6-Funcoes Continuas_04-04-2025

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Transformações Lineares Aplicações Multilineares
6 - Transformações Lineares e Multilineares
Transformações Lineares Aplicações Multilineares
Espaços Métricos
6 - Transformações Lineares e Multilineares
Profª. Kamila Andrade
Professora Adjunta
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
kamila.andrade@ufg.br
kamila.andrade@ufg.br
Transformações Lineares Aplicações Multilineares
Tópicos
1 Transformações Lineares
2 Aplicações Multilineares
Transformações Lineares Aplicações Multilineares
Transformações Lineares
Definições
Definição.
Sejam E, F espaços vetoriais. Uma aplicação f : E → F chama-se
uma transformação linear quando, para quaisquer x, y ∈ E e λ ∈ R,
têm-se f (x + y) = f (x) + f (y) e f (λ · x) = λ · f (x). Se for F = R,
diremos que f : E → R é um funcional linear.
OBS.: Note que para uma transformação linear f tem-se
f (λ1 · v1 + · · ·+ λn · vn) = λ1 · f (v1) + · · ·+ λn · f (vn).
O interesse aqui é na continuidade das transformações lineares.
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Transformações Lineares
Resultados
Lema 1.
Toda transformação linear f : Rm → F, definida em Rm e tomando
valores num espaço vetorial normado F qualquer, é contínua.
Prova:
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Transformações Lineares
Resultados
Não é verdade que toda transformação linear f : E → F, definida
num espaço vetorial normado qualquer E, seja contínua.
Exemplo 1.
Seja E o conjunto dos polinômios reais com uma variável. E é um
espaço vetorial, no qual definiremos a norma
∥p∥ = sup
0≤x≤1
|p(x)|.
Seja agora f : E → R definida por f (p) = p(2). Mostre que f é um
funcional linear e é descontínuo no ponto 0 ∈ E (polinômio
identicamente nulo).
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Transformações Lineares
Resultados
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Transformações Lineares
Resultados
Proposição 1.
Sejam E, F espaços vetoriais normados. As seguintes afirmações a
respeito de uma transformação linear f : E → F são equivalentes:
1 f é contínua;
2 f é contínua no ponto 0 ∈ E;
3 Existe c > 0 tal que |f (x)| ≤ c · |x| para todo x ∈ E;
4 Existe c > 0 tal que |f (x)− f (y)| ≤ c · |x − y| para quaisquer
x, y ∈ E.
Demonstração:
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Transformações Lineares
Resultados
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Resultados
Corolário.
Seja f : E → F uma bijeção linear. Para que f seja um
homeomorfismo, é necessário e suficiente que existam α > 0 e β > 0
tais que α · |x| ≤ |f (x)| ≤ β · |x| para todo x ∈ E.
Prova:
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Exemplos
Exemplo 2. Bijeção linear contínua que não é um
homeomorfismo.
Seja R∞ o espaço vetorial formado pelas sequências infinitas
x = (x1, x2, . . . , xn, . . . ) de números reais, em cada uma das quais
apenas um número finito de coordenadas xn é ̸= 0. Consideramos em
R∞ a norma |x| =
√
x2
1 + · · ·+ x2
n + · · · (soma finita). Definamos a
transformação linear f : R∞ → R∞ pondo
f (x1, x2, . . . , xn, . . . ) = (x1, x2/2, . . . , xn/n, . . . ). Então f é contínua
porque |f (x)| ≤ |x| para todo x ∈ R∞. A inversa de f é dada por
f−1(y1, y2, . . . , yn, . . . ) = (y1, 2y2, . . . , nyn, . . . ).
Para cada n, o vetor en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), cuja n-ésima
coordenada é 1 e as outras são zero, cumpre |en| = 1 e |f−1(en)| = n.
Logo |f−1(en)| ≥ n · |en| e, como n pode ser arbitrariamente grande,
concluímos que f−1 é descontínua.
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Observações
Da Proposição 1, segue que as transformações lineares contínuas
f : E → F (E e F espaços vetoriais normados) são precisamente
aquelas que são limitadas na esfera unitária
S = {x ∈ E; ∥x∥ = 1} do espaço E.
Indica-se com L(E;F) o conjunto das transformações lineares
contínuas de E em F. Evidentemente,
L(E;F) é um espaço vetorial em relação às operações
(f + g)(x) = f (x) + g(x) e (αf )(x) = α · f (x), pois se
f , g : E → F são contínuas então f + g e α · f também são.
L(E;F) possui uma norma natural, definida por
∥f∥ = sup{|f (x)| | x ∈ E; ∥x∥ = 1} = sup
x∈S
|f (x)|.
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Resultados
Sejam ∥ · ∥1 e ∥ · ∥2 normas no mesmo espaço vetorial E.
Escrevamos
E1 = (E, ∥ · ∥1), E2 = (E, ∥ · ∥2)
e indiquemos com i12 : E1 → E2 a aplicação identidade.
Definição.
Diremos que a norma ∥ · ∥1 é mais fina do que a norma ∥ · ∥2 quando
i12 for contínua, isto é, quando a métrica d1, proveniente de ∥ · ∥1, for
mais fina do que a métrica d2, proveniente de ∥ · ∥2.
Diremos que ∥ · ∥1 e ∥ · ∥2 são normas equivalentes quando i12 for
um homeomorfismo.
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Resultados
Proposição 2.
Duas normas ∥ · ∥1 e ∥ · ∥2 num espaço vetorial E são equivalentes se,
e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que
α · ∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ β · ∥x∥1 para todo x ∈ E.
Demonstração:
OBS.: Esta condição, que era apenas suficiente para a equivalência de
métricas em geral, é também necessária quando tais métricas provêm
de normas.
