Exercicios de Fisica Mecanica 1 Resolvidos

Prévia do material em texto

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
 
Teste seu conhecimento! 
 
 
1-Um carro move-se em linha reta de tal maneira que por curto 
período sua velocidade é definida por v= (0,9 t 2 + 0,6 t ) m/s, onde t 
está em segundos. Determine sua velocidade quanto t=3 s. 
 
2- Numa corrida de fórmula 1, a volta mais rápida foi feita em 1 
minuto e 20 segundos a uma velocidade média de 180 km/h. Pode-se 
afirmar que o comprimento da pista em metros, é de: 
 
3- Uma moeda de 1 euro é largada da torre de pisa. Ela parte do 
repouso e se move em queda livre. Calcule sua posição e sua 
velocidade no instante 3,0 s? 
 
4- Um carro move-se em linha reta de tal maneira que por curto 
período sua velocidade é definida por v = (2t2 + 12t) m/s, onde t está 
em segundos. Determine sua velocidade quanto t = 2 s. 
 
5- Depois de dirigir uma van em uma estrada retilínea por 8,4 km 
a 70 km/h você para por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes você 
caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada até chegar ao posto de 
gasolina mais próximo. (a) Qual o deslocamento TOTAL, desde o início 
da viagem até chegar ao posto de gasolina? (b) Qual o intervalo de 
tempo Δt entre o início da viagem e o instante em que você chega ao 
posto? 
 
6- Em 26 de Setembro de 1993, Dave Munday foi até o lado 
canadense das cataratas do Niágara com uma bola de aço, equipada 
com um furo para a entrada de ar, e caiu 48 m até a água. Suponha 
que a velocidade inicial era nula e despreze o efeito do ar sobre a bola 
durante a queda. Quanto tempo durou a queda de Munday? 
 
7- Um Leopardo Africano está de tocaia à 20 m a leste de um jipe 
blindado de observação. No instante t = 0, o leopardo começa a 
perseguir um antílope situado à 50 m a leste do observador. O 
leopardo corre ao longo de uma linha reta. A análise posterior de um 
vídeo mostra que durante os 2,0 s iniciais do ataque, a coordenada x 
do leopardo varia com o tempo de acordo com a equação x = 20 m + 
(5,0 m/s2) t2. 
 
a) Determine o deslocamento do leopardo durante o intervalo entre 
t1 
= 1,0 s e t2 = 2,0 s. 
 
b) Ache a velocidade média durante o mesmo intervalo de tempo. 
 
c) Ache a velocidade instantânea no tempo t1= 1,0 s, considerando 
∆t = 0,1 s. 
 
d) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea em 
função do tempo e, a partir dela, calcule a velocidade para t= 1,0 s e 
t= 2,0 s. 
 
8- Um foguete transportando um satélite é acelerado verticalmente 
a partir de superfície terrestre. Após 1,15 s de seu lançamento, o 
foguete atravessa o topo de sua plataforma de lançamento a 63 m 
acima do solo. Depois de 4,75 s adicionais ele se encontra a 1,0 km 
acima do solo. 
Calcule o módulo da velocidade média do foguete para: 
 
a) O trecho do voo corresponde ao intervalo de 4,75 s; 
 
b) Os primeiros 5,90 s do seu voo. 
 
GABARITO 
 
Exercício 1: 
Neste exercício é necessário apenas substituir o t por 3 s na função da velocidade V 
𝑉 = (0,9(3)2 + 0,6(3)) 
𝑉 = 8,1 + 1,8 
𝑉 = 9,9𝑚/𝑠 
 
