Emementos de Analise Matematica 2

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Dicesar Lass Fernandez
ELEMENTOS DE ANA´LISE II
Notas de Aula - MA602
Rascunho de uma versa˜o preliminar 2.8
01 de Janeiro de 2016
.
Suma´rio
1 SEQUEˆNCIAS E SE´RIES DE FUNC¸O˜ES 1
1.1 Sequeˆncias de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sequeˆncias de Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 O Teorema de Arzela´-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Se´ries de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Uma Func¸a˜o Cont´ınua Na˜o-Deriva´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Derivac¸a˜o de Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Se´ries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 FUNC¸O˜ES ELEMENTARES (I) 29
2.1 Existeˆncia da Func¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Existeˆncia da Func¸a˜o Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Propriedades Elementares do Logar´ıtmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 A Func¸a˜o Exponencial Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 A Func¸a˜o Poteˆncia Geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Generalizac¸o˜es Finais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Func¸a˜o Logar´ıtmica Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 O Espac¸o C∞c (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 FUNC¸O˜ES ELEMENTARES (II) 41
3.1 A Existeˆncia das Func¸o˜es Seno e Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Propriedades Elementares do Seno e Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 O Nu´mero pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 As Fo´rmulas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Definic¸a˜o das demais Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 As Func¸o˜es Arco Seno e Arco Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 A Func¸a˜o de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
i
4 UMA INTEGRAL ELEMENTAR 53
4.1 Func¸o˜es em Escada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Integral de Func¸o˜es em Escada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Integral de Func¸o˜es Cont´ınuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Func¸o˜es Regradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Integral de Func¸o˜es Regradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.9 A Noc¸a˜o de Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.10 Mudanc¸a de Varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.11 Integrac¸a˜o por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.12 O Nu´mero pi na˜o e´ Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.13 A Fo´rmula de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.14 Uma Segunda Fo´rmula para pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.15 Integrais de Func¸o˜es Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 INTEGRAIS IMPRO´PRIAS 83
5.1 Func¸o˜es Na˜o-Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Valor Principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Integrais com Extremos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Crite´rios de Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 SE´RIES DE FOURIER 93
6.1 Func¸o˜es Perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Polinoˆmios e Se´ries Trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Polinoˆmios e Se´ries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4 Nu´cleos de Fe´jer e o Teorema de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5 Norma Me´dia Quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 O Polinoˆmio de Melhor Aproximac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7 Se´ries de Fourier absolutamente convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.8 Ordem de Aproximac¸a˜o e Classes de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.9 Teorema de Aproximac¸a˜o Direta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.10 Teorema de Aproximac¸a˜o Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ii
Cap´ıtulo 1
SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
DE FUNC¸O˜ES
1.1 Sequeˆncias de Func¸o˜es
1.1.1 DEFINIC¸A˜O.
Uma sequeˆncia de func¸o˜es {fn}, definidas num mesmo dom´ınio D ⊂ R, converge
em um ponto x ∈ D se a sequeˆncia nume´rica {fn(x)} converge. Se a sequeˆncia
converge em todos os pontos de um subconjunto S ⊂ D diremos que converge
pontualmente em S.
EXEMPLO. Seja, para cada n ∈ N, fn definido em R por
fn(x) = x
n.
Enta˜o se |x| < 1, {fn(x)} converge (para zero), {fn(1)} converge (para 1), {fn(−1)} diverge
e se |x| > 1, {fn(x)} tambe´m diverge. Logo {fn} converge pontualmente em S =]− 1, 1[.
1.1.2 OBSERVAC¸A˜O.
Se uma sequeˆncia de func¸o˜es {fn} converge pontualmente num subconjunto S do
dom´ınio comum, podemos definir uma func¸a˜o f : S −→ R por
f(x) = lim
n−→∞
fn(x), x ∈ S.
Dizemos enta˜o que {fn} converge pontualmente para f , em S.
EXEMPLO. Seja {fn} a sequeˆncia em [0, 1] definida por fn(x) = xn. Enta˜o {fn} converge
pontualmente para χ{1}, onde χ{1} : [0, 1] −→ R e´ definida por
χ{1}(x) =
{
0 se 0 ≤ x < 1,
1 se x = 1.
1
2 Dicesar Lass Fernandez
Portanto
lim
n−→∞
xn = χ{1}(x), 0 ≤ x ≤ 1.
1.1.3 DEFINIC¸A˜O.
Uma sequeˆncia de func¸o˜es {fn}, definidas num mesmo dom´ınio D ⊂ R, converge
uniformemente num subconjunto S ⊂ D, se existe uma func¸a˜o f : S −→ R para
a qual, dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que se n ≥ Nε temos
|fn(x)− f(x)| < ε,
qualquer que seja x ∈ S. Dizemos enta˜o que {fn} converge uniformente para
f , em S.
E´ claro que se {fn} converge uniformemente, converge tambe´m pontualmente.
EXEMPLO. Consideremos a sequeˆncia {fn} definida em [0, 1], por
fn(x) =
nx2
1 + nx
=
x2
1
n
+ x
A sequeˆncia {fn} converge uniformemente para a func¸a˜o identidade I(x) = x. De fato
|fn(x)− x| =
∣∣∣∣ nx21 + nx − x
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ x1 + nx
∣∣∣∣ = 1n
∣∣∣∣ nx1 + nx
∣∣∣∣ < 1n.
Como a sequeˆncia {1/n}n converge para zero e na˜o depende de x, dado ε > 0, podemos
determinar Nε ∈ N de modo que 1/n < ε, se n ≥ Nε; consequentemente∣∣∣∣ nx21 + nx − x
∣∣∣∣ < ε,
para todo x ∈ [0, 1].
CONTRA-EXEMPLOS. (i) Consideremos em [0, 1], a sequeˆncia {fn} definida por
fn(x) = x
n. A convergeˆncia de {fn} para χ{1} e´ pontual mas na˜o e´ uniforme. De fato,
seja ε escolhido de modo que 0 < ε < 1/2. Mas, qualquer que seja n ∈ N vamos ter
|fn(2−1/n)− χ{1}(2−1/n)| = |(2−1/n)n − 0| = 1
2
> ε.
logo {fn(x) = xn} na˜o pode convirgir uniformemente para χ{1} em [0, 1].
(ii) A sequeˆncia {fn} definida por
fn(x) =
x
n
, x ∈ R,
Elementos de Ana´lise 3
converge para zero pontualmente mas na˜o uniformemente em R. A convergeˆncia e´ uniforme
apenas em subconjuntos limitados.
1.1.4 TEOREMA.
Uma sequeˆncia {fn} de func¸o˜esdefinidas num mesmo dom´ınio D, converge
uniformemente para uma func¸a˜o f num subconjunto S ⊂ D, se e somente se
(1) sup
x∈S
|fn(x)− f(x)| −→ 0, quando n −→∞.
Demonstrac¸a˜o. Se 1.1.4(1) e´ verificada, dado ε > 0 existe Nε ∈ N, tal que para todo x ∈ S,
temos
|fn(x)− f(x) ≤ sup
x∈S
|fn(x)− f(x)| < ε,
se n ≥ Nε. Logo, {fn} converge uniformemente para f em S.
Reciprocamente, se {fn} converge uniformemente para f em S, dado ε > 0 seja ε′ = ε/2.
Enta˜o, existe Nε ∈ N tal que para todo x ∈ S temos
|fn(x)− f(x)| < ε′,
se n ≥ Nε. Como ε′ na˜o depende de x podemos tomar o supremo na desigualdade acima
para obtermos
sup
x∈S
|fn(x)− f(x)| ≤ ε′ < ε,
se n ≥ Nε. �
EXEMPLO. Consideremos em [0,+∞[ a sequeˆncia {fn} definida por fn(x) = x
n
.
Seja I ⊂ [0,+∞[ um subconjunto limitado e c = sup I. Enta˜o,
sup
x∈I
∣∣∣∣xn
∣∣∣∣ ≤ cn −→ 0, quando n −→∞.
Portanto {fn(x) = x/n} converge uniformemente para zero em qualquer subconjunto limi-
tado de [0,+∞[. Mas
sup
0≤x<+∞
∣∣∣∣xn
∣∣∣∣ ≥ 1
e {fn(x) = x/n} na˜o pode convirgir uniformemente em [0,+∞[.
1.1.5 DEFINIC¸A˜O.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es limitadas definidas num mesmo dom´ınio D.
Dizemos que {fn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy uniforme se dado ε > 0 existe
N ∈ N tal que para todo n ≥ N e todo k ∈ N temos
4 Dicesar Lass Fernandez
sup
x∈D
|fn(x)− fn+k(x)| < ε.
1.1.6 TEOREMA.
Seja {fn} uma sequeˆncia de Cauchy uniforme de func¸o˜es limitadas definidas num
mesmo dom´ınio D. Enta˜o, a sequeˆncia {fn} converge uniformemente para uma
func¸a˜o limitada f .
Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0, existe N tal que
(1) |fn(x)− fn+k(x)| < ε,
para todo x ∈ D, todo n ≥ N e k ∈ N. Logo, para cada x ∈ D, {fn(x)} e´ uma sequeˆncia de
Cauchy de nu´meros reais e portanto converge para um nu´mero real, que denotaremos por
f(x). Como o limite de uma sequeˆncia e´ u´nico, a correspondencia
x ∈ D −→ f(x) ∈ R
e´ uma func¸a˜o. De (1) segue em particular, para todo x ∈ D e k ∈ N, que
|fN(x)− fN+k(x)| < ε.
Fazendo k tender ao infinito obtemos
|fN(x)− f(x)| ≤ ε
e
|f(x)| ≤ |fN(x)|+ ε,
para todo x ∈ D. Logo f e´ limitada. A uniformidade da convergeˆncia e´ clara (por que?) �
EXERCI´CIOS.
1. Seja fn(x) =
xn
1 + xn
, 0 ≤ x <∞.
1) Demonstre que a sequueˆncia {fn} e´ limitada
2) Demonstre que {fn} converge uniformemente em [0, c] ⊂ [0, 1[.
3) Demonstre que {fn} converge uniformemente em x ≥ b > 1
4) Demonstre que {fn} na˜o converge uniformemente em x ≥ 1.
2. Seja fn(x) = 1/nx, x > 0. Para que valores de x existe limn→∞ fn(x)? E´ uniforme para x > 0?
E´ uniforme para x ≥ 1?
Elementos de Ana´lise 5
3. Verificar a convergeˆncia pontual e uniforme das seguintes sequeˆncias.
1) fn(x) =
xn
n
; 2) fn(x) =
1
1 + nx2
;
3) fn(x) =
xn
n+ xn
, x ≥ 0; 4) fn(x) = x
2
1 + nx2
;
5) fn(x) =
xn
1 + x2n
; 6) fn(x) =
nx2
1 + nx
, 0 ≤ x ≤ 1;
7) fn(x) =
x2n
1 + xn
, x ≥ 0; 8) fn(x) = 1
1 + nx
, 0 ≤ x ≤ 1;
9) fn(x) =
1
n2 + x
, x ≥ 0; 10) fn(x) = x
1 + nx
, 0 ≤ x ≤ 1.
1.2 Sequeˆncias de Func¸o˜es Cont´ınuas
1.2.1 DEFINIC¸A˜O.
Seja f uma func¸a˜o definida num dominio D e x ∈ D tal que existe uma vizinhanc¸a
V (x) ⊂ D. Diremos que f e´ cont´ınua no ponto x se, para toda sequeˆncia {xn} que
converge para x, temos
lim
n→∞
f(xn) = f(x).
Dizemos que f e´ cont´ınua em D se for cont´ınua em todos os pontos de D.
1.2.2 DEFINIC¸A˜O.
Diremos que sequeˆncias {xn} e {yn} sa˜o paralelas, e escrevemos {xn} // {yn} se
lim
n→∞
|xn − yn| = 0.
EXEMPLO. As sequˆeˆncias dadas por xn =
n
√
3 e yn =
n
√
2 sa˜o paralelas.
1.2.3 TEOREMA.
Se f e´ uma func¸a˜o definida num intervalo [a, b], as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equiva-
lentes:
A) f e´ cont´ınua em [a, b]:
B) {xn} // {yn} implica {f(xn)} // {f(yn)}.
Demonstrac¸a˜o. A) =⇒ B) Suponhamos que f e´ cont´ınua e que existam sequeˆncias par-
alelas {xn} e {yn} tais que
|f(xn)− f(yn)| 6−→ 0.
6 Dicesar Lass Fernandez
Logo, dado ε > 0, existem subsequeˆncias {xk(n)} e {yk(n)} tais que
(1) |f(xk(n))− f(yk(n))| > ε,
para todo k(n). Como {xk(n)} e´ uma sequeˆncia limitada admite uma subsequeˆncia {xk′(n)}
convergente, digamos para x0. Como f e´ suposta cont´ınua vamos ter
lim
n→∞
f(xk′(n)) = f(x0).
Por outro lado, como {yk′(n)} // {xk′(n)} teremos tambe´m yk′(n) −→ x0. Enta˜o, de (1) vamos
ter
ε < |f(xk′(n))− f(yk′(n))| ≤ |f(xk′(n))− f(x0)|+ |f(yk′(n))− f(x0)| −→ 0,
o que e´ absurdo.
B) =⇒ A) Seja x ∈ [a, b] e {xn} uma sequeˆncia arbitra´ria que converge para x. Enta˜o, as
sequeˆncia de termos xn e yn = x sa˜o paralelas. Mas neste caso a afirmac¸a˜o B) e´ a definic¸a˜o
de func¸a˜o cont´ınua no ponto x. �
1.2.4 TEOREMA.
Seja (fn) uma sequeˆncia de func¸o˜es cont´ınuas definidas num mesmo intervalo [a, b].
Suponhamos que (fn) converge uniformemente para uma func¸a˜o f , definida em [a, b].
