16 Cap II CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS

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CINEMÁTICA DAS 
PARTÍCULAS 
Capítulo 2 – Aula 16 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/3 MOVIMENTO 
CURVILÍNEO PLANO 
Trataremos agora do movimento de uma partícula ao longo de uma 
trajetória curva que pertence a um único plano. 
 
Considere o movimento contínuo de uma partícula ao longo de 
uma curva plana. No instante de tempo t a partícula está 
completamente especificada. No instante t+Dt a partícula está 
localizada em A’, localizada pelo vetor r+Dr. 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento da partícula durante o 
intervalo de tempo Dt é dado por Dr, 
que representa a variação vetorial da 
posição e é independente da escolha 
da origem. 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/3 MOVIMENTO 
CURVILÍNEO PLANO 
Velocidade: 
 
• Velocidade média da partícula: 𝑣𝑚𝑒𝑑 =
Dr
Dt
 
• Velocidade escalar média da partícula: 𝑣𝑚𝑒𝑑 =
Ds
Dt
 
• Velocidade instantânea: 
 
Ampliando a definição básica da derivada de uma grandeza 
escalar para incluir uma grandeza vetorial, temos: 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/3 MOVIMENTO 
CURVILÍNEO PLANO 
Velocidade: 
 
A derivada de um vetor é também um vetor que tem módulo e 
direção. O módulo de v é chamado de velocidade escalar e é o 
escalar: 
 
 
Importante: 
 
• Módulo da derivada: representa o módulo de velocidade, ou a 
velocidade escalar da partícula; 
• Derivada do módulo: representa a taxa na qual o comprimento 
do vetor posição r está variando. 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/3 MOVIMENTO 
CURVILÍNEO PLANO 
Aceleração: 
 
• Aceleração média da partícula: 𝑎𝑚𝑒𝑑 =
Dv
Dt
 
• Aceleração escalar média da partícula: 𝑎𝑚𝑒𝑑 =
Dv
Dt
 
• Aceleração instantânea: 
 
Por definição: 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/3 MOVIMENTO 
CURVILÍNEO PLANO 
Visualização do Movimento: 
 
Existe um vetor velocidade tangente à trajetória correspondente a 
cada vetor posição, e a relação entre eles é 𝒗 = 𝒓 . 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/3 MOVIMENTO 
CURVILÍNEO PLANO 
Visualização do Movimento: 
 
Se esses vetores velocidade forem agora representados a partir de 
algum ponto arbitrário C, obtém-se uma curva, chamada de 
hodógrafa. 
A derivada desses vetores velocidade serão os vetores aceleração 
𝒂 = 𝒗 , que são tangentes a hodógrafa. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/4 
COORDENADAS RETANGULARES (x-y) 
Representação Vetorial: 
 
A trajetória da partícula é mostrada novamente abaixo, mas agora 
ao longo dos eixos x e y. 
Com o auxílio dos vetores unitários i e j, podemos escrever os 
vetores r, v, e a em termos de suas coordenadas x e y. 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/4 
COORDENADAS RETANGULARES (x-y) 
Representação Vetorial: 
 
A partir da figura, podemos inferir que: 
 
 
 
 
 
Se as componentes da aceleração são dadas como funções do 
tempo, podemos integrar cada uma delas separadamente com 
relação ao tempo duas vezes e obter as equações de movimento. 
Eliminando o tempo t entre essas duas, teremos uma equação da 
trajetória curva 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/4 
COORDENADAS RETANGULARES (x-y) 
Representação Vetorial: 
 
A partir da figura, podemos inferir que: 
 
 
 
 
 
Se as componentes da aceleração são dadas como funções do 
tempo, podemos integrar cada uma delas separadamente com 
relação ao tempo duas vezes e obter as equações de movimento. 
Eliminando o tempo t entre essas duas, teremos uma equação da 
trajetória curva 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/4 
COORDENADAS RETANGULARES (x-y) 
Movimento de Projéteis: 
 
Uma aplicação importante da teoria da cinemática bidimensional é 
o problema do movimento de projéteis. 
 
