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Resumo - Parte 2
(Última atualização: 13/06/2014)
Resumo dos conceitos vistos em MA311. O documento deve ser utilizado apenas como apoio
ao estudo e não tem caráter de referência.
1. Sistemas de Edo’s Lineares de 1ª ordem
Consideraremos aqui sistemas 2× 2.
1.1. Sistemas Homogêneos com Coeficientes Constantes
Denote 𝐴 =
(︃
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
)︃
matriz real 2 × 2 e considere o seguinte sistema linear homogêneo:
𝑋 ′ = 𝐴𝑋.
1) Encontrar os autovalores de 𝐴, isto é, as raízes do polinômio característico de 𝐴, dado por
𝑝𝐴(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴− 𝜆𝐼𝑑2) =
⃒⃒⃒⃒
⃒ 𝑎11 − 𝜆 𝑎12𝑎21 𝑎22 − 𝜆
⃒⃒⃒⃒
⃒ .
onde 𝐼𝑑2 =
(︃
1 0
0 1
)︃
denota a matriz identidade 2× 2.
2) As soluções fundamentais dependem da natureza dos autovalores de 𝐴 encontrados em (1),
digamos 𝜆1 e 𝜆2:
(2.i) Se 𝜆1 ̸= 𝜆2, reais portanto, então determine (qualquer) um autovetor associado à cada
autovalor, ie, 𝑣1 e 𝑣2 tais que
⎧⎨⎩(𝐴− 𝜆1𝐼𝑑2)𝑣1 = 0(𝐴− 𝜆2𝐼𝑑)𝑣2 = 0 . As soluções fundamentais são
dadas por:
⎧⎨⎩𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡𝑥2(𝑡) = 𝑣2𝑒𝜆2𝑡 .
(2.ii) Se 𝜆1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 e 𝜆2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 são complexos ( aparece sempre o par conjugado),
então basta determinar um autovetor (com entradas complexas) associado à um dos
1
2
autovalores, ie, 𝑣 tal que (𝐴 − 𝜆1𝐼𝑑)𝑣 = 0. Separe 𝑣 em dois vetores correspondentes
às partes real e imaginária, ie, faça 𝑣 =
(︃
𝑎
𝑏
)︃
+ 𝑖
(︃
𝑐
𝑑
)︃
= 𝑣1 + 𝑖𝑣2. As soluções
fundamentais são dadas por:
⎧⎨⎩𝑥1(𝑡) = 𝑒𝛼𝑡(𝑣1 cos(𝛽𝑡)− 𝑣2 sin(𝛽𝑡))𝑥2(𝑡) = 𝑒𝛼𝑡(𝑣1 sin(𝛽𝑡)− 𝑣2 cos(𝛽𝑡)) .
(2.iii) Se 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆, real portanto, então determine um autovetor associado à 𝜆, ie, 𝑣1 tal
que (𝐴 − 𝜆𝐼𝑑2)𝑣1 = 0. Determine outro autovetor associado 𝑣2, l.i. à 𝑣1, resolvendo
(𝐴−𝜆𝐼𝑑2)𝑣2 = 𝑣1. As soluções fundamentais são dadas por:
⎧⎨⎩𝑥1(𝑡) = 𝑣1𝑒𝜆1𝑡𝑥2(𝑡) = 𝑣1𝑡𝑒𝜆1𝑡 + 𝑣2𝑒𝜆2𝑡 .
Obs: A solução geral do sistema é dada por: 𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑥1(𝑡) + 𝑐2𝑥2(𝑡) e a matriz fundamental
do sistema é dada por Ψ(𝑡) = (𝑥1(𝑡) 𝑥2(𝑡)) (ie, as colunas desta matriz são as soluções
fundamentais e Ψ′(𝑡) = 𝐴Ψ(𝑡)).
1.2. Sistemas Não-Homogêneos com Coeficientes Constantes
Denote agora 𝑏(𝑡) =
(︃
𝑏1(𝑡)
𝑏2(𝑡)
)︃
um vetor e considere o seguinte sistema linear homogêneo:
𝑋 ′ = 𝐴𝑋 + 𝑏(𝑡).
Método da Variação de Parâmetros
1) Resolva o sistema homogêneo associado 𝑋 ′ = 𝐴𝑋, chame 𝑥ℎ(𝑡) = 𝑐1𝑥1(𝑡) + 𝑐2𝑥2(𝑡) a
solução geral, e tome a matriz fundamental Ψ(𝑡) =
(︃
𝑥11(𝑡) 𝑥21(𝑡)
𝑥12(𝑡) 𝑥22(𝑡)
)︃
associada, onde
𝑥1(𝑡) =
(︃
𝑥11(𝑡)
𝑥12(𝑡)
)︃
e 𝑥2(𝑡) =
(︃
𝑥21(𝑡)
𝑥22(𝑡)
)︃
.
