Lista 9 - Máximos e Mínimos

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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística - Departamento de Análise Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
Máximos e mínimos 
 
 
1 – Determine os extremos relativos de f se existirem. 
(a) 
2564),( 22  yxyxyxf
 
R: 
12)3,2( f
, min. rel. 
 
(b) 
xyyxyxf 3),( 33 
 
R: 
1)1,1( f
, max. rel. 
 
(c) 
16),( 223  yxyxyxf
 
R: 
4
133
),4( 21 f
, min. rel. 
 
(d) 
xy
yx
yxf 
641
),(
 
R: : 
12)16,( 41 f
, max. rel. 
 
(e) : 
xyeyxf ),(
 
R: não tem extremo relativo 
 
(f) 
yyxyxyxf 44),( 32 
 
R: 
0)2,4( f
, min. rel. 
 
27
32
),( 3234 f
, ponto de sela 
 
2 – Determina as dimensões relativas de uma caixa retangular, sem a tampa e com um dado 
volume, sendo usada a menor quantidade de material possível em sua fabricação. 
R:
3 2Vx 
, 
3 2Vy 
 (base) 
 
2
23 V
z 
 (altura) 
3 – Dividir 120 em três partes de modo que a soma dos produtos das partes tomadas duas a 
duas seja máxima. 
R: 40, 40, 40, 
4800S
 
 
 
 
4 – Achar o ponto do plano 
1622  zyx
 mais próximo da origem. 
R: 
),16,( 932932 
 
 
5 – Uma placa metálica circular com 1 m de raio está colocada com seu centro na origem 
de um plano XY e é aquecida de modo que a temperatura no ponto (x,y) é dada por 
)32323(64),( 22  yyxyxyxT
 (graus Celsius), onde x e y estão em metros. 
Encontre a maior e a menor temperatura na placa. 
R: 
C0296
, 
C03,678
 
 
 
Multiplicadores de Lagrange 
 
 
6 – Resolva o exercício 2 pelo método dos multiplicadores de Lagrange. 
 
7 – Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância entre a 
origem e o plano 
DCzByAx 
. 
R: 
222
min
||
CBA
D
d


 
 
8 – Ache os extremos de 
xyyxf ),(
, se (x,y) está restrita à elipse 
44 22  yx
. 
R: 
1)2,( 2
2 f
, min. 
 
1)2,( 2
2 f
, max. 
 
1)2,( 2
2 f
, max. 
 
1)2,( 2
2 f
, min. 
 
9 – Determine os valores extremos da função 
22 2),( yxyxf 
 no círculo 
.122  yx
 
R: 
2)1,0( f
,b max. 
 
1)0,1( f
, min. 
 
10 – Determine os pontos da esfera 
4222  zyx
 que estão mais próximo e mais 
distante do ponto (3,1,-1). 
R: 
 
11
2
11
2
11
6 ,, 
, mais próximo 
 
 
11
2
11
2
11
6 ,,
, mais distante 
 
 
 
 
 
 
 Quando diversos vínculos são impostos, o método dos multiplicadores de Lagrange 
pode ser aplicado se usarmos diversos multiplicadores. Por exemplo, se desejarmos 
encontrar pontos críticos da função 
),( yxf
 sujeitos às condições 
kzyxg ),,(
 e 
czyxh ),,(
, encontramos os pontos críticos resolvendo o seguinte sistema de equações: 
 
xxx hgf  
 
yyy hgf  
 
zzz hgf  
 
kzyxg ),,(
 
czyxh ),,(
 
 
obs: 
hgf  
 
 
11 – Ache os extremos relativos da função f se 
 
yzxzzyxf ),,(
 
 
e se o ponto (x,y,z) está na interseção das superfícies 
222  zx
 e 
2yz
. 
R: 
3),,( zyxf
 

 
1,2/1,1,2,1  zyx 
 

 
1,2/1,1,2,1  zyx 
 
 
1),,( zyxf
 

 
1,2/1,1,2,1  zyx 
 

 
1,2/1,1,2,1  zyx 
f tem um valor máximo relativo de 3 e um valor mínimo relativo de 1