(Apostila Função do 1º grau)

Prévia do material em texto

APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
UNITAU 
 
 
APOSTILA 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
 
 
 
 
 
NOME: NO: 
 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 2
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
DEFINIÇÃO 
Chama-se função do 1.° grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. 
Exemplos: 
f(x) = 5x – 3, onde a = 5 e b = – 3 (função afim) 
f(x) = 6x, onde a = 6 e b = 0 (função linear) 
f(x) = x, onde a = 1 e b = 0 (função identidade) 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU 
 
O gráfico de uma função do 1.º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo y. Seu domínio é 
D(f) = e sua imagem é Im(f) = . 
 
1.º exemplo: Construir o gráfico da função y = 2x + 3 (a = 2 > 0) 
Resolução: Sabendo que o gráfico da função y = 2x + 3 é do 1.º grau, precisamos somente conhecer dois 
de seus pontos para traçá-lo. Esses dois pontos podem ser obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários 
para x e determinando suas ../imagens (y). 
Para x = 0 y = 3 
Para x = – 2 y = -1 
Para x = – 1 y = 1 
 
2.º exemplo: Construir o gráfico da função 
f (x) = – 2x + 3 (a = – 2 < 0) 
 
Conclusão: 
Se a > 0, a função y = ax + b é crescente. 
Se a < 0, a função y = ax + b é decrescente. 
 
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU 
 
Chama-se zero ou raiz da função do 1.º grau f(x) = ax + b o valor de x para o qual f(x) = 0, logo: 
ax + b = 0 ⇒ ax = -b ⇒ x = -
a
b
. 
 
 
 
 
 raiz ou zero 
 
 -
a
b
 
 
 
Observação: geometricamente, o zero da função do 1.º grau é a abscissa do ponto em que a reta corta o 
eixo x. Então, no exemplo, temos: 
 o x 
 f(x) 
x 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 3
COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DA RETA: 
 
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta, que é o valor da tangente do ângulo do αααα 
que reta forma com o eixo 0x, medido do eixo para reta no sentido anti-horário. 
O termo constante b, é, chamado coeficiente linear da reta, que é, o valor da ordenada do ponto em que a 
reta corta o eixo 0y. 
 
 f(x) a = tg α 
 
 α 
 o 
 x 
 coeficiente linear (b) 
 
 
Observando os gráficos dos exemplos anteriores, podemos concluir que: 
 
1º) Quando o coeficiente angular é positivo, ou seja , a>0, a função é crescente. 
2º) Quando o coeficiente angular é negativo, ou seja , a<0, a função é decrescente. 
 
Exemplos 
1) Determinar a raiz e fazer a representação gráfica das funções: 
 
a) f(x) = 3x+6 
 
Resolução: 3x + 6 = 0 ⇒ 3x = -6 ⇒ x = -2(raiz) 
 
 
 f(x) 
 
 
 6 coeficiente 
 linear 
 
 raiz 
 
 -2 o x 
 
 
b) f(x)= -x+3 
 
Resolução: -x+3=0 ⇒ -x = -3 (-1 ⇒ x = 3(raiz) 
 
 f(x) 
 
 3 (coef. Linear) 
 
 
 raiz 
 
 o 3 x 
 
2) Determine os coeficientes angular e linear das retas representadas pelas funções abaixo e classifique-as 
em crescente ou decrescente. 
 
a) f(x) = 5x+9 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 4
 
Resolução: Coeficiente angular a=5, linear b=9. 
a = 5 > 0, logo, é crescente a função. 
 
b) f(x) = -4x+8 
 
Resolução: Coeficiente angular a = -4, linear b = 8. 
a = -4 < 0, logo, é decrescente a função. 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
Estudar o sinal da função de 1º grau y = ax + b significa determinar para quais valores de x a função é 
positiva , nula ou negativa. No estudo do sinal devemos considerar 2 casos: 
 
1º caso: a > 0 (função crescente) 
 