Enta˜o f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Como (fn) converge uniformemente para f , dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal
que
|fk0(z)− f(z)| <
ε
3
,
para todo z em [a, b]. Por outro lado, como fk0 e´ cont´ınua, quaisquer que sejam as sequeˆncias
paralelas {xn} e {yn} existe N ∈ N tal que se n ≥ N enta˜o
|fk0(xn)− fk0(yn)| <
ε
3
.
Portanto, vamos ter
|f(xn)− f(yn)| ≤ |f(xn)− fk0(xn)|+ |fk0(xn)− fk0(yn)|+ |fk0(yn)− f(yn)| <
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε,
ou seja f e´ cont´ınua em [a, b]. �
1.2.5 COROLA´RIO.
Elementos de Ana´lise 7
Seja {fn} uma sequeˆncia de Cauchy uniforme de func¸o˜es cont´ınuas definidas num
mesmo intervalo [a, b]. Enta˜o, a sequeˆncia fn converge uniformente para uma func¸a˜o
cont´ınua f em [a, b].
Demonstrac¸a˜o. As func¸o˜es fn sa˜o limitadas. Logo convergem uniformente para uma
func¸a˜o limitada f , pelo Teorema 1.1.6. Finalmente, pelo Teorema anterior a func¸a˜o f e´
cont´ınua.
Os seguintes exemplos mostram que a condic¸a˜o de convergeˆncia uniforme no Teorema
1.2.4 e´ suficiente mas na˜o e´ necessa´ria.
EXEMPLO. A sequeˆncia {fn}, definida por
fn(x) =
nx
1 + n2x2
,
converge pontualmente em R; pois fn(0) = 0, para todo n e se x 6= 0 temos
|fn(x)| ≤ 1
n|x| .
Portanto, a func¸a˜o limite e´ f(x) ≡ 0, que e´ cont´ınua, mas
1
2
= |fn( 1
n
)| ≤ sup
x
|fn(x)|
Logo a convergeˆncia na˜o e´ uniforme.
EXEMPLO. Para cada n ∈ N, seja fn definida em [0, 1] pela fo´rmula
fn(x) =

nx 0 ≤ x ≤ 1/n,
n(1− x)/(n− 1) 1/n < x ≤ 1.
Vamos ter
lim
n→∞
fn(x) = f(x) =
{
0 x = 0
1− x 0 < x ≤ 1.
Como a func¸a˜o limite f na˜o e´ cont´ınua a convergeˆncia na˜o pode ser uniforme. De fato, para
todo n, temos
1 = fn(
1
n
) ≤ sup
x
fn(x).
EXERCI´CIOS.
1) Considere a sequeˆncia {fn} definida por
fn(x) =

nx 0 ≤ x ≤ 1/n
1/nx 1/n < x.
8 Dicesar Lass Fernandez
Demonstre que lim fn(x) = 0, para todo x ≥ 0. A convergeˆncia e´ uniforme em x ≥ 0? E em
x ≥ c > 0?
2) Seja fn definida no intervalo [0,1] pela fo´rmula
fn(x) =

1− nx, 0 ≤ x ≤ 1/n,
0 1/n < x ≤ 1.
Demonstre que (fn(x)) converge para todo x em [0,1]. Esta convergeˆncia e´ uniforme? A func¸a˜o
limite e´ cont´ınua?
1.2.6 O TEOREMA DE APROXIMAC¸A˜O DE WEIERSTRASS.
O conjunto P dos polinoˆmios e´ denso em C([a, b]), ou seja, toda func¸a˜o cont´ınua
definida num intervalo fechado pode ser uniformemente aproximada por um
polinoˆmio.
Demonstrac¸a˜o. Basta demonstrar o teorema no caso em que [a, b] = [0, 1] .
Seja f ∈ C([0, 1]). Vamos demonstrar que os polinoˆmios de Bernstein
(1) Bn(f)(x) =
n∑
k=0
f(
k
n
)
(
n
k
)
xk(1− x)n−k
convergem para f , quando n→∞, uniformemente.
Como a demonstrac¸a˜o e´ longa vamos divid´ı-la em treˆs etapas.
Primeira Etapa: Os polinoˆmios de Bernstein aproximam uniformemente as func¸o˜es
(i) f0(x) ≡ 1:
Bn(f0)(x) =
n∑
k=0
(
n
k
)
xk(1− x)n−k = {x+ (1−x)}n = 1 = f0(x).
(ii) f1(x) ≡ x:
Bn(f1)(x) =
n∑
k=0
k
n
(
n
k
)
xk(1− x)n−k =
n∑
k=1
kn!
n(n− k)!k!x
k(1− x)n−k
=
n∑
k=1
(
n− 1
k − 1
)
xxk−1(1− x)n−k = x
n−1∑
k=0
(
n− 1
k
)
xk(1− x)n−1−k
= x{x+ (1− x)}n−1 = x = f1(x).
Elementos de Ana´lise 9
(iii) f2(x) ≡ x2 :
Bn(f2)(x) =
n∑
k=0
(
k
n
)2
(
n
k
)
xk(1− x)n−k =
n∑
k=1
k
n
(
n− 1
k − 1
)
xk(1− x)n−k
=
n− 1
n
n∑
k=1
k − 1
n− 1
(
n− 1
k − 1
)
xk(1− x)n−k + 1
n
n∑
k=1
(
n− 1
k − 1
)
xk(1− x)n−k
=
n− 1
n
x2 +
1
n
x −→ x2 = f2(x), n→∞.
Segunda Etapa: Para t ∈ [0, 1] seja ϕt(x) = (t−x)2 e ε > 0. Enta˜o para n suficientemente
grande temos
(1) |Bn(ϕt)(t)| < ε,
para todo t ∈ [0, 1]. Com efeito
|Bn(ϕt)(t)| = |
n∑
k=0
ϕt(
k
n
)
(
n
k
)
tk(1− t)n−k|
= |
n∑
k=0
(t− k
n
)2
(
n
k
)
tk(1− t)n−k|
= |t2{Bn(1)(t)− 1} − 2t{Bn(t)(t)− t}+ {Bn(t2)(t)− t2}|
≤ ||Bn(f0)− f0)||∞ + 2||Bn(f1)− f1||∞ + ||Bn(f2)− f2||∞ = ||Bn(f2)− f2||∞,
(onde ||g − h||∞ = sup{|g(t)− h(t)| ; 0 ≤ t ≤ 1 }) como quer´ıamos.
Terceira Etapa: Seja f ∈ C([0, 1]). Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |f(x)− f(t)| < ε, se
|x− t| < δ. Agora, se |x− t| ≥ δ vamos ter
|f(t)− f(x)| ≤ 2||f ||∞ ≤ 2||f ||(t− x)2δ−2 = αϕt(x),
onde α = 2||f ||∞ δ−2 Enta˜o, para todo x ∈ [0, 1], temos
−ε− αϕt(x) ≤ f(t)− f(x) ≤ ε+ αϕt(x).
Observando que se h ≤ g enta˜o Bn(h) ≤ Bn(g) obtemos
−ε− αBn(ϕt)(x) ≤ f(t)− Bn(f)(x) ≤ ε+ αBn(ϕt)
Em particular, tomando x = t
|f(t)−Bn(f)(t)| ≤ ε+ α|Bn(ϕt)(t)| < (1 + α)ε
para n suficientemente grande. Como t foi tomado arbitra´rio a demostrac¸a˜o esta´ completa.�
10 Dicesar Lass Fernandez
1.3 O Teorema de Arzela´-Ascoli
O Teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que toda sequeˆncia nume´rica limitada admite
uma subsequeˆncia convergente. O Teorema de Arzela´-Ascoli estabelece um princ´ıpio
semelhante para famı´lias de func¸o˜es. Este Teorema e´ fundamental, por exemplo, na teoria
das equac¸o˜es diferenciais.
1.3.1 DEFINIC¸A˜O.
Seja {fα}α∈A uma fam´ılia de func¸o˜es reais definidas num mesmo dom´ınio D ⊂ R.
Dizemos que {fα}α e´ uniformemente limitada em D quando existe M > 0 tal que
para todo x ∈ D e todo α ∈ A temos
|f(x)| ≤M.
EXEMPLOS. 1) A sequeˆncia de func¸o˜es fn(x) = sennx e´ uniformemente limitada em R.
2) A sequeˆncia de func¸o˜es {fn} definidas em ]0, 1[ por
fn(x) =
cos npi/2
x
e´ limitada pontualmente mas na˜o uniformemente uniformente em ]0, 1[. De fato, se existir
M > 0 que limite uniformemente a sequeˆncia {fn}, vamos ter para n par
1
x
=
∣∣∣∣cosnpi/2x
∣∣∣∣ ≤M
para todo x ∈]0, 1[. Mas isto leva a uma contradic¸a˜o.
3) A sequeˆncia de func¸o˜es em [0, 1] definidas por fn(x) = nx na˜o esta limitada uniformente
nem pontualmente se x 6= 0.
1.3.2 DEFINIC¸A˜O.
Seja {fα}α∈A uma fam´ılia de func¸o˜es definidas num mesmo dom´ınioD ⊂ R. Dizemos
que {fα} e´ equicont´ınua em D quando dado ε > 0, existir δ > 0 tal que para todo
x e y em D com |x− y| < δ e todo α ∈ A verificar-se
|fα(x)− fα(y)| < ε.
Elementos de Ana´lise 11
EXEMPLOS. 1) Seja {fα}α∈A uma famı´lia de func¸o˜es deriva´veis num intervalo aberto tal
que a famı´lia das derivadas seja uniformemente limitada. Enta˜o {fα}α∈A e´ equicont´ınua no
intervalo I. De fato, como existe M > 0 tal que
|f ′α(x)| ≤M
para todo x ∈ I e α ∈ A, pelo Teorema da Me´dia temos
|fα(x)− fα(y)| ≤ |f ′α(θ)| |x− y| ≤M |x− y|.
2) A sequeˆncia de func¸o˜es, definidas em [0, 1], por fn(x) = x
n na˜o e´ equ¨icont´ınua em [0, 1].
De fato, dado ε = 1/2, para qualquer δ, 0 < δ < 1, tomamos x = 1− δ/2. Enta˜o |1− x| < δ
mas
|fn(1)− fn(x)| = |1− xn| = |1− (1− δ
2
)n| > 1
2
= ε.
Mas e´ equicont´ınua em [0, 1/2] pois sup{nxn−1; 0 ≤ n ≤ 1/2} ≤ 1.
1.3.3 TEOREMA.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es cont´ınuas definidas num mesmo dom´ınio D ⊂ R
fechado e limitado. Suponhamos que {fn} convirja uniformemente em D para uma
func¸a˜o f . Enta˜o {fn} e´ uniformemente limitada e equicont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. A func¸a˜o f e´ cont´ınua e limitada em D. Se {fn} na˜o for uniformemente
limitada, para cada n ∈ N exisitiria um xn ∈ D e k(n) ∈ N tal que |fk(n)(xn)| > n. Se xn se
repetir infinitas vezes resultaria que fk(n) na˜o seria limitada, o que na˜o e´ o caso. Se nenhum
xn se repete infinitas vezes existe uma subsequeˆncia {fk′(n)} e uma sequeˆncia {xk′(n)} em D
tais que |fk′(n)(xk′(n))| na˜o e´ limitada. Podemos escolher enta˜o uma subsequeˆncia de {xk′(n)}
convergente para um x ∈ D. Voltemos a chama´-la de {xk(n)}. Vamos ter enta˜o
|f(x)− fk(n)(xk(n))| ≤ |f(x)− f(xk(n)|+ |f(xk(n))− fk(n)(xk(n))|
ou
|fk(n)(xk(n))| ≤ |f(x)|+ 2
se k(n) for suficientemente grande, pois f(xk(n))→ f(x) pela continuidade da f e |fk(n)(xn)−
f(xk(n))| → 0 pela convergeˆncia uniforme. Concluimos enta˜o que f na˜o e´ limitada, o que e´
absurdo. Portanto {fk} e´ uniformemente limitada.
Para demonstrac¸a˜o da equicontinuidade consideremos a desigualdade
12 Dicesar Lass Fernandez
|fk(x)− fk(y)| ≤ |fk(x)− f(x)|+ |f(x)− f(y)|+ |f(y)− fk(y)|.
Enta˜o dado ε > 0, seja k1 escolhido de modo que se k ≥ k1 e z ∈ D tenhamos
|fk(z)− f(z)| ≤ ε/3
(pois fk converge uniformemente para f em D). Em seguinda, a continuidade uniforme de
f, f1, ..., fk−1 em D inplica que existe um δ > 0 tal que se x, y ∈ D e |x− y| < δ enta˜o
|f(x)− f(y)| < ε/3 e |fj(x)− fj(y)| < ε/3,
para j = 1, 2, ..., k1 − 1.
Portanto, fixado este δ, para todo k e todo por x, y em D com |x− y| < δ verifica-se
|fk(x)− fk(y)| < ε.
. �
O Teorema de Arzela´-Ascoli e´ a grosso modo uma rec´ıproca do Teorema que acabamos
de demonstrar: de uma famı´lia infinita de func¸o˜es uniformemente limitada e equicont´ınua
podemos extrair uma subsequeˆncia uniformemente convergente.
A demonstrac¸a˜o e´ complexa e vamos divid´ı-la em partes. Depende de certos princ´ıpios
gerais e de interesse independente.
1.3.4 TEOREMA (Princ´ıpio de selec¸a˜o de Cantor.)
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es uniformemente limitadas num dom´ınio D ⊂ R.
Seja E um subconjunto enumera´vel de D. Enta˜o, existe uma subsequeˆncia de {fn}
que converge uniformemente em E.
Demonstrac¸a˜o. Seja E = {r1, r2, ...} e seja |fk(x)| ≤ M para todo k e todo x ∈ D. Con-
sideremos (fk(r1))k. Como e´ uma sequeˆncia limitada admite uma subsequeˆncia convergente
(fk1(n)(r1)). Consideremos agora a sequeˆncia {fk1(n)(r2)} que por ser limitada admite tambe´m
uma subsequeˆncia convergente {fk2(n)(r2)}. Como {fk2(n)} e´ subsequeˆncia de {fk1(n)(r2)}
enta˜o {fk2(n)(r1)} tambe´m e´ convergente. Procedendo desta forma para cada j ∈ N obte-
mos uma subsequeˆncia {fkj(n)} de {fkj−1(n)} que converge em r1, r2, ..., rj. Consideremos a
sequeˆncia diagonal {fkn(n)}:
{fk1(1), fk2(2), ..., fkn(n), ...
