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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP2) 2º. Semestre de 2017 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) GABARITO Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas em relação ao tipo de prato de sua preferência. A partir dos resultados apresentados na tabela abaixo, resolva os problemas de 1 a 5. Região / Tipo de Prato Salada (X) Doce (Y) Salgado (Z) Total Norte/Nordeste (A) 40 20 30 90 Sul (B) 10 40 50 100 Sudeste (C) 20 30 40 90 Centro-Oeste (D) 30 30 40 100 Total 100 120 160 380 Se uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente, determine a probabilidade de ela: 1) (0,5 pt) Ser das regiões Norte ou Nordeste; 2) (0,7 pt) Ser do Sul ou preferir prato doce; 3) (0,5 pt) Ser do sudeste que prefere salgado; 4) (0,5 pt) Preferir salada, sabendo que ela é da região Centro-Oeste; 5) (0,8 pt) Ser do Norte ou Nordeste, sabendo que prefere prato salgado. Solução: Considere os eventos: A: a pessoa é da Região Norte/Nordeste; B: a pessoa é da Região Sul; C: a pessoa é da Região Sudeste; D: a pessoa é da Região Centro-Oeste; X: a pessoa prefere salada; Y: a pessoa prefere doce; Z: a pessoa prefere salgado. 1) 𝑃(𝐴) = 90 380 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟔𝟖. 2) 𝑃(𝐵 ∪ 𝑌) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝑌) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝑌) = 100 380 + 120 380 − 40 380 = 180 380 = 𝟎, 𝟒𝟕𝟑𝟕. 3) 𝑃(𝐶 ∩ 𝑍) = 40 380 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟓𝟑. 4) 𝑃(𝑋|𝐷) = 𝑃(𝑋 ∩ 𝐷) 𝑃(𝐷) = 30 380 100 380 = 30 100 = 𝟎, 𝟑. 5) 𝑃(𝐴|𝑍) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝑍) 𝑃(𝑍) = 30 380 160 380 = 30 160 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓. Com o contexto a seguir, resolva os problemas 6, 7 e 8. Uma loja tem suas peças provenientes de três fabricantes específicos: A, B e C. O fabricante A é responsável por 26% das peças vendidas na loja, o fabricante B é responsável por 40% das peças e o fabricante C é responsável pelo restante das peças vendidas na loja. Sabe-se de antemão que cada fabricante possui um percentual de peças defeituosas produzidas, sendo 2,1%, 3,2% e 1,5% os respectivos percentuais dos fabricantes A, B e C. Se uma peça desta loja for sorteada aleatoriamente, determine a probabilidade de ela: 6) (0,5 pt) Ter sido produzida pelo fabricante C; 7) (1,0 pt) Ser defeituosa; 8) (1,0 pt) Ter sido produzida pelo fabricante A, dado que ela é defeituosa. Solução: Considere os seguintes eventos: A: a peça foi produzida pelo fabricante A; B: a peça foi produzida pelo fabricante B; C: a peça foi produzida pelo fabricante C; D: a peça é defeituosa. De acordo com dos dados do enunciado, temos: 𝑃(𝐴) = 0,26, 𝑃(𝐵) = 0,40, 𝑃(𝐷|𝐴) = 0,021, 𝑃(𝐷|𝐵) = 0,032, 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,015 6) Como os três fabricantes são os únicos, então eles formam uma partição do espaço amostral, logo: 𝑃(𝐶) = 1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)] ⇒ 𝑃(𝐶) = 1 − (0,26 + 0,40) ⇒ 𝑃(𝐶) = 1 − 0,66 ⇒ 𝑷(𝑪) = 𝟎, 𝟑𝟒 7) Pelo Teorema da Probabilidade Total: 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝐷|𝐶) 𝑃(𝐷) = (0,26 × 0,021) + (0,40 × 0,032) + (0,34 × 0,015) 𝑃(𝐷) = 0,00546 + 0,0128 + 0,0051 𝑷(𝑫) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟑𝟔. 