Exercício 2: 
Neste exercício podemos definir que o comprimento da pista é dado pelo espaço 
percorrido (x) em uma volta. Como a volta dura um intervalo de tempo t = 1min e 
20 s, é necessário converter esse intervalo para unidade segundos. 
∆𝑡 = 1𝑚𝑖𝑛 + 20𝑠 
∆𝑡 = 60𝑠 + 20𝑠 
∆𝑡 = 80𝑠 
A velocidade média do veículo é VM = 180 km/h, mas deve ser convertida para metros 
por segundo (m/s) para que tenhamos a unidade de medida temporal igual entre as 
grandezas e encontremos o comprimento da pista em metros (m). 
Conversão de km/h para m/s: 
𝑉𝑀 = 180𝑘𝑚/ℎ
:3,6
⇒ 𝑉𝑀 = 50𝑚/𝑠 
 
Sendo assim, como a velocidade média é definida pela razão entre o espaço percorrido 
e o intervalo de tempo durante o percurso, 
𝑉𝑀 =
∆𝑥
∆𝑡
⟺ ∆𝑥 = 𝑉𝑀 ∙ ∆𝑡 
∆𝑥 = (50)(80) 
∆𝑥 = 4000𝑚 
 
 
Exercício 3: 
Neste exercício o fenômeno físico descrito no movimento da moeda é chamado de 
queda livre. O movimento de queda livre nada mais é que um movimento retilíneo 
(trajetória é uma reta) com aceleração constante. 
Você pode ler mais sobre isso se acessar o material impresso da aula a partir da página 
20 (vale a pena ler, existem fatos curiosos). 
Como queremos uma análise matemática da situação de queda da moeda, devemos 
utilizar as equações da queda livre, as quais são: 
 
y = yo + Vo .t - g.t2/2 (esta equação é chamada equação da posição y em função do 
tempo para queda livre) 
 
V = Vo - g.t ( esta equação é a equação da velocidade em função do tempo) 
 
V2 = Vo2 -2.g. (y-yo) (esta equação não depende do tempo) 
 
Segundo o enunciado do exercício: 
 
Uma moeda de 1 euro é largada da torre de pisa. Ela parte do repouso e se move em 
queda livre. Calcule sua posição e sua velocidade no instante 3,0 s? 
 
Pode-se tirar as informações: 
 
Vo (velocidade inicial) o enunciado diz que parte do repouso, então Vo = 0 
 
O valor de t (tempo de queda) , segundo o enunciado, no instante t = 3,0 s 
 
E sabemos que o valor de g (aceleração da gravidade) g = 9,8 m/s2 
 
O problema pede para calcular a posição da moeda a partir do ponto de lançamento 
que iremos considerar a posição inicial Vo = 0 
 
Das três equações mostradas anteriormente a que relaciona posição da moeda com o 
tempo é a primeira equação: 
 
y = yo + Vo .t - g.t2/2 
 
substituindo os valores conhecidos 
 
y = 0 + 0.3 - 9,8 . 32/2 
 
resolvendo, primeiro iremos elevar o três ao quadrado 32 = 3.3 = 9 
 
y = - 9,8 . 9/2 
 
agora iremos dividir o 9,8 por 2 
 
y = - 4,9 .9 
 
e finalmente iremos multiplicar 4,9 por 9 
 
y = - 44,1 m 
 
o sinal negativo indica que a moeda encontra-se a 44,1 m abaixo do ponto 0 de 
lançamento. 
 
O problema pergunta também qual a velocidade que a moeda vai ter neste instante de 
tempo t = 3,0 s. 
 
Das três equações mostradas anteriormente a que relaciona a velocidade de queda 
com o tempo e a segunda: 
 
V = Vo - g.t 
 
substituindo os valores conhecidos na equação: 
 
V = 0 - 9,8 . 3 
 
resolvendo iremos multiplicar o 9,8 por 3 
 
V = - 29,4 m/s 
 
A velocidade negativa indica que a moeda está movendo-se para baixo com módulo 
29,4 m/s. 
 
