Capítulo 01-Erros

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1. Introdução 
2. Representação de Números 
2.1. Conversão de Números nos Sistemas Decimal e 
Binário 
2.2. Aritmética de Ponto Flutuante 
3. Erros 
3.1. Erros Absolutos e Relativos 
3.2. Erros de Arredondamento e Truncamento em um 
Sistema da Aritmética de Ponto Flutuante 
3.3. Análise de Erros nas Operações Aritméticas de 
Ponto Flutuante 
 
1-Introdução: 
• Neste instante, trabalharemos com a disciplina de Cálculo 
Numérico, que em verdade seria um curso com 
implementação de ferramentas numéricas para discussão 
da teoria ministrada em um curso de Cálculo Diferencial e 
Integral, bem como, em um curso introdutório de Álgebra 
Linear, com mais cálculos envolvidos. 
• Com relação ao conteúdo como um todo, trata-se de uma 
teoria que envolve muitos cálculos, que talvez no início, é 
possível que vocês tenham algum tipo de dificuldade no 
entendimento e desenvolvimento dos diversos métodos 
numéricos apresentados que compõem o referencial 
teórico. 
• A essência da Matemática não está nas fórmulas, mas nas 
ideias que impulsionam a criatividade de suas teorias. 
Portanto, não se deixem intimidar por fórmulas, equações e 
cálculos cansativos. 
Objetivos do Capítulo 01: 
• Apresentar a Importância da Obtenção de uma Solução 
Numérica para Modelagens em diversas Áreas do 
Conhecimento; 
• Apresentar a Conversão de Números nos sistemas decimal e 
binário; 
• Definir e Apresentar a Aritmética do Ponto Flutuante de um 
Computador ou Calculadora; 
• Apresentar e Aplicar os Erros Absolutos e Relativos; 
• Apresentar e Analisar os Erros de Arredondamento e 
Truncamento em um Sistema de Aritmética de Ponto 
Flutuante; 
• Apresentar alguns exemplos introdutórios envolvendo os 
tópicos discutidos anteriormente. 
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da 
aplicação de métodos numéricos nem sempre fornece valores que se 
encaixam dentro de limites razoáveis e desejáveis. Esta afirmação é 
verdadeira mesmo quando se aplica um método adequado e os cálculos são 
efetuados de uma maneira correta. 
Esta diferença é denominada de erro e é inerente ao processo, não 
podendo, em muitos dos casos, ser evitada. 
Nesta unidade, estaremos interessados em fornecer, noções sobre as fontes 
de erros, tipos de erros, etc., para que possamos saber como controlá-los 
ou, de forma ideal, como evitá-los, a fim de aproveitarem ao máximo a 
utilização dos métodos numéricos discutidos ao longo da nossa disciplina. 
Em outras palavras, neste semestre é nosso objetivo estudar os métodos 
numéricos para a resolução de problemas que surgem nas mais diversas 
áreas. A resolução de tais problemas envolve várias fases que podem ser 
estruturadas como descrita na figura a seguir: 
Podemos claramente visualizar duas fases importantíssimas na figura 
anterior: 
• Modelagem – é a fase de obtenção de um modelo matemático que 
descreve o comportamento do sistema físico em questão. 
• Resolução – é a fase de obtenção da solução do modelo matemático 
através da aplicação de métodos numéricos. 
Não é difícil de acontecer que os resultados finais estejam distantes do que 
se esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido 
realizadas corretamente. 
Os resultados obtidos dependem também: 
• Da precisão dos dados de entrada; 
• Da forma como estes dados são representados no computador; 
• Das operações numéricas efetuadas. 
 