Elementos de Ana´lise 13
Finalmente, seja m ∈ N arbitra´rio. Enta˜o {fkn(n)}n≥m e´ uma subsequeˆncia de {fkm(n)}n.
Logo, {fkn(n)(ri)}n≥m (e portanto {fkn(n)(ri)}n∈N) converge para i = 1, 2, ..., m. Como m e´
arbitra´rio segue-se que {fkn(n)(ri)}n converge para todo i ∈ N. �
1.3.5 TEOREMA. (Princ´ıpio de propagac¸a˜o.)
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas em D ⊂ R e com valores reais. Se
{fn} for equicont´ınua em D e convergente num subconjunto denso D1 ⊂ D enta˜o
tambe´m e´ convergente em D.
Demonstrac¸a˜o. Seja x ∈ D. A demonstrac¸a˜o de que {fn(x)} converge ou equivalentemente
que e´ de Cauchy, resultara´ da desigualdade
|fn(x)− fm(x)| ≤ |fn(x)− fn(y)|+ |fn(y)− fm(y)|+ |fm(y)− fm(x)|.
onde y ∈ D1. De fato, da equicontinuidade em D existe δ > 0 tal que, se |x− z| < δ e k ∈ N
tem-se,
|fk(x)− fk(z)| < ε
3
.
Pela densidade de D1 em D, existe y ∈ D1, tal que |x− y| < δ. Como estamos supondo que
{fk(y)} e´ convergente e´ tambe´m de Cauchy. Assim existe N ∈ N tal que se n,m ≥ N enta˜o
|fn(y)− fm(y)| < ε
3
.
Logo {fn(x)} e´ umasequeˆncia de Cauchy para todo x ∈ D. �
1.3.6 TEOREMA.
Seja D ⊂ R um conjunto limitado e seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es reais em D
que e´ equicont´ınua e convergente em D. Enta˜o, {fn} converge uniformemente em
D.
Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar que {fn} e´ de Cauchy uniformemente em D, o que
implica que e´ uniformemente convergente. Sejam x, y em D. Enta˜o
|fn(x)− fm(x)| ≤ |fn(x)− fn(y)|+ |fn(y)− fm(y)|+ |fm(y)− fm(x)|.
Pela equicontinuidade de {fk}, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se x, y ∈ D e |x − y| < δ,
para todo k, temos
|fk(x)− fk(y)| < ε
3
.
14 Dicesar Lass Fernandez
Consideremos a famı´lia de vizinhanc¸as {Vδ(y)|y ∈ D}. E´ claro que D ⊂ ∪{Vδ(y)|y ∈ D}.
Como D e´ fechado e limitado existe N e y1, ..., yN ∈ D tais que
D ⊂ Vδ(y1) ∪ · · · ∪ Vδ(yN).
Para cada j, j = 1, 2, ..., N , a sequeˆncia {fk(yj)}k e´ convergente e portanto existe um kj tal
que se m,n ≥ kj temos
|fn(yj)− fm(yj)| < ε
3
.
Seja k0 = max{k1, ..., kN} e sejam m,n ≥ k0. Enta˜o se x ∈ D existe j, j = 1, 2, ..., N , tal que
x ∈ Vδ(yj), isto e´ tal que |x− yj| < δ; logo, para todo k, temos
|fk(x)− fk(yj)| < ε/3
Consequentemente, da primeira desigualdade segue que para n,m ≥ k0 temos, para todo
x ∈ D,
|fn(x)− fm(x)| < ε,
ou seja {fn} e´ uma sequeˆncia de Cauchy uniforme. �
1.3.7 TEOREMA (de Arzela´-Ascoli).
Seja {fα}α∈A uma fam´ılia infinita de func¸o˜es uniformemente limitada e equ¨icont´ınua
definidas num conjunto limitado D. Enta˜o existe um sequeˆncia de func¸o˜es distintas
da fam´ılia dada que converge uniformemente em E
Demonstrac¸a˜o. Seja E ⊂ D um subconjunto enumera´vel e denso. Pelo Princ´ıpio de
Selec¸a˜o de Cantor, a famı´lia admite uma sequeˆncia convergente em E. Como a sequeˆncia e´
equicont´ınua pelo Princ´ıpio da Propagac¸a˜o e´ convergente tambe´m em D. Mas pelo Teorema
anterior a convergeˆncia sera´ enta˜o uniforme. �
Elementos de Ana´lise 15
1.4 Se´ries de Func¸o˜es
1.4.1 DEFINIC¸A˜O.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas num mesmo subconjunto I de R. A
sequeˆncia de teˆrmos Fn =
∑n
k=0 fk e´ representada por
∑
fn. O s´ımbolo
∑
fn e´
chamado enta˜o se´rie das func¸o˜es fn.
1.4.2 DEFINIC¸A˜O.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas num mesmo subconjunto I de R. A
se´rie
∑
fn converge pontualmente em S ⊂ I se para cada x ∈ S a se´rie nume´rica∑
fn(x) for convergente.
EXEMPLOS. (i) A se´rie
∑
x/n2 converge pontualmente para cada x em R.
(ii) A se´rie
∑
xn converge pontualmente em ]-1,1[.
1.4.3 DEFINIC¸A˜O.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas num mesmo conjunto I ⊂ R. A
se´rie
∑
fn converge uniformemente em S ⊂ I se a sequeˆncia de termos
∑n
k=1 fk
convergir uniformemente em S.
Antes de darmos exemplos, vamos estabelecer o crite´rio de Cauchy para a convergeˆncia
uniforme de se´ries de func¸o˜es .
1.4.4 CRITE´RIO DE CAUCHY.
A se´rie
∑
fn converge uniformemente em S se, e somente se, para todo ε > 0 existe
um Nε tal que n > Nε implica
|
n+p∑
k=n+1
fk(x)| < ε,
para todo p ∈ N e todo x ∈ S.
Demonstrac¸a˜o. Basta aplicar o crite´rio de Cauchy para a sequeˆncia Fn =
∑n
k=0 fk. �
EXEMPLOS. (i) A se´rie
∑
1/(n2 + x2) converge uniformemente em R:
n+p∑
k=n+1
1
k2 + x2
=
1
(n+ 1)2 + x2
+ ... +
1
(n+ p)2 + x2
<
1
(n+ 1)2
+ ... +
1
(n+ p)2
.
16 Dicesar Lass Fernandez
(ii) A se´rie
∑
xn/n! na˜o converge uniformemente em R: Tomando 0 < ε < 1 e x ≥ n + 1,
arbitra´rio, vamos ter
ε < 1 <
(n + 1)n+1
(n + 1)!
≤
n+p∑
k=n+1
xk
k!
.
Para a verificac¸a˜o da convergeˆncia uniforme de uma se´rie de func¸o˜es e´ muito u´til o
seguinte teste conhecido como o M–teste de Weierstrass.
1.4.5 M-TESTE DE WEIERSTRASS.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es definidas num mesmo subconjunto I ⊂ R. Seja
{Mn} e´ uma sequeˆncia de nu´meros na˜o negativos tais que
0 ≤ |fn(x)| ≤Mn
para cada x ∈ S ⊂ I e n ≥ N , para algum N . Enta˜o∑ fn converge uniformemente
se
∑
Mn converge.
Demonstrac¸a˜o. Segue da desigualdade
|
n+p∑
k=n+1
fk(x)| ≤
n+p∑
k=n+1
Mk
e dos crite´rios de Cauchy para se´ries nume´ricas e se´ries de func¸o˜es. �
EXEMPLO. A se´rie
∑
1/(n2 + x2) converge uniformemente em R:
1
n2 + x2
≤ 1
n2
.
EXEMPLO. Toda se´rie de poteˆncias
∑
n anx
n converge uniformemente em intervalos
fechados contidos em seu intervalo de convergeˆncia.
De fato: Seja R o raio de convergeˆncia da se´rie e [a, b] ⊂]−R,R[. Suponhamos que |a| ≤ |b|.
Como
∑
n anx
n converge absolutamente qualquer que seja x ∈ [a, b], temos
|anxn| = |anxn b
n
bn
| = |an bn||x
n
bn
| ≤ |an bn|.
A conclusa˜o segue enta˜o do M-teste de Weierstrass.
Elementos de Ana´lise 17
1.4.6 TEOREMA.
Seja {fn} uma sequeˆncia de func¸o˜es cont´ınuas definidas num mesmo intervalo [a, b].
Suponhamos que a se´rie
∑
fn convirja uniformemente para uma func¸a˜o f definida
em [a, b]. Enta˜o, f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Seja Fn =
n∑
k=1
fk, n ∈ N. Enta˜o, a sequeˆncia(Fn) converge uniformemente
para f , pelo Crite´rio de Cauchy para sequeˆncias de func¸o˜es . �
EXEMPLO. Consideremos a se´rie de termos
x
(1 + x)n
, que sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [0, 1].
Vamos ter
∞∑
n=1
x
(1 + x)n
= χ]0,1](x).
Como χ]0,1] na˜o e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [0, 1], concluimos que a convergeˆncia da se´rie
na˜o e´ uniforme.
EXERCI´CIOS. A. Estude quanto a convergeˆncia e convergeˆncia uniforme as se´ries
∑
n fn,
onde fn e´ dada por
1) fn(x) = (1− x)nxn, 0 ≤ x ≤ 1 2) fn(x) = x
n
1 + xn
, x ≥ 0 ;
3) fn(x) =
1
nx2
, x 6= 0 ; 4) fn(x) = 1
1 + xn
, x ≥ 0 ;
5) fn(x) =
(−1)n
n+ x
, x ≥ 0 ; 6) fn(x) = x
n
1 + xn
, 0 ≤ |x| ≤ c < 1 ;
7) fn(x) =
1
1 + n2x
, 0 < c ≤ x ; 8) fn(x) = 1
n2 − x2 , x ≥ 0 ;
9) fn(x) =
nx2
n3 + x3
, 0 ≤ x ≤ c < 1. .
B. Calcule a soma das seguintes se´ries e verifique a uniformidade da convergeˆncia.
1)
∑
n
(1− x)nxn, 0 ≤ x ≤ 1;
2)
∑
n
(
1
x+ n
− 1
x+ n+ 1
)
, 0 ≤ x ≤ 1;
3)
∑
n
(
1
nx+ 2
− 1
nx+ x+ 2
)
, 0 ≤ x ≤ 1;
18 Dicesar Lass Fernandez
1.5 Uma Func¸a˜o Cont´ınua Na˜o-Deriva´vel
Seja ϕ : R −→ R definida por ϕ(x) = |x|, se x ∈ [−1, 1], e ϕ(x + 2) = ϕ(x). Ou seja, ϕ e´
uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2. Definimos, enta˜o,
f(x) =
∞∑
k=0
(
3
4
)k
ϕ(4kx).
E´ claro que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Fixemos x ∈ R arbitra´rio. Vamos demonstrar que f na˜o e´ deriva´vel em x exibindo uma
sequeˆncia {hm}m∈N de nu´meros reais convergindo para 0 mas tal que h−1m (f(x+ hm)− f(x))
diverge, quando m→∞.
Definimos hm = ±124−m, com o sinal escolhido de modo que na˜o exista inteiros estrita-
mente entre 4mx e 4m(x + hm). Posteriormente justificaremos que essa escolha pode ser
feita.
Para calcular h−1m (f(x+ hm)− f(x)), vamos avaliar
γm,k =
1
hm
(
3
4
)k (
ϕ(4k(x+ hm)− ϕ(4kx)
)
= ±2 3k 4m−k
(
ϕ(4kx± 1
2
4k−m − ϕ(4kx)
)
.
1o¯ Caso: k > m. Neste caso
1
2
4k−m e´ um inteiro par. Logo, γm,k = 0, pois ϕ tem per´ıodo
2 e ϕ(4kx± 1
2
4k−m) = ϕ(4kx).
2o¯ Caso: k = m. Como o sinal de hm foi escolhido de modo a na˜o existir inteiros entre 4
mx
e 4m(x+ hm), os pares (4
mx, ϕ(4mx)) e (4m(x+ hm), ϕ(4
m(x+ hm))) esta˜o em uma mesma
“rampa”do gra´fico da func¸a˜o ϕ. Logo,
|ϕ(4mx+ 4mhm)− ϕ(4mx)| = 4m|hm| = 1
2
e
|γm,m| = 2 3m 4m−m1
2
= 3m.
3o¯ Caso: k < m. Como
|ϕ(y)− ϕ(x)| = ||y| − |x|| ≤ |y − x|,
para todo x, y ∈ R, vamos ter
|γm,k| ≤ 2 3k 4m−k 1
2
4k−m = 3k.
Elementos de Ana´lise 19
Juntando os treˆs caso, temos∣∣∣∣f(x+ hm)− f(x)hm
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
γm,k
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
m∑
k=0
γm,k
∣∣∣∣∣
≥ |γm,m| −
m−1∑
k=0
|γm,k|
≥ 3m −
m−1∑
k=0
3k
= 3m − 1− 3
m
1− 3 =
1
2
(3m + 1).
Esta desigualdademostra claramente que o quociente incremental diverge. Logo f na˜o e´
deriva´vel no ponto x. Como x e´ arbitra´rio, segue-se que f na˜o e´ deriva´vel em nenhum ponto
de R.
Resta demonstrar que o sinal de hm = ±124−m pode ser escolhido de modo que na˜o existam
inteiros entre 4mx e 4m(x+ hm). De fato, como
4m(x+
1
2
4−m)− 4m(x− 1
2
4−m) = 1
e se 4m(x+ 1
2
4−m) e 4m(x− 1
2
4−m) forem inteiros na˜o existira˜o inteiros em
]4m(x− 1
2
4−m), 4m(x+
1
2
4−m)[.