Exercício 4: 
Neste exercício é necessário apenas substituir o instante de tempo t por 2s na fórmula 
da velocidade V. 
𝑉 = (2𝑡2 + 12𝑡) 
𝑉 = (2(2)2 + 12(2)) 
𝑉 = (8 + 24) 
𝑉 = 32𝑚/𝑠 
 
Exercício 5: 
Na primeira parte do trajeto, você desloca-se de van um x1 = 8,4 km com velocidade 
constante v1 = 70 km/h. Nesse trajeto você demora um intervalo de tempo t1 dado 
por 
𝑣1 =
∆𝑥1
∆𝑡1
⟺ ∆𝑡1 =
∆𝑥1
𝑣1
 
∆𝑡1 =
8,4
70
 
∆𝑡1 = 0,12ℎ 
Na segunda parte do trajeto, você desloca-se caminhando um x2 = 2,0 km em um 
intervalo de tempo t2 = 30 min. Esse intervalo de tempo equivale a t2 = 0,5 h pois 
30 min é meia hora. 
Sendo assim, 
(A) O deslocamento total (xTOT) é dado pela soma do deslocamento em cada parte do 
trajeto. 
∆𝑥𝑇𝑂𝑇 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 
∆𝑥𝑇𝑂𝑇 = 8,4 + 2,0 
∆𝑥𝑇𝑂𝑇 = 10,4𝑚 
(B) O intervalo de tempo total (tTOT) é dado pela soma do intervalo de tempo decorrido 
em cada parte do trajeto. 
∆𝑡𝑇𝑂𝑇 = ∆𝑡1 + ∆𝑡2 
∆𝑡𝑇𝑂𝑇 = 0,12 + 0,5 
∆𝑡𝑇𝑂𝑇 = 0,62ℎ 
Como 1 hora tem 60 min, o intervalo de tempo total do trajeto convertido em minutos 
é de 
∆𝑡𝑇𝑂𝑇 = 0,62(60) 
∆𝑡𝑇𝑂𝑇 = 37,2𝑚𝑖𝑛 
 
Exercício 6: 
O movimento de queda livre caracteriza um Movimento Retilíneo Uniformemente 
Variado (MRUV). Esse movimento tem a aceleração constante, no caso da queda-livre, 
a aceleraçãoé g = 9,8 m/s² (aceleração gravitacional). 
O intervalo de tempo que a bola leva para cair é dado pelo próprio t quando a bola 
atinge a água (y = 0). Como a bola é abandonada a partir do repouso (v0 = 0) de uma 
altura y = 48 m, segundo a equação da posição em função do tempo para queda livre: 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −
𝑔𝑡²
2
 
Substituindo os valores 
0 = 48 + (0)𝑡 −
(9,8)𝑡²
2
 
0 = 48 − 4,9𝑡2 
4,9𝑡2 = 48 
𝑡2 =
48
4,9
 
𝑡2 = 9,80 
𝑡 = +√9,80 
𝑡 = +3,13𝑠 
Logo, a queda de Munday durou 3,13 s, como mostra a figura: 
 
 
Exercício 7: 
a) O deslocamento x do leopardo entre os instantes t1 = 1,0 s e t2 = 2,0 s é dado pela 
variação da posição do mesmo nesse intervalo. 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 
Para determinar a posição do leopardo nesses instantes, é necessário substituir t pelo 
valor de cada instante. 
𝑡1 = 1,0𝑠 → 𝑥1 = 20 + 5,0𝑡1
2 
𝑥1 = 20 + 5,0(1,0)
2 
𝑥1 = 20 + 5,0 
𝑥1 = 25𝑚 
 
𝑡2 = 2,0𝑠 → 𝑥2 = 20 + 5,0𝑡2
2 
𝑥2 = 20 + 5,0(2,0)² 
𝑥2 = 20 + 50(4) 
𝑥2 = 20 + 20 
𝑥2 = 40𝑚 
 
