydyyS 
 2
2
1
22 





 SS
Da Geometria:  22)1(  grS onde g é a geratriz do cone. 9 
Área de Superfície – Curvas Parametrizadas 
 Como foi mostrado anteriormente, se a curva parametrizada é dada por 
 x = f (t), y = g(t) e a  t  b, a raiz quadrada correspondente que surge 
 na expressão do comprimento de arco é: 
22
22 ])([])([ 












dt
dy
dt
dx
tgtf
 Área de Superfície de Revolução para Curvas Parametrizadas 
 
Rotação em torno do eixo x (y  0) 
Se uma curva lisa, dada por x = f (t) e y = g(t) com a  t  b, é percorrida apenas 
uma vez quando t aumenta de a até b, então a área da superfície gerada pela 
rotação da curva em torno do eixo x é: 
10 
dt
dt
dy
dt
dx
yS
b
a
 












22
2
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície – Curvas Parametrizadas 
 Área de Superfície de Revolução para Curvas Parametrizadas 
 
Rotação em torno do eixo y (x  0) 
Se uma curva lisa, dada por x = f (t) e y = g(t) com a  t  b, é percorrida apenas 
uma vez quando t aumenta de a até b, então a área da superfície gerada pela 
rotação da curva em torno do eixo x é: 
 Exemplo 3: Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do 
 eixo x, do círculo centrado no ponto (0, 1) no plano xy representado por: 
 
20sen1;cos  ttytx
11 
dt
dt
dy
dt
dx
xS
b
a
 












22
2
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície – Curvas Parametrizadas 
1cos;sen
22













dt
dy
dt
dx
t
dt
dy
t
dt
dx
 














2
0
22
)sen1(22 dttdt
dt
dy
dt
dx
yS
b
a
Assim: 
)0c0(2)2c2(2)c(2
2
0
osostostS   
22 4)10()14(  S
12 
Área de Superfície – Forma Diferencial 
 As expressões: 
 podem ser escritas em termos da diferencial do comprimento de arco: 
 Na primeira equação: 
dsdydxdx
dx
dy
dxdx
dx
dy












 222
2
2
2
)()()()(1
 Assim: onde y é a distância do eixo x até um elemento 
 de comprimento de arco ds. 
13 

b
a
dsyS 2
dx
dx
dy
yS
b
a 






2
12 dy
dy
dx
xS
d
c
 






2
12
22 )()( dydxds 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Área de Superfície – Forma Diferencial 
 Analogamente, a segunda equação torna-se: 

d
c
dsxS 2
 onde x é a distância do eixo y até um elemento de comprimento de arco ds. 
 Generalizando, pode-se perceber que ambas as integrais têm a forma: 
  )faixadalargura()raio(2S  dsS 2
onde  é o raio que vai do eixo de revolução até o elemento de comprimento 
de arco ds. 
14 
Convidado
Realce
Área de Superfície de Revolução 
 Exercício: Calcule a área de superfície gerada pela rotação de cada curva 
 abaixo em torno do eixo indicado. 
 
xy
y
y
x eixodotornoem21;
8
1
4 2
4

a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
xyx
x
y eixodotornoemseguida,eme,eixodotornoem40;
2

yy
y
x eixodotornoem10;
3
3

 Dica: Expresse ds em função de dy e, em seguida, calcule a integral 
 
 com os limites adequados. 
 dsyS 2
15 
9/)18(:Resp  S
Teorema de Pappus 
 Teorema 1: Teorema de Pappus para Volumes 
 Teorema 2: Teorema de Pappus para Áreas de Superfície 
Teorema1: Teorema de Pappus para Volumes 
 
Se uma região plana é girada uma vez em torno de uma reta no plano que 
não atravessa o interior, então o volume do sólido gerado é igual à área 
da região multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da região 
durante a revolução. 
Se  é a distância entre o eixo de revolução e o centróide, tem-se que: 
16 
AV 2
Convidado
Realce
Teorema de Pappus 
 Prova do Teorema de Pappus para Volumes 
 A região abaixo será rotacionada em torno do eixo x, gerando um sólido: 
 L(y): uma função contínua que representa o 
 comprimento da seção transversal de R  eixo y 
 em y. 
Pelo Método das Cascas Cilíndricas, tem-se: 
 
d
c
d
c
dyyLydyV )(2)altura()raio(2 
 A ordenada do centróide de R é: 
A
dyyLy
A
dAy
y
d
c
d
c


)(~
 onde 





dyyLdA
yy
)(
~
 Assim: 
yAV 2
yAdyyLy
d
c
 )(
 Como: 
y
AV 2
17 
Teorema de Pappus 
Teorema2: Teorema de Pappus para Áreas de Superfície 
 
Se um arco de uma curva plana lisa é girado uma vez em torno de uma 
reta no plano que não atravessa o interior do arco, então a área de 
superfície gerada pelo arco é igual ao comprimento do arco multiplicado 
pela distância percorrida pelo centróide do arco durante a revolução. 
Se  é a distância entre o eixo de revolução e o centróide, tem-se que: 
18 
LS 2
Convidado
Realce
Teorema de Pappus 
 Prova do Teorema de Pappus para Área de Superfície 
 Seja o gráfico de uma função continuamente derivável de x dado pelo arco abaixo, 
 juntamente com o eixo de revolução (eixo x): 
  dsydsyS  22
 A ordenada do centróide do arco é: 
L
dsy
ds
dsy
y




~
 Substituindo essa integral na expressão de S, tem-se: Assim: 
LyS 2
Lydsy 
 Como: 
y
LS 2
19 
A área de superfície gerada pelo arco é: 
Área de Superfície de Revolução 
 Exemplo 2: A região quadrada com vértices (0, 2), (2,0), (4, 2) e (2, 4) é 
 girada em torno do eixo x, gerando um sólido. Determine o volume e a área 
 de superfície do sólido. 
 
2 y
Sol: 
822 22 L
 32)8()2(22  VAV
 232816)84()2(22  SLS
(0, 2) 
(2, 0) 
(4, 2) 
(2, 4) 
L 
L 
20