2) Suponha que exista solução do sistema não-homogêneo da forma 𝑥𝑝(𝑡) = Ψ(𝑡)𝑢(𝑡), onde
𝑢(𝑡) =
(︃
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
)︃
é um vetor a ser encontrado.
3) Derive 𝑥𝑝(𝑡) e substitua no sistema para chegar à Ψ(𝑡)𝑢′(𝑡) = 𝑏(𝑡), ie(︃
𝑥11(𝑡) 𝑥21(𝑡)
𝑥12(𝑡) 𝑥22(𝑡)
)︃(︃
𝑢′1(𝑡)
𝑢′2(𝑡)
)︃
=
(︃
𝑏1(𝑡)
𝑏2(𝑡)
)︃
.
4) Encontre 𝑢′1(𝑡) e 𝑢′2(𝑡) resolvendo Ψ(𝑡)𝑢′(𝑡) = 𝑏(𝑡) pela Regra de Cramer (ou por substituição
direta), ie:
𝑢′1(𝑡) =
𝑑𝑒𝑡
(︃
𝑏1(𝑡) 𝑥21(𝑡)
𝑏2(𝑡) 𝑥22(𝑡)
)︃
𝑊 (𝑥1, 𝑥2)(𝑡)
e 𝑢′2(𝑡) =
𝑑𝑒𝑡
(︃
𝑥11(𝑡) 𝑏1(𝑡)
𝑥12(𝑡) 𝑏2(𝑡)
)︃
𝑊 (𝑥1, 𝑥2)(𝑡)
onde 𝑊 (𝑥1, 𝑥2)(𝑡) = 𝑑𝑒𝑡
(︃
𝑥11(𝑡) 𝑥21(𝑡)
𝑥12(𝑡) 𝑥22(𝑡)
)︃
é o Wronskiano das soluções 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡).
3
5) Integre com relação à 𝑡 para encontrar 𝑢1(𝑡) e 𝑢2(𝑡).
6) Substitua 𝑢(𝑡) em 𝑥𝑝(𝑡) = Ψ(𝑡)𝑢(𝑡) para encontrar a solução do sistema não-homogêneo.
7) Portanto, a solução geral do sistema não homogêneo é 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡).
2. Sequências e Séries
2.1. Limites de Sequências
Seja {𝑎𝑛}∞𝑛=1 uma sequência real.
Fatos:
• lim𝑥→∞ |𝑎𝑛| = 0⇒ 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑎𝑛 = 0.
• Toda sequência limitada, monótona é convergente.
• 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑟𝑛 =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
0 −1 < 𝑟 < 1
1 𝑟 = 1
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑟 < −1 ou 𝑟 > 1
• 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
(︃
1 + 𝑘
𝑛
)︃𝑛
= 𝑒𝑘
• Ordem de crescimento: Constante ≺ log𝑎 ≺ 𝑛 ≺ 𝑛𝑘 ≺ 𝑎𝑛 ≺ 𝑛! ≺ 𝑛𝑛
2.2. Testes de Convergência
Considere a série ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 = lim𝑚→∞∑︀𝑚𝑛=1 𝑎𝑛.
Fatos:
• ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 converge ⇒ lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0.
• (Série geométrica) Para 𝐶 ̸= 0, ∑︀∞𝑛=1𝐶𝑟𝑛
⎧⎨⎩=
𝐶
1−𝑟 𝑚𝑏𝑜𝑥𝑠𝑒 |𝑟| < 1
diverge se |𝑟| ≥ 1
• (𝑝-Série) (Série geométrica) ∑︀∞𝑛=1 1𝑛𝑝
⎧⎨⎩ converge se |𝑟| < 1diverge se |𝑟| ≥ 1 . Obs: 1-Série é a série harmô-
nica.
• Toda série absolutamente convergente é convergente.
Testes
• (Teste da divergência) Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 não existe ou é diferente de 0, então
∑︀∞
𝑛=1 𝑎𝑛 diverge.
