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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 3 do Caderno Dida´tico. Algumas palavras E´ preciso que voceˆ estude com especial cuidado este EP e o pro´ximo. Eles sa˜o essenciais para que voceˆ consiga entender e se expressar na Linguagem da Lo´gica, pois e´ a partir deste conte´udo que podem ser criadas muitas das armadilhas das provas de racioc´ınio lo´gico em concursos. A Matema´tica necessita de uma linguagem bem definida, em que cada sentenc¸a ou expressa˜o possua um significado bem estabelecido, isto e´, este significado deve ser sempre o mesmo, independente- mente de quem esteja lendo. E, neste sentido, a linguagem da Lo´gica de proposic¸o˜es, atende muito bem a` Matema´tica. Esta linguagem estabelece significados bastante estritos para palavras da L´ıngua Portuguesa (no nosso caso) que tambe´m sa˜o empregadas cotidianamente. Por isso, e´ importante que estas palavras sejam sempre consideradas com o significado lo´gico que foi definido, e na˜o com o significado cotidiano. Pense no significado de lo´gico estabelecido para cada palavra como se fossem as regras do jogo. Para que voceˆ tenha uma ideia do que estamos querendo dizer, imagine a seguinte afirmac¸a˜o: Se eu for a` regia˜o Sul do Brasil, visitarei o Rio Grande do Sul ou o Parana´ ou Santa Catarina ou a Bahia. Esta afirmac¸a˜o esta´ correta? Pense um pouco... Pode parecer estranho para algumas pessoas, mas dentro das regras do nosso jogo, esta afirmac¸a˜o esta´ correta. Mas na˜o se preocupe se isto parece estranho para voceˆ, nas pro´ximas aulas tudo ficara´ claro. Como outro exemplo, considere a situac¸a˜o hipote´tica a seguir. Imagine que um pai disse para o seu filho Julio: Julio, se voceˆ for aprovado no ENEM, enta˜o tera´ um carro novo. Admita que o pai de Julio esteja dizendo a verdade. Depois do resultado da divulgac¸a˜o do ENEM, Julio foi visto com um carro novo. E´, enta˜o, verdade que Julio foi aprovado no ENEM? A resposta e´ “Na˜o!” pois Julio poderia, por exemplo, na˜o ter sido aprovado no ENEM e ter ganho o carro num sorteio. O equ´ıvoco esta´ em que na linguagem do cotidiano, e´ comum assumir que se a sentenc¸a: Julio, se voceˆ for aprovado no ENEM, enta˜o tera´ um carro novo. Me´todos Determin´ısticos I EP3 2 e´ verdadeira, tambe´m e´ verdadeira a sentenc¸a Se Julio tem um carro novo, enta˜o ele foi aprovado no ENEM. Boa parte das questo˜es ditas de “racioc´ınio lo´gico” exigem racioc´ınio, tanto quanto o conhecimento da linguagem empregada na Lo´gica. O que faremos neste EP e no pro´ximo e´ estudar cuidadosamente o significado das proposic¸o˜es (sen- tenc¸as lo´gicas) para que voceˆ se familiarize com a linguagem da Lo´gica, sabendo emprega´-la bem, inclusive na Matema´tica. Antes de prosseguir, sugerimos que voceˆ assista a` videoaula Lo´gica Proposicional (em 3 partes), produzida pelas professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 3 da Plataforma. Abaixo, o link direto para cada parte da videoaula: • Parte 1 • Parte 2 • Parte 3 Proposic¸o˜es No material impresso, voceˆ aprendeu que nem todas as frases sa˜o proposic¸o˜es lo´gicas. As proposic¸o˜es lo´gicas sa˜o as afirmac¸o˜es que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas. Por exemplo, “A Terra e´ um planeta.” e´ uma proposic¸a˜o lo´gica. Ja´ quando algue´m lhe pede “Por favor, passe o sal.” na˜o se trata de uma afirmativa verdadeira ou falsa, na˜o e´ uma proposic¸a˜o lo´gica. Da mesma forma, sa˜o