Suponhamos, agora, que exista um inteiro z ∈ ]4m(x − 1
2
4−m), 4m(x + 1
2
4−m)[. Enta˜o, se
z = 4mx, qualquer escolha de sinal verifica a hipo´tese. Sena˜o
z ∈ ]4m(x− 1
2
4−m), 4mx[
⋃
]4mx, 4m(x+
1
2
4−m)[.
Neste caso, se z ∈ ]4m(x − 1
2
4−m), 4mx[ escolhemos o sinal +, positivo, caso contra´rio esco-
lhemos o sinal −, negativo.
A demonstrac¸a˜o esta´ completa. �
20 Dicesar Lass Fernandez
1.6 Se´ries de Poteˆncias
1.6.1 DEFINIC¸A˜O.
Uma se´rie de poteˆncias, em x− x0, e´ uma se´rie de func¸o˜es da forma
a0 +
∞∑
n=1
an(x− x0)n,
ou mais brevemente da forma
∞∑
n=0
an(x− x0)n.
Quando x0 = 0, escrevemos simplesmente
∑
anx
n.
EXEMPLOS. (a)
∑
n!xn, converge se somente se x = 0.
(b)
∑
xn/n!, converge para todo x em R.
(c)
∑
xn, converge para x em ]-1,1[.
1.6.2 PROPOSIC¸A˜O.
Suponhamos que se´rie de poteˆncias
∑
anx
n converge para x = x0 ∈ R. Enta˜o, a
se´rie converge tambe´m para todo x com |x| < |x0|. Agora, se
∑
anx
n
0 diverge enta˜o∑
anx
n diverge para todo x com |x| > |x0|.
Demonstrac¸a˜o. Como
∑
anx
n
0 converge, segue que lim anx
n
0 = 0. Portanto, |anxn0 | ≤ M ,
para todo n em N, e
|anxn| = |anxn0 ||
x
x0
|n ≤M | x
x0
|n.
Como |x/x0| < 1, a conclusa˜o segue pelo teste da comparac¸a˜o.
A segunda parte e´ ana´loga e deixamos como exerc´ıcio. �
1.6.3 PROPOSIC¸A˜O.
Para toda se´rie de poteˆncias
∑
n anx
n uma das seguintes alternativas e´ va´lida
(i) a se´rie converge somente para x = 0;
(ii) a se´rie converge para todo nu´mero real x;
(iii) existe r > 0 tal que a se´rie converge para x com |x| < r e diverge para x com
|x| > r.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
Elementos de Ana´lise 21
Introduzimos enta˜o o seguinte conceito de raio de convergeˆncia.
1.6.4 DEFINIC¸A˜O DE RAIO DE CONVERGEˆNCIA.
O raio de convergeˆncia R de uma se´rie de poteˆncias
∑
n anx
n e´ definido como sendo:
(A) R = 0 se a alternativa 1.2.4 (i) for verificada;
(B) R = +∞ se a alternativa 1.2.4 (ii) for verificada;
(C) R = sup |x| se a alternativa 1.2.4 (iii) for verificada.
O intervalo ]− R,R[ e´ chamado o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
1.6.5 PROPOSIC¸A˜O.
Seja R o raio de convergeˆncia de uma se´rie de poteˆncias
∑
n anx
n. Enta˜o
(i) a se´rie converge absolutamente em ]− R,R[;
(ii) a se´rie diverge em R \ [−R,R] =]−∞,−R[ ∪ ]R,+∞[.
Demonstrac¸a˜o. Dado x ∈ ] − R,R[, seja ε > 0 e x0 ∈ R tal que |x| < R − ε < x0 < R.
Enta˜o a se´rie
∑
n anx
n
0 converge e existe M > 0 tal que |anxn0 | ≤ M , para todo n ∈ N.
Agora, para x ∈ R, com |x| ≤ R− ε, vamos ter
|anxn| ≤ |anxn0 ||
x
x0
|n ≤M |R − ε
x0
|n.
Como |R− ε|/|x0| < 1 o Teste da Comparac¸a˜o implica o resultado. �
A proposic¸a˜o seguinte estabelece um me´todo de calcular o raio de convergeˆncia de uma
se´rie de poteˆncias.
1.6.6 UMA FO´RMULA PARA O RAIO DE CONVERGEˆNCIA.
Seja
∑
n anx
n uma se´rie de poteˆncias tal que exista o limite
(1) lim
n−→∞
|an+1
an
| = q.
Enta˜o, se q > 0 o raio de convergeˆncia e´ dado por R = 1/q, se q = 0 o raio de
convergeˆncia sera´ R =∞ e se q =∞ o raio sera´ R = 0.
Demonstrac¸a˜o. Seja x 6= 0. Enta˜o
lim
n−→∞
|an+1x
n+1
anxn
| = lim
n→∞
|an+1
an
x| = q|x|.
22 Dicesar Lass Fernandez
Consequentemente, se q|x| < 1, a se´rie ∑ anxn converge absolutamente pelo teste da raza˜o,
ou seja se |x| < 1/q. Segue enta˜o que R = 1/q. �
EXEMPLOS. (a) 1 +
∞∑
n=1
xn
n2
.
Vamos ter
lim
n−→∞
1/(n+ 1)2
1/n2
= lim
n−→∞
(1− 1
n + 1
)2 = 1 = q
Logo, R = 1.
(b)
∞∑
n=1
10n
n
xn.
Vamos ter
lim
n→∞
10n+1/n+ 1
10n/n
= lim
n→∞
(10 +
n
10n
) = 10 = q.
Logo, R = 1/10.
(c) 1 + (
x
2
) + (
x
4
)2 + (
x
2
)3 + (
x
4
)4 + ... = 1 +
∞∑
n=1
xn
(3 + (−1)n)n
Neste caso na˜o existe o limite de an+1/an (por que?), mas a se´rie converge para todo x em
]− 2, 2[ (por que?).
Um segundo me´todo para calcular o raio de convergeˆncia e´ atrave´s da conhecida fo´rmula
de Cauchy-Hadamard.
1.6.7 FO´RMULA DE CAUCHY-HADAMARD.
Seja
∑
n anx
n uma se´rie de poteˆncias tal que exista o limite
(1) lim sup
n→∞
n
√
|an| = q.
Enta˜o, se 0 < q < ∞, o raio de convergeˆncia e´ dado por R = 1/q. Por outro lado
se q = 0, o raio de convergeˆncia e´ R =∞ e se q =∞ o raio sera´ R = 0.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio (aplicar o Teste da Ra´ız). �
EXEMPLOS. (a) Se
∑
n 2
nxn enta˜o R = 1/2 pois limn→∞(2
n)1/n = 2.
(b) Se
∑
n n
nxn enta˜o limn→∞(n
n)1/n na˜o existe e a se´rie so´ converge para x = 0.
(c) Se
∑
n n
−n xn enta˜o limn→∞(n
−n)1/n = 0 e R =∞.
(d) Se
∑
n 2
(1+(−1)n)nxn enta˜o o limite limn→∞ 2
(1+(−1)n)n na˜o existe, mas a se´rie converge
Elementos de Ana´lise 23
para todo x em ]− 1
4
,
1
4
[ (por que?).
EXERCI´CIOS. Determine o raio de convergeˆncia de
∑
n anx
n, onde
(1) an = n (2) an = n
2 (3) an = n
−1
(4) an = n
−n (5) an = 2
n (6) an = 2
−n
(7) an = n
α/n! (8) an = n
n/n! (9) an =
(n!)2
(2n)!
(10) an =
1
(4n− 1)! (11) an =
2n
(2n+ 7)!
. (12) an = (2 + (−1)n)−n.
(13) an = 2
(1+(−1)n)n. (14) an =
1
(3 + (−1)n) . (15) an = (1 +
(−1)n
n
)n .
1.7 Derivac¸a˜o de Se´ries de Poteˆncias
.
1.7.1 TEOREMA.
Suponhamos que a se´rie de poteˆncias
(1) f(x) =
∞∑
n=0
anx
n
tenha o intervalo de convergeˆncia |x| < r. Enta˜o a se´rie
(2)
∞∑
n=1
n anx
n−1 = a1 +
∞∑
n=2
n anx
n−1,
tem o mesmo intervalo de convergeˆncia |x| < r.
Demonstrac¸a˜o. Para cada x ∈ ]− r, r[, existem x0 e h tais que 0 < |x| < x0 < x0 + h < r.
Enta˜o, as se´ries para f(x0) e f(x0 + h) sa˜o absolutamente convergentes. Portanto, o mesmo
se da´ com a se´rie
(3)
f(x0 + h)− f(x0)
h
=
∞∑
n=0
an
(x0 + h)
n − xn0
h
Aplicando agora o Teorema da Me´dia a cada termo da se´rie em (3) obtemos
(x0 + h)
n − xn0
h
= n cn−1n
onde x0 < cn < x0 + h. Logo, vamos ter que a se´rie em (3) e´ identica a se´rie
∞∑
n=1
n anc
n−1
n
24 Dicesar Lass Fernandez
a qual e´ absolutamente convergente e seus termos dominam os termos da se´rie em (2),
quando 0 < x < x0. Logo, a se´rie em (2) converge em |x| < r. Por outro lado, o intervalo de
convergeˆncia de (2) na˜o pode ser maior, sena˜o existiria x1 > r tal que |anxn1 | < 1x1n|an|xn1 e
r na˜o seria o raio de convergeˆncia da se´rie em (1). �
1.7.2 COROLA´RIO.
A se´rie
∞∑
n=2
n (n− 1)anxn−2 = 2a2 +
∞∑
n=3
n (n− 1)anxn−2
tem o mesmo intervalo de convergeˆncia que a se´rie 1.6.1(1).
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
1.7.3 TEOREMA.
A func¸a˜o definida por
(1) f(x) =
∞∑
n=0
anx
n
e´ cont´ınua em cada x pertencente ao seu intervalo de convergeˆncia.
Demonstrac¸a˜o. Para cada x ∈ ]− r, r[, vamos demonstrar que
(2) lim
h−→0
|f(x+ h)− f(x)| = 0.
Existe y > 0 tal que 0 ≤ |x| < y < r e seja h ∈ R arbitra´rio, mas de modo que |x| + |h| <
y < r. Procedendo como na demonstrac¸a˜o do Teorema 1.6.1(1), temos
(3) f(x+ h)− f(x) = h
∞∑
n=1
n anc
n−1
n ,
onde x < cn < x+ h ou x+ h < cn < x, conforme h seja positivo ou negativo. Em ambos os
casos temos |x− cn| < |h|. Como y < r, o Teorema 1.6.1 garante que a se´rie
∑
n n any
n−1 e´
convergente e, como |cn| < y, a equac¸a˜o (3) implica na desigualdade(4) 0 ≤ |f(x+ h)− f(x)| ≤ |h|
∞∑
n=1
n|an| |y|n−1.
Fazendo h −→ 0 em (4) obtemos (2). �
Elementos de Ana´lise 25
1.7.4 TEOREMA.
Se a func¸a˜o f(x) e´ dada pela se´rie de poteˆncias
(1) f(x) =
∞∑
n=0
anx
n
no intervalo |x| < r, enta˜o para cada x neste intervalo a derivada f ′(x) existe e e´
dada pela se´rie de poteˆncias
(2) f ′(x) =
∞∑
n=1
n anx
n−1
Demonstrac¸a˜o. A se´rie
(3) F (x) =
∞∑
n=1
n anx
n−1.
absolutamente convergente para |x| < r, pelo Teorema 1.6.1. Vamos demonstrar que f ′(x)
existe e coincide com F (x) em |x| < r. Procedendo como anteriormente, existe y > 0 tal
que |x| < y < r. Tomamos, ent’ao, h ∈ R arbitra´rio, mas de modo que |x| + |h| < y < r e
obtemos
(4) F (x)− f(x+ h)− f(x)
h
=
∞∑
n=1
n an(x
n−1 − cn−1n ),
onde x < cn < x + h ou x + h < cn < x, conforme h seja positivo ou negativo; mas em
qualquer dos casos temos |x − cn| < |h|. Aplicamos novamente o Teorema da Me´dia para
obter
xn−1 − cn−1n = (n− 1)dn−2n (x− cn),
onde cn < dn < x ou x < dn < cn, conforme tenhamos cn < x ou x < cn. Logo vamos ter
(5) F (x)− f(x+ h)− f(x)
h
=
∞∑
n=2
n(n− 1) andn−2n (x− cn).
A se´rie em (5) e´ absolutamente convergente uma vez que e´ identica a se´rie em (4). Agora,
como |x|+ |h| < y, vamos ter |dn| < y e, portanto,
(6) 0 ≤ |F (x)− f(x+ h)− f(x)
h
| ≤ |h|
∞∑
n=2
n(n− 1) |an| |y|n−2.
A se´rie em (6) e´ convergente pelo Corola´rio 1.6.2. Fazendo h −→ 0 vemos que f ′(x) existe
e e´ igual a F (x). �
26 Dicesar Lass Fernandez
1.7.5 TEOREMA.
Se f(x) e´ dada pela se´rie de poteˆncias
(1) f(x) =
∞∑
n=0
anx
n
no intervalo |x| < r, enta˜o a se´rie em
(2) G(x) =
∞∑
n=0
an
n+ 1
xn+1
tem o mesmo intervalo de convergeˆncia e
(3) G′(x) = f(x).
Demonstrac¸a˜o. Basta aplicar o Teorema 1.6.1. �
EXEMPLO. A func¸a˜o
e(x) =
∞∑
n=0
xn
n!
esta´ definida para todo x em R e vamos ter
e′(x) =
d
dx
∞∑
n=0
xn
n!
=
∞∑
n=1
n
n!
xn−1 =
∞∑
n=0
xn
n!
= e(x).
