Lista de Execícios 1 - Variáveis Complexas - UFCG - Prof. Jefferson Abrantes

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Variáveis Complexas
Professor: Jefferson Abrantes
Lista de Exercícios para a Primeira Avaliação
1. Reduza à forma a+ bi cada uma das expressões dadas:
a). (3 + 5i) + (−2 + i). d). (1 + i)3.
b). (3− 5i)(−2− 4i). e). (
√
3− 2i)− i[2− i(
√
3 + 4)].
c). 7− 2i(2− 2i
5
). f).1 + 2i+ 3i2 + 4i3 + 5i4 + 6i5.
2. Mostre que:
a). (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2ixy. c). (x+ iy)2(x− iy)2 = (x2 + y2)2.
b). (x− iy)2 = x2 − y2 − 2ixy. d). (x+ iy)n(x− iy)n = (x2 + y2)n.
3. Reduza à forma a+ bi cada uma das expressões dadas:
a).
1
2 + 3i
. d).
3− i
2i− 1 .
b).
1− i
1 + i
. e).
1− i√
2− i .
c).
1
(1 + i)2
. f).
(
1 + i
1− i
)30
.
4. Represente graficamente os números complexos z1, z2, z1z2 e z1/z2.
a). z1 = 3 + 4i, z2 =
1− i
5
√
2
. d). z1 =
1 + i
2
√
2
, z2 = 1 + i
√
3.
b). z1 = 3− i, z2 = 3− i/2. e). z1 = 1 + 2i, z2 = 2− i.
c).z1 =
1 + i
√
3
2
, z2 =
i+
√
3
2
.
5. Determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses
números na forma polar e represente-os geometricamente.
a). z = −2 + 2i. d). z = −4√
3− i .
b). z = −
√
3 + i. e). z = −3− 2i.
c). z = −1− i. f). z =
(
i
1 + i
)5
.
1
6. Utilizando as representações polares da questão anterior, reduza as for-
mas polares de z1.z2 e z1/z2.
a). z1 = −2 + 2i e z2 = −4√
3− i .
b). z1 = −
√
3 + i e z2 = −3− 2i.
c). z1 = −1− i e z2 =
(
i
1 + i
)5
.
7. Mostre que
∣∣∣(2 + i)/(2− i√3)∣∣∣2 = 5/7 e ∣∣∣(√3 + i)(1− 3i)/√5∣∣∣ = 2√2.
8. Supondo ser |z2| > |z3|, prove que∣∣∣∣ z1z2 + z3
∣∣∣∣ ≤ |z1||z2| − |z3| e
∣∣∣∣ z1z2 − z3
∣∣∣∣ ≤ |z1||z2| − |z3|
9. Calcule as raízes dos números complexos dados abaixo e faça a repre-
sentação gráfica correspondente:
a). 3
√−1. c). (1 + i
√
3)
1
2 .
b). 3
√−i. d). 2
√
2i.
10. Decomponha cada polinômio dado em um produto de fatores de 10
grau.
a). p(z) = z6 − 64. c). p(z) = 3z2 − i.
b). p(z) = 5z3 + 8. d). p(z) = 2z2 + z + 1.
11. Reduza à forma reiθ cada um dos números complexos dados abaixo e
faça os gráficos correspondentes.
a). 1 + i. c).
i
1 + i
.
b). 1 + i
√
3. d).
1 + i
√
3√
3− i .
12. Mostre que:
a). exp(3 + 7pii) = −e3.
b). exp
3− 2pii
6
=
√
e(1− i√3)
2
.
13. Represente graficamente os conjuntos dados abaixo:
a). Re(z) < −3. c). |z + 1| ≤ 2.
b). Im(z) ≥ 1. d). Re
(
1
z
)
<
1
4
.
2
14. Identifique cada um dos conjuntos dados abaixo e faça um esboço grá-
fico.
a). |z − 2 + i|+ |z| ≤ 4.
b). Re(1− z) = |z|.
15. Estabeleça, diretamente da definição, os limites abaixo:
a). lim
z→−3i
(z2 − 5z) = −9 + 15i. d). lim
z→∞
z2 − 1
z − 3 =∞.
b). lim
z→i
7
z2 + 1
=∞. e). lim
z→i
6z + 7
2z − 3 = 3.
c). lim
z→∞
z + 1
z2 − 7 = 0. f). limz→∞
6z + 7
2z − 3 = 3.
16. Prove que a função w =
√
z é contínua em todo ponto z.
17. Prove que a função w =
1
z
é contínua em todo ponto z 6= 0.
18. Calcule os limites indicados abaixo:
a). lim
z→i
z3 − 27
z − 3 . d). limz→0
(1 + z)
1
3
z
.
b). lim
z→i
(1 + z)
1
4 − 1
z
. e). lim
h→0
√
1 + h− 1
h
.
c). lim
z→−2i
z3 − 8i
z + 2i
.
19. Calcule as derivadas das funções dadas abaixo:
a). f(z) = 1− z2 + 4iz5.
b). f(z) = (z2 − i)3(iz + 1)2.
c). f(z) =
z − 3i
z + 3i
.
20. Prove que (1/z)′ = −1/z2.
21. Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada
uma das funções dadas abaixo, qual é analítica e em que domínio. Em
caso positivo, calcule a derivada f ′(z):
a). w = z3. d). w = ey(cosx+ isenx).
b). w = z. e). w = (ey + e−y)senx+ (ey − e−y)cosx.
c). w = ez. f). w = e−y(cosx+ isenx).
22. Determine todas as raízes das equações dadas abaixo:
a). ez = −1. d). ez + 6e−z = 5.
b). e2z = −e. e). e3z−4 = −1.
c). ez = −
√
3 + 3i. f). log z = pii/2.
3
23. Fixado c 6= 0, mostra que a função w = cz é analítica, com derivada
(cz)′ = cz log c.
24. Estabeleça as seguintes propriedades das potências:
zazb = za+b, z−a =
1
za
, (za)b = zab,
onde z 6= 0 e a e b são números complexos.
25. Mostre que
ii = exp
−(4k + 1)pi
2
, k = 0,±1,±2, ...
Bons Estudos!
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