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Aplicações Multilineares
Definição
Definição
Sejam E1,E2, . . . ,En, F espaços vetoriais. Uma aplicação
f : E1 × · · · × En → F chama-se n-linear quando é linear
separadamente em cada uma das suas n variáveis. Isto significa que,
para i = 1, 2, . . . , n, têm-se
f (x1, . . . , xi + yi, . . . , xn) = f (x1, . . . , xi, . . . , xn) + f (x1, . . . , yi, . . . , xn),
f (x1, . . . , αxi, . . . , xn) = αf (x1, . . . , xi, . . . , xn),
sejam quais forem x1 ∈ E1, . . . , xi, yi ∈ Ei, . . . , xn ∈ En e α ∈ R.
OBS.: Se algum xi = 0 então, pela segunda condição (com α = 0),
tem-se f (x1, ..., xn) = 0. Para n = 2, dizemos que f é bilinear.
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Exemplos
Exemplo 3.
A multiplicação por um escalar, m : R× E → E, onde
m(λ, x) = λ · x é bilinear.
Todo produto interno p : E × E → R, p(x, y) = ⟨x, y⟩ é bilinear.
Se E e F são espaços vetoriais normados, a aplicação
α : L(E;F)× E → F, definida por α(T, x) = T(x), é bilinear.
A função determinante det : Rm × · · · × Rm → R (m fatores) é
m-linear.
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Resultados
Proposição 3.
Sejam E, F, G espaços vetoriais normados e f : E × F → G uma
aplicação bilinear. As seguintes afirmações são equivalentes:
1 f é contínua;
2 f é contínua no ponto (0, 0) ∈ E × F;
3 existe c > 0 tal que ∥f (x, y)∥ ≤ c · ∥x∥ · ∥y∥ para quaisquer
x ∈ E, y ∈ F;
4 f é lipschitziana em cada parte limitada de E × F.
Demonstração:
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Resultados
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Resultados
Corolário
Seja F um espaço vetorial normado. Toda aplicação bilinear
f : Rm × Rn → F, definida num par de espaços euclidianos, é
contínua.
Prova:
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Observação
OBS.: É vantajoso imaginar uma aplicação bilinear f : E × F → G
como uma multiplicação, na qual o produto de um elemento de E por
um de F pertence a G. De fato, usando a notação f (x, y) = x · y, as
condições de bilinearidade se exprimem como:
(x + x′) · y = x · y + x′ · y,
x · (y + y′) = x · y + x · y′,
(αx) · y = x · (αy) = α · (x · y).
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Exemplos
Exemplo 4.
A Proposição 10 contém a demonstração de que:
a multiplicação de números reais m : R× R → R é contínua;
a multiplicação m : R× E → E, de um número por um vetor
num espaço vetorial normado E, é contínua;
qualquer produto interno ⟨·, ·⟩ : E × E → R num espaço vetorial
E é contínuo em relação à norma por ele induzida em virtude da
desigualdade de Cauchy-Schwarz |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥;
a composição de transformações lineares contínuas
µ : L(F;G)× L(E;F) → L(E;G) é uma aplicação bilinear
contínua relativamente à norma natural acima definida para
espaços do tipo L(E;F).
a função determinante, det : Rm2
= Rm × · · · × Rm → R é
contínua, em virtude do corolárioacima.
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Exemplos
Exemplo 4.
A Proposição 10 contém a demonstração de que:
a multiplicação de números reais m : R× R → R é contínua;
a multiplicação m : R× E → E, de um número por um vetor
num espaço vetorial normado E, é contínua;
qualquer produto interno ⟨·, ·⟩ : E × E → R num espaço vetorial
E é contínuo em relação à norma por ele induzida em virtude da
desigualdade de Cauchy-Schwarz |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥;
a composição de transformações lineares contínuas
µ : L(F;G)× L(E;F) → L(E;G) é uma aplicação bilinear
contínua relativamente à norma natural acima definida para
espaços do tipo L(E;F).
a função determinante, det : Rm2
= Rm × · · · × Rm → R é
contínua, em virtude do corolário acima.
Transformações Lineares Aplicações Multilineares
Exemplos
Exemplo 4.
A Proposição 10 contém a demonstração de que:
a multiplicação de números reais m : R× R → R é contínua;
a multiplicação m : R× E → E, de um número por um vetor
num espaço vetorial normado E, é contínua;
qualquer produto interno ⟨·, ·⟩ : E × E → R num espaço vetorial
E é contínuo em relação à norma por ele induzida em virtude da
desigualdade de Cauchy-Schwarz |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥;
a composição de transformações lineares contínuas
µ : L(F;G)× L(E;F) → L(E;G) é uma aplicação bilinear
contínua relativamente à norma natural acima definida para
espaços do tipo L(E;F).
a função determinante, det : Rm2
= Rm × · · · × Rm → R é
contínua, em virtude do corolário acima.
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Exemplos
Exemplo 4.
A Proposição 10 contém a demonstração de que:
a multiplicação de números reais m : R× R → R é contínua;
a multiplicação m : R× E → E, de um número por um vetor
num espaço vetorial normado E, é contínua;
qualquer produto interno ⟨·, ·⟩ : E × E → R num espaço vetorial
E é contínuo em relação à norma por ele induzida em virtude da
desigualdade de Cauchy-Schwarz |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥ · ∥y∥;
a composição de transformações lineares contínuas
µ : L(F;G)× L(E;F) → L(E;G) é uma aplicação bilinear
contínua relativamente à norma natural acima definida para
espaços do tipo L(E;F).
a função determinante, det : Rm2
= Rm × · · · × Rm → R é
contínua, em virtude do corolário acima.