EXEMPLO. Definimos
(1) S(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1
e
(2) C(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n
As se´ries em (1) e (2) convergem para todo x em R e vamos ter
d
dx
S(x) =
d
dx
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1 =
d
dx
∞∑
n=1
(−1)n−1
(2n− 1)!x
2n−1
=
∞∑
n=1
(−1)n−1
(2(n− 1))!x
2(n−1) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n = C(x),
e
d
dx
C(x) =
d
dx
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n =
∞∑
n=1
d
dx
(−1)
(2n− 1)! x
2n−1 =
∞∑
n=0
(−1)n+1
(2n+ 1)!
x2n+1 = −S(x).
Elementos de Ana´lise 27
1.8 Se´ries de Taylor
1.8.1 TEOREMA.
Se f(x) e´ dada pela se´rie de poteˆncia
(1) f(x) =
∞∑
n=0
anx
n
no intervalo |x| < r, enta˜o, para cada n ∈ N, temos
(2) an =
f (n)(0)
n!
Demonstrac¸a˜o. Temos
f (k)(x) =
∞∑
n=0
(n+ k)!
n!
an+kx
n,
e quando x = 0 vem que f (k)(0) = k!ak. �
1.8.2 DEFINIC¸A˜O.
Se f e´ uma func¸a˜o indefinidamente deriva´vel num intervalo (a, b) e y ∈]a, b[, a se´rie
de poteˆncias
(1)
∞∑
n=0
f (n)(y)
n!
(x− y)n
denomina-se a se´rie de Taylor da func¸a˜o f . Quando y = 0, a se´rie em (1) e´ tambe´m
chamada de se´rie de MacLaurin.
1.8.3 OBSERVAC¸A˜O. O Teorema 1.6.1 diz que se uma func¸a˜o f e´ dada por uma se´rie
de poteˆncias, no intervalo de convergeˆncia ] − r, r[, esta se´rie de poteˆncias e´ uma se´rie de
Taylor. Entretanto, o seguinte exemplo mostra que a se´rie de Taylor de uma func¸a˜o na˜o
converge necessariamente em todos os pontos onde a func¸a˜o estiver definida. Seja f a func¸a˜o
indefinidamente deriva´vel em ]a, b[ definida por f(x) = 1/x. Vamos ter
f (n)(x) =
(−1)nn!
xn+1
(verifique!). Logo f (n)(1) = (−1)n! e a se´rie de Taylor da func¸a˜o f em y = 1 e´
∞∑
n=0
(−1)n (x− 1)n
Mas, esta e´ a se´rie geome´trica e converge em ]0, 2[ e diverge se x ≥ 2; pore´m f(x) = 1/x
esta´ bem definida para x ≥ 2.
28 Dicesar Lass Fernandez
Cap´ıtulo 2
FUNC¸O˜ES ELEMENTARES (I)
2.1 Existeˆncia da Func¸a˜o Exponencial
2.1.1 PROPOSIC¸A˜O.
Seja e : R −→ R uma func¸a˜o deriva´vel que verifica as condic¸o˜es e(0) = 1 e e′(x) =
e(x), para todo x ∈ R. Enta˜o, para todo x e y em R temos
(1) e(x+ y) = e(x).e(y).
Demonstrac¸a˜o: Consideremos a func¸a˜o F :R −→ R definida por
F (x) = e(x) e(z − x)
onde z e´ um nu´mero real arbitra´rio, mas fixo. Vamos ter F ′(x) = 0 para todo x ∈ R. Logo
F (x) = c para todo x ∈ R e em especial F (z) = c, donde: c = F (z) = e(z) e(0) = e(z).
Portanto e(z) = e(x)e(z − x), para todo x ∈ R. Fazendo z = x+ y, segue (1). �
2.1.2 COROLA´RIO.
Para todo x ∈ R, temos
e(x) > 0.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos que exista x ∈ R tal que e(x) = 0. Enta˜o
1 = e(0) = e(x+ (−x)) = e(x).e(−x) = 0,
29
30 Dicesar Lass Fernandez
o que e´ absurdo. Suponhamos agora que exista um x0 ∈ R, tal que e(x0) < 0. Como
e(0) = 1, existiria um x ∈ R com 0 < x < x0 ou x0 < x < 0 para o qual e(x) = 0, o que na˜o
e´ o caso. �
2.1.3 TEOREMA.
Existe uma u´nica func¸a˜o e : R −→ R que verifica as condic¸o˜es
(1)
{
e′(x) = e(x)
e(0) = 1
Demonstrac¸a˜o. Existeˆncia: ja´ sabemos que a se´rie 1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · , converge para
todo x ∈ R e define uma func¸a˜o e : R −→ R com as propriedades acima.
Unicidade: Sejam e1 e e2 func¸o˜es que verificam as propriedades em (1). Enta˜o temos:
d
dx
e1(x)
e2(x)
=
d
dx
e2(x)e
′
1(x)− e1(x)e′2(x)
[e2(x)]2
= 0,
para todo x ∈ R, pois e2(x) 6= 0. Logo e1(x)/e2(x) = c para todo x ∈ R e em particular
e1(0)/e2(0) = c. Donde c = 1. Donde e1(x) = e2(x), para todo x ∈ R, e a unicidade esta´
demonstrada. �
2.1.4 OBSERVAC¸A˜O. O teorema precedente estabelece, principalmente que a func¸a˜o
e : R → R e´ inteiramente caracterizada por 2.1.3(1), isto e´, a partir destas duas propriedades,
podemos ter todas as informac¸o˜es a respeito da func¸a˜o e.
2.1.5 NOTAC¸A˜O E DEFINIC¸A˜O .
Como
e(1) = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
+ · · · = e.
de 2.1.1(1) segue-se que
e(n) = en.
Por isso, habitualmente usa-se a notac¸a˜o
ex := e(x),
e esta func¸a˜o denomina-se func¸a˜o exponencial.
Entretanto, devemos observar que e(x) = ex e´ efetivamente uma poteˆncia (pelo menos no
que foi estabelecido ate´ agora) no caso em que x = n.
Elementos de Ana´lise 31
2.1.6 PROPOSIC¸A˜O.
Para todo x e y em R, temos
e(−x) = 1/e(x) e e(x)/e(y) = e(x− y)
ou
e−x = 1/ex e ex/ey = ex−y
Demonstrac¸a˜o. A identidade
e(0) = e(x− x) = e(x).e(−x),
implica a primeira relac¸a˜o. Agora, observando que
e(x) = e(x− y + y) = e(x− y).e(y)
segue a segunda relac¸a˜o. �
2.1.7 PROPOSIC¸A˜O.
A func¸a˜o exponencial e´ biun´ıvoca:
e(x) = e(y) =⇒ x = y.
Demonstrac¸a˜o. Se e(x) = e(y) e x 6= y, enta˜o pelo teorema da me´dia temos
0 = e(x)− e(y) = e(ξ)(x− y), onde x < ξ < y ou y < ξ < x. Donde e(ξ)(x− y) = 0 e como
x 6= y =⇒ e(ξ) = 0. O que e´ absurdo. Logo x = y �
2.1.8 COROLA´RIO.
Se e(x) = 1 =⇒ x = 0.
2.1.9 OBSERVAC¸A˜O. Como e(x) > 0 e e′(x) = e(x), vemos que a func¸a˜o e e´ crescente em
toda a reta, e como e´ biun´ıvoca e´ estritamente crescente, isto e´, se x < y enta˜o e(x) < e(y).
Na˜o ha´ possibilidade de igualdade. Agora, se x > 0, seja [x] o maior inteiro menor ou igual
a` x. Como 2 < e, temos
[x] < 2[x] < e[x] ≤ ex.
Portanto
lim
x→+∞
e(x) = +∞
32 Dicesar Lass Fernandez
e, por 2.1.6, vemos que
lim
x→+∞
e(−x) = lim
x→+∞
1
e(x)
= 0.
EXERCI´CIO. Para cada n ∈ N, definindo fn : [0, 1] −→ R por
fn(x) =
nx
enx
verifique a convergeˆncia pontual e depois uniforme da sequeˆncia {fn}.
2.2 Existeˆncia da Func¸a˜o Logar´ıtmica
2.2.1 TEOREMA.
Existe uma u´nica func¸a˜o L :]0,+∞[−→ R satisfazendo as condic¸o˜es
(1)

L′(x) =
1
x
L(1) = 0
para todo x ∈]0,+∞[.Demonstrac¸a˜o. Existeˆncia. A func¸a˜o exponencial x = e(y) e´ biun´ıvoca e e(R) =
]0,+∞[. Logo admite uma func¸a˜o inversa L em ]0,∞[. Como e(0) = 1 temos L(1) = 0.
Pela fo´rmula da derivada de func¸a˜o inversa temos
d
dx
L(x) =
1
e′(y)
=
1
e(y)
=
1
x
.
Unicidade. Suponhamos que L1 e L2 sejam func¸o˜es, verificando as condic¸o˜es (i) e (ii).
Consideremos a func¸a˜o auxiliar F :]0,+∞[−→ R, definida por F (x) = L1(x)−L2(x). Temos
enta˜o:
F ′(x) = L′1(x)− L′2(x) =
1
x
− 1
x
= 0
e portanto F (x) = c, para todo x ∈]0,+∞[. Em particular F (1) = L1(1) − L2(1) = k.
Como L1(1) = L2(1) = 0, vem c = 0 e L1(x)−L2(x) = F (x) = c = 0, donde L1(x) = F2(x),
para todo x ∈ ]0,+∞[. Portanto existe uma u´nica func¸a˜o deriva´vel em ]0,+∞[ que verifica
as condic¸o˜es do enunciado. �
2.2.2 DEFINIC¸A˜O.
A u´nica func¸a˜o L :]0,+∞[−→ R, que verifica as condic¸o˜es L(1) = 0 e L′(x) = 1
x
denomina-se func¸a˜o logar´ıtmica. O valor de L num ponto x ∈ ]0,+∞[ denomina-
se logaritmo de x e e´ denotado por
L(x) = log x.
Elementos de Ana´lise 33
2.3 Propriedades Elementares do Logar´ıtmo
2.3.1 TEOREMA.
Sejam a e b nu´meros reais positivos. Enta˜o
(1) log(a b) = log(a) + log(b)
Demonstrac¸a˜o. Consideremos a func¸a˜o F : ]0,+∞[−→ R, definida por F (x) =
L(ax) − L(x). Vamos ter F ′(x) = 0 e log(ax) − log(x) = c, para todo x ∈]0,+∞[. Em
particular se x = 1 temos: log(a)− log(1) = c. Donde log(a) = c e log(ax)− log(x) = log(a).
Fazendo x = b e transpondo, vem log(a b) = log(a) + log(b). �
2.3.2 TEOREMA.
Sejam b e c nu´meros reais positivos
(1) log(
c
b
) = log(c)− log(b).
Demonstrac¸a˜o: Basta tomar a = c/b em 2.3.1(1) �
2.3.3 TEOREMA.
A func¸a˜o logar´ıtmica e´ biun´ıvoca, isto e´, se
log(x) = log(y) enta˜o x = y.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema da Me´dia, temos log(x) − log(y) = L′(ξ)(x − y) onde
x < ξ < y ou y < ξ < x. Se log(x) = log(y) e x 6= y, vem que L′(ξ) = 1
ξ
= 0, o que e´
absurdo. Logo devemos ter x = y. �
2.3.4 TEOREMA.
A func¸a˜o logar´ıtmica e´ uma func¸a˜o crescente.
Demonstrac¸a˜o. Temos L′(x) =
1
x
, para todo x ∈ ]0,+∞[, ou seja, sua derivada e´
positiva em todos os pontos do domı´nio. �
34 Dicesar Lass Fernandez
2.3.5 TEOREMA.
Temos
(1) lim
x→∞
log(x) = +∞
e
(2) lim
x→0
log(x) = −∞.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos que exista uma constante c tal que log x ≤ c. Tomando a
inversa obtemos
x ≤ ec,
para todo x > 0, o que e´ absurdo. Portanto temos (1). O limite em (2) segue de forma
ana´loga. �
EXERCI´CIO. Verifique a convergeˆncia pontual e uniforme das {fn} e {gn}, definidas em [0, 1]
por fn(x) =
log(1 + n3x2)
n2
e gn(x) = n
2xe−nx, respectivamente.
2.4 A Func¸a˜o Exponencial Geral
2.4.1 DEFINIC¸A˜O.
Se a > 0 chamaremos de func¸a˜o exponencial geral a` func¸a˜o
ea : R → R, definida por
ea(x) = a
x = ex log a.
2.4.2 TEOREMA.
Para todo a > 0 e x ∈ R, temos
d
dx
ax = ax log a.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
2.4.3 PROPRIEDADES.
Sejam a, b > 0 e x, y ∈ R. Enta˜o
i) ax.ay = ax+y ; ii) (ax)y = ax.y
iii) a−x = 1/ax ; iv) a0 = 1
v) (a.b)x = ax.bx ; vi) (a
b
)x =
ax
bx
Elementos de Ana´lise 35
Demonstrac¸a˜o. Fazendo b = ax, vamos ter (ax)y = by. Vemos, enta˜o, que
(ax)y = ey log(a
x) = ey log(e
x log a) = exy log a = axy.
As demais propriedade ficam como exerc´ıcio para o leitor (sugesta˜o: usar a definic¸a˜o e as
propriedades das func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica.). �
2.5 A Func¸a˜o Poteˆncia Geral.
2.5.1 DEFINIC¸A˜O.
Se α ∈ R chamaremos de func¸a˜o poteˆncia geral, a` func¸a˜o α :]0,+∞[−→ R, definida
por
α(x) = xα = eα log x,
EXERCI´CIO. Demonstre que
lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x = e.
