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Métodos Estatísticos IIGabarito do Exercício Programado 8Profa. Ana Maria Farias 1. Em cada um dos seguintes problemas, são dados o tamanho amostral n, o número xde indivíduos ou objetos com uma característica específica e o nível de confiança 1− α .Ache o intervalo de confiança associado para a proporção populacional de indivíduos ouobjetos com tal característica. (a) n = 1336 x = 1001 1− α = 99%(b) n = 85 x = 41 1− α = 95%(c) n = 335 x = 290 1− α = 98% Solução (a) ε = 2, 58 ·√ 10011336 × (1336−10011336 )1336 = 0, 03059(10011336 − 0, 03059; 10011336 + 0, 03059 ) = (0, 71866; 0, 77984) (b) ε = 1, 96 ·√ 4185 × (85−4185 )85 = 0, 10623(4185 − 0, 10623; 4185 + 0, 10623 ) = (0, 37612; 0, 58858) (c) ε = 2, 33 ·√ 290335 × (335−290335 )335 = 0, 04341(290335 − 0, 04341; 290335 + 0, 04341 ) = (0, 82226; 0, 90908) 2. Em cada um dos seguintes problemas, são dados o nível de confiança, o limite do erro deestimação, e uma estimativa para p̂ . Ache o tamanho amostral necessário para produzirum intervalo de confiança para p com essas características. (a) 1− α = 95% ε = 0, 05 p̂ ≈ 0, 45(b) 1− α = 99% ε = 0, 10 p̂ ≈ 0, 14(c) 1− α = 99% ε = 0, 001 p̂ ≈ 0, 057 Solução Curso de Administração 1 (a) 0, 05 = 1, 96 ·√0, 45× 0, 55n ⇒ n = (1, 960, 05 )2 × 0, 45× 0, 55⇒ n ≥ 381 (b) 0, 10 = 2, 58 ·√0, 14× 0, 86n ⇒ n = (2, 580.10 )2 × 0, 14× 0, 86⇒ n ≥ 81 (c) 0, 001 = 1, 64·√0, 057× 0, 943n ⇒ n = ( 1, 640, 001 )2×0, 057×(1−0, 057)⇒ n ≥ 144569 3. Em cada um dos seguintes problemas, são dados o nível de confiança e o limite doerro de estimação. Ache o tamanho amostral necessário para produzir um intervalo deconfiança para p com essas características. (a) 1− α = 95% ε = 0, 06(b) 1− α = 90% ε = 0, 10(c) 1− α = 98% ε = 0, 002 Solução (a) 0, 06 = 1, 96 ·√0, 5× 0, 5n ⇒ n = (1, 960, 06 )2 × 0, 25⇒ n ≥ 267 (b) 0, 10 = 1, 64 ·√0, 5× 0, 5n ⇒ n = (1, 640, 10 )2 × 0, 25⇒ n ≥ 68 (c) 0, 002 = 2, 33 ·√0, 5× 0, 5n ⇒ n = ( 2, 330, 002 )2 × 0, 25⇒ n ≥ 339307 4. Calcule o tamanho de amostra necessário para se estimar a proporção de alunos daUFF que possuem carro, com nível de confiança de 90% e margem de erro de 0,02.Solução Como não temos qualquer informação, vamos usar o pior cenário.p = 0, 51− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64ε = 0, 02 0, 02 = 1, 64×√0, 5× 0, 5n =⇒ n = 0, 25× (1, 640, 02 )2 = 1681 Curso de Administração 2 5. De uma certa população de adultos, retirou-se uma amostra de 1100 indivíduos e 319deles foram classificados como hipertensos. Construa um intervalo de confiança de 95%para a verdadeira proporção de adultos dessa população com hipertensão.Solução n = 1100 p̂ = 3191100 = 0, 29Podemos usar a aproximação normal, pois (1) n > 30; (2) np̂ = 319 ≥ 5; (3) n(1 − p̂) =781 ≥ 5Temos que 1− α = 0, 95 =⇒ z0,025 = 1, 96. O intervalo de confiança é (0, 29− 1, 96×√0, 29× 0, 711100 ; 0, 29 + 1, 96× √0, 29× 0, 711100 ) = (0, 263; 0, 317) 6. Uma bem sucedida companhia tem, em geral, seu nome e logomarca com alto nívelde reconhecimento pelos consumidores. Por exemplo, os produtos da Coca-Cola estãodisponíveis para 98% da população mundial e, portanto, deve ter o maior índice de reco-nhecimento da logomarca do que qualquer outra companhia. Uma firma de software, quedesenvolve certo produto, gostaria de estimar a proporção de pessoas que reconhecema logomarca do pinguim do Linux. Dos 952 consumidores pesquisados, selecionadosaleatoriamente, 132 puderam identificar o produto associado ao pinguim. (a) A distribuição da proporção amostral, P̂ , é aproximadamente normal? Justifiquesua resposta.(b) Ache um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira proporção de consumi-dores que reconhecem o pinguim do Linux. Solução (a) A distribuição de P̂ pode ser aproximada pela normal, pois n > 30np̂ = 132 ≥ 5n(1− p̂) = 820 ≥ 5 (b) p̂ = 132952 = 0.138 7 1− α = 95%⇒ z0,025 = 1, 96(0, 1387− 1, 96×√0, 1387× (1− 0, 1387)952 ; 0, 1387 + 1, 96× √0, 1387× (1− 0, 1387)952 ) = (0, 1167 ; 0, 1607) Outra possibildiade de solução é construir o intervalo de confiança conservador:(0, 1387− 1, 96×√0, 5× 0, 5952 ; 0, 1387 + 1, 96× √0, 5× 0, 5952 ) = (0, 10694 ; 0, 17046) Curso de Administração 3
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