7ª Lista Equações Diferenciais exatas

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6ª Lista – Equações Diferenciais exatas 
Definição (equação diferencial exata) 
Uma equação diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦=0 é dita exata quando 
existe uma função 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦) tal que: 𝑑𝑔 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. 
Exercícios 
1. Considere as funções 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 𝑦2 e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦. 
1.a) Mostre que 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦). 
1.b) Ache as funções 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦) tais que que 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) =
𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑒 
𝜕𝑔
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦). Isto é, a diferencial da função 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 
é 𝑑𝑔 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. 
(Resposta: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝐾, onde 𝐾 é uma constante qualquer). 
 
2. Considere as funções 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦 e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥3. 
2.a) Mostre que 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦). 
2.b) Ache as funções 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦) tais que que 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) =
𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑒 
𝜕𝑔
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦). Isto é, a diferencial da função 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦) 
é 𝑑𝑔 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. 
(Resposta: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦 + 𝐾, onde 𝐾 é uma constante qualquer).