proposic¸o˜es: • O ano de 2018 comec¸ou em um domingo. • pi > 3 • A reitoria da UFRRJ se localiza em Serope´dica. • 1 6 0 E na˜o sa˜o proposic¸o˜es: • Corra, Lola, corra! • Quem quer dinheiro? E´ muito comum darmos nomes a`s proposic¸o˜es, para podermos nos referir a elas posteriormente. Nos exemplos acima, poder´ıamos ter “batizado”as proposic¸o˜es da seguinte forma: p: O ano de 2018 comec¸ou em um domingo. q: pi > 3 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 3 r: A reitoria da UFRRJ se localiza em Serope´dica. s: 1 6 0 Usualmente, utilizaremos letras latinas minu´sculas, como feito acima, mas isto e´ apenas uma questa˜o de estilo! Sentenc¸as abertas Algumas expresso˜es afirmativas conte´m varia´veis e so´ podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas quando estas varia´veis assumem valores estabelecidos. Por exemplo, na˜o podemos dizer que seja verdadeira ou falsa que x e´ um nu´mero inteiro par. Esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira quando x = −2, x = 0 ou x = 3432, por exemplo. Por outro lado, e´ falsa, por exemplo, quando x = 1, x = √ 2, x = 152 ou x = melancia. Sentenc¸as afirmativas contendo varia´veis e que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas quando as varia´veis assumem valores, sa˜o chamadas de sentenc¸as abertas, ou ainda func¸o˜es propo- sicionais. Usualmente se representa uma sentenc¸a aberta que possua uma varia´vel x escrevendo algo da forma p(x). Um exemplo p(x): x e´ um nu´mero inteiro par Isto significa que, para cada valor de x, teremos uma proposic¸a˜o, obtida substituindo x por aquele valor. Por exemplo, a proposic¸a˜o p(2) e´ dada por p(2): 2 e´ um nu´mero inteiro par e e´ verdadeira! Por outro lado, a proposic¸a˜o p(1): 2 e´ um nu´mero inteiro par e´ falsa. Outros exemplos: q(n): n2 e´ positivo. [A varia´vel aqui e´ n] r(t): t > 1 t [A varia´vel aqui e´ t] s(professor): professor e´ coordenador de MD1 [A varia´vel aqui e´ professor] Nas sentenc¸as abertas acima, sa˜o verdadeiras, por exemplo, as proposic¸o˜es (verifique!): q(1), r(2), s(Denise). Por outro lado, sa˜o falsas q(0), r ( 1 2 ) , s(Pedro A´lvares Cabral). Um outro exemplo: Fulano estuda administrac¸a˜o. A varia´vel, no caso, e´ fulano... a na˜o ser que haja uma pessoa cujo nome seja Fulano, neste caso, ter´ıamos uma proposic¸a˜o, e na˜o uma sentenc¸a aberta! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 4 Os conectivos lo´gicos “e”e “ou” Vamos agora comec¸ar a estabelecer um sentido muito estrito para palavras usuais de nossa l´ıngua. Vamos comec¸ar pelas palavras “e”e “ou”que, de agora em diante em nossa disciplina, devem ser lidas e utilizadas apenas com este sentido. Esta e´ a regra do jogo! O conectivo e, tambe´m representado por ∧, e´ utilizado para juntar duas proposic¸o˜es e gerar uma nova proposic¸a˜o que sera´ verdadeira apenas quando as duas proposic¸o˜es originais forem verdadeiras. Na˜o ficou claro? Imagine que tenhamos as proposic¸o˜es p e q. Podemos formar uma nova proposic¸a˜o, que daremos o nome (aleato´rio) de r, fazendo r : p e q, ou, o que significa a mesma coisa, r : p ∧ q. A proposic¸a˜o r sera´ verdadeira apenas quando p e q forem ambas verdadeiras. Se qualquer uma das duas proposic¸o˜es p e q for falsa, ou ainda se as duas o forem, a proposic¸a˜o r sera´ falsa. Por exemplo, juntando a proposic¸a˜o verdadeira p : a Terra e´ um planeta com a proposic¸a˜o falsa q : ca˜es sa˜o re´pteis atrave´s do conectivo e, podemos formar a seguinte proposic¸a˜o: A Terra