Os dados de entrada contêm uma imprecisão inerente, isto é, não há como 
evitar que ocorram, uma vez que representam medidas obtidas usando 
equipamentos específicos, como, por exemplo, no caso de medidas de 
corrente e tensão num circuito elétrico, ou então podem ser dados 
resultantes de pesquisas ou levantamentos, como no caso de dados 
populacionais obtidos num recenseamento. 
Nesta unidade, estaremos interessados principalmente nos erros que 
surgem da representação de números num computador e os erros 
resultantes das operações numéricas efetuadas. 
São erros provenientes de simplificações, muitas vezes 
necessárias, para que o fenômeno da natureza que 
estivermos observando possa ser representado por um 
modelo matemático e que tenha condições de ser tratado 
com as ferramentas matemáticas disponíveis. 
 
Ao tentarmos representar um fenômeno do mundo físico por 
meio de um modelo matemático, raramente se tem uma 
descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são 
necessárias várias simplificações do mundo físico para que se 
tenha um modelo matemático com qual se possa trabalhar. 
Exemplo: Para o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma 
aceleração constante, temos a seguinte equação associada: 
Suponhamos que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício 
e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro 
e a fórmula acima, ele sobe então ao topo do edifício e mede o tempo que 
a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos. Levando este valor a 
equação 01 acima, obtemos: 
• É bem provável que não, pois no modelo matemático não foram 
consideradas outras forças como, por exemplo, a resistência do ar, a 
velocidade do vento etc. Além destas, existe um outro fator que tem 
muita influência: a precisão da leitura do cronômetro, pois para uma 
pequena variação no tempo medido existe uma grande variação na 
altura do edifício. 
• Se o tempo medido fosse 3,5 segundos ao invés de 3 segundos, a 
altura do edifício seria de 60 metros. Em outras palavras, 
observamos para uma variação de 16,7% no valor lido no 
cronômetro, a altura calculada apresenta uma variação de 36%. 
• Com este exemplo podemos notar a grande influência que o modelo 
matemático e a precisão dos dados obtidos exercem sobre a 
confiabilidade da resposta conseguida. 
São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por 
exemplo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à 
obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem 
devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para 
armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas 
operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. 
 
Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na 
mudança de base e erros de representação, conforme veremos a seguir. 
2.Representação de Números: 
Exemplo 01 : Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m. 
a)Use π = 3,14 
b)Use π = 3,1416 
c)Use π = 3,141592654. 
Uma das constantes mais importantes dentro da Matemática, o número π , não 
pode ser representado através de um número finito de dígitos decimais. No Exemplo 
o número π foi escrito como 3,14, 3,1416 e 3,141592654; respectivamente, nos 
casos (a), (b) e(c). Em cada um deles foi obtido um resultado diferente, e 
percebemos já que o erro neste caso então depende exclusivamente da 
aproximação escolhida para π . Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca 
será obtida exatamente, uma vez que π é um número irracional. Como neste 
exemplo, qualquer cálculo que envolta números que não podem ser representados 
através de um numero finito de dígitos não fornecera como resultado um valor 
exato. Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. 
Por isso, a melhor aproximação para o valor da área da circunferência no Exemplo 03 
é aquela obtida no caso (c). 
Exemplo 02: Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um 
computador: 
Resposta: 
Como podemos justificar a diferença entre os resultados 
obtidos pela calculadora e pelo computador para xi =0,11? 
• Os erros ocorridos no problema depende da representação dos números 
na máquina utilizada. A representação de um número depende da base 
escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de 
dígitos usados na suarepresentação. 
• Além disto, um número pode ter representação finita em uma base e não 
finita em outras bases. Atualmente, percebemos que a base decimal é a 
que mais empregamos. Porém, na antiguidade, foram utilizadas outras 
bases, como a base 12 e a base 60. 
• Não é novidade para nós, mas o computador opera normalmente no 
sistema binário, já que é amplamente falado. Observe o que acontece na 
interação entre o usuário e o computador: os dados de entrada são 
enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; toda esta 
informação é convertida para o sistema binário, e as operações todas 
serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para 
o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este 
processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final 
dos cálculos. Na seção seguinte, estudaremos os processos para conversão 
de números do sistema binário para o sistema decimal e vice-versa. 
2.1- Conversão de Números nos Sistemas Decimal 
e Binário 
Vejamos inicialmente a conversão de números inteiros e depois passaremos aos 
fracionários. 
Para tal, consideremos os números (347)10 e (10111)2 , ou seja, o número 347 
está escrito na base 10 enquanto que o número 10111 está escrito na base 2 
Exemplo 03: Escreva na forma polinomial 
 
a)(347)10 
 
b)(10111)2 , vamos treinar mais um pouco... 
 