2.5.2 TEOREMA.
Para todo x > 0 e α ∈ R temos
d
dx
xα = αxα−1
Demonstrac¸a˜o. Usando a definic¸a˜o e a derivac¸a˜o de func¸a˜o composta, obtemos
d
dx
xα =
d
dx
eα log x =
[
d
dx
(α. log x)
]
.eα log x = α
1
x
xα = αxα−1,
que e´ a assertiva. �
2.5.3 PROPRIEDADES.
Para todo x, y > 0 e α, β ∈ R, temos
i) xα.xβ = xα+β ; ii) (xα)β = xα.β
iii) x0 = 1 ; iv) x−α = 1/xα
v) (x.y)α = xα.yα ; vi) (
x
y
)α = xα/yα
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio para o leitor. �
36 Dicesar Lass Fernandez
2.6 Generalizac¸o˜es Finais.
2.6.1 DEFINIC¸A˜O.
Sejam u : R −→ R e v : R −→ R, tal que u(x) > 0, para todo x ∈]0,+∞[. A func¸a˜o
E : R −→ R, definida por
E(x) = [u(x)]v(x) = exp[v(x) log[u(x)].
denomina-se func¸a˜o exponencial geral.
2.6.2 TEOREMA.
Se u e v sa˜o func¸o˜es nas condic¸o˜es da definic¸a˜o da func¸a˜o exponencial geral, temos
d
dx
[u(x)]v(x) = v(x).u(x)v(x)−1
d
dx
u(x) +
[
d
dx
v(x)
]
. log[u(x)]u(x)v(x)
Demonstrac¸a˜o. De fato:
d
dx
[u(x)]v(x) =
d
dx
exp[v(x). log[u(x)]]
= exp[u(x). log[u(x)]].
d
dx
[v(x). log[u(x)]]
= [u(x)]v(x)
{
v(x)
d
dxu(x)
u(x)
+
[
d
dx
v(x)
]
log[u(x)]
}
= v(x)[u(x)]v(x)−1
d
x
u(x) +
[
d
dx
v(x)
]
. log[u(x)].[u(x)]v(x),
que e´ a fo´rmula enunciada. �
2.6.3 OBSERVAC¸A˜O.
i) Se u(x) = x, enta˜o:
d
dx
xv(x) = v(x)xv(x)−1 +
[
d
dx
v(x)
]
log x.xv(x)
ii) Se u(x) = x e v(x) = x, enta˜o:
d
dx
xx = x+ xx log x.
2.6.4 PROPRIEDADES. Deixamos a cargo do leitor, enunciar e demonstrar propriedades
ana´logas a 2.5.3.
2.7 Func¸a˜o Logar´ıtmica Geral
Algumas vezes denominamos a func¸a˜o logar´ıtmica, introduzida anteriormente, como func¸a˜o
logar´ıtmica natural, neperiana ou de base e. Vamos agora generalizar este tipo de func¸a˜o, definindo
func¸a˜o logar´ıtmica de base a, a > 0 e a 6= 1.
Elementos de Ana´lise 37
2.7.1 DEFINIC¸A˜O.
Chamaremos de func¸a˜o logar´ıtmica de base a, a > 0 e a 6= 1, a` func¸a˜o La : ]0,+∞[−→ R,
definida por
La(x) = loga x =
1
loge a
. loge x
2.7.2 PROPRIEDADES.
Se x, y > 0, temos
i) loga(x y) = loga x+ loga y
ii) loga
(
x
y
)
= loga x− loga y
iii) loga y
x = x loga y
Demonstrac¸a˜o: Fazendo M = 1/ loge a, temos
i) loga(x.y) =M. loge(x, y) =M. loge x+M loge y = loga x+ loga y
ii) loga(
x
y
) =M. loge(
x
y
) =M. loge x−M loge y = loga x− loga y
iii) loga y
x =M. loge y
x =M.x. loge y = x.M loge y = x loga y,
e as relac¸o˜es esta˜o demonstradas. �
2.7.3 TEOREMA.
Para todo x > 0, temos
d
dx
loga x =
1
loge a
.
1
x
.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
EXERCI´CIOS. Demonstre que 1) lim
x→−∞
ax =
{
0, se a > 1
+∞, se a < 1 ;
2) lim
x→+∞
ax =
{
+∞, a > 1
0, a < 1
3) lim
x→0+
loga x =
{ −∞, a > 1
+∞, a < 1 ;
4) lim
x→+∞
loga x =
{
+∞, a > 1
−∞, a < 1
2.8 O Espac¸o C∞c (R).
2.8.1 LEMA.
Se y > 0 e k ∈ N, temos
y−k ey >
y
(k + 1)k+1
38 Dicesar Lass Fernandez
Demonstrac¸a˜o. . Fac¸amos ey = f(y). Enta˜o
f(y) = f(0) + f ′(c)(y − 0) = 1 + ecy > 1 + y,
onde 0 < c < y. Agora, substiruindo y por
y
k + 1
obtemos
e
y
k + 1 > 1 +
y
k + 1
e
ey >
yk+1
(k + 1)k+1
.
Donde segue o resultado. �
2.8.2 PROPOSIC¸A˜O.
Se k ∈ N e p e´ um polinoˆmio, temos
(1) lim
y→∞
yk e−y = 0
(2) lim
y→∞
p(y) e−y = 0
(3) lim
x→0
p(
1
x
) e−1/x
n
= 0
Demonstrac¸a˜o. Do Lema, segue-se que
(k + 1)k+1
y
>
yn
ey
.
Tomando-se o limite na desigualdade acima, obtemos (1), (2) e (3). �
2.8.3 TEOREMA.
Se k ∈ N e
fk(x) =

e−1/x
k
se x > 0
0 se x ≤ 0
Enta˜o, fk ∈ C∞(R), ou seja fk e´ indefinidamente deriva´vel.
Demonstrac¸a˜o. . Vamos demonstrar por induc¸a˜o que
f
(n)
k (x) =
{
p( 1x)e
−1/xk , se x > 0
0 se x ≤ 0
Elementos de Ana´lise 39
Para n = 1, temos f ′k(x) = 0 se x < 0 e f
′
k(x) =
k
xk−1
e−1/x
k
se x > 0. Ale´m disso,
f ′k(0) = lim
x→0
fk(x)− fk(0)
x− 0 = limx→0
exp[−1/xk]
x
= 0
e
f ′k(x) −→
x→0
f ′(0).
Suponhamos agora que f
(n)
k ∈ C(R) e vamos demonstrar que f (n+1) ∈ C(R). E´ claro que
f
(n+1)
k (x) = 0 se x < 0 e f
(n+1)
k (x) = P (
1
x)e
−1/xk se x > 0. Ale´m disso
f
(n+1)
k (0) = limx→0
f
(n)
k (x)− f (n)k (0)
x− 0 = limx→0Pn(
1
x
)e−1/x
k
= 0
e
f
(n+1)
k (x) −→
x→ 0
0,
o que conclui a induc¸a˜o. �
2.8.4 COROLA´RIO.
A func¸a˜o fk na˜o pode ser representada por sua se´rie de Taylor.
2.8.5 TEOREMA.
Existe uma func¸a˜o C∞(R) que se anula fora do intervalo [−1, 1].
Demonstrac¸a˜o. . Temos que f1(1−x) ∈ C∞(R) e f1(x+1) ∈ C∞(R). Logo, a func¸a˜o ϕ definida
em R por
ϕ(x) = f1(1− x)f1(1 + x)
e´ tambe´m C∞(R). Observemos que
ϕ(x) =
{
e
−1
1−x2 |x| < 1
0 |x| ≥ 1.
Denotamos por C∞c (R) o espac¸o vetorial de todas a func¸o˜es de C
∞(R) que se anulam fora de um
conjunto limitado e fechado. O Teorema acima mostra que C∞c (R) 6= {0}.
40 Dicesar Lass Fernandez
Cap´ıtulo 3
FUNC¸O˜ES ELEMENTARES (II)
3.1 A Existeˆncia das Func¸o˜es Seno e Coseno
3.1.1 TEOREMA.
Existem duas u´nicas func¸o˜es deriva´veis S : R −→ R e C : R −→ R tais que
{
S(0) = 0
C(0) = 1
e
{
S′(x) = C(x)
C ′(x) = −S(x)
Demonstrac¸a˜o: a) Existeˆncia: consideremos as se´ries de poteˆncias
S(x) = x− x
3
3!
+
x5
5!
− · · · e C(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− · · ·
Ja´ vimos que estas duas se´ries convergem, qualquer que seja x ∈ R. Temos S(0) = 0 e C(0) = 1 e
ainda
S′(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− · · · = C(x) e C ′(x) = − x
1!
+
x3
3!
− x
5
5!
+ · · · = −S(x).
b) Unicidade: suponhamos que existam duas outras func¸o˜es ϕ e ψ tais que ϕ(0) = 0 e ψ(0) = 1
e ainda ϕ′(x) = ψ(x) e ψ′(x) = −ϕ(x). Consideremos a func¸a˜o auxiliar F : R −→ R, definida por
F (x) = [S(x)− ϕ(x)]2 + [C(x)− ψ(x)]2
derivando, obtemos: F ′(x) = 0, para todo x ∈ R isto implica F (x) = k e como F (0) = 0 vamos ter
k = 0. Portanto, para todo x ∈ R,
(S(x)− ϕ(x))2 + (C(x)− ψ(x))2 = 0,
e consequentemente
S(x) = ϕ(x) e C(x) = ψ(x).
A demonstrac¸a˜o esta´ completa. �
41
42 Dicesar Lass Fernandez
3.1.2 DEFINIC¸A˜O.
As func¸o˜es S : R −→ R e C : R −→ R tais que
S(0) = 0, C(0) = 1, S′(x) = C(x) e C ′(x) = −S(x)
chamam-se seno e coseno, respectivamente. Habitualmente sa˜o utilizadas as seguintes
notac¸o˜es:
S(x) = senx e C(x) = cos x.
EXERCI´CIO. Demonstre que
lim
x→0
senx
x
= 1.
3.2 Propriedades Elementares do Seno e Coseno
3.2.1 TEOREMA.
Para todo x ∈ R, temos
[S(x)]2 + [C(x)]2 = 1
Demonstrac¸a˜o. Consideremos a func¸a˜o F : R −→ R, definida por
F (x) = (S(x))2 + (C(x))2
Logo, para todo x ∈ R, F ′(x) = 2S(x).C(x)−2C(x)S(x) = 0, e portanto F (x) = k. Em particular,
se x = 0 temos k = F (0) = 1, logo F (x) = 1 = (S(x))2 + (C(x))2. �
3.2.2 TEOREMA.
Para todo x, y ∈ R, temos
(1) S(x+ y) = S(x)C(y) + S(y)C(x)
Demostrac¸a˜o. Sejam k um nu´mero real qualquer. Consideremos a func¸a˜o F : R −→ R, definida
por F (x) = S(x).C(k − x) + S(k − x).C(x). Derivando vem: F ′(x) = 0 e F (x) = constante = K,
para todo x ∈ R. Em particular, se x = 0 obtemos K = F (0) = S(k), isto e´:
S(k) = S(x).C(k − x) + S(k − x)C(x)
Fazendo y = k − x ou seja k = x+ y obtemos a fo´rmula procurada. �
3.2.3 TEOREMA.
Para todo x, y ∈ R, temos
C(x+ y) = C(x)C(y)− S(x)S(y)
Elementos de Ana´lise 43
Demonstrac¸a˜o: Considerar F (x) = C(x).C(k − x) − S(x)S(k − x) e proceder como anterior-
mente. �
OBSERVAC¸A˜O . O Teorema 3.1.1. diz que S : R −→ R e C : R −→ R sa˜o cont´ınuas, pois
sa˜o deriva´veis. Do Teorema 3.2.1, resulta que |S(x)| ≤ 1 e |C(x)| ≤ 1, para todo x ∈ R
3.2.4 TEOREMA.
Para todo x, y ∈ R, temos
S(x− y) = S(x)C(y)− S(y)C(x)
Demonstrac¸a˜o: Considerar F (x) = S(x)C(x − k) − S(x − k)C(x) e proceder como na
demonstrac¸a˜o do Teorema 3.2.3. �
3.2.5 COROLA´RIO.
A func¸a˜o seno e´ impar: S(−y) = −S(y).
3.2.6 TEOREMA.
Para todo x, y ∈ R, temos
C(x− y) = C(x)C(y) + S(x)S(y)
Demonstrac¸a˜o: Considerar F (x) = C(x)C(x − k) + S(x − k)S(x) e proceder como na
demonstrac¸a˜o do Teorema 3.2.2. �
3.2.7 COROLA´RIO.
A func¸a˜o coseno e´ par: C(−y) = C(y).
EXERCI´CIOS. Demonstre que
i) cos x cos y = 12 [cos(x+ y) + cos(x− y)];
ii) senx cos y = 12 [sen (x+ y) + sen (x− y)];
iii) senx sen y = 12 [cos(x− y)− cos(x+ y).
3.3 O Nu´mero pi
3.3.1 TEOREMA.
Para todo m ∈ R,m > 0, existe x ∈ R, x > 0; tal que C(x) < m.
44 Dicesar Lass Fernandez
Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar por reduc¸a˜o ao absurdo; para isto, reescrevamos, nova-
mente, o teorema:
para todo m ∈ R, m > 0, existe x ∈ R, x > 0 tal que C(x) < m
A negac¸a˜o da proposic¸a˜o acima e´:
existe m ∈ R, m > 0 tal que para todo x > 0 tem-se C(x) ≥ m.
Nestas condic¸o˜es, o conjunto {C(x) ; x ∈ R, x > 0} e´ limitado inferiormente. Logo existe
k = inf{C(x) ; x ∈ R, x > 0}.
E´ claro que k ≥ m > 0 e k > 0 (por que temos k ≥ m?). Por outro lado, k < 1 (pois |C(x)| ≤ 1
e se k = 1 o coseno seria uma func¸a˜o constante, pore´m na˜o e´ o caso). Logo 0 < k < 1. Seja
ε =
√
k−k > 0. Pela definic¸a˜o de ı´nfimo, existe x ∈ R, x > 0 tal que C(x) < k+ε = k+√k−k = √k.