8) Pelo Teorema de Bayes: 𝑃(𝐴|𝐷) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) 𝑃(𝐷) = 0,00546 0,02336 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟕. A aprovação do Presidente dos Estados Unidos, Donald Trump, nos dois primeiros meses de seu mandato é de 40%. Isso quer dizer que a cada 10 americanos, 6 não aprovam seu início de governo. Suponha que uma amostra de 5 cidadãos americanos seja feita. Resolva as questões de 9 a 13. 9) (0,5 pt) Qual a probabilidade de nenhum deles aprovarem o governo Trump? 10) (0,5 pt) Qual a probabilidade de pelo menos 2 aprovarem o governo Trump? 11) (0,5 pt) Qual a probabilidade de no máximo 4 aprovarem o governo Trump? 12) (0,5 pt) Qual a probabilidade de 2 a 4 cidadãos aprovarem o governo Trump? 13) (0,5 pt) Quantos cidadãos espera-se que aprove o governo Trump? Solução: Temos que cada pessoa representa um experimento Bernoulli com probabilidade de sucesso 𝑝 = 0,4 (se sucesso representa “aprovação do Governo Trump). Logo: em um grupo de 5 pessoas, temos uma distribuição Binomial, de modo que se 𝑋 for o número de pessoas que aprovam o Governo Trump, então: 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(5; 0,4) 9) 𝑃(𝑋 = 0) = ( 5 0 ) (0,4)0(0,6)5 = 1 × 1 × 0,07776 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟔. 10) 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 − [0,07776 + ( 5 1 ) (0,4)1(0,6)4] = 1 − [0,07776 + (5 × 0,4 × 0,1296)] = 1 − [0,07776 + 0,2592] = 1 − 0,33696 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟑𝟎𝟒. 11) 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 1 − 𝑃(𝑋 = 5) = 1 − [( 5 5 ) (0,4)5(0,6)0] = 1 − (1 × 0,01024 × 1) = 1 − 0,01024 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟗𝟕𝟔. 12) 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) = ( 5 2 ) (0,4)2(0,6)3 + ( 5 3 ) (0,4)3(0,6)2 + ( 5 4 ) (0,4)4(0,6)1 = (10 × 0,16 × 0,216) + (10 × 0,064 × 0,36) + (5 × 0,0256 × 0,6) = 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟐𝟖. 13) 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 5 × 0,4 = 𝟐. 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂−se que 2 dos 5 cidadãos aprovem o Governo Trump. Considere X uma variável aleatória discreta tal que 𝑿 ∼ 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 (𝒏; 𝒑) de modo que 𝑬(𝑿) = 𝟕 e 𝑽𝑨𝑹(𝑿) = 𝟔. Considere 𝒁 = 𝑿−𝟐𝟕 𝟏𝟎 . Com estes valores, resolva os problemas de 14 a 17. 14) (0,5 pt) Qual a probabilidade de sucesso (p)? 15) (0,5 pt) Qual o número de experimentos (n)? 16) (0,5 pt) Obtenha 𝐸(𝑍); 17) (0,5 pt) Obtenha 𝑉𝐴𝑅(𝑍). Solução: 14) Temos que 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝. Como 𝐸(𝑋) = 7, então temos: 𝑛𝑝 = 7 (𝐼) Por outro lado, 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). Assim, utilizando o fato de que 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 6, temos: 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 6 (𝐼𝐼) Substituindo (I) em (II), temos: 7(1 − 𝑝) = 6 ⇒ 1 − 𝑝 = 6 7 ⇒ 𝒑 = 𝟏 𝟕 15) Substituindo o valor de p obtido no item anterior em (I), temos: 𝑛 × 1 7 = 7 ⇒ 𝑛 = 7 × 7 = 𝟒𝟗. 16) Para a esperança de Z, temos: 𝐸(𝑍) = 𝐸 ( 𝑋 − 27 10 ) = 1 10 𝐸(𝑋 − 27) = 1 10 [𝐸(𝑋) − 𝐸(27)] = 1 10 [7 − 27] = − 20 10 = −𝟐. 17) Temos: 𝑉𝐴𝑅(𝑍) = 𝑉𝐴𝑅 ( 𝑋 − 27 10 ) = 1 100 𝑉𝐴𝑅(𝑋 − 27) = 1 100 [𝑉𝐴𝑅(𝑋) − 𝑉𝐴𝑅(27)] = 1 100 [𝑉𝐴𝑅(𝑋) − 0] = 1 100 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 6 100 = 𝟎, 𝟎𝟔.
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