 
 
 
 
Para os eixos mostrados na figura, as componentes da aceleração 
são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/4 
COORDENADAS RETANGULARES (x-y) 
Movimento de Projéteis: 
 
Integrando essas acelerações, temos: 
 
 
 
 
Podemos ver que os movimentos x e y são independentes para 
condições do projétil simples em consideração. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/4 
COORDENADAS RETANGULARES (x-y) 
Movimento de Projéteis: 
 
Integrando essas acelerações, temos: 
 
 
 
 
Podemos ver que os movimentos x e y são independentes para 
condições do projétil simples em consideração. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: EXEMPLO 2/5 
O movimento curvilíneo de uma partícula é definido por 𝑣𝑥 = 50 −
16𝑡 e 𝑦 = 100 − 4𝑡2 , onde 𝑣𝑥 é expresso em metros por 
segundo, y em metros e t em segundos. Sabe-se ainda que x=0 
quando 𝑡 = 0. 
Represente graficamente a trajetória da partícula e determine sua 
velocidade e sua aceleração quando a posição y=0 é atingida. 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: EXEMPLO 2/6 
Um foguete consome todo seu combustível até atingir a posição A, 
onde ele tem uma velocidade u e um ângulo Ѳ com relação à 
horizontal. Depois ele inicia um voo sem propulsão e atinge sua 
máxima altura h na posição B, após percorrer uma distância 
horizontal s desde A. 
Determine as expressões para h e s, o tempo t de voo de A até B e 
a equação da trajetória. Para o intervalo em consideração, 
admita a Terra plana, com uma aceleração gravitacional 
constante g, e despreze qualquer resistência atmosférica. 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/5 
COORDENADA NORMAL E TANGENCIAL (n-t) 
Essas coordenadas fornecem uma descrição muito natural do 
movimento curvilíneo, e frequentemente são as coordenadas mais 
diretas e convenientes para representá-lo. 
As coordenadas n-t são consideradas como se movendo ao longo 
da trajetória com a partícula como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/5 
COORDENADA NORMAL E TANGENCIAL (n-t) 
Velocidade e Aceleração 
 
Podemos usar essas coordenadas para descrever a velocidade v e 
a aceleração a que foram introduzidas. Para isso, teremos que 
introduzir os vetores unitários 𝒆𝑛, na direção n e 𝒆𝑡, na direção t 
para a posição da partícula no ponto A sobre essa trajetória. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/5 
COORDENADA NORMAL E TANGENCIAL (n-t) 
Velocidade e Aceleração 
 
Durante um incremento de tempo 𝑑𝑡, a partícula se move de uma 
distância diferencial 𝑑𝑠 da curva de A para A’. 
 
Com o raio de curvatura da trajetória nesse ponto igual a 𝜌, nota-
se que 𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝛽 , onde 𝛽 é expresso em radianos. 
 
Assim a velocidade pode ser escrita como o vetor: 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/5 
COORDENADA NORMAL E TANGENCIAL (n-t) 
Velocidade e Aceleração 
 
A aceleração pode ser escrita como: 
 
 
 
Onde o vetor 𝒆𝑡 agora possui uma derivada não-nula, pois sua 
direção varia. 
 
 Outras relações podem ser expressas: 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/5 
COORDENADA NORMAL E TANGENCIAL (n-t) 
Movimento Circular 
 
É um importante caso especial do movimento curvilíneo plano, 
onde o raio de curvatura 𝜌 se torna o raio 𝑟 constante de um 
círculo e o ângulo 𝛽 é substituído por 𝜃 medido a partir de 
alguma referência radial. 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: EXEMPLO 2/7 
Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na 
estrada, o motorista de um carro aplica os freios para produzir 
uma desaceleração uniforme. Sua velocidade é de 100km/h no 
pontoA da depressão e de 50 km/h no ponto C no topo da 
elevação que se encontra a 120m de A ao longo da pista. 
Se os passageiros do carro experimentam uma desaceleração total 
de 3m/s² em A e se o raio de curvatura da elevação em C é 
150m, calcule: 
 
(a) Raio da curvatura 𝜌 em A; 
(b) Aceleração no ponto B; 
(c) Aceleração total em C. 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Considera-se agora a terceira descrição do movimento curvilíneo 
plano, denominada coordenadas polares, em que a partícula é 
localizada pela distância radial 𝑟 a partir de um ponto fixo e por 
uma medida angular 𝜃 até a linha radial. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Vetores unitários 𝒆𝑟 e 𝒆𝜃 são estabelecidos nos sentidos positivos 
das direções 𝑟 e 𝜃. 
 
