Teoremas sobre Propriedades de Ordem em ℝ

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Teoremas sobre as propriedades de ordem 
 
Teoremas: Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ: 
 
1. Se 𝟎 ≠ 𝒂 ∈ ℝ então 𝒂𝟐 > 𝟎 . 
Prova: 
Suponha que 0 ≠ 𝑎 ∈ ℝ. 
Temos então que 
𝑎 ∈ 𝑃 𝑜𝑢 − 𝑎 ∈ 𝑃 
ou ainda, 
𝑎𝑎 ∈ 𝑃 𝑜𝑢 (−𝑎)(−𝑎) ∈ 𝑃 
Isto é, 
𝑎2 ∈ 𝑃 𝑜𝑢 𝑎𝑎 ∈ 𝑃 
𝑎2 ∈ 𝑃 𝑜𝑢 𝑎2 ∈ 𝑃 
𝑎2 ∈ 𝑃 
 
2. 1>0 
Prova: 
Utilizando o Teorema (1) 
Se 0 ≠ 1 ∈ ℝ então 12 > 0. Como 1 = 12, ficamos com 1>0 
 
3. Se 𝒏 ∈ ℕ então n>0 
Prova: 
Utilizaremos Indução. 
(1) 1 ∈ ℕ, 1>0. 
(2) Hipótese de Indução. 
 Suponha 𝑘 ∈ ℕ então k>0. 
 
 
 
 2 
(3) Etapa Indutiva 
1 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝑃 
𝑘 + 1 ∈ 𝑃 
𝑘 > 0 
𝑘 + 1 > 1 > 0 
 
4. Monotonicidade da adição 
 
Se 𝒂 > 𝒃 então 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒄 
Prova: 
Suponha 𝑎 > 𝑏. 
𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑃 
 
podemos dizer que 
𝑎 − 𝑏 é positivo. 
𝑎 + 𝑐 − 𝑐 − 𝑏 é positivo. 
(𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐) é positivo. 
(𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑃 
𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 
 
5. Se 𝒂 > 𝒃 e 𝒄 > 𝒅 então 𝒂 + 𝒄 > 𝒃 + 𝒅 
Prova: 
Suponha 
𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 𝑑 
𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑃 e 𝑐 − 𝑑 ∈ 𝑃 
(𝑎 − 𝑏 é positivo e 𝑐 − 𝑑 é positivo) 
(𝑎 − 𝑏) + (𝑐 − 𝑑) ∈ 𝑃 
((𝑎 − 𝑏) + (𝑐 − 𝑑) é positivo) 
(𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑃 
(𝑎 + 𝑐) > (𝑏 + 𝑑) 
 
 
 
 
 3 
6. Monotonicidade da Multiplicação 1: 
 Se 𝒂 > 𝒃 e 𝒄 > 𝟎 então 𝒂𝒄 > 𝒃𝒄 . 
Prova: 
Suponha 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0 
𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑃 e 𝑐 − 0 ∈ 𝑃 
𝑎 − 𝑏 é positivo e 𝑐 é positivo 
(𝑎 − 𝑏)𝑐 é positivo, ou ainda, (𝑎 − 𝑏)𝑐 ∈ 𝑃 
(𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) ∈ 𝑃 
𝒂𝒄 > 𝒃𝒄 
 
7. Monotonicidade da Multiplicação 2: 
Se 𝒂 > 𝒃 e 𝒄 < 𝟎 então 𝒂𝒄 < 𝒃𝒄 
Prova: 
Suponha 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 < 0 
𝑎 − 𝑏 é positivo e 𝑐 é negativo 
𝑎 − 𝑏 é positivo e −𝑐 é positivo 
(𝑎 − 𝑏)𝑐 é negativo 
(𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) é negativo 
(𝑏𝑐 − 𝑎𝑐) é positivo 
𝒃𝒄 > 𝒂𝒄 
 
8. Se 𝒂 > 𝟎 então 
𝟏
𝒂
> 𝟎 . 
Prova: 
Suponha 𝑎 > 0. 
𝑎−1 = 𝑎−1 ∙ 1 
𝑎−1 = 𝑎−1 ∙ (𝑎 ∙ 𝑎−1) 
𝑎−1 = (𝑎−1)2 ∙ 𝑎 
 
Como (𝑎−1)2 é positivo e a é positivo, 
𝑎−1 = (𝑎−1)2 ∙ 𝑎 é positivo 
 
 
 
 
 4 
𝑎−1 é positivo 
1
𝑎
> 0 
 
9. Se 𝒂 < 𝟎 então 
𝟏
𝒂
< 𝟎 
Prova: 
Suponha 𝑎 < 0. 
𝑎−1 = 𝑎−1 ∙ 1 
𝑎−1 = 𝑎−1 ∙ (𝑎 ∙ 𝑎−1) 
𝑎−1 = (𝑎−1)2 ∙ 𝑎 
 
Como (𝑎−1)2 é positivo e a é negativo, 
𝑎−1 = (𝑎−1)2 ∙ 𝑎 é negativo 
𝑎−1 é negativo 
1
𝑎
< 0 
 
10. Se 𝒂 > 𝒃 então 𝒂 >
𝟏
𝟐
(𝒂 + 𝒃) > 𝒃 
Prova: 
𝑎 > 𝑏 𝑎 > 𝑏 
𝑎 + 𝑎 > 𝑏 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 > 𝑏 + 𝑏 
2𝑎 > 𝑏 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 > 2𝑏 
2𝑎 > 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 > 2𝑏 
2𝑎 > 𝑎 + 𝑏 > 2𝑏 
𝑎 >
𝑎 + 𝑏
2
> 𝑏 
 
11. Se 𝒂𝒃 > 𝟎 então ou 𝒂 > 𝟎 e 𝒃 > 𝟎 , ou 𝒂 < 𝟎 e 𝒃 < 𝟎 
Prova: 
Suponha 𝑎𝑏 > 0 
então 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0. 
Caso 1: Se 𝑎 > 0, 
 
 
 
 5 
Temos que 
1
𝑎
> 0. 
𝑏 = (
1
𝑎
∙ 𝑎) ∙ 𝑏 
𝑏 =
1
𝑎
(𝑎𝑏) 
1
𝑎
 é positivo e 𝑎𝑏 é positivo. 
𝑏 =
1
𝑎
(𝑎𝑏) é positivo. 
𝒃 > 𝟎 
 
Caso 2: Se 𝑎 < 0 
Temos que 
1
𝑎
< 0. 
𝑏 = (
1
𝑎
∙ 𝑎) ∙ 𝑏 
𝑏 =
1
𝑎
(𝑎𝑏) 
1
𝑎
 é negativo e 𝑎𝑏 é positivo. 
𝑏 =
1
𝑎
(𝑎𝑏) é negativo. 
𝒃 < 𝟎 
 
12. Corolário: Se 
0ab
 então ou 
0a
 e 
0b
, ou 
0a
 e 
0b