Agora,
C(2x) = [C(x)]2 − [S(x)]2 ≤ [C(x)]2 < (
√
k)2 = k
isto e´:
C(2x) < k = inf{C(x)|x ∈ R, x > 0}
o que e´ absurdo. Logo a negac¸a˜o da tese e´ absurda, o que implica em sua veracidade. �
3.3.2 TEOREMA.
Existe x ∈ R, x ≥ 0, tal que C(x) = 1
2
.
Demonstrac¸a˜o Pelo Teorema 3.3.1, existe y ∈ R, y > 0, tal que C(y) < 1/2. Seja b = C(y) e
consideremos a func¸a˜o C : R → R restrita ao intervalo [0, y]. Esta restric¸a˜o e´ uma func¸a˜o cont´ınua
e portanto assume um mı´nimo m num ponto do intervalo e m ≤ b. Como seu ma´ximo e´ 1 temos
m ≤ b < 1/2 < 1. Enta˜o, pelo teorema que diz que uma func¸a˜o cont´ınua num intervalo fechado
assume todos os seus valores entre o valores ma´ximo e mı´nimos no intervalo, conclu´ımos que existe
x ∈ [0, y] tal que C(x) = 1/2, �
3.3.3 TEOREMA.
Existe x0 ∈ R, x0 > 0 tal que C(x0) < 0.
Demonstrac¸a˜o: Seja x tal que C(x) = 1/2. Temos:
C(2x) = [C(x)]2 − [S(x)]2 = 2[C(x)]2 − 1 = 2.[1/2]2 − 1 = 1/2 − 1 = −1/2 < 0
colocando x0 = 2x tem-se C(x0) = −1/2 < 0. Veˆ-se que x0 > 0 pois C(0) = 1 > 0, �
Elementos de Ana´lise 45
3.3.4 PROCESSO PARA DEFINIR O NU´MERO π.
Como C(0) = 1 > 0, enta˜o, pelo Teorema da Conservac¸a˜o do Sinal, existe um intervalo ] − r, r[,
r > 0, tal que C(x) > 0, para todo x ∈ ] − r, r[. Logo, o seno e´ crescente em ] − r, r[, pois sua
derivada e´ positiva. Isto implica, em que o conjunto
D = {x ∈ R ; x > 0;S e´ crescente em [0, x]}
e´ na˜o vazio, pois r ∈ D. O conjunto D e´ limitado superiormente, pois para todo y ∈ D temos
y ≤ x0, onde x0 e´ dado pelo Teorema 4.3.3. logo, existe o supD.
3.3.5 DEFINIC¸A˜O.
π = 2 supD (ou
π
2
= supD).
3.3.6 TEOREMA.
cos
π
2
= 0 ( ou C
(π
2
)
= 0)
Demonstrac¸a˜o. Se cos π/2 > 0 ter´ıamos a existeˆncia de um intervalo [π/2 − λ, π/2 + λ] tal
que cos x > 0, para todo x ∈ [π
2
− λ, π
2
+ λ]. Logo, o seno seria crescente em [
π
2
− λ, π
2
+ λ]. Em
particular, o seno seria crescente em [0, π/2 + λ] e ter´ıamos π/2 + λ ∈ D o que na˜o e´ o caso (por
que). Consequentemente cos π/2 = 0 �
3.3.7 TEOREMA.
sen
π
2
= 1 (ou S
(π
2
)
= 1).
Demonstrac¸a˜o. Segue-se de [S(x)]2 + [C(x)]2 = 1 que [S(pi2 )]
2 = 1 e enta˜o S(pi2 ) = 1. (Mas por
que descarta-se a possibilidade −1?) �
3.3.8 OBSERVAC¸A˜O. Ja´ sabemos, o que ocorre com o seno e o coseno, no intervalo ]0, π/2[.
Vamos estudar, agora, o que acontece com estas func¸o˜es em ]π/2, 2π[. Para isto, consideremos treˆs
casos:
i) se y ∈ ]π/2, π[ enta˜o y = π/2 + x, onde 0 ≤ x ≤ π/2; portanto
sen (y) = sen(π/2 + x) = senπ/2 cos x+ cos π/2 senx = cos x
cos(y) = cos(π/2 + x) = cos π/2 cos x− senπ/2 senx = −senx
ii) Se y ∈ ]π, 3/2π[ enta˜o y = π/2 + x, onde 0 ≤ x ≤ π/2; portanto
sen(y) = sen(π + x) = senπ cos x+ cos π senx = −senx
cos(y) = cos(π + x) = cos π cos x− senπ senx = − cos x
46 Dicesar Lass Fernandez
iii) Se y ∈ ]3/2π, π[ enta˜o y = 3
2
π + x, onde 0 ≤ x ≤ π/2; portanto
sen (y) = sen(
3
2
π + x) = sen
3
2
π. cos x+ senx cos
3
2
π = − cos x
cos(y) = cos(
3
2
π + x) = cos
3
2
π. cos x− senx sen 3
2
π = −senx
Levando em considerac¸a˜o i), ii) e iii), podemos construir o seguinte esquema:
0 —
π
2
— π —
3
2
π — 2π
seno 0 ր 1 ց 0 ց -1 ր 0
coseno 1 ց 0 ց -1 ր 0 ր 1
3.3.9 OBSERVAC¸A˜O.
Consideremos uma func¸a˜o f :R −→ R.
i) Se f(x+ T ) = f(x), para todo T ∈ R; enta˜o f e´ constante.
ii) Se na˜o existe T 6= 0 tal que f(x+ T ) = f(x); enta˜o a func¸a˜o f e´ dita na˜o perio´dica.
iii) Se existir T 6= 0 tal que f(x+ ℓT ) = f(x), ℓ = 0,±1,±2, ... enta˜o f e´ dita perio´dica.
O menor T na˜o nulo com essa propriedade e´ chamado o per´ıodo da f .
3.3.10 TEOREMA.
O seno e o coseno, sa˜o func¸o˜es perio´dicas de per´ıodo 2π.
Demonstrac¸a˜o. Demonstraremos aqui, so´ o caso do seno e quando ℓ = 1, 2, 3, ... os caso
restantes, deixamos para o leitor, como exerc´ıcio. Faremos a demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o. Deve-
mos demonstrar que sen(x) = sen(x+n2π). Se n = 1, e´ fa´cil constatar que e´ verdade. Admitamos,
agora, que e´ verdade para n.
sen(x+ (n+ 1)2π) = sen(x+ n.2π + 2π) = sen(x+ 2nπ) = senx,
ou seja o caso n implica o caso n+ 1. �
CONCLUSA˜O: Como conhecemos o comportamento das func¸o˜es seno e coseno em [0, 2π] e
como estas func¸o˜es sa˜o perio´dicas, de per´ıodo 2π, ficamos sabendo o que acontece em toda a reta
nume´rica.
Elementos de Ana´lise 47
3.4 As Fo´rmulas de Euler
A func¸a˜o exponencial complexa, ez e´ definida, para z ∈ C por
ez =
∞∑
k=0
zk
k!
.
Esta se´rie converge abolutamente para todo nu´mero complexo z. Portanto podemos rearranjar seus
termos para obtermos
ei x =
∞∑
k=0
(i x)k
k!
(1)
=
∞∑
k=0
(i x)2k
(2k)!
+
∞∑
k=0
(i x)2k+1
(2k + 1)!
(2)
=
∞∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!
+ i
∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!
(3)
= cos x+ i senx(4)
Como consequeˆncia obtemos as fo´rmulas de Euler:
cos x =
ei x + e−i x
2
e
senx =
ei x − e−i x
2 i
3.5 Definic¸a˜o das demais Func¸o˜es Trigonome´tricas
Ale´m das func¸o˜es ba´sicas seno e coseno, vamos precisar das definic¸o˜es e algumas propriedades
das demais func¸o˜es trigonome´tricas. Vamos nos restringir ao ramo principal.
3.5.1 FUNC¸A˜O TANGENTE.
Definimos a func¸a˜o tg : ]− π
2
,
π
2
[ −→ R por
tg (x) =
senx
cos x
.
3.5.2 FUNC¸A˜O SECANTE.
Definimos a func¸a˜o sec : ]− π
2
,
π
2
[ −→ R por
sec(x) =
1
cos x
.
3.5.3 PROPOSIC¸A˜O.
48 Dicesar Lass Fernandez
Para todo x ∈ ]− π
2
,
π
2
[, temos
d
dx
tg (x) = sec2(x),
e
d
dx
sec(x) = sec(x) tg (x).
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
3.5.4 FUNC¸A˜O COTANGENTE.
Definimos a func¸a˜o cotg : ]0, π[ −→ R por
cotg (x) =
cos x
senx
.
3.5.5 FUNC¸A˜O COSECANTE.
Definimos a func¸a˜o cosec : ]0, π[ −→ R por
cosec (x) =
1
senx
.
3.5.6 PROPOSIC¸A˜O.
Para todo x ∈ ]0, π[, temos
d
dx
cotg (x) = −cosec 2(x),
e
d
dx
cosec (x) = −cosec (x) cotg (x).
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
3.6 As Func¸o˜es Arco Seno e Arco Tangente
3.6.1 Consideremos a func¸a˜o S : [−π/2, π/2] −→ R, definida por S(x) = senx. Se x ∈ ]−π/2, π/2[
ja´ sabemos que S′(x) = cos x > 0, isto e´, S e´ crescente neste intervalo. Como sen
(
−π
2
)
= −1 e
sen
π
2
= 1, concluimos que e´ crescente em todo intervalo [−π/2, π/2]. E´ claro que e´ estritamente
crescente. (Por que?)
Conclusa˜o: existe a func¸a˜o inversa de S. Como −1 e´ o mı´nimo de S e 1 e´ o ma´ximo e ainda
pelo fato de ser cont´ınua, S−1 assumira´ todos os valores entre −1 e 1. Logo o domı´nio da func¸a˜o
inversa sera´ o intervalo fechado [−1, 1].
3.6.2 DEFINIC¸A˜O.
A func¸a˜o S−1 : [−1, 1]→ R, inversa da func¸a˜o S denomina-se func¸a˜o arco seno.
Elementos de Ana´lise 49
NOTAC¸A˜O. E´ usual a notac¸a˜o arcsen x para representar o valor da func¸a˜o arco seno num
ponto x, qualquer. Alguns autores usam tambe´m a notac¸a˜o sen−1x.
3.6.3 TEOREMA.
Para todo x ∈ ]− 1, 1[. temos
d
dx
arc senx =
1√
1− x2
Demonstrac¸a˜o. Lembrando que y = arcsen x se, e somente se, x = sen y, temos
d
dx
arcsen x =
1
1
dy
sen y
=
1
cos y
=
1√
1− sen 2y =
1√
1− x2 ,
pois cos y 6= 0, se −π/2 < y < π/2, o que demonstra a assertiva. �
EXERCI´CIO. Calcule a derivada segunda da func¸a˜o arco seno e esboce seu gra´fico.
3.6.4 Consideremos, agora, a func¸a˜o T :
] − π
2
,
π
2
[ −→ R, definida por T (x) = tg x. Sabemos
que lim
x→±pi/2
tg(x) = ±∞ e que d
dx
tg x = sec2 x = 1+ tg2x, ou seja, a tangente e´ estritamente
crescente em
]− π
2
,
π
2
[
. Logo existe a func¸a˜o inversa T−1. Como tg (] − π/2, π/2[) = ]−∞,+∞[,
vemos que dom T−1 =]−∞,+∞[= R.
3.6.5 DEFINIC¸A˜O.
A func¸a˜o T−1 : R −→ R, inversa da func¸a˜o tangente, denomina-se func¸a˜o arco tangente.
NOTAC¸A˜O. Usa-se para a func¸a˜o arco tangente a notac¸a˜o: arctg x, para representar o valor
desta func¸a˜o num ponto determinado. Alguns autores usam a notac¸a˜o tg −1x. No´s usaremos a
primeira forma.
3.6.6 TEOREMA.
Para todo x ∈ R, temos
d
dx
arctg x =
1
1 + x2
Demonstrac¸a˜o. Se y = arctg x enta˜o x = tg y, e sec2 y = 1 + tg 2y, logo
d
dx
arctg x =
1
d
dy
tg y
=
1
sec2 y
=
1
1 + tg2y
=
1
1 + x2
,
pois sec y 6= 0, se −π
2
< y <
π
2
, demonstrando a assertiva. �
EXERCI´CIO. Calcule a derivada segunda da func¸a˜o arco tangente e esboce seu gra´fico.
OBSERVAC¸A˜O. Podemos ainda definir as func¸o˜es arco coseno, arco cotangente, arco secante e
arco cosecante. No entanto, para as aplicac¸o˜es que faremos as func¸o˜es arco seno e arco tangente
sera˜o suficientes.
50 Dicesar Lass Fernandez
3.7 A Func¸a˜o de Weierstrass
3.7.1 A func¸a˜o W : R −→ R definida por
W (x) =
∞∑
k=0
an cos(bπx),
onde 0 < a < 1, b e´ um inteiro primo e ab > 1 + 32π, a chamada func¸a˜o de Weierstrass, e´ cont´ınua
mas na˜o e´ deriva´vel em ponto algum de R.
De fato, seja x0 arbitra´rio, pore´m fixo. Para cada m ∈ N, seja αm ∈ Z tal que
−1
2
< bmx0 − αm < 1
2
. Fac¸amos
xm = b
mx0 − αm, ym = αm − 1
bm
, zm =
αm + 1
bm
.
Enta˜o
ym − x0 = αm − 1− b
mx0
bm
=
−1− (bmx0 − αm)
bm
= −1 + xm
bm
< 0
e
zm − x0 = αm + 1− b
mx0
bm
=
1− (bmx0 − αm)
bm
=
1− xm
bm
> 0.
Portanto, ym < x0 < zm,
−1− 12
bm
≤ −1− b
mx0 − αm
bm
= ym − x0 < 0
e
1− 12
bm
≥ 1− (b
mx0 − αm)
bm
= zm − x0 > 0.
Logo ym −→ x0 e zm −→ x0, quando m→∞.