4
• (Teste da integral) Seja 𝑓 função contínua, decrescente em [1,∞) com lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 0 e
𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 ∀𝑛 ≥ 1 inteiro. Então
⎧⎨⎩
∫︀∞
1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 converge ⇒
∑︀∞
𝑛=1 𝑎𝑛 converge∫︀∞
1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 diverge ⇒
∑︀∞
𝑛=1 𝑎𝑛 diverge
• (Teste da comparação) Sejam ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 e ∑︀∞𝑛=1 𝑏𝑛 séries com termos positivos. Então⎧⎨⎩
∑︀∞
𝑛=1 𝑏𝑛 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ,∀𝑛 ≥ 1 ⇒
∑︀∞
𝑛=1 𝑎𝑛 converge∑︀∞
𝑛=1 𝑏𝑛 diverge e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 ,∀𝑛 ≥ 1 ⇒
∑︀∞
𝑛=1 𝑎𝑛 diverge
• (Teste da comparação do limite) Sejam ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 e ∑︀∞𝑛=1 𝑏𝑛 séries com termos positivos. Se
lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= constante ∈ R>0, então ambas séries convergem ou ambas divergem.
• (Teste para séries alternadas) Se ∑︀∞𝑛=1(−1)𝑛−1𝑎𝑛 é tal que 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛 e 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑎𝑛 = 0,
então a série converge.
• (Teste da razão) Seja ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 série (os termos 𝑎𝑛 não precisam ser não-negativos). Então:
lim𝑛→∞
⃒⃒⃒⃒
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
⃒⃒⃒⃒
=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝐿 < 1 ⇒ ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 é absolutamente convergente
𝐿 > 1 ou não existe ⇒ ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 é divergente
1 ⇒ nada se conclui.
• (Teste da raiz) Seja ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 série com termos 𝑎𝑛 positivos. Então:
lim𝑛→∞ 𝑛
√︁
|𝑎𝑛| =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝐿 < 1 ⇒ ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 é absolutamente convergente
𝐿 > 1 ou não existe ⇒ ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛 é divergente
1 ⇒ nada se conclui.
Obs: Dica para ter noção se a série converge ou não, antes de utilizar algum teste: verificar o
comportamento do termo geral no limite, observando a ordem de crescimento das funções que
compõem o termo geral.
2.3. Séries de Potências
Considere a série ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛(𝑥− 𝑥0)𝑛.
Fatos:
• Sobre a convergência da série:
(i) converge apenas para 𝑥 = 𝑥0;
(ii) converge ∀𝑥 ∈ R;
(iii) ∃𝑅 > 0 (raio de convergência) tal que a série converge para |𝑥 − 𝑥0| < 𝑅, ie, para
𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 + 𝑅), e diverge fora desse intervalo. Nos extremos 𝑥0 − 𝑅 e 𝑥0 + 𝑅, a
série pode convergir ou divergir.
5
Obs: Utilizando o teste da razão, temos que se
lim𝑛→∞
⃒⃒⃒𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
(𝑥− 𝑥0)
⃒⃒⃒
= 𝐿
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
> 1 ou não existe, temos o caso (i)
< 1 independente de (𝑥− 𝑥0), temos o caso (ii)
dependente de (𝑥− 𝑥0), temos o caso (iii)
↘ (fazer L < 1 para encontrar R)
.
Assim, para determinar o intervalo de convergência de uma série de potência, utilize o teste
da razão para encontrar o raio de convergência e o intervalo associado a esse raio. Em seguida,
avalie separadamente os extremos desse intervalo (ie, substitua 𝑥 pelo valor do extremo e
determine se essa série converge ou não).
• (Diferenciação e Integração) Se 𝑓(𝑥) = ∑︀∞𝑛=0 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛 tiver raio de convergência 𝑅 > 0,
então 𝑓(𝑥) é diferenciável em (𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 + 𝑅) e 𝑓 ′(𝑥) = ∑︀∞𝑛=1 𝑛𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛−1. Também∫︁
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
(︃ ∞∑︁
𝑛=0
𝑎𝑛
𝑛+ 1(𝑥− 𝑥0)
𝑛+1
)︃
+ 𝑐𝑡𝑒.
• (Série de Taylor/Maclaurin) Seja 𝑓 função analítica. A expansão de 𝑓 ao redor de 𝑥0 em
série de Taylor (Maclaurin se 𝑥0 = 0) é: 𝑓(𝑥) =
∑︀∞
𝑛=0
𝑓 (𝑛)(𝑥0)
𝑛! (𝑥− 𝑥0)
𝑛.
2.4. Soluções em Séries
Considere 𝑃 (𝑥)𝑦′′ +𝑄(𝑥)𝑦′ +𝑅(𝑥)𝑦 = 0.
(︃
→˓ 𝑥2𝑦′′ + 𝑥
(︃
𝑥
𝑄(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︃
𝑦′ +
(︃
𝑥2
𝑅(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︃
𝑦 = 0)︃
2.4.1 Soluções na Vizinhança de Pontos Ordinários
• Dizemos que 𝑥0 é ponto ordinário se
(︃
𝑄(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︃
e
(︃
𝑅(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︃
são analíticas em 𝑥0.
