AULA 13 - Teoria da Estimação

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia - CT 
Departamento de Engenharia de Produção 
ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA 
DE PRODUÇÃO
Prof. Luciano Queiroz
Natal/RN 12/03/14
Sumário
 Inferência estatística
 Teoria da Estimação
Exemplo Intervalo de Confiança
Estimativa da média
Exemplo Intervalo de Confiança
Tamanho da amostra
 Para ter uma ideia melhor de como os estati ́sticos equilibram a
confiança, o tamanho da amostra e o erro, tomemos o problema de
determinar o tamanho da amostra necessa ́rio para estimar o peso
médio de todos os alunos da segunda se ́rie, com precisão de 1 libra
(0,45 kg) e confiança de 95%. Iremos assumir uma distribuição normal e o
desvio padra ̃o dos pesos dos meninos de 3 libras (1,35 kg).
Tamanho da amostra
O nível de confiança desejado determina o coeficiente de
confiança, que é encontrado utilizando-se a Tabela: z(α/2) = z(0,025) =
1,96.
Sabemos que nosso erro máximo desejado é E = 1,0 (lembre-se, 1
libra). Agora, estamos prontos para utilizar a fórmula do erro ma ́ximo:
Tamanho da amostra
Tamanho da amostra
Tamanho da amostra
 Numa empresa com 1000 funcionários, deseja-se estimar a percentagem 
dos favoráveis a certo treinamento. Qual deve ser o tamanho da 
amostra aleatória simples que garanta um erro amostral não superior a 
5%?
Tamanho da amostra
Estimação de uma proporção
 Utilizaremos a estimação de uma proporção quando os valores da
população e amostra forem muito grandes.
 Para estimação de uma proporção utilizaremos:
Estimação de uma proporção
 Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre sua
preferência por determinado produto. Destas 400 pessoas, 240 disseram
preferir o produto. Determinar um intervalo de confiança de 95% de
probabilidade para o percentual de preferência dos consumidores em
geral para este produto.
Estimação de uma proporção
Estimação de uma proporção
 Uma empresa de transporte realizou um levantamento com 902 usuários 
para saber como estava a satisfação em relação ao horário. O 
levantamento concluiu que 397 estavam satisfeitas. Supondo um nível de 
confiança de 95%, qual será o intervalo de confiança da proporção de 
usuários satisfeitos com os ônibus?
Estimação de uma proporção
Estimação de uma proporção
Estimação de uma proporção
 Se é desconhecido, a teoria de probabilidades mostra que, mesmo
assim, é possível obter uma distribuição amostral para X, utilizando uma
distribuição, denominada t de Student. Esta distribuição tem forma
parecida com a da Normal padrão, com caudas um pouco mais
pesadas, ou seja, a dispersão da distribuição t de Student é maior. Se
uma distribuição tem caudas mais pesadas, valores extremos tem maior
probabilidade de ocorrerem.
 Esta dispersão varia com o tamanho da amostra, sendo bastante
dispersa para amostras pequenas, mas se aproximando da Normal
padrão para amostras grandes. A distribuição t de Student tem apenas
um parâmetro, denominado graus de liberdade, gl. No caso da
estimação de uma média, gl = n -1.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Lembre-se de que a distribuição amostral de medias amostrais tem uma
media μ e um desvio padrão de σ/√n para todas as amostras de
tamanho n, sendo distribuída normalmente, quando a população
amostrada é uniformemente distribuída, ou aproximadamente normal,
quando o tamanho da amostra é suficientemente grande. Isso significa
que a estatística de teste tem uma distribuição normal padrão.
 No entanto, quando σ é desconhecido, o erro padrão σ/√ n também é
indeterminado. Assim, o desvio padrão da amostra s será ́ utilizado como
a estimativa pontual para σ. Como resultado, um erro padrão estimado
da média, s/√ n , será ́ usado, e nossa estatística de teste se tornara ́
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Quando um σ conhecido é usado para fazer uma inferência sobre a
média μ, a amostra fornece um valor para aplicar nas fórmulas. Esse
valor é xbarra. Quando o desvio padrão da amostra s também é usado,
esta fornece dois valores: a média amostral xbarra e o erro padrão
estimado s/√ n. Como resultado, a estati ́stica-z será ́ substituída por uma
estatística que representa o uso de um erro padrão estimado. Essa nova
estatística é conhecida como a estati ́stica-t de Student.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Mesmo que a variável de interesse, X não tenha uma distribuição
Normal, ainda podemos obter uma distribuição aproximada para X. A
teoria de probabilidades fornece um teorema, que ´e um dos
resultados mais importantes da Estatística, pois encontra uma
aproximação para a distribuição amostral de X, sem a necessidade de
se conhecer muito sobre a população em estudo.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 O número de graus de liberdade associado a s² é o divisor (n – 1)
usado para calcular a variância amostral s²; ou seja, gl = n – 1. A
variância amostral é a média do quadrado dos desvios padrões.
 O número de graus de liberdade é o “número de desvios não
relacionados entre si” disponíveis para serem usados na estimativa de
σ2. Lembre-se que a soma dos desvios, Ʃ(x – xbarra), deve ser zero.