O deslocamento do leopardo nesse intervalo de tempo é dado por 
∆𝑥 = 40 − 25 
∆𝑥 = 15𝑚 
b) O intervalo de tempo entre os instantes t1 = 1,0 s e t2 = 2,0 s é dado por 
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 
∆𝑡 = 2,0 − 1,0 
∆𝑡 = 1,0𝑠 
A velocidade média do leopardo é dada pela razão entre o deslocamento e o intervalo 
de tempo decorrido. 
𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
 
 
𝑣𝑚 =
15
1,0
 
𝑣𝑚 = 15𝑚/𝑠 
c) O cálculo da velocidade instantânea pode ser aproximado quando o intervalo de 
tempo é muito pequeno. Para um intervalo de tempo t = 0,1 s, a velocidade 
instantânea pode ser aproximada da velocidade média entre os instantes t1 = 1,0 s e 
t2 = 1,1 s. 
𝑡1 = 1,0𝑠 → 𝑥1 = 25𝑚 
𝑡2 = 1,1𝑠 → 𝑥2 = 20 + 5,0(1,1)
2 
𝑥2 = 20 + 5,0(1,21) 
𝑥2 = 20 + 6,05 
𝑥2 = 26,05𝑚 
 
O deslocamento nesse caso é 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 
∆𝑥 = 26,05 − 25 
∆𝑥 = 1,05𝑚 
Sendo assim, a velocidade no instante t1 = 1,0 s aproxima-se de 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 
𝑣 =
1,05
0,1
 
𝑣 = 10,5𝑚/𝑠 
No entanto, essa é ima aproximação. Quanto menor o intervalo de tempo t, mais 
próximo da real velocidade instantânea estará o resultado. 
d) Há duas formas de determinar a função da velocidade instantânea. 
Por dedução: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡²
2
𝑥 = 20 + 0𝑡 + 5,0𝑡²
 
Por comparação das equações, teremos que a posição inicial x0 = 20 m, a velocidade 
inicial do leopardo v0 = 0, e a aceleração é dada por 
𝑎
2
= 5,0 
𝑎 = 2 ∙ 5,0 
𝑎 = 10𝑚/𝑠² 
Esse movimento caracteriza um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), 
cuja equação da velocidade em função do tempo é dada por 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 
𝑣 = 0 + 10𝑡 
𝑣 = 10𝑡 
Outra forma de encontrar a equação da velocidade em função do tempo é por 
derivação: 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
𝑣 =
𝑑
𝑑𝑡
(20 + 5,0𝑡2) 
𝑣 = 0 + 10𝑡 
𝑣 = 10𝑡 
Nos instantes t1 = 1,0 s e t2 = 2,0 s, as respectivas velocidades podem ser 
determinadas substituindo t na equação. 
𝑣1 = 10𝑡1 𝑣2 = 10𝑡2
𝑣1 = 10(1,0) 𝑣2 = 10(2,0)
𝑣1 = 10𝑚/𝑠 𝑣2 = 20𝑚/𝑠
 
 
 
Exercício 8: 
a) O trecho de voo correspondente ao intervalo de 4,75 s? 
 
Obs: Temos que trabalhar na mesma unidade, segundo (SI). 
1Km = 1000m 
 
Recorrendo a Fórmula da Velocidade Média: 
Vm =x / t 
Vm = X2 -X1/T2-T1 
Vm = 1000- 63/4,75 
Vm = 937m/4,75s 
Vm = 197,26 m/s 
 
Conclusão: O Módulo da velocidade média é de 197,26m/s, ou seja, a cada segundo 
há uma distância percorrida de 197,26 m pelo foguete. 
b) Os primeiros 5,90s do seu vôo. 
 
Obs: Temos que trabalhar na mesma unidade, segundo (SI). 
1Km = 1000m 
 
Recorrendo a Fórmula da Velocidade Média: 
Vm = x / t 
Vm = 1000m/5,90s 
Vm = 169,49m/s 
 
Conclusão: O Módulo da velocidade média é de 169,49 m/s, ou seja, a cada segundo 
há uma distância percorrida de 169,49 m pelo foguete.