• Para resolver a edo 𝑃 (𝑥)𝑦′′+𝑄(𝑥)𝑦′+𝑅(𝑥)𝑦 = 0 ao redor de um ponto ordinário 𝑥0, suponha
uma solução da forma 𝑦 = ∑︀∞𝑛=1 𝑎𝑛(𝑥−𝑥0)𝑛, derive e substitua na edo. Em seguida encontre
a fórmula de recorrência nos termos 𝑎𝑛 e tente achar a fórmula fechada para 𝑎𝑛. Substituindo
em 𝑦, temos a solução da edo. O raio de convergência de 𝑦 será o menor raio de convergência
de
(︁
𝑄(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︁
e
(︁
𝑅(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︁
(lembre de considerar a distância de 𝑥0 à singularidade mais próxima).
2.4.2 Soluções na Vizinhança de Pontos Singulares Regulares
• Dizemos que 𝑥0 é ponto singular se lim𝑥→𝑥0
𝑄(𝑥)
𝑃 (𝑥) = ±∞ ou lim𝑥→𝑥0 𝑅(𝑥)𝑃 (𝑥) = ±∞ (note que
𝑃 (𝑥0) = 0 é suficiente para 𝑥0 ser singular). Um ponto singular é regular se⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
𝑝0 = lim𝑥→𝑥0(𝑥− 𝑥0)
(︃
𝑄(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︃
<∞
𝑞0 = lim𝑥→𝑥0(𝑥− 𝑥0)2
(︃
𝑅(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︃
<∞
.
6
• (Método de Frobenius) Para encontrar soluções em série de Frobenius ao redor de um ponto
singular regular 𝑥0 (considere aqui 𝑥0 = 0 e soluções para 𝑥 > 0):
1) Ache a equação indicial: 𝑟(𝑟 − 1) + 𝑝0𝑟 + 𝑞0 = 0 e suas raízes 𝑟1 e 𝑟2 (suponha 𝑟1 ≥ 𝑟2,
os expoentes de singularidade. Lembre que sempre é garantida a existência de uma
solução em série de Frobenius para o expoente maior.
2) Se 𝑟1 > 𝑟2 e 𝑟1 − 𝑟2 é real positivo não inteiro, então existem duas soluções em série de
Frobenius (ie, da forma 𝑦(𝑥) = ∑︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑟). Obs: o raio de convergência da solução
geral de Frobenius (𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2) é o menor raio entre as séries de (𝑥 − 𝑥0)
(︁
𝑄(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︁
e
(𝑥− 𝑥0)2
(︁
𝑅(𝑥)
𝑃 (𝑥)
)︁
.
2.1) Para determinar tais soluções, suponha uma solução da forma 𝑦(𝑥) = ∑︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑟.
Derive e substitua na edo. Note que as derivadas nesse caso são⎧⎨⎩𝑦′(𝑥) =
∑︀∞
𝑛=0(𝑛+ 𝑟)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑟−1
𝑦′′(𝑥) = ∑︀∞𝑛=0(𝑛+ 𝑟)(𝑛+ 𝑟 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑟−2 .
2.2) Ache a fórmula de recorrência geral em 𝑎𝑛.
2.3) Para cada expoente 𝑟1 e 𝑟2, encontre a fórmula de recorrência em 𝑎𝑛 específica e se
possível ache a forma fechada de 𝑎𝑛.
2.4) Teremos duas soluções 𝑦1(𝑥) = 𝑥𝑟1
∑︀∞
𝑛=0 𝑎𝑛𝑥
𝑛 e 𝑦2(𝑥) = 𝑥𝑟2
∑︀∞
𝑛=0 𝑎𝑛𝑥
𝑛
2’) Se 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟, não existe uma segunda solução em série de Frobenius, mas uma da
forma 𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥)𝑙𝑛|𝑥|+ 𝑥𝑟∑︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛.
2”) Se 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑁 é inteiro positivo, não garantimos uma segunda solução em série de
Frobenius, mas existe uma da forma 𝑦2(𝑥) = 𝑐𝑦1(𝑥)𝑙𝑛|𝑥| + 𝑥𝑟2 ∑︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛. Obs: Pode
ser que haja duas soluções em série de Frobenius, nesse caso. Verifica-se, supondo que
existe uma solução 𝑦2 =
∑︀∞
𝑛=0 𝑎𝑛𝑥
𝑛+𝑟2 e substituindo na edo. Ao avaliar 𝑎𝑁 , se for
arbitrário ou existir, então serão soluções: 𝑦1, soma finita até o termo 𝑎𝑁−1 e 𝑦2 a série
com o termo começando em 𝑎𝑁𝑥𝑁+𝑟2 .