Agora,
W (ym)−W (x0)
ym − x0 =
∞∑
k=0
ak
cos(bkπym)− cos(bkπx0)
ym − x0
=
m−1∑
k=0
ak
cos(bkπym)− cos(bkπx0)
ym − x0 +
∞∑
k=m
ak
cos(bkπym)− cos(bkπx0)
ym − x0
= S1 + S2.
A soma S1 pode ser estimada por
|S1| =
∣∣∣∣∣∣
m−1∑
k=0
(abk(−π)sen
(
bkπ(ym + x0)
2
) sen ( bkpi(ym−x0)2 )
bkπ ym−x0)2
∣∣∣∣∣∣
≤
m−1∑
k=0
π(ab)k = π
(ab)m − 1
ab− 1 ≤
π(ab)k
ab− 1 .
Elementos de Ana´lise 51
Para estimar S2, observemos que
cos(bm+kπym) = cos(b
m+kπ
αm − 1
bm
)
= cos(bkπ(αm − 1)) = [(−1)bk ]αm−1 = −(−1)αm ,
pois b e´ impar, e
cos(bm+kπym) = cos(b
m+kπ
α− 1
bm
)
= cos(bnπαm) cos(b
kπxm)− sen (bnπαm)sen (bkπxm)
= [(−1)bk ]αm cos(bkπxm)
= (−1)αm cos(bkπxm).
Enta˜o, temos
S2 =
∞∑
k=0
am+k
cos(bm+kπym)− cos(bm+kπx0)
ym − x0
=
∞∑
k=0
am+k
−(−1)αm − (−1)αm cos(bkπxm)
−1+xmbm
= (ab)m(−1)αm
∞∑
k=0
ak
1 + cos(bkπxm)
1 + xm
.
Mas
∞∑
k=0
ak
1 + cos(bkπxm)
1 + xm
≥ 1 + cos(πxm)
1 + xm
≥ 1
1 + 12
=
2
3
.
Logo, existe η1 > 1, η1 = η1(m), tal que∞∑
k=0
ak
1 + cos(bkπxm)
1 + xm
= η1
2
3
e
S2 = (−1)m (ab)m η2
3
.
Por outro lado, existe ε1 = ε1(m), −1 < ε1 < 1, tal que
S1 = (−1)αm (ab)mε1 η1 π
ab− 1 .
Portanto,
W (ym)−W (x0)
ym − x0 = S1 + S2 = (−1)
αm (ab)m η1 [ε1
π
ab− 1 +
2
3
].
Agora, em relac¸a˜o a sequeˆncia zn a` direita, temos
W (zm)−W (x0)
zm − x0 =
∞∑
k=0
ak
cos(bkπzm)− cos(bkπx0)
zm − x0
=
m−1∑
k=0
ak
cos(bkπzm)− cos(bkπx0)
zm − x0 +
∞∑
k=m
ak
cos(bkπzm)− cos(bkπx0)
zm − x0
= S′1 + S
′
2.
52 Dicesar Lass Fernandez
Como no caso anterior, vamos ter
|S′1| ≤
π(ab)m
ab− 1 .
Para estimar S′2, observemos que
cos(bm+kπzm) = cos(b
m+kπ
αm + 1
bm
) = cos(bkπ(α+ 1)
= cos(bkπ(αm) cos(b
kπ)− sen (bkπαm)sen (bkπ)
= −(−1)αm .
Enta˜o,
S′2 =
∞∑
k=0
am+k
−(−1)αm − (−1)αm cos(bkπxm)
1−xm
bm
= −(−1)αm(ab)m
∞∑
k=0
ak
1 + cos(bkπxm)
1− xm .
Mas
∞∑
k=0
ak
1 + cos(bkπxm)
1− xm ≥
1 + cos(πxm)
1− xm ≥
1
1− (−12)
=
2
3
.
Agora, existe ε2 = ε2(m), −1 < ε2 < 1, e η2 = η2(m) tal que
W (zm)−W (x0)
zm − x0 = −(−1)
αm (ab)m η2 [ε2
π
ab− 1 +
2
3
].
A hipo´tese ab > 1 +
3
2
π implica que
π
ab− 1 <
2
3
, e
2
3
+ εj
π
ab− 1 > 0, j = 1, 2.
Logo,
W (ym)−W (x0)
ym − x0 e
W (zm)−W (x0)
zm − x0
tem sinais contra´rios, para todo m ∈ N. Como (ab)m −→ ∞, vemos que a func¸a˜o W na˜o tem
derivada no ponto x0. Como x0 e´ arbitra´rio, segue-se que W na˜o admite derivada em ponto algum
de R. �
OBSERVAC¸A˜O. Este exemplo foi apresentado por K. Weierstrass em uma exposic¸a˜o oral na
Academia de Cieˆncias de Berlin em 1872. A demonstrac¸a˜o foi publicada por du Bois-Reymond em
1875.
Cap´ıtulo 4
UMA INTEGRAL ELEMENTAR
Introduziremos aqui uma noc¸a˜o elementar de integral. Definiremos, primeiro, a integral para
uma classe muito simples de func¸o˜es: as func¸o˜es em escada e depois estenderemos a definic¸a˜o da
integral para uma classe mais ampla de func¸o˜es que contera´ tanto as func¸o˜es em escada quanto as
func¸o˜es continuas.
Como ferramentas ba´sicas utilizaremos as noc¸o˜es de continuidade uniforme, de convergeˆncia
uniforme e a compacidade dos intervalos fechados e limitados da reta.
4.1 Func¸o˜es em Escada.
4.1.1 DEFINIC¸A˜O.
Chamaremos de partic¸a˜o de um intervalo [a, b] uma sequeˆncia finita de nu´meros P =
{a0, . . . , an} tais que a = a0 < a1 < · · · < an = b.
4.1.2 DEFINIC¸A˜O.
Dizemos que uma func¸a˜o
ϕ : [a, b] −→ R
e´ uma func¸a˜o em escada (em relac¸a˜o a partic¸a˜o P = {a0, a1, . . . , an}) se existem
nu´meros reais v1, v2, . . . , vn tais que
ϕ(x) = vj se aj−1 < x < aj , j = 1, 2, . . . , n.
Usaremos a seguinte representac¸a˜o para as func¸o˜es em escada
ϕ ∼ (a0, . . . , an ; v1, . . . , vn)
Observemos que na definic¸a˜o de func¸a˜o em escada na˜o foram considerados os valores da func¸a˜o,
ϕ, nos pontos a0, a1, . . . , an da partic¸a˜o P .
53
54 Dicesar Lass Fernandez
Vamos identificar as func¸o˜es em escada que diferem em apenas um nu´mero finito de pontos.
Denotemos por S([a, b]) o conjunto de todas as func¸o˜es em escada definidas no intervalo [a, b].
O conjunto S([a, b]) quando munido das operac¸o˜es usuais de soma de func¸o˜es e produto de func¸a˜o
por escalar constitue um espac¸o vetorial. Com efeito: sejam ϕ e ψ duas func¸o˜es em escadas
representadas por
ϕ ∼ (a0, . . . , an ; v1, . . . , vn) e ψ ∼ (a0, . . . , an ; w1, . . . , wn).
Enta˜o, se α, β ∈ R vamos ter
αϕ+ βψ ∼ (a0, . . . , an ; αv1 + βw1, . . . , αvn + βwn).
Vamos chamar de func¸a˜o caracter´ıstica de um subintervalo I ⊂ [a, b] a func¸a˜o em escada
definida por
χI(x) =
{
1 se x ∈ I,
0 se x 6∈ I.
Se I = [c, d] e´ um subintervalo de um intervalo [a, b], onde a < c < d < d, enta˜o χI e´ representado
por
χI ∼ (a, c, d, b; 0, 1, 0)
4.1.3 PROPOSIC¸A˜O.
Toda func¸a˜o em escada ϕ : [a, b] −→ R e´ representada por uma combinac¸a˜o linear de
func¸o˜es caracter´ısticas de subintervalos de [a, b]:
ϕ =
n∑
k=1
ck χ]ak−1,ak[,
onde {a0, a1, ..., an} e´ uma partic¸a˜o de [a, b] vk ∈ R, k = 1, 2, ..., n.
Demonstrac¸a˜o. Exerc´ıcio. �
4.1.4 PROPOSIC¸A˜O.
Sejam ϕ e ψ func¸o˜es em escada definidas em um mesmo intervalo [a, b]. Enta˜o, existem
partic¸o˜es P ′ = {a0 = a, a1, ..., am = b} e P ′′ = {b0 = a, b1, ..., bn = b}, e sequeˆncias
nume´ricas {cj j = 1, 2, ...,m} e {dk; ; k = 1, 2, ...n} tais que
ϕ =
m∑
j=1
cjχIj e ψ =
n∑
k=1
dkχJk ,
onde Ij =]aj−1, aj [, j = 1, 2, ...,m, e Jk =]bk−1, bk[, k = 1, 2, ..., n.
4.1.5 PROPOSIC¸A˜O.
Sejam ϕ e ψ func¸o˜es em escada, definidas em um mesmo intervalo [a, b]. Enta˜o, para
quaisquer α, β ∈ R, a func¸a˜o αϕ+ βψ e´ tambe´m uma func¸a˜o em escada.
Elementos de Ana´lise 55
Demonstrac¸a˜o. Dadas as func¸o˜es em escada ϕ =
∑m
j=1 cj χIj e ψ =
∑n
k=1 dk χIk precisamos
demonstrar que podem ser redefindas utilizando a mesma partic¸a˜o. Observemos que Ij = ∪nk=1Ij ∩
Jk, Jk = ∪mj=1Ij ∩ Jk e [a, b] = ∪nk=1 ∪mj=1 Ij ∩ Jk. Se x ∈ Ij ∩ Jk, definimos ϕ(x) = cjk := cj , para
todo k, e ψ(x) = djk := dk, para todo j. Segue enta˜o que
φ =
∑
k=1
n
m∑
j=1
cjk χIj∩Jk e ψ =
∑
k=1
n
m∑
j=1
djk χIj∩Jk e.
Consequentemente
αφβ ψ =
∑
k=1
n
m∑
j=1
(α cjk + β djk)χIj∩Jk ,
o que demonstra ser αϕ+ β ψ tambe´m uma func¸a˜o em escada. �
4.2 Integral de Func¸o˜es em Escada.
4.2.1 Seja ϕ ∈ S([a, b]) representada por
ϕ ∼ (a0, . . . , an ; v1, . . . , vn)
Definimos enta˜o
∫ b
a
ϕ(x)dx =
n∑
k=1
vk(ak − ak−1)
Exerc´ıcio. Se χI e´ a func¸a˜o caracter´ıstica de um subintervalo I de extremos c e d, demonstre que∫ b
a
χI(x)dx = d− c.
Em particular∫ b
a
χ
[a,b](x)dx =
∫ b
a
χ
[a,b[(x)dx =
∫ b
a
χ
]a,b](x)dx =
∫ b
a
χ
]a,b[(x)dx = b− a.
OBSERVAC¸A˜O. Na definic¸a˜o de integral dada acima foi usada uma representac¸a˜o particular para
a func¸a˜o ϕ. Para que esta definic¸a˜o seja va´lida e´ essencial que o valor da integral na˜o dependa desta
particular representac¸a˜o. Para verificar este fato, consideramos uma partic¸a˜o dada P e inserimos
um ponto c:
a = a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ ak ≤ c ≤ ak+1 ≤ · · · ≤ an ≤ b.
A func¸a˜o ϕ tera´ a seguinte representac¸a˜o
ϕ ∼ (a0, . . . , ak, c, ak+1, . . . , an; v1, . . . , vk, vk, . . . , vn)
56 Dicesar Lass Fernandez
e enta˜o∫ b
a
ϕ(x) dx = v1(a1 − a0) + · · ·+ vk(c− ak) + vk(ak+1 − c) + · · · + vn(an−1 − an)
= v1(a1 − a0) + · · ·+ vk(ak+1 − ak) + · · ·+ vn(an−1 − an),
ou seja a inserc¸a˜o de um ponto na partic¸a˜o P na˜o mudou o valor da integral.
Denotemos por IP (ϕ) a integral
∫ b
a ϕ(x)dx definida utilizando-se a partic¸a˜o P .
Consideremos, agora, a partic¸a˜o P de [a, b] formada pelos pontos de descontinuidade da ϕ.
Enta˜o, se P ′ e´ uma outra partic¸a˜o usada para representar ϕ, necessariamente P ′ e´ mais fina que a
partic¸a˜o P , isto e´, P ′ conte´m os pontos da P . Sejam enta˜o c1, c2, . . . , ck os pontos de P
′ que na˜o
esta˜o em P . Sejam tambe´m P1 obtido da P pela inserc¸a˜o de c1, P2 obtido da P1 por inserc¸a˜o de
c2, e por induc¸a˜o Pk obtido de Pk−1 pela inserc¸a˜o de ck. Vamos ter enta˜o
IP (ϕ) = IP1(ϕ) = IP2(ϕ) = · · · = IP ′(ϕ).
Desta forma se P ′ e P ′′ sa˜o duas partic¸o˜es quaisquer usadas para representar ϕ e definir a integral
vamos ter
IP ′(ϕ) = IP (ϕ) = IP ′′(ϕ).
CONCLUSA˜O:
A integral na˜o depende da particular representac¸a˜o utilizada em sua definic¸a˜o.
4.2.2 PROPOSIC¸A˜O.
Sejam ϕ e ψ ∈ S([a, b]) e c e d ∈ R, enta˜o
∫ b
a
(cϕ + dψ) dx = c
∫ b
a
ϕdx+ d
∫ b
a
ψ dx.
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
Elementos de Ana´lise 57
4.2.3 PROPOSIC¸A˜O.
Se ϕ ∈ S([a, b]) enta˜o
|
∫ b
a
ϕ(x)dx| ≤
∫ b
a
|ϕ(x)|dx ≤ (b− a)||ϕ||∞.
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio. �
4.2.4 PROPOSIC¸A˜O.
Sejam ϕ,ϕ1, ϕ2 ∈ S([a, b]) tais que ϕ ≥ 0 e ϕ1 ≥