 
 
 y 
 
 
 
 y>0 
 + 
 -b/a 
 _ o x 
 
y<0 
 
• x > -
a
b
⇒ y > 0 • x = - 
a
b
 ⇒ y = 0 • x < -
a
b
 ⇒ y < 0 
 
 
 y>0 
 + 
 _ -b/a x 
 y<0 
 
 
2º caso: a < 0 (função decrescente) 
 
 
 y 
 
 + 
 y>0 
 
 -b/a 
 o _ x 
 y<0 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 5
• x < -
a
b
⇒ y > 0 • x = - 
a
b
 ⇒ y = 0 • x > -
a
b
 ⇒ y < 0 
 
+ 
 y>0 
 -b/a 
 _ x 
 y<0 
 
 
Exemplo: Estudar o sinal das funções: 
 
a) y = x-4 
 
Resolução: x-4 = 0 ⇒ x = 4 
Como a =1> 0, a função é crescente, logo: 
 
 
 y>0 
 4 + 
 _ x 
 y<0 
 
 
• x > 4 ⇒ y > 0 
 
• x = 4 ⇒ y = 0 
 
• x < 4 ⇒ y < 0 
 
b) y = -2x + 5 
 
Resolução: -2x + 5 =0⇒ -2x = -5 (-1 ⇒ 2x = 5 ⇒ x =
2
5
 
Como a = -2 < 0, a função é decrescente,logo: 
+ 
 y>0 
 x 
 
2
5
 y<0 - 
 
• x < 5/2 ⇒ y > 0 
 
• x = 5/2 ⇒ y = 0 
 
• x > 5/2 ⇒ y < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 6
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
 
1) Classifique as funções do 1º grau abaixo em afim(A), linear(L) e identidade(I); 
 
a) y = 3x resp: L b) f(x) = x resp: I c) f(x) = 4x - 7 resp: A d) y = =5x +9 resp: A 
 
2) Determine m, de modo que f(x) = (4m + 16)x - 6, seja uma função: 
a) constante resp: m = - 4 b) do 1º grau resp: m ≠ -4 
 
3) Determine p, de modo que f(x) = (5p + 15)x + 6, seja uma função do 1º grau: 
a) crescente resp: p > - 3 b) decrescente resp: p < - 3 
 
4) Determine o valor de m, de modo que a função f(x) = 5x + ( m - 5), intercepte o eixo 
x, no ponto de abscissa 1. resp: m = 0 
 
5) Determine o valor de m, de modo que o coeficiente angular da reta definida pela 
função f(x) = (m + 7)x - 8, seja igual a 10. resp: m = 3 
 
6) Determine o valor de p, de modo que o coeficiente linear da reta definida pela função 
f(x) = x - (p + 8), seja igual a -1. resp: m = - 7 
 
7) Determine o valor de m, de modo que a raiz da função f(x) = (2m + 7)x - 8, seja 
igual a 1. resp: m = 1/2 
 
8) Dada a função f(x)= 4x-8. Determine: 
a)Os coeficientes angular e linear da reta. resp: angular a = 4 linear b = -8 
b) Se ela é crescente ou decrescente. resp: crescente 
c) A raiz. resp: 2 
d) O gráfico. resp: y 
 
 
 o 2 x 
 
 
 89) Dada a função f(x)= -3x-3. Determine: 
a)Os coeficientes angular e linear da reta. resp: angular a = -3 linear b = -3 
b) Se ela é crescente ou decrescente. resp: decrescente 
c) A raiz. resp: -1 
d) O gráfico. resp: y 
 
 -1 
 0 x 
 -3 
 
 
 
 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 7
10) Determine a função do 1º grau cujo o gráfico passa pelos pontos A(0; -1) e B(1; 3). 
 resp: f(x) = 4x - 1 
 
11) O custo de produção de um determinado produto é dado pelo gráfico abaixo: 
 y (reais) Determine o custo de produção de 15 produtos. 
 