c)(231)10 
 
d)(1011)2 
Conversão de um número na 
base 2 para a base 10: 
Exemplo 04: Converter para a base 10 os seguintes números na base 2 
 
a)(10111)2 
 
b)(1011)2 
 
 
Conversão de um número na base 10 para a 
base 2: 
É de nosso interesse agora, desenvolver o procedimento contrário, ou seja, 
queremos caracterizar um processo para converter um número inteiro 
representado no sistema decimal para o sistema binário. 
Exemplo 05: Converter para a base 2 os seguintes números na base 10 
a)(347)10 
 
b)(231)10 
 
 
Conversão de um número fracionário na base 10 para a base 2: 
Dado um número entre 0 e 1 no sistema decimal, 
como obter sua representação binária? 
Para transformar um número fracionário na base 10 para a 
base 2, utiliza-se o método das multiplicações sucessivas, que 
consiste em: 
1. Multiplicar o número fracionário por 2 
2. Deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do 
número na base 2 e a parte fracionária é novamente 
multiplicada por 2. O processo é repetido até que a parte 
fracionária do último produto seja igual a zero. 
 
Exemplo 06: Converter para o sistema binário 
 
a) (0,1875)10 
 
b)(13,25)10 
c)(0,6)10 
 
d)(0,1)10 
Conversão de um número fracionário na base 2 para a base 10: 
Exemplo 07: Converter para o sistema decimal 
 
a) (10,1)2 
 
b)(11,01)2 
 
c)(0,000111)2 
2.2-Aritmética de Ponto Flutuante 
[L , U] 
Um sistema de ponto flutuante F depende das varáveis β, t, L e U e pode ser 
representado pela função: 
F = F(β, t, L, U) 
onde a precisão da máquina com o sistema F é definida pelo números de dígitos 
da mantissa t. 
d1 ≠ 0 caracteriza o sistema de números em ponto flutuante normalizado ! 
Exemplo 08: Considere uma máquina que opera no sistema F = F(10, 3, -5 , 5) 
 
m 
Exemplo 09: Dado o sistema de aritmética de ponto flutuante F(10,3,-4,4), 
represente o número x, use se necessário o arredondamento : 
 
a) – 279,15 
b) 1,35 
c) 0,024712 
d) 10,093 
 
 O número zero pertence a qualquer sistema F . 
Exemplo 10: Dado o sistema de aritmética de ponto flutuante F(3,2,-1,2), responda: 
 
a)Qual o menor número representável? 
 
b)Qual o maior número representável? 
 
c)Qual a quantidade de números reais positivos representáveis? 
Exemplo 11: Dado o sistema de aritmética de ponto flutuante F(10,3,-4,4), 
represente o número x, use se necessário o truncamento : 
 
a) 1,25 
b) 10,053 
c) -238,15 
d) 2,71828... 
e) 0,000007 
f) 718235,82 
 
3-ERROS: 
3.1 – Erros Absolutos e Erros Relativos: 
A partir do momento em que se calcula um resultado por 
aproximação, é preciso saber como estimar ou delimitar o 
erro cometido na aproximação ( que pode ser por 
arredondamento ou truncamento). Sem isso, a aproximação 
obtida não têm significado. Frequentemente é possível, no 
cálculo numérico, estimar o erro ou delimitá-lo, isto é, 
estabelecer a menor das cotas superiores para o erro. A 
delimitação do erro é sempre desejável, pois com ela tem-se 
um valor em que o erro cometido seguramente é inferior a 
um limite. 
Para se estimar ou delimitar o erro, recorre-se a dois 
conceitos: erro absoluto e erro relativo. 
Seja 𝑥 um valor aproximado para uma quantidade cujo valor exato 
é x. Define-se: 
ERRO ABSOLUTO 
𝑬𝑨 = 𝑿 − 𝑿 
ERRO RELATIVO 
𝑬𝑹 =
𝑿 − 𝑿
𝑿
 