e´ um planeta e ca˜es sa˜o re´pteis. que e´ uma proposic¸a˜o falsa, pois q e´ falsa. Por outro lado, a proposic¸a˜o A Terra e´ um planeta e ca˜es sa˜o mam´ıferos. e´ verdadeira, pois tanto A Terra e´ um planeta quanto ca˜es sa˜o mam´ıferos. sa˜o verdadeiras. O conectivo ou, tambe´m representado por ∨, junta duas proposic¸o˜es e gera uma nova, que sera´ verdadeira apenas quando pelo menos uma das duas proposic¸o˜es originais forem verdadeiras. Com as afirmac¸o˜es do exemplo acima, a proposic¸a˜o A terra e´ um planeta ou ca˜es sa˜o re´pteis. e´ uma afirmac¸a˜o verdadeira, pois A terra e´ um planeta e´ verdadeira. Vejamosum outro exemplo. A afirmac¸a˜o Joa˜o estudou ou Joa˜o foi a` praia. sera´ verdadeira se • Joa˜o tiver estudado, mas na˜o tiver ido a` praia; • Joa˜o na˜o tiver estudado, mas tiver ido a` praia; • Joa˜o tiver estudado, e tambe´m tiver ido a` praia. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 5 Vamos pensar um pouco mais sobre a u´ltima condic¸a˜o acima. A proposic¸a˜o p ∨ q (isto e´, p ou q) e´ verdadeira se pelo menos uma das proposic¸o˜es p e q forem verdadeiras. Se ambas forem verdadeiras, p ∨ q sera´, portanto, verdadeira. Este exemplo ilustra bem a necessidade de estabelecermos uma regra clara. O conectivo ou definido e´ ligeiramente diferente do que utilizamos no portugueˆs. No cotidiano, uma frase como Voceˆ estuda ou vai a` praia. costuma ser entendida como uma exclusa˜o, isto e´, ela na˜o seria admitiria a possibilidade de voceˆ tanto estudar quanto ir a` praia. Lembramos que na˜o e´ assim que definimos o nosso conectivo ou; o nosso e´ mais legal, deixa voceˆ ir a` praia e estudar! Imagina voceˆ la´, curtindo a brisa debaixo do guarda-sol, fazendo uns exerc´ıcios de Me´todos Determin´ısticos, bebendo um mate gelado... so´ felicidade! Um u´ltimo exemplo de uso do conectivo ou, que nem sempre e´ percebido como tal. A sentenc¸a 3 > 1 e´ uma forma abreviada de escrevermos 3 > 1 ou 3 = 1. A sentenc¸a e´ verdadeira, pois e´ verdade que 3 > 1. Da mesma forma, a sentenc¸a 1 > 1, que e´ uma forma abreviada de escrevermos 1 > 1 ou 1 = 1 tambe´m e´ verdadeira, pois e´ verdade que 1 = 1. No pro´ximo exerc´ıcio, trabalharemos com os conectivos e e ou. Exerc´ıcio 1 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas: a) O Brasil fica na Ame´rica do Sul e a Inglaterra fica na A´frica. b) A China fica na Ame´rica do Sul ou o Canada´ fica na Ame´rica do Norte. c) A Argentina fica na Ame´rica do Sul ou o Chile fica na Ame´rica do Sul. d) A Coloˆmbia fica na A´frica e Portugal fica na Ame´rica do Sul. e) Cuba fica na Europa ou o Japa˜o fica na Ame´rica do Norte. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 6 Negac¸a˜o Se tivermos uma proposic¸a˜o p, representaremos por ∼ p a negac¸a˜o da proposic¸a˜o p. Certo, mas o que e´ a negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o? A negac¸a˜o ∼ p e´ proposic¸a˜o que e´ verdadeira se p for falsa e falsa se p for verdadeira, isto e´, ∼ p e´ uma proposic¸a˜o que tem valor lo´gico contra´rio ao de p. Por exemplo, se consideramos a proposic¸a˜o p: Pedro e´ alto sua negac¸a˜o seria a proposic¸a˜o ∼ p: Pedro na˜o e´ alto. Na˜o vamos aqui entrar em uma discussa˜o filoso´fica sobre o que e´ ser alto ou baixo, mas observe que na˜o poder´ıamos dizer que a negac¸a˜o de p e´ Pedro e´ baixo. Se Pedro tiver estatura mediana, enta˜o e´ falso que Pedro e´ alto, logo e´ verdadeiro que Pedro na˜o a´ alto, mas isto na˜o quer dizer que seja verdade que Pedro e´ baixo. Deu para entender? Tentando resumir esta discussa˜o, podemos dizer que negac¸a˜o na˜o esta´ associada ao conceito lingu´ıstico de antoˆnimo, mas sim a oposto lo´gico. Se ficou complicado entender, pense na seguinte expressa˜o: p : x > 1. Qual e´ a negac¸a˜o ∼ p de p? A primeira resposta que ocorre e´ ∼ p : x < 1, pois “menor”e´ o antoˆnimo (no portugueˆs) de “maior”, mas vamos pensar melhor. Para que valores de x, a proposic¸a˜o p e´ verdadeira? Quando x e´ menor que 1 p e´ falsa Quando x e´ igual a 1 p e´ falsa Quando x e´ maior que 1 p e´ verdadeira Vamos chamar nosso palpite, a proposic¸a˜o x < 1, de q. Quando q : x < 1 e´ verdadeira? Quando x e´ menor que 1 q e´ verdadeira Quando x e´ igual a 1 q e´ falsa Quando x e´ maior que 1 q e´ falsa Opa!!! Repare que na˜o e´ bem por a´ı... pode acontecer de p ser falsa e q ser falsa. Logo, na˜o e´ verdade que q e´ a negac¸a˜o de p, pois q deveria ser verdadeira sempre que p fosse falsa. Certo, mas enta˜o qual e´ a negac¸a˜o de p? A resposta correta e´ ∼ p : x 6 1. Veja abaixo que o valor verdadeiro/falso de x 6 1 e´ sempre o oposto de p : x > 1: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 7 Quando x e´ menor que 1 x 6 1 e´ verdadeira* Quando x e´ igual a 1 x 6 1 e´ verdadeira* Quando x e´ maior que 1 x 6 1 e´ falsa * Lembre-se de que “x 6 1” equivale a “x < 1 ou x = 1” Uma negac¸a˜o ∼ p pode tambe´m ser lida como “na˜o p”ou ainda “e´ falso que p”. Vamos agora trabalhar um exerc´ıcio envolvendo negac¸o˜es. Exerc´ıcio 2 Qual a negac¸a˜o das proposic¸o˜es abaixo: a) p: Hoje e´ sexta-feira b) q: O meu pai era paulista c) r: Amanha˜ na˜o sera´ sa´bado d) Antes de pensarmos em quantificadores ou coisa do tipo, tente, usando apenas sua intuic¸a˜o lo´gico-matema´tica, dizer qual e´ a negac¸a˜o da proposic¸a˜o abaixo: s: Ningue´m e´ forte o bastante para me deter! Antes que voceˆ diga que ∼ s: Todo mundo e´ forte o bastante para me deter! lembre-se de que a negac¸a˜o e´ o oposto lo´gico, na˜o o antoˆnimo no portugueˆs. Tente pensar o que precisa acontecer para que eu esteja mentindo ao fazer a afirmac¸a˜o p. Uma observac¸a˜o: negac¸a˜o da negac¸a˜o Se considerarmos uma proposic¸a˜o p, vimos que a negac¸a˜o ∼ p sera´ verdadeira se p for falsa e falsa se p for verdadeira. Em outras palavras, o valor verdadeiro/falso de ∼ p e´ o oposto do de p. Enta˜o, qual e´ o valor de ∼ (∼ p)? Primeiramente, vamos tentar entender o que esta´ escrito. A proposic¸a˜o ∼ p e´ a negac¸a˜o da pro- posic¸a˜o p e assim ∼ (∼ p) e´ a negac¸a˜o de ∼ p, logo e´ a negac¸a˜o da negac¸a˜o de p. Se p for verdade, ∼ p e´ falsa, logo ∼ (∼ p) e´ verdade. Se, por outro lado, p for falsa, enta˜o ∼ p e´ verdade, logo ∼ (∼ p) e´ falsa. Ou seja, ∼ (∼ p) equivale a` pro´pria p! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 8 Exerc´ıcio 3 Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Ora, na˜o velejo. Assim, (A) Estudo e fumo. (B) Na˜o fumo e surfo. (C) Na˜o velejo e na˜o fumo. (D) Estudo e na˜o fumo. (E) Fumo e surfo. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova da ANEEL (Ageˆncia Nacional de Energia Ele´trica – Aneel – 2004 – Esaf) e e´ uma questa˜o t´ıpica em provas de racioc´ınio lo´gico. Como exemplo, vamos resolveˆ-la. Soluc¸a˜o: Nesse tipo de questa˜o, primeiro nos da˜o algumas proposic¸o˜es como “fatos”, isto e´, pro- posic¸o˜es que devemos considerar que sa˜o verdadeiras. Chamamos a essas proposic¸o˜es de premissas. Neste caso, as premissas sa˜o as seguintes: Premissas: Surfo ou estudo. Fumo ou na˜o surfo. Velejo ou na˜o estudo. Na˜o velejo. Geralmente as premissas sa˜o formadas por proposic¸o˜es compostas (como as treˆs primeiras acima). A partir delas temos que descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Ado- taremos o seguinte me´todo para resolver estas questo˜es: 1) Escrever as proposic¸o˜es simples e escolher uma letra diferente para designar cada proposic¸a˜o: Proposic¸o˜es: s: surfo e: estudo f : fumo v: velejo Nosso objetivo e´ determinar quais dessas proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. 2) Escrever as premissas usando as letras que designam as proposic¸o˜es e os s´ımbolos dos conectivos lo´gicos (o s´ımbolo de “e” e´ ∧ e o de “ou” e´ ∨. A negac¸a˜o e´ representada por ∼.) Premissas: s ∨ e f ∨ ∼ s v ∨ ∼ e ∼ v 3) Analisar as premissas para descobrir quais proposic¸o˜es simples sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas: Comec¸ando pela u´ltima premissa, sabemos que e´ verdade ∼ v (pois isso foi dado como premissa). Da´ı podemos concluir que v e´ falso (dizer que e´ verdade que na˜o velejo e´ o mesmo que dizer que e´ falso que velejo). Agora avaliando a penu´ltima premissa, sabemos que v∨ ∼ e e´ verdade. Mas isso significa que pelo menos uma das duas proposic¸o˜es elementares envolvidas deve ser verdadeira (pois ∨ significa“ou”). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 9 Ja´ sabemos que v e´ falsa (conclu´ımos isso acima). Logo, ∼ e tem que ser verdadeiro. Da´ı podemos concluir que e e´ falso. Sabendo que e e´ falso, e olhando a primeira premissa, descobrimos que s e´ verdadeiro (pois se s fosse falso, a premissa na˜o seria verdadeira, e premissas sempre sa˜o verdadeiras). Finalmente, a segunda premissa nos garante que f e´ verdadeiro (pois ja´ vimos que ∼ s e´ falso). Observando as alternativas da questa˜o, conclu´ımos que a correta e´ a letra E: surfo e fumo. Pode parecer complicado a` primeira vista, mas e´ so´ uma questa˜o de pra´tica. Exerc´ıcio 4 Leio jornal ou passeio. Passeio ou na˜o como fora. Como fora ou cozinho. Leio jornal e na˜o cozinho. a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa) e designe para cada uma delas uma letra diferente. b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado. c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo: ( ) Leio jornal. ( ) Passeio. ( ) Como fora. ( ) Cozinho. Exerc´ıcio 5 Sou brasileiro ou sou engenheiro. Sou magro ou na˜o sou brasileiro. Sou engenheiro ou sou advogado. Na˜o sou magro ou na˜o sou engenheiro. Sou advogado ou sou pedreiro. Na˜o sou magro e na˜o sou pedreiro. a) Escreva as proposic¸o˜es simples envolvidas no enunciado acima (escreva-as na forma afirmativa) e designe para cada uma delas uma letra diferente. b) Usando os s´ımbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as premissas dadas no enunciado. c) Analise as premissas e marque verdadeiro ou falso nos pareˆnteses abaixo: ( ) Sou brasileiro. ( ) Sou engenheiro. ( ) Sou magro. ( ) Sou advogado. ( ) Sou pedreiro. d) Para resolver o item anterior voceˆ precisou usar todas as premissas? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 10 Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 3} e B = {a, b}. Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas as proposic¸o˜es a seguir. a) 3 ∈ A e a ∈ A; b) 1 ∈ A ou b ∈ A; c) 3 ∈ A e {a} ⊂ B; d) 1 6∈ A ou {b} ⊂ B Observac¸a˜o: Nesta questa˜o continua-se a trabalhar com os conectivos “e”e “ou”, e se reve as relac¸o˜es de pertineˆncia e inclusa˜o de conjuntos estudados na Semana 1. Os quantificadores existencial e universal Vamos trabalhar um pouco com os quantificadores ∃ (“existe”) e ∀ (“para todo”), vistos na Aula 3 do Caderno Dida´tico. O quantificador de existeˆncia, denotado por ∃ (“existe”), e´ utilizado para afirmar que uma proposic¸a˜o aberta p (uma sentenc¸a que possui valor verdadeiro/falso dependendo do valor de sua varia´vel) e´ verdadeira para pelo menos algum valor da varia´vel, dentro de um certo conjunto de valores que ela pode assumir. Por exemplo, vamos considerar o conjunto dos nu´meros reais N. A proposic¸a˜o q : ∃n ∈ N | n2 − 4n+ 3 = 0. deve ser lida da seguinte forma: q: existe algum valor de n pertencente a N tal que n2 − 4n+ 3 = 0. Esta afirmac¸a˜o sera´ verdadeira se, de fato, existir pelo menos um valor de n, que so´ pode ser esco- lhido dentre os nu´meros naturais, para o qual n2 − 4n+ 3 = 0. A afirmac¸a˜o, no caso, e´ verdadeira, pois fazendo n = 1, temos 12 − 4 · 1 + 3 = 0. Mas repare que tambe´m e´ verdade para n = 3, pois 32 − 4 · 3 + 3 = 0. Bom, na˜o importa que existam mais de um valor para n que satisfac¸a a igualdade, a proposic¸a˜o p seria verdadeira se existisse um so´, dois ou qualquer outro nu´mero de valores, mesmo que fossem infinitos. Se considerarmos o conjunto A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} a proposic¸a˜o q : ∃n ∈ A | n2 − 4n+ 3 = 0 seria falsa. Qualquer valor de n que escolheˆssemos em A (o n tem que existir em A, na˜o mais em N), nos daria n2 − 4n + 3 < 0 (Por que mesmo? Tente relembrar func¸a˜o do segundo grau!), logo n2 − 4n+ 3 6= 0. Um exemplo interessante: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 11 q: Algue´m gosta de Lo´gica. Esta sentenc¸a pode ser lida como q: Existe x ∈ P | x gosta de lo´gica onde P e´ o conjunto das pessoas. Sendo um pouco mais precisos, se temos um conjunto A e uma sentenc¸a aberta p(x) (veja mais sobre isso na sec¸a˜o Sentenc¸as Abertas deste EP), a proposic¸a˜o q : ∃x ∈ A | p(x) e´ lida como Existe algum valor de x escolhido no conjunto A para o qual a proposic¸a˜o p(x) e´ verdadeira. Note que, acima, escrevemos “a proposic¸a˜o p(x)”, e na˜o a “sentenc¸a aberta p(x)”, pois p(x) sera´ considerada com um valor de x, no caso um elemento de A. O quantificador universal, denotado por ∀, e´ utilizado para afirmar que uma proposic¸a˜o aberta q e´ verdadeira para todo valor da varia´vel, escolhido dentro de um certo conjunto. Por exemplo, a proposic¸a˜o q : ∀n ∈ N, 2n e´ par e´ lida como q: para todo valor de n pertencente a N, e´ verdadeiro que 2n e´ par. Note que sentenc¸a q acima e´ verdadeira. Um outro exemplo: q : ∀n ∈ Z, n2 > 0. Esta afirmac¸a˜o e´ lida como q: para todo valor de n pertencente a Z, e´ verdadeiro que n2 > 0. Esta afirmac¸a˜o e´ falsa! Se considerarmos n = 0, temos n2 = 02 = 0, logo n2 > 0 e´ falsa. Com isso, existe pelo menos um valor de n ∈ Z para o qual n2 > 0. Isto faz com que a afirmac¸a˜o q seja falsa, pois ela dizia que n2 > 0 seria verdadeira para todo valor de n. Para que uma proposic¸a˜o com o ∀ seja falsa, basta que exista pelo menos um valor de n dentro do conjunto especificado para o qual a proposic¸a˜o aberta dada seja falsa, como no exemplo acima. Vejamos um outro exemplo. q : ∀n ∈ Z, n2 > n. Note que, para n = 0, teremos n2 = 0 = n e, para n = 1, temos n2 = 1 = n. Assim, em ambos os casos e´ falso que n2 > n, logo q e´ falsa. Mais um exemplo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 12 q: Todo mundo gosta de lo´gica. pode ser lida como q: Para todo x ∈ P , x gosta de lo´gica onde P denota, mais uma vez, o conjunto das pessoas. Mais precisamente, dados o conjunto A e a sentenc¸a aberta p(x), a proposic¸a˜o q : ∀x ∈ A, p(x) e´ lida como Para todo valor de x no conjunto A, a proposic¸a˜o p(x) e´ verdadeira. Os dois exerc´ıcios seguintes trabalham com quantificadores. Divirta-se com eles! Exerc´ıcio 7 Considere os conjuntos A = { −1 2 , −3 , −1 6 } , B = { −6 , −1 3 , 2 } e C = {6 , 10}. Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se elas sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. a) ∀ x ∈ A, 1/x ∈ B. b) ∃ x ∈ A | 1/x ∈ B. c) ∃ x ∈ B | ∀ y ∈ C, y/x e´ ı´mpar. d) ∀ x ∈ B, ∃ y ∈ C | ∃z ∈ A | x = yz. Observac¸a˜o: Nesta questa˜o e na pro´xima, trabalha-se com os quantificadores em proposic¸o˜es matema´ticas. Tenha atenc¸a˜o especial com os dois u´ltimos ı´tens. O que voceˆ observa neles? Eles dizem a mesma coisa? Exerc´ıcio 8 Escreva por extenso as proposic¸o˜es matema´ticas abaixo, e decida se sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. a) ∀x ∈ Q; x > 1 b) ∃y ∈ Z | y + 1 = −3 c) ∃z ∈ Z | z + 3 = 1/3 d) ∀m ∈ N; m+ 1 > 3 e) ∀p ∈ Z; ∃q ∈ Z | p+ q = 0 f) ∃q ∈ Z | ∀p ∈ Z, p+ q = 0 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 13 Exerc´ıcio 9 Em uma sala de aula, estudam: • Ana, que na˜o usa o´culos e e´ loira. • Joa˜o, que na˜o usa o´culos e e´ ruivo. • Maria, que na˜o usa o´culos e tem cabelos castanhos. • Matheus Reis, que usa o´culos e tem cabelos azuis. • Matheus Vieira, que na˜o usa o´culos e tambe´m tem cabelos azuis. • Pedro, que usa o´culos e tem cabelos castanhos. • Zulmira, que na˜o usa o´culos e e´ ruiva. Sobre esta turma, sa˜o feitas as seguintes afirmac¸o˜es. p: Se usa o´culos, enta˜o e´ homem. q: Se e´ homem, enta˜o usa o´culos. r: Se tem cabelos azuis, enta˜o se chama Matheus s: Se se chama Matheus, enta˜otem cabelos azuis t: Se tem cabelos azuis, enta˜o e´ homem. u: Se na˜o usa o´culos, enta˜o e´ mulher v: Se aluno e´ mulher, enta˜o na˜o usa o´culos w: Se e´ ruivo, enta˜o na˜o usa o´culos Preencha as lacunas abaixo com V (verdadeiro) ou F (falso), justificando minuciosamente: ( ) r e s ( ) u e v ( ) v ou t ( ) q ou w ( ) (∼t e q) ou u Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 14 Negac¸a˜o de quantificadores Em uma discussa˜o que fizemos sobre anteriormente neste EP, vimos que a negac¸a˜o ∼ p de uma pro- posic¸a˜o p na˜o e´ exatamente o seu antoˆnimo no sentido lingu´ıstico da palavra, mas sim uma espe´cie de oposto lo´gico. A negac¸a˜o, no sentido lo´gico, tem a ver com valores contra´rios verdadeiro/falso. No item (d) do Exerc´ıcio 2, voceˆ percebeu que, por mais que a expressa˜o “todo mundo”tenha a ideia contra´ria a` “ningue´m”, “todo mundo”na˜o e´ a negac¸a˜o lo´gica de “ningue´m”. Volte e reveja o exerc´ıcio. Agora, esquecendo o exemplo, pense no que precisa acontecer para que uma afirmac¸a˜o do tipo Todas as pessoas gostam de chocolate. seja uma mentira. Ora, ela sera´ falsa na˜o apenas se ningue´m gostar de chocolate; para que ela falsa, basta que exista uma u´nica pessoa que na˜o goste de chocolate. Assim, a negac¸a˜o da proposic¸a˜o acima seria Existe alguma pessoa que na˜o gosta de chocolate. ou ainda, equivalentemente, Algue´m na˜o gosta de chocolate. Na˜o faz sentido? Afirmar que algo e´ verdade para todas as pessoas e´ muito forte! Basta uma u´nica pessoa na˜o cumprir com o afirmado para fazer com que voceˆ esteja errado. De maneira mais geral, pense na