2.5. Séries de Fourier
• Teorema da convergência de Fourier: Seja 𝑓 : [−𝐿,𝐿]→ R diferenciável por partes, periódica
com período 2𝐿 e definida fora de [−𝐿,𝐿]. Então 𝑓 admite representação em série de Fourier:
𝑓(𝑥) = 𝑎02 +
∞∑︁
𝑛=1
(︂
𝑎𝑛 cos
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂
+ 𝑏𝑛 sin
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂)︂
, com
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫︁ 𝐿
−𝐿
𝑓(𝑥) cos
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂
𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 0
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫︁ 𝐿
−𝐿
𝑓(𝑥) sin
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂
𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 1
e para todo 𝑥 ∈ [−𝐿,𝐿] converge para 𝑓(𝑥
+) + 𝑓(𝑥−)
2 .
• 𝑓 par ⇒ ∫︀ 𝐿−𝐿 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫︀ 𝐿0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (lembrar da simetria)
• 𝑓 ímpar ⇒ ∫︀ 𝐿−𝐿 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 (lembrar da anti-simetria)
7
• (série de Fourier em cossenos) Seja 𝑓 nas hipóteses do teorema da convergência de Fourier. Se
𝑓 é par, então 𝑓(𝑥) = 𝑎02 +
∞∑︁
𝑛=1
(︂
𝑎𝑛 cos
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂)︂
, onde 𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫︁ 𝐿
0
𝑓(𝑥) cos
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂
𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 0.
• (série de Fourier em senos) Seja 𝑓 nas hipóteses do teorema da convergência de Fourier. Se
𝑓 é ímpar, então 𝑓(𝑥) =
∞∑︁
𝑛=1
𝑏𝑛 sin
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂
, onde 𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫︁ 𝐿
0
𝑓(𝑥) sin
(︂
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)︂
𝑑𝑥, 𝑛 ≥ 1.
• (extensão par) Dada 𝑓 : [0, 𝐿] → R, para encontrar uma extensão par periódica defina
𝑔(𝑥) =
⎧⎨⎩𝑓(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿𝑓(−𝑥) −𝐿 ≤ 𝑥 ≤ 0
• (extensão ímpar) Dada 𝑓 : [0, 𝐿]→ R, para encontrar uma extensão ímpar periódica defina
ℎ(𝑥) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
𝑓(𝑥) 0 < 𝑥 < 𝐿
0 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝐿
−𝑓(−𝑥) −𝐿 < 𝑥 < 0
• Lembre que podemos escrever uma extensão periódica
⎧⎨⎩par em série de Fourier em cossenosímpar em série de Fourier em senos
3. Equações Diferenciais Parciais
• Método da Separação de Variáveis
1) Suponha uma solução da forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇 (𝑡), derive parcialmente e substitua na
edp. Encontre duas edo’s lineares com coeficientes constantes homogêneas em 𝑋(𝑥) e
𝑇 (𝑡), com um parâmetro constante 𝜆 a ser determinado.
2) Utilize as condições de contorno em 𝑢(𝑥, 𝑡) para encontrar condições de contorno em
𝑋(𝑥) e 𝑇 (𝑡).
3) Avalie os casos 𝜆 = 0, 𝜆 = −𝜌2 < 0, com 𝜌 > 0 (aqui, lembre de supor sinh(𝜌𝑥) e
cosh(𝜌𝑥) ao invés de 𝑒𝜌𝑥 e 𝑒−𝜌𝑥 como soluções fundamentais) e 𝜆 = 𝜌2 > 0, com 𝜌 > 0,
ie, para cada caso, resolva as edo’s encontradas no item (1) e ache os valores de 𝜆
possíveis, e as autofunções 𝑋𝑛(𝑥) e 𝑇𝑛(𝑡), logo 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑋𝑛(𝑥)𝑇𝑛(𝑡).
4) Suponha 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑︀∞𝑛=0𝑜𝑢1 𝑐𝑛𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) solução. Compare com a condição inicial e ache
os 𝑐𝑛’s. No caso em que 𝑢(𝑥, 0) é série de Fourier em cossenos ou em senos, sabemos
encontrar os 𝑐𝑛’s (vide série de Fourier em cossenos ou em senos na seção anterior).
5) Substitua os valores de 𝑐𝑛 para encontrar a solução 𝑢(𝑥, 𝑡) =
∑︀∞
𝑛=0𝑜𝑢1 𝑐𝑛𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) desejada.