Com base em uma amostra de tamanho n, somente o primeiro n – 1
desses desvios tem liberdade de valor.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Embora exista uma distribuic ̧a ̃o-t separada para cada grau de
liberdade, gl=1, gl=2, ..., gl=20, ..., gl=40, e assim por diante, somente
determinados valores críticos chave de t serão necessários para o
nosso trabalho. Consequentemente, a tabela da distribuiça ̃o-t de
Student é uma tabela de valores críticos, e não uma tabela completa,
assim como a Tabela com relação à distribuição normal padrão para
z. Ao olhar a Tabela 6, você̂ notará que o lado esquerdo e ́
identificado por “gl”, ou graus de liberdade. A coluna a ̀ esquerda
inicia com 3 no topo e lista os valores seguintes de gl ate ́ 30 e, então,
pula para 35, ..., para “gl=50” na parte inferior. Como afirmamos,
conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição-t aproxima-
se das caracteri ́sticas da distribuic ̧ão-z normal padra ̃o.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Para determinar o valor de t, você precisará conhecer dois valores de
identificação: (1) gl, o número de graus de liberdade (que identifica a
distribuição de interesse); e (2) α, a área sob a curva para a direita do
valor critico à direita. Uma notação muito semelhante àquela utilizada
com z será́ usada para identificar um valor critico. t (gl, 𝛼), le ̂-se “t de
gl, 𝛼”, é o símbolo para o valor de t com gl (graus de liberdade) e uma
área de α na cauda direita
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Definição de T em relação à média
 Existem três formas de t se relacionar com a média: t pode estar a ̀
direita, estar à esquerda, ou apresentar valores que limitam uma
determinada porcentagem. Comecemos determinando o valor de t a ̀
direita da média, encontrando especificamente o valor de t(10, 0,05)
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Definição de T em relação à
média
 Há 10 graus de liberdade, e
0,05 é a a ́rea a ̀ direita do
valor cri ́tico. Na Tabela 6,
procuramos a linha gl = 10 e a
coluna identificada como
“Área em uma cauda”, α =
0,05. Na intersec ̧ão delas,
descobrimos que t(10, 0,05) =
1,81.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Definição de T em relação à média
 Vamosencontrar o valor de t(15, 0,95). Existem 15 graus de liberdade.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Procedimento do intervalo de confiança
 O pressuposto para inferências sobre a média, quando é
desconhecida.
A população amostrada é distribuída normalmente
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 O procedimento para construir intervalos de confiança usando o
desvio padrão da amostra é muito semelhante ao utilizado quando σ
é conhecido. A diferença é o uso do t de Student no lugar do z
padrão e o uso de s, desvio padrão da amostra, como uma estimativa
de σ. O teorema do limite central implica que essa técnica também
pode ser aplicada a populações não normais, quando o tamanho da
amostra é suficientemente grande.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Vamos considerar uma amostra aleatória do peso de 20 bebês com
um ano de idade, nascidos no Northside Hospital ano passado. Foi
constatada uma média de 20,73 libras (9,4 quilos) e um desvio padrão
de 2,17 libras (0,98 quilos) para a amostra. Com base em informações
anteriores, pressupomos os pesos dos bebês com um ano são
distribuídos normalmente. Usando o processo dos cinco passos,
podemos estimar com confiança de 95% o peso médio de todos os
bebês com um ano de idade nascidos nesse hospital.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Passo 1: Definição
 Descrever o parâmetro populacional de interesse.
 μ, peso me ́dio dos bebe ̂s com um ano nascidos no Northside Hospital no ano
passado.
 Passo 2: Critérios do intervalo de confiança
 a. Verificar os pressupostos.
 σ e ́ desconhecido e informações anteriores indicam que a população
amostrada e ́ normal.
 b. Identificar a distribuição de probabilidade e a fórmula a ser utilizada.
 A distribuic ̧a ̃o-t de Student sera ́ usada com a fo ́rmula
 c. Estabelecer o nível de confiança.
 1 – = 0,95.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Passo 3: Evidência amostral
 n = 20, x = 20,73 e s = 2,17.
 Passo 4: Intervalo de confiança
 a. Determinar os coeficientes de confianc ̧a.
 Sendo 1 – 𝛼 = 0,95, 𝛼 = 0,05; portanto, 𝛼 /2 = 0,025. Além disso, sendo n
= 20, gl = 19. Na interseça ̃o da linha gl = 19 com a coluna unicaudal α
= 0,025 na Tabela, encontramos t(gl, α/2) = t(19, 0,025) = 2,09.
 b. Determinar o erro máximo da estimativa
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Passo 4: Intervalo de confiança
 c. Determinar os limites de confiança e superior
 Passo 5: Resultados
 19,72 a 21,74 é o intervalo de confiança de 95% para μ. Ou seja, com
uma confiança de 95%, estimamos que o peso médio esteja entre
19,72 e 21,74 libras (8,94 e 9,86 quilos).
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Para testar a durabilidade de uma nova tinta para a pintura de faixas
brancas, o DNER testou faixas pintadas em trechos de rodovias de
grande movimento em oito locais diferentes, e os contadores
eletrônicos mostraram que elas se deterioravam após terem sido
cruzadas em média 140.800 vezes, com desvio de 19.200. O
pressuposto para inferências sobre a média, quando é
desconhecida.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
 Uma empresa pretende treinar seus empregados em uma nova
metodologia de trabalho e deseja saber quanto tempo precisará
dispor para realizar esse treinamento. Para isso, selecionou 15
empregados para receber os novos conhecimentos. A seguir temos
uma descrição de quanto tempo (em dias) cada empregado
demorou para atingir o nível satisfatório. Adotar um nível de confiança
de 95%.
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos
Estimativa para desvios padrão 
desconhecidos