proposic¸a˜o q : ∀x ∈ A, p(x). Aqui estamos dizendo dizendo que p(x) e´ verdeira para todos os valores de x no conjunto A. Esta e´ uma afirmac¸a˜o muito forte! Para estarmos errados, basta que exista pelo menos um elemento de A para o qual p(x) na˜o seja verdadeira quando se substitui x por aquele valor. assim, para que q seja falsa, basta que ∃x ∈ A | p(x) e´ falsa. Mas podemos substituir “p(x) e´ falsa”por ∼ p(x), e temos enta˜o ∼ q : ∃x ∈ A | ∼ p(x). Exemplo: A Negac¸a˜o de ∀x ∈ N, x = 1 x e´ ∃x ∈ N |x 6= 1 x . Pense agora na afirmac¸a˜o Algue´m gosta de cha´ de boldo. Esta afirmac¸a˜o pode ser lida como Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 15 Existe alguma pessoa que gosta de cha´ de boldo. O que precisa acontecer para que esta afirmac¸a˜o seja desmentida? Se voceˆ encontrar uma u´nica pessoa que na˜o goste de cha´ de boldo, voceˆ ja´ tera´ desmentido? Pense... Se existir uma pessoa que na˜o goste de cha´ de boldo, ainda assim a afirmac¸a˜o podera´ ser verdadeira. Ora, existe algue´m que na˜o gosta, mas ainda assim podem existir pessoas que gostem, e enta˜o a afirmac¸a˜o sera´ verdadeira. Neste caso, para garantir que a afirmac¸a˜o e´ falsa, precisamos mostrar que Na˜o existe alguma pessoa que gosta de cha´ de boldo ou seja, que Todas as pessoas na˜o gostam de cha´ de boldo. Ou seja, a negac¸a˜o da afirmac¸a˜o q : ∃x ∈ P |x gosta de cha´ de boldo. e´ ∼ q : ∀x ∈ P , x na˜o gosta de cha´ de boldo. ou ainda ∼ q : ∀x ∈ P , ∼ (x gosta de cha´ de boldo). (Uma pergunta que nada tem a ver com a discussa˜o lo´gica acima... Quem neste mundo, em sa˜ conscieˆncia, gosta de cha´ de boldo???) Em termos simbo´licos, percebemos que a negac¸a˜o de q : ∃x ∈ A | p(x) e´ ∼ q : ∀x ∈ A, ∼ p(x). Se algue´m diz que existe algum valor de x em A que torne p(x) verdadeira, a forma de contradi- zer quem afirmou e´ exatamente argumentar que p(x) e´ falsa para todos os valores de x em A. Na˜o e´? Exemplo: A negac¸a˜o de q : ∃x ∈ Z |x2 < 1 e´ q : ∀x ∈ Z, x2 > 1. Agora e´ hora de praticar! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP3 16 Exerc´ıcio 10 Escreva a negac¸a˜o das afirmativas abaixo: a) Toda casa tem um dono. b) Existe gato que gosta de a´gua. c) Existe cachorro que na˜o persegue gato. d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus da´. e) Todo boteco que se preza diz que na˜o vende fiado. (Cuidado com este item...) Nos exerc´ıcios abaixo, vamos relacionar os conectivos lo´gicos e quantificadores com as operac¸o˜es entre conjuntos. Exerc´ıcio 11 O conjunto A∪B pode ser descrito, por uma propriedade satisfeita por seus elementos, como A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}. Descreva, por meio de uma propriedade satisfeita por seus elementos (isto e´, na forma {x|...}), os conjuntos a) A ∩B b) A−B c) A ∩B ∩ C d) (A ∪B)− C Exerc´ıcio 12 A proposic¸a˜o “A ⊂ B”pode ser escrita, utilizando quantificadores, como “∀x ∈ A, x ∈ B”. Note que as duas expresso˜es sa˜o equivalentes. Escreva, utilizando quantifi- cadores, expresso˜es equivalentes a a) A 6⊂ B b) A ⊂ (B ∪ C) c) A−B = ∅ Exerc´ıcio 13 Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}. a) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando cuida- dosamente sua resposta. p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2. b) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa, justificando cuida- dosamente sua resposta. q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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