O vetor posição 𝒓 da partícula em A tem módulo igual à distância 
radial r e uma direção especificada pelo vetor unitário 𝒆𝑟. 
Assim, a localização da partícula em A é dada pelo vetor: 
 
 𝒓 = 𝑟𝒆𝑟 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Derivadas Temporais dos Vetores Unitários 
 
Necessitamos das expressões para as derivadas no tempo dos 
dois vetores unitários 𝒆𝑟 e 𝒆𝜃. 
Uma vez que seus módulos no limite são iguais aos vetores 
unitários como raios vezes o ângulo 𝑑𝜃 em radianos, pode-se 
escrevê-los como: 
 
 
 
Se dividirmos por 𝑑𝑡 as equações anteriores: 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Velocidade 
 
Agora podemos diferenciar 𝒓 = 𝑟𝒆𝑟, com relação ao tempo. 
 
 
Substituindo 𝒆𝒓 , temos: 
 
 
A componente r de v e simplesmente a taxa na qual o vetor r 
aumenta. A componente 𝜃 de v é devida à rotação de r. 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Aceleração 
 
Agora podemos diferenciar 𝒂 = 𝒗 , com relação ao tempo. 
 
 
Substituindo 𝒆𝒓 e 𝒆θ , temos: 
 
 
Onde: Ou alternativamente: 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Interpretação Geométrica 
 
• Variação de módulo 𝑣𝑟 : é simplesmente o aumento do 
comprimento 𝑣𝑟 ou 𝑑𝑣𝑟 = 𝑑𝑟 , e o termo correspondente de 
aceleração é na direção r positiva; 
 
• Variação de direção de 𝑣𝑟: vale 𝑣𝑟𝑑𝜃 = 𝑟 𝑑𝜃, e sua contribuição 
para a aceleração se torna , na direção 𝜃 positiva; 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Interpretação Geométrica 
 
• Variação de módulo de 𝑣𝜃 : é simplesmente o aumento do 
comprimento 𝑣𝜃 ou d(𝑟𝜃) e sua contribuição para a aceleração 
é ; 
 
• Variação de direção de 𝑣𝜃: vale e o termo de aceleração 
correspondente se torna . 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/6 
COORDENADAS POLARES (r-𝜽) 
Movimento Circular 
 
Para esse tipo de movimento com raio constante r, as 
componentes se tornam simplesmente: 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: EXEMPLO 2/9 
A rotação do braço pivotado radialmente é governada por 
𝜃 = 0,2𝑡 + 0,02𝑡³ , onde 𝜃 é expresso em radianos e t em 
segundos. 
Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor B e 
controla a sua distância a partir de O de acordo com 𝑟 = 0,2 +
0,04𝑡², onde r é expresso em metros e t em segundos. 
Calcule o módulo da velocidade e da aceleração do cursor para o 
instante t=3s. 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/8 MOVIMENTO 
RELATIVO (EIXOS TRANSLADADOS) 
Representação Vetorial 
 
Considere duas partículas A e B que podem ter 
movimentos curvilíneos separados em um dado 
plano ou em planos paralelos. 
 
Arbitrariamente definimos na partícula B a origem de um conjunto 
de eixos x-y que se transladam mas não giram, observando-se o 
movimento de A a partir da posição móvel em B. 
 
O vetor de posição de A medido relativamente ao referencial x-y é: 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/8 MOVIMENTO 
RELATIVO (EIXOS TRANSLADADOS) 
Representação Vetorial 
 
A posição absoluta de B é definida pelo vetor 𝒓𝐵 medido a partir da 
origem. A posição absoluta de A é dada por: 
 
 
Diferenciamos esta equação vetor uma vez em relação ao tempo 
para obter velocidades e duas vezes para acelerações: 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: 2/8 MOVIMENTO 
RELATIVO (EIXOS TRANSLADADOS) 
Considerações Adicionais 
 
Podemos também usar o ponto A para conectar o sistema móvel e, 
neste caso, as equações ficam: 
 
 
 
 
 
Notamos que: 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: EXEMPLO 2/12 
Os passageiros de um jato de transporte A voando para leste com 
uma velocidade de 800 km/h observam um segundo aviação B, 
que passa sob o primeiro em um voo horizontal. Apesar de o 
nariz do aviação B estar apontado para a direção nordeste a 45 
graus, para os passageiros de A ele parece estar se movendo 
para longe do avião A com um ângulo de 60 graus, como 
mostrado. Determinar a real velocidade de B. 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS: EXEMPLO 2/13 
O carro A está acelerando na direção de seu movimento a uma 
taxa de 1,2 m/s². O carro B está percorrendo uma curva de 
150m de raio com uma velocidade de módulo constante de 54 
km/h. Determine a velocidade e a aceleração que o carro B 
parede ter para um observador no carro A, se o carro A atingiu a 
velocidade de 72 km/h para as posições apresentadas.