O erro relativo é frequentemente dado como uma porcentagem. 
Exemplo 12: Dado o sistema de aritmética de ponto flutuante F(10,4,-4,4), vamos 
representar o número x = 234,57 e calcular os erros: 
 
a)Use o arredondamento. 
 
b)Use o truncamento. 
 
 Apesar de incorrer em erros menores, o uso do arredondamento acarreta um 
tempo maior de execução e por esta razão o truncamento é mais utilizado. 
Exemplo 13: 
a)Consideremos o valor exato 3258,713 e o valor aproximado 3258. Determine para 
a aproximação o erro absoluto e o erro relativo. 
 
b) Consideremos o valor exato 1,713 e o valor aproximado 1,000. Determine para a 
aproximação o erro absoluto e o erro relativo. 
 
 Observe que neste exemplo, o erro absoluto é o mesmo, embora o erro acometido 
pela aproximação seja muito mais significativo no item b. 
3.2. Erros de Arredondamento e Truncamento em um 
Sistema da Aritmética de Ponto Flutuante: 
 
Observação: 
Em geral, nos procedimentos numéricos geramos uma sequência de 
soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do 
problema. Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de 
parada nestas sequências de aproximações. Em geral, o erro relativo é 
preferível, basta observar o exemplo anterior. 
3.3 - Análise de Erros nas Operações Aritméticas de 
Ponto Flutuante 
Exemplo 14: Usando F(10,4,-5,5) e dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102 , obter 
x + y. 
 
A adição em aritmética de ponto flutuante necessita do alinhamento dos pontos 
decimais dos dois números. Para isso a mantissa do número de menor expoente 
deve ser deslocada para a direita. Este deslocamento deve ser feito de um 
número de casas decimais igual à diferença entre os dois expoentes. 
Exemplo 15: Usando F(10,4,-5,5) e dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102 , obter 
xy. 
 
14 e 15 
Observação: em nossos estudos poderemos usar 𝑂𝑃 ou 𝑥 . 
Análise da Propagação de Erros: 
Quando desenvolvemos ou utilizamos um processo numérico para buscar a 
solução de um determinado problema, normalmente processamento 
envolve um número muito grande de operações elementares. Assim, na 
maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser 
muito significativo para a solução do problema que estamos tratando, mas 
sim, é necessário analisar como os erros se propagam quando tratamos 
com muitas operações no processamento. 
Neste caso, é fundamental termos o conhecimento da forma com que 
estes erros estão se propagando, isto é, caso estejam se acumulando a 
uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado, e a sequência de 
operações é considerada instável (a). 
Se, por outro lado, os erros estão se acumulando a uma taxa decrescente, dizemos 
que o erro é limitado e, portanto, a sequência de operações é considerada estável (b). 
Exemplo 16: Usando F(10,4,-5,5) e dados x = 0,46709 e y = 3,5678 , obter a soma 
 (𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)
4
𝑖=1 . Use truncamento e analise a propagação dos erros. 
 
Exemplo 17: 
(a)Em um sistema F(10,10.-5,5), calcule 9876 − 9875 . 
 
(b)Use a identidade 𝑥 − 𝑦 =
𝑥−𝑦
𝑥+ 𝑦
 para efetuar o calculo. 
 
(c)Compare os resultados, o que você pode concluir? 
 
 
Exemplo 18: 
(a) Em um sistema F(10,10,-5,5), resolva a equação x2 – 1634x + 2 = 0. 
 
(b) Usando a relação entre o produto das raízes, determine a menor raiz utilizando a 
maior. 
 
(c) Compare os resultados, o que você pode concluir?