 
 20 
 
 5 
 
 0 5 x (unidades produzidas) resp: R$ 40,00 
 
12) Estude o sinal da função do 1º grau: 
 
a) y = 3x+9 resp. y>0 para x>-3, y=0 para x=-3 e y<0 para x<-3 
b) y = -4x+16 resp: resp. y>0 para x<4, y=0 para x=4 e y<0 para x>4 
c) y= 6x-30 resp: resp. y>0 para x>5, y=0 para x=5 e y<0 para x<5 
d) y= -2x+1 resp: resp. y>0 para x< 1/2, y=0 para x=1/2 e y<0 para x>1/2 
 
13) Resolva os sistemas: 
a) 



>+
≥−
106
15154
x
x
 resp: S= { x∈ℜ/ x≥ 5} b) 





>−
<−
−>−
02
1022
105
x
x
x
 resp: S= { x∈ℜ/ 2<x<6} 
14) Resolva as inequações: 
 
 a) 1<3x-2≤10 resp: S = { x∈ℜ/ 1<x≤4} 
 b) 2x-5<3x+4<6x+6 resp: S = { x∈ℜ/ x > -2/3} 
 c) (x+2).(-2x+3) ≥0 resp: S = { x∈ℜ/ -2≤ x ≤ 3/2} 
 d) (-x+1).( -2x+10).(x+3) >0 resp: S = { x∈ℜ/ -3< x <1 ou x > 5} 
 e) 
2
43
−
−
x
x
< 0 resp: S = { x∈ℜ/ 4/3 < x < 2} 
 f) 
3
)4).(2(
+
−−
x
xx
≥0 resp: S = { x∈ℜ/x < -3 ou 2≤ x ≤4} 
 
15) (Unesp) A unidade usual de medida para a energia contida nos alimentos é kcal 
(quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo diário de energia (em kcal) 
para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função f(h) = 17.h, onde h indica a altura 
em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade, pela função g(h) = (15,3).h. Paulo, 
usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e obteve 2.975 
kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada Carla (e que ambos têm 
idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia para Carla, de acordo com a 
fórmula, em kcal, é 
a) 2501 b) 2601 c) 2770 d) 2875 e) 2970 resp: b 
 
16) (Puc-MG) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q 
unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir 
q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 8
necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, para que essa empresa tenha 
lucro, o número mínimo de unidades desse produto que deverá vender é igual a: 
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 resp: d 
 
17) (Uel 2008) Um consumidor adquiriu um aparelho de telefonia celular que 
possibilita utilizar os serviços das operadoras de telefonia M e N. A operadora M cobra 
um valor fixo de R$ 0,06 quando iniciada a ligação e mais R$ 0,115 por minuto da 
mesma ligação. De modo análogo, a operadora N cobra um valor fixo de R$ 0,08 e mais 
R$ 0,11 por minuto na ligação. 
Considere as afirmativas a seguir: 
I. O custo de uma ligação de exatos 4 minutos é o mesmo, qualquer que seja a 
operadora. 
II. O custo da ligação pela operadora M será menor do que o custo da ligação pela 
operadora N, independentemente do tempo de duração da ligação. 
III. Uma ligação de 24 minutos efetuada pela operadora M custará R$ 0,10 a mais do 
que efetuada pela operadora N. 
IV. O custo da ligação pela operadora N será menor do que o custo da ligação pela 
operadora M, independentemente do tempo de duração da ligação. 
 
Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas corretas. 
 
a) I e II. b) I e III. c) III e IV. d) I, II e IV. e) II, III e IV. resp: b 
 
18) Uma empresa de táxi E1 cobra R$ 2,00 a "bandeirada", que é o valor inicial da 
corrida, e R$ 2,00 por km rodado. Outra empresa E‚ fixa em R$ 3,00 o km rodado e não 
cobra a bandeirada. As duas tarifas estão melhor representadas, graficamente, em: 
 
 resp: b 
 
 
19) (Puc_MG) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua 
casa (ponto C), distante 20 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida, 
em reais, é calculado pela expressão V(x) = 12 + 1,5 x, em que x é o número de 
quilômetros percorridos. 
APOSTILA FUNÇÃO DO 1º GRAU - PROF. CARLINHOS 
 
 9
 
Se B = 90°, C = 30° e o táxi fizer o percurso AB + BC, conforme indicado na figura, 
essa pessoa deverá pagar pela corrida: 
a) R$ 40,50 b) R$ 48,00 c) R$ 52,50 d) R$ 56,00 resp: c 
 
20) Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = ax + b e g(x) = mx + n, representadas no 
gráfico. É correto afirmar que (a - m)/(b + n) é igual a 
 
 
 
a) -1/3 b) 0 c) 2/3 d) 1 resp: d 
 
Prof. Carlinhos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Apostila elaborada pelo : 
Prof. Luiz Carlos Souza Santos